初中数学苏科版九下 探索解题中的“自然解法” 教学案（含答案）

探索解题中的“自然解法”
我们解题追求的目标一般是简洁和流畅，但是自然的解法有时未必是简洁的.什么是自然解法 适合解题者认知的解法，才是最自然的解法.这与解题者建构的数学模型、积累的解题经验密切相关.下面以一道试题为例，谈谈如何寻找自然的解法.
问题
甲乙两人举行乒乓球比赛，赢者获得1000元人民币的奖励，规则是比赛5场，谁先赢3场，便算胜利.在每场比赛中，两人的胜率各占50
%，前两场比赛，甲都胜了，因突发事件，不得不中断比赛，但这1000元的奖金照发，根据所学的知识，你认为甲应分多少元 请说明理由.
这是巴州区九年级的期末统考试题，是一道具有新颖性、启发性和较大探索空间的概率应用问题.此题来源于古代(十六世纪)赌金分配问题，类似问题常常出现在教材或试卷中.由于这类问题在解答中容易受直觉因素干扰、思维定势的消极影响，以及建模认知模糊等，使许多同学的“自然”思维受阻.
一、参考答案中的自然解法
解
画树状图如图1.
∵甲获胜的机会是，
乙获胜的机会是.
∴甲应分得元.
二、学生心目中的自然解法
1.画树状图法
解法1
如图2，甲已胜2场，只需再胜1场，
则(甲胜3场)
.
甲应分得元.
图2
解法2
如图3，根据题意，得
(甲胜3场)
,
甲应分得元.
解法3
如图4，共8个等可能事件，甲获胜有7个，
则(甲胜3场)
.
甲应分得元.
2.列举法
解法4
记甲赢为△，输为○，则继续比赛，结果可能是下列之一
△△○△△
△△△○△
△△△○△
△△○○△
△△○△○△△△○○
△△△△△
△△○○○
则(甲胜3场)
.
甲应分得元.
解法5
如图5，则(甲胜3场)
.
甲应分得元.
三、学生心里纠结的“自然”解法
错解1
因为甲已经赢2场，奖金为元，还剩元，且还有3场比赛.又两人的胜率各占50%，所以甲还,应获得，.所以甲应分元.
错因分析
因为已赛部分和未赛部分是一个整体，所以应综合起来考察可能性.这里分成两部分单独计算，失去合理性.
错解2
甲已赢2场，只需再赢1场便可以完胜，而乙要全赢3场才能胜，所以甲赢的
概率为，应得奖金元.
错因分析
这种解法虽对未赛部分进行了预测，但用甲：乙=3：1来确定甲、乙赢的机会大小，缺乏依据.
错解3
甲已赢2场，乙赢0场，还需比赛3场，由于胜率各50
%，则甲可能胜场，乙胜场，甲应分元.
错因分析
胜率50%不能确定未赛部分赢的场次平均分配，所以，这种解法不正确.
由上可见，同学们对分配的合理性进行了广泛的探索，闪现着创造性的思维火花，其中一些错解对学生来说是“自然”的，但由于靠直觉，进行了错误的联想，违背了题意，因而必然导致解答错误.
四、引导学生获得适合的自然解法
现行华师大版初中教材内容中，呈现的问题要么为实验统计问题，要么为等可能事件预测分析问题，而本题是兼具两种特点的混合问题，源于教材，高于教材，是一道打破思维定势的好题.教学的关键是探寻学生思维“最近发展区”，找寻与学生已有经验和现实基础相链接的契合点，引导学生正确建模，获得适合自己的解法.
可设计教学过程如下:
师:现在要全部奖金，谁符合条件呢
生1:都没有达到全赢的条件.
师:现在谁更接近这个目标呢
生2:甲.
师:由于现在停赛，奖金能全给甲吗
生3:不能，因甲还未赢到3场.
生4:都给甲，对乙不公平.因为继续比赛，乙也有获胜的可能.
师:如果继续比赛，预测一下哪个获胜的可能性大 为什么
生5:因为甲已赢了2场，再赢1场可以获得全部奖金，可能性大，而乙要连续赢3场才能获得全部奖金，可能性小.
师:如何计算呢
生6:用画树状图方法或列表法计算.
师:大家试一试，
……
五、让自然解法升级
探索无止境有时，我们不能仅停留在解法自然的层面，对于典型问题和学有余力的学生，应该在此基础上，追求更为高级的问题解决策略和方法，锻炼思维，提高能力.
1.利用场数分析法
每轮比赛结束甲、乙双方赢的场次累计记为(m,n)，则停赛时记为(2,0)，那么预测第3场比赛的可能结果为(3,0)或(2,1)，若为后者，继续比赛第4场，结果可能为(3,1)或(2,2)，这样，两种结果明确进行分配.
解
画场数树状图(如图6),
逆向分析:
对于第三场结果中的(2,1)，接下来，若为(3,1)，则甲获得1000元，乙获得0元;
若为(2,2)，则甲获得500元，乙获得500元，
合并计算为(2,1)的分配方案.
甲应获得奖金
元，
则乙应获得奖金250元.
又第三场结果为(3,0)，则甲获得1000元，乙获得0元，合并计算为(2,0)的分配方
案.
甲应分得奖金为
元.
2.利用杨辉三角形
发现甲乙赢的场次此消彼长，若甲赢m场，记为，乙赢n场，记为，则未赛部分可能结果记为，并且.联想展开式中指数变化规律，展开式的系数对应等可能事件的个数.于是可利用杨辉三角形解答如下:
甲需再赢1局获胜，而乙需再赢3局获胜.至多还需比赛3场，得
第3场
1
1
第4场
1
2
1
第5场
1
3
3
1
根据第5场对应数据求反比，得
甲:乙=(1
+
3
+
3):1=7:1，
按此比例分配，甲应分得
元.
我们的数学教育要研究学生、读懂学生，研究他们是如何思考问题的.实质上，有些解法，站在老师的角度，是自然的，但对于学生，解法未必就自然了;也可能对一部分学生是自然的，但对于另一部分学生又未必是自然的.只有基于学生的现实基础、认知心理，所作出的适合学生的解法，才是最自然的，这是作为数学教师，在进行解题教学时永恒的追求.