初中数学苏科版九下 推理问题解法例谈 教学案（含答案）

推理问题解法例谈
推理能力是数学的核心能力之一由于推理问题具有条件隐蔽、背景复杂、形式多样、头绪纷繁的特点，一直以来多被学生视为难题而敬而远之.事实上，此类问题的解决并非无章可循，本文试就推理问题的常见解法进行阐释.
一、直接推理法
直接推理法是直接从题设条件出发，经过细致的分析推理，排除掉不可能的情形，从而得出正确结论的一种推理方法.
例1
某月日期是偶数的星期天有三个，那么，这个月的15日是星期几
解
这个月的15日是星期六.
相邻两个星期天的日期必定是一奇一偶，因为一星期有7天.现在有3个星期天的日期是偶数，那么这三个偶数之间必有2个奇数，因此这个月应有5个星期天.
第一个星期天日期偶数至少应该是2，这样，第5个星期天的日期应是2+(5-1)×7=
30.因为一个月最多31天，因此这是可能的.
如第一个星期天日期是4及以后的偶数，都是不可能的.
因此，该月的2日是星期天.2+2×7=16，即16日也是星期天，所以这个月的15日应是星期六.
二、假设成立法
假设成立法，是先假设某种结论是正确的，在此基础上再结合其它题设条件进行推理和判断;如果产生矛盾，则说明假设不正确，需要重新进行假设，直到得出没有矛盾的结论.
例2
甲、乙、丙、丁、戊五名驾校学员猜测自己的路考成绩.甲说，如果我过关，那么乙也过关;乙说，如果我过关，那么丙也过关;丙说，如果我过关，那么丁也会过关;丁说，如果我过关，那么戊也过关.大家说的都没错，但实际情况是五人当中只有三个人过关.请问过关的是哪三个人
解
因为大家说的都没错，所以，
假设甲过关，那么五个人都过关了，这不可能;
假设乙过关，那么除甲之外的四个人都过关了，也不可能;
所以，甲、乙不可能过关.
因为五人中有且只有三个人过关，所以是丙、丁、戊三个人路考过关.
例3
某校足球队为了备战区足球联赛，需要为运动员添置运动鞋.已知校足球队有20名队员，队长统计队员鞋的码数但不慎将统计表弄脏了，致使有两个数据看不清了，如下弃所示.
鞋码
38
39
40
41
42
人数
5
3
2
下列说法正确的是(
)
(A)这组数的中位数是40，众数是39
;
(B)这组数的中位数和众数一定相等;
(C)这组数的平均数P满足39(D)以上说法都不对.
解
正确的说法是C.这是因为:
(1)假设A是正确的，则由中位数、众数的定义，以及表格可知这组数的中位数是40,众数必然是40，所以A错误.
(2)假设B是正确的，则当39码和40码的人数都是，时，中位数和众数不等，所以B
错误.
(3)假设不清楚的这10人都是39码，可算得平均码数是39.
35;假设不清楚的10人都是40码，可算得平均码数是39.
85，这样便可判断结论C是正确的.即使部分人是39码，另外的是40码，也可算得其平均码数符合C的结论.
三、枚举与筛选法
根据某种分类标准，将问题不遗漏、不重复地分为有限种情况，然后逐个检验各种情况，淘汰不符合条件者，选取符合条件的选项.这就是枚举与筛选法的解题思想.
例4
师傅想甄别他的三个徒弟谁更聪明，向3位徒弟出示了3白2黑的5顶帽子.然后让徒弟闭上眼睛，由他给每人各戴上一顶帽子，其余的2顶由他藏好.然后他让徒弟睁眼，观察他人头上帽子的颜色，并要求他们各自说出自己头上帽子的颜色.三个都犹豫了一会儿，然后几乎同时正确地说对了自己头上帽子的颜色.
试问:你认为他们头上戴的是什么颜色的帽子 这三个聪明的徒弟是怎么知道自己头上帽子的颜色的吗
解
他们头上戴的帽子都是白色的.
因为3个人戴5顶帽子，所以颜色情况只有3种:3白，2黑1白，1黑2白.
如果是“2黑1白”，必有一人(戴白帽者)立即知道自己戴的白帽子，因为他看到另外两人戴的都是黑的，他是不用犹豫的;但三人都犹豫了，说明不是“2黑1白”.
如果是“1黑2白”，那么眼前见到现1黑的人，分析后都能判定自己头上帽子是白色的，都不需要犹豫的.但三人都犹豫了，说明没有黑帽子出现.
从而判断只能是“3白”，即自己头上的帽子的颜色必是白色的.
例5
一女士和儿子、女儿及其兄弟共四人都是歌手，水平最差的歌手的孪生者(就在这四人当中)和水平最高的歌手为异性，水平最差的歌手和水平最高的歌手为同龄人，请问水平最差的歌手应该是谁呢
解
从年龄角度来看，四人的年龄有下列4种可能:
女士与其兄弟是孪生(同龄);儿子与女儿是孪生(同龄);兄弟与儿子同龄;兄弟与女儿同龄.
(1)如果女士是水平最差的歌手→兄弟为孪生者→女儿是水平最好的歌手→女士与女儿同龄.矛盾.
(2)如果兄弟是水平最差的歌手→女士为孪生者→儿子是水平最高的歌手→兄弟、儿子同龄→女士与儿子同龄.矛盾.
(3)如果女儿是水平最差的歌手→儿子为孪生者→女士是水平最高的歌手→女士和女儿同龄.矛盾.
(4)如果儿子是水平最差的歌手→女儿为孪生者→兄弟是水平最高的歌手→兄弟与儿子同龄.符合条件.
所以，儿子是水平最差的歌手.
四、列表推理法
为了将条件之间、条件与结论之间的关系更具条理，可将题设中信息集中到一个表格中进行反映，可促使问题得到有效解决.
例6
A、B、C、D、E五位教练，对参加某项比赛的甲、乙、丙、丁、戊五位选手的比赛名次进行预测，他们的预测结论分别是:
(A)预测:乙第三名，丙第五名;
(B)预测:戊第四名，丁第五名;
(C)预测:甲第一名，戊第四名;
(D)预测:丙第一名，乙第二名;
(E)预测:甲第三名，丁第四名.
比赛结果揭晓，发现每一个名次都有人预测正确.请回答个人的名次.
解
设计如下表格，将五位教练的预测结果填入表中.因为比赛结果显示每个名次都有教练预测正确，而第二名这个名次只有D教练预测正确，故第二名获得者一定是选手乙.那么，选手乙就不能是第三名，那么第三名就只能是选手甲.
同理，第一名是丙.第五名是丁.第四名是戊.
名次教练
1
2
3
4
5
A
乙
丙
B
戊
丁
C
甲
戊
D
丙
乙
E
甲
丁
所以，从第一至第五的排列顺序是:丙，乙，甲，戊，丁.
五、图解示意法
图解示意法是一种借助图形进行直观、准确的推理方法.
例7甲、乙、丙、丁、戊五个班级，进行数学对抗赛，且比赛规则规定为单循环(即每两个班级之间都要进行一场对抗赛).对抗赛中途统计了甲、乙、丙、丁四个班级已经赛过的场数，结果是甲班4场，乙班3场，丙班2场，丁班1场.对抗赛进行到这个时候，戊班应该进行了几场比赛呢
解
如图1，将甲、乙、丙、丁、戊五个班级用五个黑点表示，将各班之间比赛的情况用线段连结.
甲班已经比赛过4场，则说明甲班与乙、丙、丁、戊四个班级均已各比赛了1场.因为是单循环比赛，所以在接下来的赛程中，甲班已经没有比赛了.
丁班只赛过1场，说明丁班的这一场比赛只能是与甲班对抗的.
乙班赛了3场，说明乙班没有与丁班对抗，它是与甲、丙、戊班各赛了1场.
丙班对抗了2场，是与甲班、乙班对抗的.
于是，可得图1.可以十分明了地看出，戊班进行了2场对抗赛，分别是与甲班、乙班进行的.
例8
约翰和弟弟参加了一个聚会，与他们一同参加的还有另外两对兄弟.见面后有的人握手致礼，没有人和自己的兄弟握手，已经握手致礼的不再重复.此时约翰发现除他之外，每个人握手的次数竟各不相同.试求约翰和他的弟弟各握手了几次.
解
根据题意，参加聚会的人每人握手最多4次，最少者没和人握手;又由于除约翰外每个人握手次数各不相同，所以这5人每人握手次数分别为4、3、2、1、0次
如图2，用F、E分别代表约翰和他的弟弟，A和B，C和D是另两对兄弟;用点代表人，两点之间的连线段代表这两个人握手.
先考虑连出4条线段的点图.先排除点E.因为如点E连出4条线段，则这4条线段分别是EA、EB、EC、ED.于是就没有连出线的点就不存在了，出现矛盾.所以可以肯定，能连出4条线段的点必在A、B、C、D四个人当中.不妨设这个点就是C.那么这4条连线段就是CA、CB、CE和CF.则D就成了没有和其他点连线的点.
再考虑只连出1条线段的点.先排除点E.因为如点E只连出1条线段，那么A和B都只能至多再和点F连出1条线段，这样，就找不到能连出3条线段的点了，出现矛盾.所以只能连出1条线段的点只能在A和B当中.不妨设这个点就是A了.这时，E只能再连出1条线段EB，所以可以肯定的是，B和F之间必然有1条连线段(如图3).
所以，约翰握手2次，约翰的弟弟握手也是2次.