初中数学苏科版九下 一道图形翻折问题的解法探究与启示 教学案（含答案）

一道图形翻折问题的解法探究与启示
在2016年上海中考模拟试题中有一道关于图形翻折的问题，值得大家分析探究.
一、试题与分析
试题在中，，点是的中点，将沿直线翻折，点落在点处，且，则
(用和含的三角比的代数式表示)
分析
这道有关图形翻折的问题，其难点主要体现在以下三个方面:第一，虽然是一道关于图形翻折的问题，但并没有图形，需要学生自己作出符合要求的图形;第二，题目中已知条件的分析与运用，需要添加必要的合理的辅助线;第三，有关基本图形的组合与分离需要观察分析到位.综合以上三点，此题确有一定的难度.
二、解法与启示
解法1
“四点共圆”显神威
如图1，连结，由，可知是直角三角形，且.
,
.
由,
得.
,
.
故可知、、、四点共圆.
由，知为该圆的直径，可得，则.
评注与启示
解法1利用了“四点共圆”，解答过程干净、利落，实为非常巧妙的解答.判定四点共圆有两个基本方法:1.若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆;2.若点、在线段的同侧，且，则、、、四点共圆.
解法2
“补全”图形，巧用相似
如图2，在图1的基础上分别延长，相交于点.如解法1得到,此时，这两个角的补角相等，即.
这样，
于是有，进而,
.
而,
于是，从而.
评注与启示
解法2的生成得益于图形的“补全”.这一点在2015年上海中考题中也有所体现:
已知在中，，.将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处.延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于
.
简析
如图3所示
此题虽为三角形的旋转问题，但由于所旋转的角度恰为该等腰三角形的顶角度数，实质我们还是可以看成是沿边所在直线翻折，得到.图3中，分别延长、相交于点，类似于将不完整的图形进行了“补全”.就本题而言，过点或点向
作垂线段，我们很容易得到结果为，只要学生可以将图3的图形“迁移”过来，那么解法2的图形“补全”;就可以自然生成了.另外，我们将解法2中两对相似三角形的图形分离出来.我们会发现这是典型的相似三角形中“两高”型基本图形的运用，如图4、图5所示.
如图5，这是相似三角形中“两高”型基本图形，即:
若，，
则.
正是基于这样一种基本图形的分离，所以我们在图4中才可以比较容易得到.
解法3
“共边共角”基本图形的运用
在图3中，我们容易得到，这两个三角形形成的是“共边共角”型相似基本图形，可以得到，问题是要求长，，那么只需要求
出长或者用表达出.如图6,易知，从而.设.我们可以得到方程，解得(负限舍去).
上述解法的思维方法值得鉴赏，尤其“共边共角”型基本图形的运用，还是大有可为之
处.
评注与启示
解法3从分析己知条件出发，在原图中构造出“共边共角”
型基本图形.
得到的关系式，通过设未知数的方法最终得到相关方程.将“共边共角”
型基本图形利用好、发挥好，就一定可以得到问题的解答.这在2016年上海中考题中也有所体现:
如图7所示，梯形中，，，，，，点是边上的动点，点是射线上一点，射线和射线交于点，且二.
(1)略;(2)略;
(3)如果点在边上
(不与点、重合)，设，，求关于的函数解析式，并写出的取值范围.
简析(3)
易知.从而有.这样，在中就可以形成“共边共角”型基本图形，得.利用比例关系有，所以.只要表达出，很容易就可以得到问题的答案为.
综上可见，我们在实际教学中，应当将学生容易接受的、最优的解法教授给学生，一题多解仍然值得我们去追求.虽然，有些解法较为简洁，有些解法较为繁杂，但当我们站在不同的角度也同样可以欣赏到不同的美景.