初中数学苏科版九下 由定义发现隐圆 教学案（含答案）

由定义发现隐圆
题目
如图1，在⊙中，是⊙半径，，是⊙的弦，垂直平分，于点，连结交于点.若，则的度数是
.
本题通过精确作图(手动逼近)，学生基本上可以猜到正确结果，但却难于完整推理.然而，在实际教学中，一位爱思考的学生的想法却给了我们启发.他的解法如下:
连结，，如图2.
垂直平分
，
(同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半)
又，
即点，，在以为圆心，为半径的圆周上，
这种解法让我们联想起了以下几道竞赛题.
题1
(2008年全国初中数学竞赛试题)
已知:是半径为1的⊙的一条弦，且，以为一边在⊙内作正，为⊙上不同于点的一点，且，的延长线交⊙于点，则的长为(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解
如图3，连结，以为圆心，长为半径作圆.
，，都在⊙上
而在⊙中，弧的度数等于的度数，其大小为，
，选B.
题2
(1984年全国初中数学联赛试题)
如图4，，于点，交于点.
求证:的面积
证明
点，，在⊙上(如图5).
，
，
又
又
总结对于圆的问题，往往可以通过弧(同弧或等弧)实现角的转换.因此，添作辅助圆，把角放入同圆中，利用同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，就可以进行灵活转换，达到简化计算或证明的目的.这里，发现共圆是关键，而根据圆的定义找圆是一条有效的途径，但在实际解题中，往往被我们很多人忽略了.因此，建议同学们做个有心人，解题时不要忘了作为根基的圆的定义，也许它会给你意外的惊喜.