初中数学苏科版九下 与45°角相关的几个结论及其应用 教学案（含答案）

与45°角相关的几个结论及其应用
在初中数学里，旋转是我们经常接触到的一类变换.虽然图形在变换过程中，相关图形的形状与大小不发生改变，但是旋转往往会与隐藏的图形相似或全等联系在一起，因而解答起来并不是很容易.本文试图通过呈现一类与45°定角相关的旋转问题，分析解法、总结结论和揭示规律，旨在交流分享.
一、在正方形中，45°角绕顶点旋转，相关线段、面积和为定值
例1
(2015年十堰中考题)如图1，正方形的边长为6，点分别在
上，若，且，则的长为(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解
如图1，延长至点，使得，连结.
在和中，
有,
.
,
,
即,
在和中，
有,
,
，即.
在Rt中，.
设,则.
在Rt
中，
由，得,
解得.
在Rt中，,
所以，正确答案选A.
结论1
在正方形中，点分别在上，
，连结，则有
(1)
;
(2)
.
评析
在角的旋转过程中，相关三角形保持全等，因而对应线段相等，面积相等.
二、在等腰直角三角形中，45°角绕直角顶点旋转，相关线段的积、平方和为定值
例2
(2014年抚顺中考题)如图2，将足够大的等腰直角三角板的锐角顶点放在另一个等腰直角三角板的直角顶点处，三角板绕点在平面内转动，且的两边始终与斜边相交，交于点交于点，设，则能反映与的函数关系的图象大致是(
)
解
为等腰直角三角形，
,
.
的两边始终与斜边相交，交于点交于点，而,
,
即
,,
.
而,∽,,
即,
与的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为.故选A.
结论2
如图3，在中，、在上，且.
(1)
∽∽;
(2)
;
(3)
.
评析
(1)“中间”
与和，都属于相似里的“母子型”，因而通过相似的传递，得出两两相似;
(2)利用相似，对应边成比例，积为定值;
(3)将绕点，按顺时针方向，旋转90°，通过证明三角形全等，将、和转化到同一个三角形中，再由勾股定理的逆定理可证得结论.在这一结论的证明过程中，体现了旋转法可将散乱的线段、角等聚集到一起的功能，真可谓，旋转的问题旋转来解.
结论3
如图4，在中，、在上，且，过点作，交于点，过点作，交于点，与交于点.
(1)
;
(2)
;
(3)
点的轨迹是双曲线.
评析
(1)由结论2(1)可推导得出;
(2)可转化成可转化成，而与的积为定值，故可得结论
(3)因为为定值，所以条件符合双曲线上点的特征.若以、所在直线建立平面直角坐标系，设，则双曲线的解析式为.
三、在等腰直角三角形中，45°角绕斜边中点旋转，相关线段的积为定值
例3
(2012年成都中考题)如图5,和是两个全等的等腰直角三角形.,
的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点.当点在线段的延长线上时，求证:
∽.
证明
和是两个全等的等腰直角三角形，
.
,即,
,
,
∽.
结论4
(1)
;
(2)如图6，在中，为上任意一点，,
则有∽
,
从而.
评析
将条件弱化，推广为一般情况后，实际是典型的“一线三等角”模型.
综上，在看似复杂的图形中提炼“基本图形”，在图形的变化中，抓住不变的，把握住问题的实质，就能在不断的尝试实践中，促进几何素养的提升!