初中数学苏科版九下 中考数学试题计算能力的培养 教学案（含答案）

中考数学试题计算能力的培养
数学计算能力的培养是数学教学与学习的重要内容之一笔者通过研习2016年南通市数学中考试卷，发现考查数学计算能力尤为凸显，可见我们平时的数学教学必须重视学生计算能力的培养.以下举例说明.
一、代数式变形、化简的计算
例1
(原卷第16题)设一元二次方程的两根分别是:、，则
解析
本题若将所求代数式中的括号去掉，变为:
，则运算就将毫无头绪.而由是方程:
的一个根，可以得到，即，代入原代数式就可以化简为:
，则问题即求原一元二次方程的两根之和，直接求出两根或运用韦达定理都可以得到答案为3.
由此可见，在代数式的运算中适当利用“整体代入”往往能起到十分简捷的作用.
例2
(原卷第18题)平面直角坐标系中，已知点在直线上，且满足，则
解析
首先，由点在直线上，可以得到.
此时，由本题的另外一个条件，我们可以考虑将的表达式整体代入，得.
该等式的左边经过适当整理、化简之后，可以得到，由平方的非负性，可知，.再代回的表达式，就可以得到关于的一元二次方程:，注意到，所以解得.
二、图形推理的计算
例3
(原卷第27题)如图1
,
中，，，，于点，是线段上一点，，，连结、，设、的中点分别为、.
(1)求的长;
(2)求的长;
(3)设与的交点为，请直接写出的值.
解析
第(1)问由“等积法”或三角形相似(射影定理)，容易得到.
第(2)问求线段的长度，是构造直角三角形利用勾股定理，还是由、别为B、的中点，利用三角形的中位线呢 但线段、又不在同一个三角形之中，显然不能直接利用三角形的中位线.由，延长交于点，易知，如图1所示.这时，在中，点即为斜边的中点，作，分别交、于点、，则，，同样，在中，作交于点,则.联结，易知四边形为
矩形，所以，此时自然为直角三角形，且.
又因为，，
可得
则.
第(3)问，如图2所示，由(2)知，若能知道与的比值关系，就可以
算出的值.延长交于点,
在中，NQ=
由，可得
所以，
由此可见，与几何图形有关的线段长度的计算，往往需要辅以推理证明来获得解答.
三、结合图形分类讨论的计算
例4
(原卷第26题)平面直角坐标系中，已知抛物线经过、两点，其中为常数.
(1)求的值，并用含的代数式表示;
(2)若抛物线与轴有公共点，求的值;
(3)设、是抛物线上的两点，请比较与0的大
小，并说明理由.
解析
(1)，(2)略;
本题第(3)问的计算涉及到简单的分类讨论.由(1)知，所以，，则，比较与0的大
小，也就是比较与0的大小，自然得到三种情况.其实比较与0的大小，也就是比较与的大小关系，我们也可以结合函数图象进行解答.如图3，由抛物线的开口向上，对称轴为直线，可以知道图象上的点离对称轴越远，所对应的函数值越大.所以，要比较与的大小关系，只需要比较、这两点到对称轴直线的距离就可以了.也就是要比较与的大小关系，通过分类讨论也容易得到问题的答案.
例5
(原卷第28题)如图4，平面直角坐标系中，点，函数的图象经过的顶点和边的中点.
(1)求的值;
(2)若的面积等于6，求
(3)若为函数的图象上一个动点，过点作直线轴于点，直线与轴上方的一边交于点，设点的横坐标为，当时，求的值.
解析
(1)，(2)略;
第(3)问，由于条件中并没有指明点具体在的哪一条边上，所以自然需要分
三种情形讨论，
如图5，点位于边上.
由，知
所以，
解得(负值舍去).
②如图6，点位于边上.
由，知
所以，解得:.
当点位于边上，由于点可能位于点的上方，也可能位于点的下方，此时又需要分类讨论之.
③如图7，点位于边上，且点位于点的上方.
由，知
所以，
解得(负值舍去).
(4)如图8，点位于边上且点位于点的下方.
由，知
所以，
解得
(负值舍去).
所以，求得的值为:，或，或，或
当我们对于问题中的条件指代不够明确时，往往需要分类讨论，涉及到图形的计算时也就需要分类作图了.
数学计算能力是初中数学中重要的能力之一，锻炼好数学计算能力，需要我们清晰地了解并掌握相关计算的“算理”，尤其是在数、式、图形有关计算上的体现，同时需要我们多实践、多思考、多体会、多总结.