初中数学苏科版九下 对称图形—圆 习题解析 教学案（含答案）

拓展课本例题
演绎中考精彩
课本例题、习题是经过专家精心遴选的，具有典型性、示范性的题目，而且具有可拓展的功能.从学生认知思维的最近发展区域，以课本习题为原型，从题设、结论及图形结构全方位、多角度的探究与联想，挖掘其蕴藏的深层内涵，可以引导学生深刻领悟解决问题的策略，优化思维品质，提升数学的思维水平.本文以苏科版《数学》九年级《对称图形——圆》中的一道习题为例，诠释如下.
引例
如图1，是⊙的直径，是⊙上的一点，垂直于过点的切线，垂足为，则平分.
变式拓展1
将习题的条件——⊙切线与结论——角的平分线交换，构造其逆命题，附加某些线段的长度计算圆中弦长或阴影部分的面积.
例1
(2016年黄石中考题)如图2,
⊙的直径为，点在圆周上(异于，)
，.
(1)若，，求的值;
(2)若是的平分线，求证:直线是⊙的切线.
分析
(1)首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理
便可求得的长.
(2)连结，证即可;利用角平分线的性质和等边对等角，可证得，即可得到.由于，那么，由此得证.
解
(1)
∵是⊙的直径，点在⊙上
在中，，,
∴由勾股定理，得.
(2)如图3，连结.
，,
又是的角平分线，
,
，,
又，,
是⊙的切线.
评注
此题要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.
例2
(2016年咸宁中考题)如图4，在中，，的平分线交于点，点在上，以点为圆心，为半径的圆恰好经过点，分别交，于点，F.
(1)试判断直线与⊙的位置关系，并说明理由;
(2)若，，求阴影部分的面积(结果保留).
解析
(1)
与⊙相切，理由略.
(2)设⊙的半径为,
则，.
由(1)知,
，
即，
解得,
，.
于是有
.
评注
本题将阴影部分(不规则图形)的面积转化为规则图形(可求面积)面积的和或差()，这是解决此类问题的关键.
变式拓展2
将⊙换成半圆，并延长切线与直径使之相交，形(图形结构变化)变而神(条件、结论)不变.
例3
(2016年黄冈中考题)如图5，是半圆的直径，点在的延长线上，切⊙于点，，垂足为，连结.
(1)求证:;
(2)求证:.
分析
(1)连结，由为圆的切线，利用切线的性质，得到垂直于.由垂直于，得到与平行，利用两直线平行得到一对内错角相等;再由,利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证.
(2)连结，由为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到为直角三角形.根据一对直角相等，以及第一问的结论得到一对角相等，确定出与
相似，由相似得比例，变形即可得证(证明略).
变式拓展3
添加中的锐角三角形函数值，探究⊙的弦分所成的线段的比值.
例4
(2016年武汉中考题)如图6，点在以为直径的⊙上，与过点的切线垂直，垂足为点，交⊙于点.
(1)求证:平分;
(2)连结交于点，若，求的值.
解析
(1)因为是⊙的切线，根据“有切点连半径”，我们可以连接半径，根
据“切线垂直于过切点的半径”，所以
又，,
,
又，,
,
所以平分.
(2)连结，在中,
由，
可设,
则，,
由，可得
，,
.
由，可得,
，,
,
.
评注
本题的第(2)问也可以通过，求出直径(用表示)，进而得到半径，利用四边形(是与的交点)是矩形，得到.进而根据勾股定理求出，在根据三角形中位线求出，最后得到，将的值转化为来求.
变式拓展4
丰富课本习题的图形的结构，并添加相关条件，继续深化探究问题的结论
例5
(2016年孝感中考题)如图7，在中，，点在上，经过点的⊙与相切于点，与，分别相交于点，，连结与，相交于点.
(I)求证:平分.
(2)若于点，平分，.
①试判断与的数量关系，并说明理由;
②求⊙的半径.
分析
(1)略.
(2)①∵平分,
,
又,
,
即，；
设,
则.
，,
，,
,
，,
，，.
为直径，.
.
∴⊙的半径为.
评注
本题将课本中相关习题与例题融合在一起，使图形的结构变得更加复杂，这就需要我们学会能够从复杂图形中分离出基本图形的技能，从而利用简单图形的性质解决问题.
从上述对课本习题与中考试题的对比分析中可以发现，许多中考试题源于课本，高于课本.这就启发我们在平时的学习中，要立足于课本，在学好基础知识，掌握基本技能和方法的基础上，多角度挖掘开发例习题中蕴含的丰富内涵，学会对自己已解决的问题进行反思、联想、总结.一方面反思问题的解题思路能否能迁移;另一方面反思题目的条件与结论之间的因果关系能否交换，命题的条件能否更换，结论能否拓展，图形的结构能否改变等，从而深化对问题的理解，提高观察问题、分析问题、自主探究问题的创新思维能力.