初中数学苏科版九下 二次函数复习中的“六注意” 教学案（含答案）

二次函数复习中的“六注意”
二次函数是初中数学的重点内容，也是各地中考考查的一个热点.笔者以近几年的中考题为例，提出二次函数复习中的六点注意，供同学们复习时参考.
一、在求二次函数解析式时.要注意适当选取形式
例1
已知二次函数的图象:顶点，与轴的交点，求此函数解析式.
解
因为图象顶点,
故可设
又过点
故将，代入上式，得
解得
例2
已知抛物线与轴交于，与轴分别交于，两点，求此抛物线的解析式.
解
因为、两点在轴上，故可设
又过点
故将，代入上式，得
，解得
即
评析
上面例1设成顶点式，例2设成交点式，这样灵活运用条件，只要确定一个待定系数即可.若用一般式求解，则有三个待定系数需要确定，既增加了计算的难度，又耗时过长，不合适!
二、在求字母值或函数解析式时.不可忽视隐含条件
例3
已知二次函数的图象过原点，则
解析
若本题忽视了这一条件，易得，解得或，出现错误.正确答案应关注到，将舍去，从而.
例4
已知二次函数的图象交轴于，两点，交轴的正半轴于点，且，求此函数解析式.
解析
本题容易发生的错解是:
由根与系数关系，得
，
解得或
所求函数解析式为
或
以上错解忽视了条件“轴的正半轴相交”，即，所以，正确答案应将舍去，函数解析式为
三、有时可以不求函教解析式，利用对称性求解
例5
已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表:
…
-4
-3
-2
-1
0
…
…
3
-2
-5
-6
-5
…
则方程的正整数解的范围是
解析
本题的赏规解法是先求函数解析式，再求出方程的两个根；从而找出正整数解。方法虽然可行，但其中的过程复杂，且计算量较大，不是个好方法.若利用图象的对称性，则有如下简捷解法:
观察表格，可知此函数图象对称轴的横坐标为
从表格可知，方程的一个负根在左边，即
根据对称性可知横坐标与1，与2是对称点，易得方程另一根在右边，即
四、有时可以不求函数解析式，利用图象解题
例6如图1所示，二次函数的图象经过点，下列结论:
；②；③；④
正确的是
解析
由题意，可看出此问题与、、这三个待定系数有关，学生自然会想到用待定系数法求解析式，从而得到、、的值.但仔细观察条件不够，题中只知两个点的坐标和，难以求出三个字母的值，那么不求函数解析式，则必须利用图象说话.
由图象可知，与轴的交点纵坐标即是的值为1，可知①正确.
当时，由条件“经过点”，可知，即②正确.
由对称轴可得③正确
图象与轴有两个交点，可得判别式，所以④错误
五、在不确定函救的类型时，摇分类讨论
例7
函数的图象与轴有且只有一个交点，求的值.
解析
本题容易发生的错解是:
因为图象与轴有且只有一个交点，故方程的判别式,
解得或.
实际上题设中未说明函数的类型，因此所给函数可以是二次函数，也可以是一次函数，错解中忽略了这一点，从而造成了漏解.本题正确解答需要分类讨论.
六、在求实际问题的最值时，注意自变量的取值范围
例8
某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克.据市场预侧，该种水果的售价(元/千克)与保存时间(天)的函数关系为，但保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天；另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用.
(1)设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润(元)与保存时间
(天)之间的函数关系式
(2)求批发商经营这批水果所能获得的最大利润.
解析
本题可能发生的错解是:
根据题意，得
当时，有最大值2620
此种解法只关注到函数解析式本身，而忽略了实际问题中的自变量往往受到实际情况的制约，即自变量是有取值范围的.此题中的“最多能保存8天”，即，不能取9，故根据函数增减性知；当时，有最大值.