初中数学苏科版九下 分类剖析半角旋转问题 教学案（含答案）

分类剖析半角旋转问题
本文所述“半角旋转问题”是指，角的大小和位置固定时，角的顶点与角的顶点重合，且数量是角的一半，当角绕公共顶点旋转时，所产生的几何问题.这些数学题的解决能够考察学生对全等、相似等基本知识技能的掌握，以及对转化、数形结合等数学思想的应用，所以半角旋转问题成为2016年中考中的热点.笔者撷取部分题目，分类作出分析，供各位读者参考.
一、角在角内的旋转
例1
(2016年淄博中考题)如图1，正方形的对角线交于，点、分别为、边上的动点(不与点、、重合)，、分别交于点、，且始终不变.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)请探索:在旋转过程中，当等于多少度时，，写出你的探索结论，并加以说明.
分析
由和，可得，继而可证，所以，再根据，可得，进而可得，.
由于，又，而且，所以，又因为为等腰直角三角形，所以，所以.
在中，，所以，故，所以当时，.
注
本题首先要观察在围绕点旋转过程中两组始终相等的角，然后结合待证结论和题目隐含的条件证明，而且无论、怎样运动，和始终保持相似.这种相似也可称之为动态相似，动态相似是半角旋转现象的一个突出的特点，也是在解决这类问题中表现出的通性通法.通性通法是有效解题教学的根本保证.
例2
(2016年扬州中考题)已知正方形的边长为，一个以点为顶点的角
绕点旋转，角的两边分别与边、的延长线交于点、，连结，设，.
(1)如图2，当被对角线平分时，求、的值;
(2)当是直角三角形时，借助图3求、的值;
(3)如图4，探索绕点旋转的过程中、满足的关系式，并说明理由.
分析
当被对角线平分时，可证.当是直角三角形时，可分为两种情况:第一种，，可得，;第二种，，可得，.而在绕点旋转的过程中，都有，，即，故可得.
注
例2是在例1基础上，将、两点的活动范围扩大为在射线、上运动得到的.本题的解题突破口还是要找到半角旋转现象中始终相等的角，与例1不同的是，解决第(2)问用到全等而非形似，是增加条件“是直角三角形时”的特殊情况.而解决第(3)问则保持了与解决例1时相同的方法——动态相似.半角旋转作为一种广义数学结构、数学模型具有内部的等价性、关联性、差异性，研究其等价性和关联性有助于学生快速寻找解题思路.研究差异性，有助于学生迅速调整解题思路，避免进人思维定式，所以对半角旋转的精致研究不可或缺.
二、角在角内的旋转
例3
(2016年湘潭中考题)如图5.菱形，已知，，
的顶点在菱形对角线上运动，角的两边分别交、于点、.
(1)如图6，当顶点运动到与点重合时，求证:;
(2)知识探究:
①如图7，当顶点运动到中点时，探究、与的数量关系;
②在定点的运动过程中，若，请直接写出线段、与的数量关系(不需写出证明过程);
(3)问题解决:
如图8，已知菱形边长为，，，当时，求的长度.
分析
当顶点运动到与点重合时，可证，继而可得，所以;当顶点运动到中点时满足，其证明过程如下，过作交于，所以.由于，，，所以，所以.仿照此证法可得，在定点的运动过程中，若，则有.而当菱形边长为，，，且时，过作，垂足为，根据勾股定理，可求，，又.
注
本题中半角旋转所产生的是动态全等，而动态相似和动态全等产生的区别在于半角旋转所在的具体环境不同，也即半角旋转所附着的特殊图形的性质不一样，这是半角旋转差异性的具体表现.在解决问题时要及时察觉这些差异性，并由此而思考在解题方法上应该继续坚持什么，调整什么，这样才能发挥半角旋转模型的现实意义和数学价值.
例4
(2016年湖州中考题)数学活动课上，某学习小组对有一内角为的平行四边形(
)进行探究.将一块含的直角三角板如图放置在平行四边形所在平面内旋转，且角的顶点始终与点重合，较短的直角边分别交线段、于点、(不包括线段端点).
(1)初步尝试
如图9，若，求证:①;②
.
(2)类比发现
如图10，，过作于点，求证:;
(3)深入探究
如图11，若，探究得的值为常数，则
.
分析
若，四边形即为菱形，又因，所以，，又因为，而，可得就此可证，，所以.当时，过作于点，则可证.设，则，，由，可证，
继而有，若，过作，垂足为，过作垂足为，设，则，，.又因，所以，，，根据勾股定理，有，又因为，，所以，所以，.所以，，所以.
注
本题中通过控制特殊四边形一组临边比值的方式，让半角旋转现象所附着的数学背景图形条件不断减弱，在解题方法上呈现出由动态全等到动态相似的一系列变化.题干条件的变化对解题有一定影响，但是不影响通性通法的继承性，如通过第(2)问中要求“过作于点”，自然想到解决第(3)问也要构造同样的辅助线继续构造相似.就此也可以看出只有辩证的使用半角旋转现象才能有事半功倍的效果.