初中数学苏科版九下 构造一元二次方程巧求代数式的最值 教学案（含答案）

构造一元二次方程巧求代数式的最值
在数学竞赛中，我们经常会遇到求代数式的最值(最大值或最小值)问题，但被求最值的代数式又不是一般代数式，因而同学们都感到困难，觉的无从下手.对于这类问题，如果我们通过设元构造一元二次方程，或者根据题设条件利用根与系数的关系构造一元二次方程，利用一元二次方程的判别式便能巧妙的获解.下面举例说明.
例1
当变化时，分式的最小值是
.(1993年全国初中数学联赛试题)
解
设.由于.
.
整理，得.
为实数，.
整理，得，即.
由题设知，所以解得.
故分式的最小值是4.
例2
已知为常数，且，那么分式的最小值是
.
解
设，则有.
为实数，.
由于，所以.
所求分式的最小值为.
例3
设、为实数，那么的最小值是
.(1998年全国初中数学竞赛试题)
解
设，将其整理成关于的二次方程，得
.
为实数.
.
.
故所求代数式的最小值是－1.
例4
已知、、为实数，且.试求的最大值与最小值.(2004年全国希望杯初中数学邀请赛竞赛试题)
解
由，得，代入，得
.
将上式整理成关于的二次方程，得.
为实数，
，即.
解之得.
的最大值是，最小值是－1.
例5
已知、均为实数，且满足①,则代数式的最大值与最小值的和
.
解
设②.
①+②，得，即③.
①－②，得，即④.
由③、④可知、是二次方程的两个实数根.
.
整理，得，即.
解得.
代数式的最大值是3，最小值是.
故代数式的最大值与最小值的和是.
例6
已知，其中、是实数，则的最大值为
.
(1987年江苏省初中数学竞赛题)
解
由，得.
.
.
设①，代入上式，得，②.
由①、②知、是二次方程的两个实数根.
.
化简整理，得，故，即的最大值为2.