初中数学苏科版九下 解读相似三角形的一个基本模型 教学案（含答案）

解读相似三角形的一个基本模型
—“一线三等角”
相似三角形是初中几何中的核心模块，也是考查学生分析和解决问题等综合能力的重要载体.在解决问题时，我们要能从复杂的图形中分离和构造基本图形，从而将几何问题“模块”化，以提高解题效率.本文主要探究相似三角形的一个基本模型—“一线三等角”.
基本图形1
如图1，点v三点共线，，则∽
(证明略).
一、直接运用基本图形
例1
如图2，在矩形中，由8个边长均为1的正方形组成的“型”模板如图放置，则的长度为
.
解析
由基本图形1，可知
∽.
设,
则.
由,得，故.
由，得.
点评
由基本图形可知、、两两相似，又由于与的关系上升到全等，再通过相似及全等，就能找到边与边的数量关系，建立方程.
二、添加辅助线后运用基本图形
例2
在直角坐标系中，点是抛物线在第二象限上的点，连结，过点作
，交抛物线于点，以、为边构造矩形，如图3，当点的横坐标为时，求点的坐标.
解析
过点作轴于点，过点作轴于点,
则
令，则.
由基本图形1，得∽,.
代入得，解得:
(舍去)，,
点(2,4).
点评
解题关键是构造基本图形.
三、弱化条件“直角”，拓展甚本图形
如图4，弱化条件“直角”，仍有点、、三点共线，，那么∽成立吗
按照基本图形1的证明方法，结论仍然成立，于是得到第二个基本图形:
甚本圈形2
如图5，在中，是上一点，点、分别在、上，，则∽.(证明略)
变式1
甚本圈形3
当点与重合时，如图6，则∽
(证明略).
变式2
甚本图形4
当点为中点时，如图7，则∽∽
(证明略).
四、应用练习
1.等腰三角形底边上一线三等角
例3
如图8，在Rt中，，现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在中点处，三角板的直角边与线段、分别交于点、，设.
(1)试求与的函数关系式，并写出的取值范围;
(2)试判断与的大小关系 并说明理由;
(3)在三角板绕点旋转的过程中，能否成为等腰三角形 若能，求出对应
的值;若不能，请说明理由.
解析
(1)由基本图形4，可知∽.
则,即,
故;
(2)由基本图形4，可知∽,则与相等;
(3)①当时，,
由(2)得;
②当时，，
由(2)得,
点与点重合,;
③当时，,
由(2)得.
点评
本题第(1)问，本质是考查三角形相似，对应边成比例，将几何问题过渡到函数问题.第(2)问是对三角形相似判定的考查，也为第(3)问作铺垫.第(3)问有三种情况，具体在解决时可以利用第(2)问的结论，将问题转化到中这个有一定角，定边的三角形中.在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，形成等腰三角形，故以上题型在等腰梯形中也适用.
2.等腰梯形底边上一线三等角
例4
如图9，在等腰梯形中，，点、分别在边、上移动，且，则点移动过程中，线段长的最小值为
.
解析
由基本图形2
,
∽.
设，则,
,
当时，.
又当最大时，最小，
此时.
作于点，
.
3.函数问题中一线三等角
例5
如图10，已知直线与抛物线交于点.若点与抛物线上对称轴右侧的点，点在线段上(与点、不重合)，点是轴正半轴上的动点，且满足.试探究:
在什么范围时，符合条件的点的个数分别是1个、2个
解析
延长交轴于点.
设,
,
，即，
,
直线解析式为.
由，
解得(6,2).
由基本图形2，得
∽,.
设，则,
由，得，
，.
如图11，当时，，此时点只有一个;
当时，任取的一个值，都有两个值，此时点有两个.
点评
本题的解题核心是三角形相似，也考查了一次函数、勾股定理等重要知识，将所求解的问题转化为二次函数图象与性质问题是解题的关键.
五、归纳总结
由“一线三等角”基本模型搭建桥梁可以得到相似三角形，这类问题经常是以矩形、正方形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形为图形背景出现.在几何学习过程中，我们要学会归纳一些简单的基本模型，学会从复杂的图形里提炼基本模型，并将其作为解决问题的手段和方法.
分析问题时，首先由条件联想基本知识和基本模型，再从图形中寻找基本模型.若不能直接找到基本模型，则考察条件中是否含某个基本模型的一部分，然后根据条件或者结论思考怎样添加辅助线，构造出基本模型.利用这种思维方法分析问题，则可以把抽象的问题形象化，在解决问题时起到事半功倍的效果.