初中数学苏科版九下 绝对值化简问题的归类分析 教学案（含答案）

绝对值化简问题的归类分析
绝对值化简是初中数学中的难点之一，本文将此类问题大致归纳为以下十种情况，进行举例分析.
一、已知不等式的解集，化简绝对值
例1
已知:，化简:.
分析
要去掉题中绝对值，明确,的符号是关键.这里根据条件，运用不等式的性质就可以得出求出,的符号.根据不等式的性质2，由，得.又根据不等式的性质1，得，这就确定了的符号为负号.
同理，根据不等式的性质3，由，得.又根据不等式的性质1，得
，所以得出的符号为正号，这样就可以轻松化简.
解
，
,
原式=.
二、求出不等式的解集后，再化简绝对值
例2
已知，化简:.
分析
要去掉绝对值，就得知道,
的符号.要知道,
的符号就得知道的解集，要知道:的解集就要运用不等式的解法求出其解.求出的解集后，由例1的方法就可以确定,
的符号，进而化简绝对值.
解
由,
解得
，
原式
三、已知不等式的解集，化简多重绝对值
例3
已知，化简:
分析
要去掉绝对值符号，我们只能从最里面一层一层的去掉.先根据不等式的性质，用例1的方法判断的符号，去掉第一个绝对值，然后再合并同类项后判断符号，去掉第二个绝对值，最后去掉第三个绝对值.解答本题的关键是确定去绝对值符号的顺序.
解
原式
原式
原式
四、已知不等式组的解集，化简绝对值
例4
，化简:
分析
要去掉绝对符号，只要知道，的符号即可.但是与上面的例题的情况
不一样，这是不等式组的解集，该如何用呢 实际上只要我们按照不等式的性质代进去一试结论就有了.根据不等式的性质1，由，得.同样可以确定的符号为正号.又根据不等式的性质，由，得，可以确定的符号为负号.这样去绝对值符号就迎刃而解.
解
，
原式
五、解答不等式组，再化简绝对值
例5已知不等式组
化简
分析
要去掉绝对值同样得知道，的符号.运用解不等式组的方法求得的
解集是关键，最后运用例4的方法确定，的符号，就可以化简绝对值.
解
解不等式①，得.
解不等式②，得
，
原式
六、已知不等式组的解集，变形二次根式后再化简绝对值
例6已知，化简:
分析
本题涉及到了二次根式的性质，的运用.解答时先将二
次根式变形，进行第一次化简，再根据不等式的性质确定绝对值内的式子的符号，最后就可以化简绝对值.
解
原式
，
原式
七、解不等式组。再变形二次根式化简绝对值
例7已知
化简
分析
本题涉及了一元一次不等式组的解法，二次根式的性质的运用.解答时，先求出的解集，再将二次根式转化为绝对值，由不等式的性质确定绝对值内的代数式的符号，就可以由绝对值的性质化简.
解
原式
由不等式①，得.
解不等式②，得
，，
原式
八、由方程组的解建立不等式组，求出解集，再化简绝对值
例8已知关于、的方程组
的解满足，试化简：
分析
要去掉绝对值，得知道的解集.必须先求出二元一次方程组的解，由二元一次方程组的解建立不等式组，求出的解集，最后根据不等式的性质结合零点分段法分类讨论，确定，的符号，就可以化简绝对值.
解
由①+②，得
把③代人②，得
解得
当时，
原式
当时，
原式
九、由二次根式性质求不等式的解集，根据二次根式的性质变形为绝对值，再化简
例9已知、为实数，且，化简:.
分析
要解答此题，最终还是要化简绝对值.先根据二次根式的性质求出的解集;再将的被开方数写成完全平方公式的形式，由二次根式的性质将二次根式转化为绝对值;最后由不等式的性质确定绝对值里面的式子的符号即可.
解
由题意，得
，
原式
十、由二次根式的性质建立不等式组求出解集，再变形为绝对值化简
例10
化简:.
分析
要化简此题，需要运用二次根式的性质，变形，再运用隐含条件，建立不等式组求出的解集，并运用完全平方公式将二次根式变形后转化为绝对值.最后由不等式的性质判断绝对值里面的式子的符号，就可以去掉绝对值符号，进而达到化简目的.
解
由题意，得
解得
，
原式
综上，绝对值的化简问题一般与不等式或不等式组、二次根式等综合在一起，以增加化简的难度.但是无论怎样情形，万变不离其宗，只要大家熟练掌握不等式的性质、二次根式的性质和绝对值的性质，灵活运用这些性质进行变形、化简，确定绝对值内的代数式的符号，那么绝对值化简的问题也不难.
②
①
②
①
②