初中数学苏科版九下 例谈利用倒数法解题 教学案（含答案）

例谈利用倒数法解题
在解代数题时，有的问题直接求解非常困难，但根据题目的条件结构特征，可把相关式子“倒”过来，求其倒数，往往能够化繁为简、化难为易，此法称之为倒数法.现举例分享.
一、有理数的运算
例1
计算:
解
评析本题往往出现一种错误解法:
此法实际上是误认为除法也有分配律，显然错误.而本题若直接计算，则需要将括号内先通分、再计算，比较繁琐.
二、求代数式的值
例2
(2015年天水中考题)若，求的值.
解
即
评析
本题若直接求出的值，再由求根公式，得，此时计算量较大.通过观察，可将式子“倒”过来，然后再求的值，则只需要将已知条件等价变形就可以了.此题的解法实际上也体现了转化与化归及整体思想的运用.
三、比较大小
例3
比较和的大小.
解
而
评析
数的大小比较方法一般有:作差法、作商法、平方法等等，但都对此题不太适合.现将所求式子“倒”过来，式子结构看似复杂了，但是进一步进行分母有理化，可直接比较大小，形如与
(、、、为正数且)，都可使用倒数法比较大小.
4.
解方程组
例4
解方程组:
解
对三个方程分别取倒数，得
令，，
方程组可化为
解得
所以，原方程组的解是
评析
通过倒数法将原方程组进行简化(主要是对式子的分子与分母进行“降次”)，然后利用换元法，将分式方程组转化为熟悉的整式方程组(三元一次方程组)，顺利求解.