初中数学苏科版九下 例析求解一元二次方程的常见错误 教学案（含答案）

例析求解一元二次方程的常见错误
一元二次方程不但知识容量大，而且和其它知识点联系密切，因此不少同学在解这类题目时，往往会出现各种错误.下面举例剖析，以期引起同学们的注意.
一、忽视概念
例1
方程是一元二次方程吗
错解
是一元二次方程.因为这个整式方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，所以它是一元二次方程.
剖析
任何一个关于的方程，如果经过整理能化成的形式，那么它是一元二次方程.这里应特别注意这一条件.
正解
不是.因为此方程经过整理后变为，所以它是一元一次方程.
二、忽视等式基本性质
例2
方程的根是
.
错解
由已知得，两边同时除以，得.
剖析
等式基本性质明确规定，等式两边不能同时除以零.而方程中的可能为零.
正解
由,
得，，.
三、忽视有无实数根
例3
已知关于的方程与有一相同的实数根.求的值.
错解
设相同的实数根为，则
①
②
两式相减，得
,
,
或.
把代入②得.
剖析
当时，两个方程都变为，此方程没有实数根，所以.
四、忽视增根
例4
已知关于的方程有实数根，求的取值范围.
错解
原方程可以化为.
当时，解得;
当时，只要，方程有实数根解得且.
总之，当时，方程有实数根.
剖析
实际上，当时，是原方程的增根，所以的取值范围是且.
五、忽视两个相等的实数根不同于一个实数根
例5
为何值时，方程只有一个实数根，并求出这个实数根.
错解
将原方程去分母，得
①
,
即，时，方程有两个相等的实数根.把代入(1)得.
经检验是原方程的根.
剖析
当时，可以解得方程有两个相等的实数根，当方程的两个实数根中，一个是原方程的根，另一个是原方程的增根时，原分式方程只有一个实数根.由已知方程的分母可知道方程的增根是和，由此，可得如下解答.
当时，
由方程①得，另一个根为;
当时，
由方程①得，另一个根为.
六、忽视分类讨论
例6
已知关于的方程，其中为实数.为何值时，方程有实数根.
错解
由题意得且，解之得且时，方程有实数根.
剖析
此题没有明确说明方程一定是一元二次方程，故应分类讨论:
当时，原方程变为，;
当且时，即且，方程有实数根.
七、忽视隐含条件
例7
关于的方程有两个不相等的实数根，试求的取值范围.
错解
因为方程有两个不相等的实数根，所以，.
剖析
本题中要使有意义，则，所以的取值范围应是.
八、忽视不同字母的取值可能相等
例8
已知，，其中，均为实数，求的值.
错解
由已知，得
，.
∴和是方程的两根.
，.
.
剖析
本题忽视了和也可能相等导致错误.事实上，当时，
由和，
.
，或.