初中数学苏科版九下 例析坐标系中三角形周长最小值问题 教学案（含答案）

利“刃”在手亿“折”成“直”
—例析坐标系中三角形周长最小值问题
在近几年的各地中考中，与线段相关的最值问题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线.而其中以平面直角坐标系为载体来设计三角形周长最小值问题，更是中考命题所关注的热点之一本文以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，供参考.
1.三角形的三个顶点中仅有一个顶点是动点
例1
(2015年河南省，有改动)如图1，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点、间的一个动点(含端点)，过点作于点.点、的坐标分别为(0,6),(-4,0)，连接.是否存在点，使的周长最小 若存在，求出点的坐标;若不存在，请说明理由.
分析
存在.理由:易求抛物线的解析式为.设，
则，故,
的周长=.
如图2，过点作于点.当三点共线，即点为与抛物线的交点时，的值最小，此时，所以周长最小时点的坐标为(-4,6).
点评
本例三角形的三个顶点中，点为动点，点均为定点.由于的长为定值，欲使的周长最小，只需满足的值最小即可.进而利用“点运动的过程中，与的差为定值”这一有力武器，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”，最终借助“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”确定点的位置.
例2
(2012年山西省，有改动)如图3，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点.请在直线上找一点，使的周长最小，求出点的坐标.
分析
易知，故，直线的解析式为.
如图4，作点关于直线的对称点，连接,交于点，则即为符合题意的周长最小的三角形.(证明如下:不妨在直线上取异于点的任一点，连接.由对称性可知:，于是的周长=的周长=.而在中，，即，所以的周长大于的周长.)
若交于点，则
.
过点作轴于点，则，
，故,
易求直线的解析式为.
联立解方程组，得，所以点的坐标为.
点评
本例三角形的三个顶点中，点为动点，点、均为定点，且均位于动点所在直线的同一侧.通过寻找定点关于动点所在直线的对称点
,将问题转化为“求定直线上一动点与直线异侧两定点,的距离和的最小值”，从而可利用“三角形任意两边之和大于第三边”加似解决(当、、三点共线，即点为直线与直线的交点时，的值最小，此时的周长最小).
2.三角形的三个顶点中有两个顶点是动点
例3
(2013年湖南张家界，有改动)如图5，抛物线过点，顶点为，点在轴正半轴上，且.将直线绕点逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点，若点是线段上的动点，点是线段上的动点，问:在点和点移动过程中，的周长是否存在最小值 若存在，求出这个最小值;若不存在，请说明理由.
分析
存在.理由:如图6，分别作点关于直线轴的对称点，连接，交于点，交于点，则即为符合题意的周长最小的三角形，此时的周长等于线段的长.(证明如下:不妨在线段上取异于点的任一点，在线段上取异于点的任一点，连接.由轴对称的性质可知的周长=，而的值为折线段的长，由两点之间线段最短可知，即的周长大于的周长.)
如图6，过点作轴于点，过点作轴于点，则，可得，即.所以.
在Rt
中，.
所以，在点和点移动过程中，的周长存在最小值，最小值为.
点评
本例三角形的三个顶点中，点为定点，点、均为动点，且分别在定直线、上，通过寻找定点关于两个动点所在直线的对称点、，就得到由三条与三边分别相等的线段组成的折线，然后借助“两点之间线段最短”化“折”成“直”(当、、、四点共线，即点、分别为直线、与直线的交点时，的周长最小).
3.三角形的三个顶点都是动点
例4
(2015年辽宁沈阳，有改动)如图7，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点(点在点的左侧)，与轴交于点.若点是线段上的动点(点不与点、重合)，点是线段上的动点(点不与点、重合)点是线段上的动点(点不与点、重合)，请直接写出周长的最小值.
分析
易求，故
.
如图8，过点作于点，则
.
如图9，分别作点关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，则是过点的的内接三角形中周长最小的三角形，且的周长等于线段的长.
若交于点交于点，连接，则
，故.
连接，取的中点，连接，则，所以⊙为的外接圆，且点在⊙上.
延长交⊙于点，连接，则，所以的周长
.
如图10，当点与点重合时，的周长最小，最小值为.
点评
本例三角形的三个顶点均为动点，应采取“以退为进”的策略，即:先假设点的位置已经确定(即视点为一定点)，容易得出结论:待求三角形周长最小时，其周长等于线段的长，然后继续探究点的位置后，发现线段长度的最小值即为点到轴的距离.因为，所以为等腰三角形，且其顶角为定值.由于本例对解答过程不作要求，也可以根据“顶角为定值的等腰三角形底边长的最小值由腰长的最小值来确定”这一经验来判定点的位置.然而，对该例的思考却不止于此，我们还可以再进一步探索和和的位置关系.参考本例分析问题的方法，我们可以得出这样的结论:
为锐角三角形的三条高，以三个垂足为顶点的三角形即为周长最小的内接三角形证明留待读者自行完成.
通过上述问题的探究，我们可以发现，解决此类问题通常可以采取的策略是:把已知问题转化成容易解决的问题，即关联我们熟知的几何基本模型，构造一条以动点为转折点的折线，从而为性质的运用创造条件.如:解答例1时，需分析点在运动的过程中保持不变的关系，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外一定点的距离的最小值”问题，然后利用“垂线段最短”把折线化“折”成“直”.解答例2，例3时，则需牢牢抓住图形的几何特征，将问题转化为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离之和的最小值”问题，借助轴对称变换使两定点与定直线的位置关系发生改变，即化“同”为“异”，最后利用“三角形任意两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”把折线化“折”成“直”.例4题目的背景看似复杂，但图形上似乎可以捕捉到上述两个几何基本模型的“影子”，认清了这一点，便能使复杂问题简单化，迅速找到问题的突破口.在平面几何的教学中，教师要重视几何基本模型的提炼，帮助学生深刻领悟模型的本质特征，鼓励学生尝试从不同角度拓展模型，并在应用中彰显其魅力，从而促进学生解题经验的积累和思维水平的提升，真正提高学生的数学素养和解决问题的能力.