初中数学苏科版九下 两招破解“三根问题” 教学案（含答案）

两招破解“三根问题”
在初中数学中，我们常遇到关于方程有三个实数根的问题，尤其是绝对值方程的“三根问题”较多.解决这类问题常用两招:一是运用数形结合思想，构造函数，画图求解;二是运用转化思想，把问题转化为一元二次方程的根的判别式求解.
一、图象法
例1
关于的方程有三个不同的实数根，求实数的值.
分析
方程有三个不同的实数根，构造函数和，转化为这两个函数的图象有三个交点，观察图象得到的值.
解
作函数的图象如图1.
由图可知，当直线与轴重合时，即时两个函数的图象有3个交点,
∴当时，方程有三个不同的实数根.
例2
若关于，的方程组有三组相异的实数解，求实数的取值范围.
分析
方程组有三组相异的实数解，可转化为a为何值时，函数与的图象有三个不同的交点.
解
函数可化为
,
∴它的图象是图2中的折线.
∵直线过点，
∴满足题意的两种极端情况如下:
①当直线过图中点时，
，得;
②当直线平行于轴时，
由可知,
.
二、判别式法
例3
若、为实数，关于的方程有三个不等的实数根.
(I)求证:;
(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证:该三角形必有一个内角60°;
(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值
分析
(1)先去绝对值符号，原方程可化为两个方程;又因为原方程有三个根，所以两个方程中，必有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根;
(2)根据三角形三内角和为180°，以及一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和求出的值，然后确定三角形的内角;
(3)根据根与系数的关系，利用勾股定理进行计算，求出，的值.
解
(1)原方程化为
①
②
两方程的判别式分别为
,
.
∵原方程有三个根，
∴方程①、②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，
即、中必有一个大于0，一个等于0.
比较、，显然
∴，,
.
(2)设①的根为、，②的根为,
，,
.
即.
，.
三角形必有一个内角是60°
(3)由，得,
∴,
∴的根为.
解得，或.
当时，，不可能;
∴，.
三、拓展延伸
思考1
融会贯通——图象法与判别式法两法融合
例4
已知函数，且方程有三个不相等的实数根，求:
(1)m的值;
(2)三个实根的和.
解
(1)作函数与函数的图象如图3.
∴方程仅有一个解,
,
，或
(舍去),
.
(2)由得:
,
.
由得:,
.
∴三个实根的和是.
点评
此解法把图象法与判别式法结合使用，比较简捷地求出了的值.
思考2
殊途同归——判别式法和图象法灵活选用
例5
关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的值.
解法1
显然，否则方程不可能有三个不相等的实数解，方程化为
①
②
,
,
，.
∵所给方程有三个不等的实数解，
∴方程①有两个不等实数根，方程②有两个相等实数根，
,
解得.
解法2
作函数和的图象，如图4.
由图，可得.
点评
判别式法和图象法各有千秋，解题时可以根据题目具体情况灵活选用，
思考3
触类旁通——求解一根、四根
例6
方程恰有一实根，求实数的值.
分析
方程恰有一实根的情形有两种可能:方程为一元一次方程或为一元二次方程有等根.
解
若，即时:
①当时，原方程化为,
，恰有一个实根;
②当时，原方程化为，无解;
若，即时:
由,
解得，
与相矛盾，
∴当时，不会恰有一实根.
综上所述，当时，原方程恰有一个实根.
例7
已知关于的方程有四个不相等的实数根，求的取值范围.
解
作函数的图象和直线，如图5.
由图可知:当时，方程有四个不相等的实数根.
∴
点评
此题也可以去绝对值符号，把方程化为两个一元二次方程，用判别式法求解.