初中数学苏科版九下 浅谈画图过程中的解法生成 教学案（含答案）

浅谈画图过程中的解法生成
几何解题方法的产生，很大程度上取决于识图和构图能力.依据题意画图能够有效的帮助我们深刻领会题意，发现特殊图形及图形间的特殊关系，使问题变复杂为简单，变隐含为直观，从而获得解题思路.
一、挖掘基本图形，寻找解题思路
例1
(2016年三明中考题)如图1，在等边中，，点是边上的动点，点关于直线，的对称点分别为，,则线段长的取值范围是
.
解
如图1，依据题意画出图形:在边上的任取一动点，作出点关于直线，的对称点分别为，，连结.
设，则.
，
，
同理.
如图2，过点作交其延长线于点.在中，
在中，
，
点评
在初中阶段，解决线段的最值问题常用的方法有:垂线段最短;寻找动点的路径;利用函数的性质.本题在依据题意画图过程中出现了3个熟知的“特殊的三角形”;角的和，(其中).由这些熟悉的图形，自然想到与之有关联的知识:解直角三角形和勾股定理，通过将线段的长度用关系式表示出来，再利用函数的性质分别求出最大值和最小值.可见，在解决此类图形问题中，其核心要素是，善于从所给的图形中识别和构造出基本图形.
二、变复杂为简明.发现解题思路
例2
如图3，点是反比例函数在第一象限内图象上的点，作轴于点，过点的第一条直线交轴于点，交反比例函数图象于点，且，的面积记为;过点的第二条直线交轴于点，交反比例函数图象于点，且，的面积记为;过点的第三条直线交轴于点，交反比例函数图象于点，且，的面积记为;以此类推…则
.
解
如图3，先画出过点的第一条直线形成的.
由，得,
连结，,
；
根据题意画出第二条直线形成的，
同理可求；
以此类推，求出；…
点评
依据本题中的作图语句发现，每个三角形的产生方式都是雷同的，彼此互不影响，根据这一特征，先画出过点的第一条直线形成的，此时图形相对于原图变得简明，结合条件和结论求三角形的面积，此题可以归为“同底等高”类型的问题进行解决.可见，对于一些阅读量大，图形复杂的问题，若能依据题意分析图形间的联系，提炼出“基本模块”，将会大大降低问题的难度，为发现解题思路创造了良好的基础.
三、变抽象为形象.生成解题思路
例3
如图4，已知，将沿折叠，点落到点处，交于点，如图5.接着沿折叠，点恰好落在上的点处，如图6.若图6中，，试求图4中的度数.
解
如图7，将图5中的延长，以为圆心为半径画弧与延长线的交点即为点;以为圆心，长为半径画弧与的交点即为点.由翻折前后对应角相等，可得
在中，可求
点评
本题主要考查的是图形的翻折变换，这里已知条件在图6中，而要求的结论却在图4中，很难找出两者之间的关系.根据题意将2次操作的效果图组合到一张图形(图7)中，则便于寻找条件和结论隐含的关系，为生成解题思路提供直观的形象.
四、培养几何直觉，启发解题思路
例4
(2015年荆州中考题)如图8，，均是边长为2的等边三角形，点是边，的中点，直线，相交于点.当绕点旋转时，线段长的最小值是(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
解
根据题意画出准确图形，发现.通过旋转特殊角如60°或旋转90°等画图验证(如图8、图9)，发现依然保持90°.故可以猜想:当绕点旋转时，，点始终在以为直径的圆上.
如图10，以为直径作圆，圆心为，连结与⊙相交于点，线段的长即为线段长的最小值:
故选D.
点评
依据题意画图，在画直线、相交于点时，发现与保持垂直的特殊位置关系，为本题的解题思路的生成提供了启发，而这一结论本题的关键点也是难点.因此，我们在解决图形问题时，当解题思路受阻的情况下，可使用准确画图，进行操作测量的方法比逻辑推理更加直观、快捷、简单易行(事实上，尝试一些类似的问题，感觉比较有效).虽然这种方法存在一定的误差风险，但是通过画图可以帮助学生得到几何直观，得出一些不易觉察的特殊点、线和图形间的特殊关系等等，为其它解题思路的生成提供启发.
五、解题反思
心中有数不如笔下有图，我们在解题时依据题意把图画一遍，可帮助我们获得解题方法.
1.在概念、定理的教学中加强画图记忆
概念、定理是解决问题的依据，教学中要多多动手画定理图形(即将定理文字叙述的条件和结论借助有形的图形来描述)，长期反复的训练，可以帮助我们在深刻理解记忆定理的同时，在感性上形成了定理图形表像(即心智图象).画基本定理的图形，有助于我们在复杂图形中感知(或构造)原型，受到启发，从而回忆定理，捕捉解题的信息.
2.在解题训练中加强画图提炼“基本图形”
初中阶段中几何问题的解决策略很多都是建立在寻找和构造基本图形的基础上的.这些图形及其结论，往往是解题过程中待证的中间结论，或者说是成功解题的过渡性条件.我们在解题过程中要一边读题一边画图，在读和画的同时对所给信息进行提炼、加工，积累看图经验.解题结束之后还要加强反思，并加以总结，强化对基本图形的把握和提炼，为解法的自然生成结累经验.
3.在操作中加强画图技巧和想象能力
运动型问题一直都是中考的热点和难点.难在何处 主要是缺乏想象力，不能画出符合题意的图形.掌握五大基本作图是解题的基本功，对于运动型问题多动手操作，根据操作画出图形.在亲历画图的过程中，就会逐步将外部的几何知识内化到自身的知识结构中，从而提高自身的画图能力和想象能力.
总之，画图不仅仅是一种技能，更是观察、操作、思考的过程.只有真正明白一个图形是怎么作出来的，才能真正理解题意，读懂图形，才能从中捕捉到图形的本质特征，找到解法生成的思路.