专题1.7 用样本的频率分布估计总体分布（同步学案）-2016-2017学年高一数学同步精品课堂（提升版）（新人教A版必修3）

【教学目标】
1．理解用样本的频率分布估计总体分布的方法．
2．会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图．
3．能够利用图形解决实际问题．
【教法指导】
本节重点是频率分布直方图、频率分布折线图的意义；难点是应用频率分布直方图估计总体的分布；
本节知识的主要学习方法是
：动手与观察，思考与交流，归纳与总结.加强新旧知识之间的联系，培养自己分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法.
【教学过程】
课本导读
1.用样本估计总体的两种情况
(1)用样本的频率分布估计总体分布．
(2)用样本的数字特征估计总体数字特征．
2.数据分析的基本方法
(1)借助于图形
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，此法可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息．
(2)借助于表格
分析数据的另一方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式，此法是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式
3.作频率分布直方图的步骤
(1)求极差：即一组数据中最大值和最小值的差；
(2)决定组距与组数：将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚地呈现出来．这时应注意：①一般样本容量越大，所分组数越多；②为方便起见，组距的选择应力求“取整”；③当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5～12组．
(3)将数据分组：按组距将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间．
(4)
列频率分布表．一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计．其中频率合计应是样本容量，频率合计是1.
(5)画频率分布直方图．画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示频率/组距．其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积；即每个小长方形的面积＝组距×＝频率．
想一想：将数据的样本进行分组的目的是什么？
提示
从样本中的一个个数字中很难直接看出样本所包含的信息，通过分组，并计算其频率，目的是通过描述样本数据分布的特征估计总体的分布情况。
4.频率分布折线图与总体密度曲线
(1)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
(2)在样本频率分布直方图中，当样本容量逐渐增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．
5.茎叶图
(1)定义：顾名思义，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，中间的数字表示十位数，旁边的数字表示个位数．
(2)茎叶图的优点与不足
①优点：一是原始数据信息在图中能够保留，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．
②不足：当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便．
6．关于频率分布直方图的理解
(1)图中每个小长方形的面积表示相应各组的频率，
(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1.
(3)同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到图的形式也不一样，不同的形状给人不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断．
(4)频率分布图(表)能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数，而频率分布直方图则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度来表示数据分布的规律，它可以使我们看到整个样本数据的频率分布．
7.列频率分布直方图的步骤及注意事项
(1)步骤：①计算数据中最大值和最小值的差，知道了极差就知道了这组数据的变动范围有多大．②决定组数和组距．组距是指每个小组的两个端点之间的距离．③决定分点．④列频率分布表．⑤绘制频率分布直方图．
(2)注意事项：①组距的选择应力求“取整”，如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左、右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．
②分点数的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是小数点后一位的数，则分点减去0.05，以此类推．
8.几种表示频率分布的方法的优点与不足
(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势时不太方便．
(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在频率分布表中看不清楚的数据模式．例如，从教材中调查100位居民的月均用水量的问题所示的图中可以清楚地看到，居民月均用水量的分布是“山峰”状的，而且是“单峰”的，另外还有一定的对称性．这说明，大部分居民的月均用水量集中在一个中间值附近，只有少数居民的月均用水量很多或很少．但是从频率分布直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说，把数据表示成频率分布直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了．
(3)频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势．如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体密度曲线．
(4)用茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从这个茎叶图中得到．二是茎叶图便于记录和表示数据，能够展示数据的分布情况．但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．
题型一　频率分布直方图的绘制
例1、一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.375，则该组样本的频数为(
)
（A）4
（B）8
（C）12
（D）16
2、调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据(单位：cm)如下：
171　163　163　166　166　168　168　160　168　165
171　169　167　169　151　168　170　168　160　174
165　168　174　159　167　156　157　164　169　180
176　157　162　161　158　164　163　163　167　161
(1)作出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
探究一：通过本例题让学生理解画频率分布直方图的步骤及规律方法：
步骤：1.求极差；2.决定组距与组数；3.数据分组；4.列频率分布表；5.画频率分布直方图.　
规律方法：1.解决此类问题的关键是绘制频率分布表，在绘制频率分布表时要体现分组的合理性，针对具体问题具体分析，体会组数太多或太少对处理问题的影响．2.如果极差不利于分组(如不能被组数整除)，可适当增大极差，如在左右两端各增加适当范围(尽量使两端增加的量相同)．
思考题一、
1.如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数为(
)
（A）20
（B）30
（C）40
（D）50
2、有一容量为200的样本，数据的分组以及各组的频数如下：
－20，－15)，7；－15，－10)，11；－10，－5)，15；－5，0)，40；0，5)，49；5，10)，41；10，15)，20；15，20]，17．
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)求样本数据不足0的频率．
【解析】　(1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
－20，－15)
7
0．035
－15，－10)
11
0．055
－10，－5)
15
0．075
－5，0)
40
0．2
0，5)
49
0．245
5，10)
41
0．205
10，15)
20
0．1
15，20]
17
0．085
合计
200
1．00
(2)频率分布直方图和频率分布折线图如图所示：
(3)样本数据不足0的频率为：
0．035＋0．055＋0．075＋0．2＝0．365．
题型二　茎叶图及其应用
例2（1）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(
)
A、91.5和91.5
B、91.5和92
C、91和91.5
D
、92和92
（2）某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：
甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
探究二：让学生理解画茎叶图的规律方法.
规律方法：茎叶图在样本数据较少，较为集中且位数不多时比较适用．由于它较好地保留了原始数据，所以可以帮助分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征．
思考题二：
（1）、如图是2016年青年歌手大奖赛中七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(图中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有(　　)
A．a1＞a2
B．a2＞a1
C．a1＝a2
D．a1，a2的大小与m的值有关
【解析】　根据茎叶图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，甲的平均分为
a1＝80＋＝84，乙的平均分为a2＝80＋＝85，故a2＞a1．
【答案】　B
（2）、甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩(单位：分)如下：
甲组：76
90
84
86
81
87
86
82
85
83
乙组：82
84
85
89
79
80
91
89
79
74
用茎叶图表示两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些．
有集中在茎8上，从叶在茎上的分布情况看，甲组的成绩更整齐一些．
随堂测评
1、一个容量为20的样本数据，分组及各组的频数如下：
10，20)，2；20，30)，3；30，40)，4；40，50)，5；50，60)，4；60，70]，2．则样本在区间20，60)上的频率是(　　)
A．0．5　　　　　　　
B．0．6
C．0．7
D．0．8
【解析】　频率＝＝＝＝0．8．
【答案】　D
2、为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况与频数如下：10.75,10.85)，3；10.85,10.95)，9；10.95,11.05)，13；11.05,11.15)，16；11.15,11.25)，26；11.25,11.35)，20；11.35,11.45)，7；11.45,11.55)，4；11.55,11.65]，2
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图以及频率分布折线图；
(3)据上述图表，估计数据落在10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几；
(4)数据小于11.20的可能性是百分之几．
3、(2009·安徽高考)某良种培育基地正在培育一种小麦新品种A.将其与原有的一个优良品种B进行对照试验．两种小麦各种植了25亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：
品种A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,
434,
443,445,445,451,454
品种B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,
415,416,422,430
(1)完成数据的茎叶图；
(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？
(3)通过观察茎叶图，对品种A与B的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论．
4、为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5～18岁的男生的体重(kg)
,得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在56.5～64.5
kg的学生人数是(
)
（A）20
（B）30
（C）40
（D）50
5、(2012·盐城高一检测)为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
6、从甲、乙两个品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271
273
280
285
285
287
292
294
295
301
303
303
307
308
310
314
319
323
325
325
328
331
334
337
352
乙品种：284
292
295
304
306
307
312
313
315
315
316
318
318
320
322
322
324
327
329
331
333
336
337
343
356
根据以上茎叶图，对甲、乙两个品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①___________________________________________;
②___________________________________________.
7、（2012·广东高考改编）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50～60,60～70,70～80,80～90,90～100.
①求图中α的值.
②根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分.
③若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在50～90之外的人数.
分数段
50~60
60~70
70~80
80~90
x:y
1:1
2:1
3:4
4:5
课堂小结:
表示样本分布的方法：
（1）频率分布表
（2）频率分布图（包括直方图和条形图）
（3）频率分布折线图
（4）茎叶图
作业：
课后习题