第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
第1讲 函数及其表示
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·宜春质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是
( )
A．[－3,1]
B．(－3,1)
C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析 使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
答案 D
2．(2017·衡水中学月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：
映射f的对应法则
x
1
2
3
4
f(x)
3
4
2
1
21世纪教育网21世纪教育网映射g的对应法则
x
1
2
3
4
g(x)
4
3
1
2
则f[g(1)]的值为
( )
A．1
B．2
C．3
D．4解析 由映射g的对应法则，可知g(1)＝4，
由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1.
答案 A
3．已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝
( )
A．x＋1
B．2x－1
C．－x＋1
D．x＋1或－x－1
解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f[f(x)]＝x＋2，
得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2.
∴k2＝1，且kb＋b＝2，解得k＝b＝1.
答案 A
4．(2017·衡阳八中一模)f(x)＝则f＝
( )
A．－2
B．－3
C．9
D．－9
解析 ∵f＝log3＝－2，
∴f＝f(－2)＝－2＝9.
答案 C
5．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为
( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝
解析 取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D；若x＝57，则y＝6，排除A，选B.
答案 B
6．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg
x的定义域和值域相同的是
( )
A．y＝x
B．y＝lg
x
C．y＝2x
D．y＝
解析 函数y＝10lg
x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lg
x的值域为R，排除B，故选D.
答案 D
7．(2016·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.
若f＝f，则f(5a)的值是
( )
A.
B.
C．－
D.
解析 由题意f＝f＝－＋a，
f＝f＝＝，
∴－＋a＝，则a＝，
故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.
答案 C
8．(2017·铜陵一模)设P(x0，y0)是函数f(x)图像上任意一点，且y≥x，则f(x)的解析式可以是
( )
A．f(x)＝x－
B．f(x)＝ex－1
C．f(x)＝x＋
D．f(x)＝tan
x
解析 对于A项，当x＝1，f(1)＝0，此时02≥12不成立．对于B项，取x＝－1，f(－1)＝－1，此时2≥(－1)2不成立．在D项中，f＝tanπ＝1，此时12≥2不成立．∴A，B，D均不正确．选C.事实上，在C项中，对任意x0∈R，y＝2有y－x＝＋8>0，有y≥x成立．
答案 C
二、填空题
9．(2016·江苏卷)函数y＝的定义域是________．
解析 要使函数有意义，则3－2x－x2≥0，∴x2＋2x－3≤0，解之得－3≤x≤1.答案 [－3,1]
10．已知函数f(x)＝则f＝________.
解析 ∵f＝－tan＝－1.
∴f＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
答案 －2
11．已知函数f(x)满足f＝log2，则f(x)的解析式是________．
解析 根据题意知x>0，所以f＝log2x，则f(x)＝log2＝－log2x.
答案 f(x)＝－log2
x
12．设函数f(x)＝则使f(x)＝的x的集合为________．
解析 由题意知，若x≤0，则2x＝，解得x＝－1；若x>0，则|log2x|＝，解得x＝2或x＝2－，故x的集合为.
答案
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13．(2015·湖北卷)设x∈R，定义符号函数sgn
x＝则
( )
A．|x|＝x|sgn
x|
B．|x|＝xsgn|x|
C．|x|＝|x|sgn
x
D．|x|＝xsgn
x
解析 当x>0时，|x|＝x，sgn
x＝1，则|x|＝xsgn
x；
当x<0时，|x|＝－x，sgn
x＝－1，则|x|＝xsgn
x；
当x＝0时，|x|＝x＝0，sgn
x＝0，则|x|＝xsgn
x.
答案 D
14．设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是
( )
A.
B．[0,1]
C.
D．[1，＋∞)
解析 由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥.
答案 C
15．函数f(x)＝ln＋的定义域为________．
解析 要使函数f(x)有意义，则 0
答案 (0,1]
16．(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．
解析 ∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg
10＝1，
∴f(f(－3))＝f(1)＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时，取等号，此时f(x)min＝2－3<0；
当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg
1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为2－3.
答案 0 2－3第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2017·肇庆三模)在函数y＝xcos
x，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsin
x中，偶函数的个数是
( )
A．3
B．2
C．1
D．0
解析 y＝xcos
x为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与y＝xsin
x为偶函数．
答案 B
2．(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是
( )
A．奇函数，且在(0,1)内是增函数
B．奇函数，且在(0,1)内是减函数
C．偶函数，且在(0,1)内是增函数
D．偶函数，且在(0,1)内是减函数
解析 易知f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数，
又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0,1)上是增函数，
所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0,1)上是增函数．
答案 A
3．已知函数f(x)＝x，若f(x1)( )
A．x1>x2
B．x1＋x2＝0
C．x1D．x解析 ∵f(－x)＝－x＝f(x)．
∴f(x)在R上为偶函数，f′(x)＝ex－＋x，
∴x>0时，f′(x)>0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
由f(x1)∴|x1|<|x2|，∴x答案 D
4．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于
( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析 由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有解得g(1)＝3.
答案 B
5．(2017·西安一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为
( )
A．2
B．1
C．－1
D．－2
解析 ∵f(x＋1)为偶函数，
∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，
又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.
从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4.
∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.
答案 A
二、填空题
6．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
解析 由于f(－x)＝f(x)，
∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，
化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，
∴a＝－.
答案 －
7．(2017·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.
解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin
＝.
答案
8．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，则满足f(x)>0的x的集合为________．
解析 由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f＝0，
∴f(x)>0时，x>或－答案
三、解答题
9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
解 (1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．
又f(x)的定义域为R，
∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图像知所以1故实数a的取值范围是(1,3]．
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2017·南昌一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为
( )
A．(－1,4)
B．(－2,0)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，
∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，
解得－1答案 A
12．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2
015)＋f(2
016)＝
( )
A．0
B．2
C．3
D．4
解析 y＝f(x－1)的图像关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图像关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，
令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，
∴f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，
则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，
即f(x＋2)＝f(x)，
则函数的周期是2，又f(0)＝2，
则f(2
015)＋f(2
016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.
答案 B
13．(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．
解析 因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，
∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点有7个．
答案 7
14．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．
解 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如下图所示．
当－4≤x≤4时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.第2讲 函数的单调性与最大(小)值
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为
( )
A．－2
B．2
C．－6
D．6
解析 由图像易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是[－，＋∞)，令－＝3，∴a＝－6.
答案 C
2．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是
( )
A．y＝
B．y＝cos
x
C．y＝ln(x＋1)
D．y＝2－x
解析 ∵y＝与y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数，且y＝cos
x在(－1,1)上不具备单调性．∴A，B，C不满足题意．只有y＝2－x＝x在(－1,1)上是减函数．
答案 D
3．定义新运算“ ”：当a≥b时，a b＝a2；当a( )
A．－1
B．1
C．6
D．12
解析 由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
答案 C
4．已知函数y＝f(x)的图像关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为
( )
A．cB．bC．bD．a解析 ∵函数图像关于x＝1对称，∴a＝f＝f，又y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴f(2)答案 B
5．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当f(x)＋f(x－8)≤2时，x的取值范围是
( )
A．(8，＋∞)
B．(8,9]
C．[8,9]
D．(0,8)
解析 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x－8)≤2，可得f[x(x－8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有解得8答案 B
二、填空题
6．(2017·郑州模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
解析 由题意知g(x)＝
函数的图像如图所示的实线部分，根据图像，g(x)的减区间是[0,1)．
答案 [0,1)
7．(2017·南昌调研)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．
解析 由于y＝x在R上递减，y＝log2(x＋2)在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.
答案 3
8．(2017·潍坊模拟)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析 作出函数f(x)的图像如图所示，由图像可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
答案 (－∞，1]∪[4，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
(1)证明 设x2>x1>0，则x2－x1>0，x1x2>0，
∵f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，
∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)解 ∵f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，
∴f＝，f(2)＝2，易知a＝.
10．已知函数f(x)＝2x－的定义域为(0,1](a为实数)．
(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的值域；
(2)求函数y＝f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝2x－，任取1≥x1＞x2＞0，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－
＝(x1－x2).
∵1≥x1＞x2＞0，∴x1－x2＞0，x1x2＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．
(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0,1]上单调递增，无最小值，当x＝1时取得最大值2－a；
当a＜0时，f(x)＝2x＋，
当≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0,1]上单调递减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
当＜1，即a∈(－2,0)时，y＝f(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x＝时取得最小值2.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2017·郑州质检)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝
( )
A．4
B．2
C.
D.
解析 当a>1，则y＝ax为增函数，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，
此时g(x)＝－在[0，＋∞)上为减函数，不合题意．
当0有a－1＝4，a2＝m，此时a＝，m＝.
此时g(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．故a＝.
答案 D
12．(2017·枣阳第一中学模拟)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为
( )
A．[0,3]
B．(1,3)
C．[2－，2＋]
D．(2－，2＋)
解析 由题可知f(x)＝ex－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，
若f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1,1]，
即－b2＋4b－3>－1，即b2－4b＋2<0，
解得2－所以实数b的取值范围为(2－，2＋)．
答案 D
13．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
解析 依题意，h(x)＝
当0当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，
∴h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
答案 1
14．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解 (1)由x＋－2＞0，得＞0，
当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，
当a＝1时，定义域为{x|x＞0且x≠1}，
当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}．
(2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，
∴g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数．
则f(x)min＝f(2)＝ln.
(3)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．
由于h(x)＝－2＋在[2，＋∞)上是减函数，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞).第4讲 二次函数的再研究与幂函数
基础巩固题组(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2017·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为
( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
解析 因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1,1,3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1,3.
答案 A
2．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则
( )
A．a>0,4a＋b＝0
B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0
D．a<0,2a＋b＝0
解析 因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图像应开口向上，即a>0，且其对称轴为x＝2，即－＝2，所以4a＋b＝0.
答案 A
3．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图像可能是
( )
解析 若a<0，由y＝xa的图像知排除C，D选项，由y＝ax＋的图像知应选B；若a>0，y＝xa的图像知排除A，B选项，但y＝ax＋的图像均不适合，综上选B.
答案 B
4．若函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于
( )
A．－1
B．1
C．2
D．－2
解析 ∵函数f(x)＝x2－ax－a的图像为开口向上的抛物线，
∴函数的最大值在区间的端点取得，
∵f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
∴或解得a＝1.
答案 B
5．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，－2)
B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞)
D．(－∞，－6)
解析 不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，
令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，
所以f(x)答案 A
二、填空题
6．已知P＝，Q＝3，R＝3，则P，Q，R的大小关系是________．
解析 P＝＝3，根据函数y＝x3是R上的增函数，且>>，得3>3>3，即P>R>Q.
答案 P>R>Q
7．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是________．
解析 由f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2] [a，＋∞)，∴a≤1.
∵y＝在(－1，＋∞)上为减函数，
∴由g(x)＝在[1,2]上是减函数可得a>0，
故0答案 (0,1]
8．已知函数y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________．
解析 当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，
∵x∈，
∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，
∴m≥1，n≤0，m－n≥1.∴m－n的最小值是1.
答案 1
三、解答题
9．已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)的图像经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解 幂函数f(x)的图像经过点(2，)，
∴＝2(m2＋m)－1，即＝2(m2＋m)－1.
∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.
又∵m∈N＋，∴m＝1.∴f(x)＝，
则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
由f(2－a)>f(a－1)得
解得1≤a<.∴a的取值范围为.
10．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
对称轴x＝－∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f＝－－3＝－，
f(x)max＝f(3)＝15，∴值域为.
(2)对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，
f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－满足题意；
②当－>1，即a<－时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1满足题意．综上可知，a＝－或－1.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2016·浙江卷)已知函数f(x)＝x2＋bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件解析 ∵f(x)＝x2＋bx＝2－，当x＝－时，f(x)min＝－.
又f(f(x))＝(f(x))2＋bf(x)＝2－，当f(x)＝－时，f(f(x))min＝－，当－≥－时，f(f(x))可以取到最小值－，即b2－2b≥0，解得b≤0或b≥2，故“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件．
答案 A
12．(2017·合肥期中测试)函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足>0，若a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值
( )
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
解析 依题意，幂函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴解得m＝2，则f(x)＝x2
015.
∴函数f(x)＝x2
015在R上是奇函数，且为增函数．
由a＋b>0，得a>－b，
∴f(a)>f(－b)，则f(a)＋f(b)>0.
答案 A
13．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______．
解析
作出函数y＝f(x)的图像如图．则当0答案 (0,1)
14．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，
F(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；
(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．
解 (1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，
解得a＝1，b＝2，∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.
(2)由a＝1，c＝0，得f(x)＝x2＋bx，
从而|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x2＋bx≤1在区间(0,1]上恒成立，
即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．
又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.
∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0].