第3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词
“且”“或”“非”
基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．已知命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为
( )
A．所有的指数函数都不是单调函数
B．所有的单调函数都不是指数函数
C．存在一个指数函数，它不是单调函数
D．存在一个单调函数，它不是指数函数
解析 命题p：所有指数函数都是单调函数，则綈p为：存在一个指数函数，它不是单调函数，故选C.
答案 C
2．设命题p：函数y＝sin
2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos
x的图像关于直线x＝对称．则下列判断正确的是
( )
A．p为真
B．綈p为假
C．p且q为假
D．p且q为真
解析 p为假命题，q为假命题，∴p且q为假．
答案 C
3．2016年巴西里约奥运会，在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加．设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为
( )
A．(綈p)或(綈q)
B．p或(綈q)
C．(綈p)且(綈q)
D．p或q
解析 命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为(綈p)或(綈q)．或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p且q”的否定．选A.
答案 A
4．(2017·西安调研)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是
( )
A．p且(綈q)
B．(綈p)且q
C．(綈p)且(綈q)
D．p且q
解析 由题意知命题p是真命题，命题q是假命题，故綈p是假命题，綈q是真命题，由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p且(綈q)是真命题．
答案 A
5．下列命题中，真命题是
( )
A．存在x0∈R，ex0≤0
B．任意x∈R,2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件
解析 因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确．
因为当x＝－5时，2－5<(－5)2，所以B不正确．
“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确．
当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确．
答案 D
6．命题p：任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若綈p是真命题，则实数a的取值范围是
( )
A．(0,4]
B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞)
D．(－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p：任意x∈R，ax2＋ax＋1≥0，
所以命题綈p：存在x0∈R，ax＋ax0＋1<0，
则a<0或解得a<0或a>4.
答案 D
7．(2016·咸阳模拟)已知命题p：存在α∈R，cos(π－α)＝cos
α；命题q：任意x∈R，x2＋1>0.则下面结论正确的是
( )
A．p且q是真命题
B．p且q是假命题
C．綈p是真命题
D．綈q是真命题
解析 对于p：取α＝，则cos(π－α)＝cos
α，
所以命题p为真命题；
对于命题q：∵x2≥0，∴x2＋1>0，所以q为真命题．由此可得p且q是真命题．答案 A
8．(2017·江西赣中南五校联考)已知命题p：存在x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0，命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p且q为假命题，则实数m的取值范围为
( )
A．[2，＋∞)
B．(－∞，－2]∪(－1，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D．(－1,2]
解析 由命题p：存在x∈R，(m＋1)(x2＋1)≤0可得m≤－1；由命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，可得－2
因为p且q为假命题，所以命题p，q中至少有一个为假命题，所以m≤－2或m>－1.
答案 B
二、填空题
9．命题“存在x0∈，tan
x0>sin
x0”的否定是________．
答案 任意x∈，tan
x≤sin
x
10．若命题“存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵“存在x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，
∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，
∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1.
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
11．(2017·石家庄调研)已知下列四个命题：
①“若x2－x＝0，则x＝0或x＝1”的逆否命题为“x≠0且x≠1，则x2－x≠0”
②“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
③命题p：存在x0∈R，使得x＋x0＋1<0，则綈p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0
④若p且q为假命题，则p，q均为假命题
其中为真命题的是________(填序号)．
解析 显然①③正确．②中，x2－3x＋2>0 x>2或x<1.
∴“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，②正确．
④中，若p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题，④错误．
答案 ①②③
12．已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“存在x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 若命题“p且q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由任意x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由存在x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，得a≤4，因此e≤a≤4.
答案 [e,4]
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13．(2016·浙江卷)命题“任意x∈R，存在n∈N＋，使得n≥x2”的否定形式是
( )
A．任意x∈R，存在n∈N＋，使得nB．任意x∈R，任意n∈N＋，使得nC．存在x∈R，存在n∈N＋，使得nD．存在x0∈R，任意n∈N＋，使得n解析 改变量词，否定结论．
∴綈p应为：存在x0∈R，任意n∈N＋，使得n答案 D
14．(2017·西安铁中质检)已知命题p：任意x∈R，x＋≥2；命题q：存在x0∈(0，＋∞)，x＞x，则下列命题中为真命题的是
( )
A．(綈p)且q
B．p且(綈q)
C．(綈p)且(綈q)
D．p且q
解析 对于p：当x＝－1时，x＋＝－2，∴p为假命题．取x0∈(0,1)，此时x＞x，∴q为真命题．
从而綈p为真命题，(綈p)且q为真命题．
答案 A
15．(2016·沈阳九校联考)下列判断错误的是________(填序号)．
①若p且q为假命题，则p，q至少有一个为假命题
②命题“任意x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“存在x0∈R，x－x－1>0”
③“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题解析 显然命题①，②是真命题．
③中，当向量c＝0，命题是假命题．
答案 ③
16．已知命题p：存在x∈R，ex－mx＝0，q：任意x∈R，x2－2mx＋1≥0，若p或(綈q)为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析 若p或(綈q)为假命题，则p假q真．
由ex－mx＝0得m＝，设f(x)＝，
则f′(x)＝＝.
当x＞1时，f′(x)＞0，此时函数单调递增；
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时函数单调递减；
当x＜0时，f′(x)＜0，此时函数单调递减．
由f(x)的图像及单调性知当x＝1时，f(x)＝取得极小值f(1)＝e，所以函数f(x)＝的值域为(－∞，0)∪[e，＋∞)，所以若p是假命题，则0≤m＜e；
命题q为真命题时，有Δ＝4m2－4≤0，则－1≤m≤1.
所以当p或(綈q)为假命题时，m的取值范围是[0,1]．
答案 [0,1]第一章
集合与常用逻辑用语
第1讲
集合
基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( )
A．A＝B
B．A∩B＝
C．AB
D．BA
解析 ∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴2,3∈A且2,3∈B，1∈A但1 B，∴B?A.
答案 D
2．(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2<9}，则A∩B＝( )
A．{－2，－1,0,1,2,3}
B．{－2，－1,0,1,2}
C．{1,2,3}
D．{1,2}
解析 由于B＝{x|x2<9}＝{x|－3答案 D
3．(2017·宝鸡模拟)已知集合A＝{x|lg
x>0}，B＝{x|x≤1}，则( )
A．A∩B≠
B．A∪B＝R
C．B A
D．A B解析 由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg
x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.
答案 B
4．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1]
B．[1，＋∞)
C．[－1,1]
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 因为P∪M＝P，所以M P，即a∈P，
得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．
答案 C
5．(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1，＋∞)
D．(0，＋∞)
解析 由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞)．
又B＝{x|x2－1<0}＝(－1,1)．
因此A∪B＝(－1，＋∞)．
答案 C
6．(2016·浙江卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，则( UP)∪Q＝( )
A．{1}
B．{3,5}
C．{1,2,4,6}
D．{1,2,3,4,5}
解析 ∵U＝{1,2,3,4,5,6}，P＝{1,3,5}，∴ UP＝{2,4,6}，∵Q＝{1,2,4}，∴( UP)∪Q＝{1,2,4,6}．答案 C
7．若x∈A，则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1
B．3
C．7
D．31
解析 具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，.
答案 B
8．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0}
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0解析
∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图．
∴ U(A∪B)＝{x|0答案 D
二、填空题
9．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1 A，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵1 {x|x2－2x＋a>0}，
∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.
答案 (－∞，1]
10．(2016·天津卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝________.
解析 由A＝{1,2,3}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5}，因此A∩B＝{1,3}．
答案 {1,3}
11．集合A＝{x|x<0}，B＝{x|y＝lg[x(x＋1)]}，若A－B＝{x|x∈A，且x B}，则A－B＝________.
解析 由x(x＋1)>0，得x<－1或x>0，
∴B＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
∴A－B＝[－1,0)．
答案 [－1,0)
12．(2017·合肥质检)已知集合A＝{x|x2－2
016x－2
017≤0}，B＝{x|x解析 由x2－2
016x－2
017≤0，得A＝[－1,2
017]，
又B＝{x|x所以m＋1>2
017，则m>2
016.
答案 (2
016，＋∞)
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13．(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则( RS)∩T＝( )
A．[2,3]
B．(－∞，－2)∪[3，＋∞)
C．(2,3)
D．(0，＋∞)
解析 易知S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴ RS＝(2,3)，
因此( RS)∩T＝(2,3)．
答案 C
14．(2016·黄山模拟)集合U＝R，A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A．{x|x≥1}
B．{x|1≤x<2}
C．{x|0D．{x|x≤1}
解析 易知A＝(－1,2)，B＝(－∞，1)，∴ UB＝[1，＋∞)，A∩( UB)＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A∩( UB)＝{x|1≤x<2}．
答案 B
15．(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A＝，B＝{x|y＝ln(x2－3x)}，则A∩B中元素的个数是________．
解析 由≤2x≤16，x∈N，
∴x＝0,1,2,3,4，即A＝{0,1,2,3,4}．
又x2－3x>0，知B＝{x|x>3或x<0}，∴A∩B＝{4}，即A∩B中只有一个元素．
答案 1
16．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.
解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5由A∩B＝(－1，n)可知m<1，
则B＝{x|m所以m＋n＝0.
答案 0第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．(2015·山东卷)设m∈R,
命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是
( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
解析 根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．
答案 D
2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的
( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析 因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．答案 A
3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，则“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 m?α，m∥β
α∥β，但mα，α∥β m∥β，∴“m∥β”是“α∥β
”的必要不充分条件．
答案 B
4．(2017·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin
x－＋a为奇函数”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 显然a＝0时，f(x)＝sin
x－为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.
又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin
x－＋a＝0.
因此2a＝0，故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．
答案 C
5．下列结论错误的是
( )
A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C．命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题．
答案 C
6．设x∈R，则“1( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由|x－2|<1，得11所以“1答案 A
7．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是
( )
A．[1，＋∞)
B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)
D．(－∞，－3]
解析 由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.
答案 A
8．(2017·汉中模拟)已知a，b都是实数，那么“>”是“ln
a>ln
b”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由ln
a>ln
b a>b>0 >，故必要性成立．
当a＝1，b＝0时，满足>，但ln
b无意义，所以ln
a>ln
b不成立，故充分性不成立．
答案 B
二、填空题
9．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．
解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．
答案 2
10．“sin
α＝cos
α”是“cos
2α＝0”的________条件．
解析 cos
2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，
即cos
α＝±sin
α.
由cos
α＝sin
α得到cos
2α＝0；反之不成立．
∴“sin
α＝cos
α”是“cos
2α＝0”的充分不必要条件．
答案 充分不必要
11．已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析 令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0∵p是q的充分不必要条件，∴M?N，
∴解得0答案 (0,3)
12．有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2其中真命题的序号是________．
解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．答案 ②③
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13．(2016·四川卷)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 若x>1且y>1，则x＋y>2.所以p q；反之x＋y>2
x>1且y＝1，例如x＝3，y＝0，所以p.
因此p是q的充分不必要条件．
答案 A
14．(2017·南昌十所省重点中学联考)已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，则m<1.
由于函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，
所以0因此“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件．
答案 B
15．已知集合A＝，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．
解析 A＝＝{x|－1＜x＜3}，
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，
∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.
答案 (2，＋∞)
16．(2016·临沂模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号)．
①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件；②命题：“任意x∈R，sin
x≤1”的否定是“存在x0∈R，sin
x0>1”；③“若x＝，则tan
x＝1”的逆命题为真命题；④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.
解析 ①中“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误．
对于②，命题：“任意x∈R，sin
x≤1”的否定是“存在x0∈R，sin
x0>1”，故②正确．
对于③，“若x＝，则tan
x＝1”的逆命题为“若tan
x＝1，则x＝”，其为假命题，故③错误．
对于④，若f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log32，
∴log32与log23不互为相反数，故④错误．
答案 ②