第6讲 对数与对数函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题1．(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的
( )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；
当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.
答案 A
2．(2017·上饶模拟)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是
( )
A．a＝b
B．a＝b>c
C．aD．a>b>c
解析 因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32答案 B
3．若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是
( )
解析 由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝x，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符．故选B.
答案 B
4．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是
( )
A．5
B．3
C．－1
D.
解析 由题意可知f(1)＝log21＝0，
f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，
f＝＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，
所以f(f(1))＋f＝5.
答案 A
5．(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则
( )
A．(a－1)(b－1)<0
B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0
D．(b－1)(b－a)>0
解析 ∵a>0，b>0且a≠1，b≠1.
由logab>1得loga>0.
∴a>1，且>1或0则b>a>1或0故(b－a)(b－1)>0.
答案 D
二、填空题
6．设f(x)＝log是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________．
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1,1)．
由f(x)<0，可得0<<1，∴－1答案 (－1,0)
7．设函数f(x)满足f(x)＝1＋flog2x，则f(2)＝________.
解析 由已知得f＝1－f·log22，则f＝，则f(x)＝1＋·log2x，故f(2)＝1＋·log22＝.
答案
8．(2015·福建卷)若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．
解析 当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1,2]．
答案 (1,2]
三、解答题
9．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解 (1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a>0，a≠1)，
∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10．(2016·榆林月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
(2)因为f(4)＝4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－即不等式的解集为(－，)．
能力提升题组(建议用时：20分钟)
11．(2017·长沙质检)设f(x)＝ln
x,0( )
A．q＝rB．p＝rC．q＝r>p
D．p＝r>q
解析 ∵0，
又∵f(x)＝ln
x在(0，＋∞)上为增函数，∴f>f()，即q>p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln
a＋ln
b)＝ln＝p，
故p＝r答案 B
12．已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________．
解析 由题意可知ln＋ln＝0，
即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－2＋，
又0＜a＜b＜1，∴0＜a＜，故0＜－2＋＜.
答案
13．(2016·浙江卷)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析 ∵logab＋logba＝logab＋＝，
∴logab＝2或.
∵a>b>1，∴logab∴logab＝，∴a＝b2.
∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2，
∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.
答案 4 2
14．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值．
解 由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)
＝(logx＋3logax＋2)
＝2－.
当f(x)取最小值－时，logax＝－.
又∵x∈[2,8]，∴a∈(0,1)．
∵f(x)是关于logax的二次函数，
∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得．
若2－＝1，则a＝2，
此时f(x)取得最小值时，x＝＝ [2,8]，舍去．
若2－＝1，则a＝，
此时f(x)取得最小值时，x＝－＝2∈[2,8]，
符合题意，∴a＝.第5讲 指数与指数函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2017·衡水中学模拟)若a＝x，b＝x2，c＝x，则当x>1时，a，b，c的大小关系是
( )
A．cB．cC．aD．a解析 当x>1时，01，c＝x<0，所以c答案 A
2.函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是
( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0解析 由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
答案 D
3．(2017·南昌一模)已知a＝，b＝，c＝，则
( )
A．aB．cC．cD．b解析 ∵y＝x在R上为减函数，>，∴b又∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数，>，
∴a>c，∴b答案 D
4．(2017·安阳模拟)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于
( )
A．1
B．a
C．2
D．a2
解析 ∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0.又∵f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1.
答案 A
5．(2017·西安调研)若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是
( )
A．(－∞，2]
B．[2，＋∞)C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
解析 由f(1)＝，得a2＝，解得a＝或a＝－(舍去)，即f(x)＝|2x－4|.由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．
答案 B
二、填空题
6.×0＋8×－＝________.
解析 原式＝×1＋2×2－＝2.
答案 2
7．(2015·江苏卷)不等式2x2－x<4的解集为________．
解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，
∴x2－x<2，即x2－x－2<0，解得－1答案 {x|－18．(2017·安徽江淮十校联考)已知max(a，b)表示a，b两数中的最大值．若f(x)＝max{e|x|，e|x－2|}，则f(x)的最小值为________．
解析 f(x)＝
当x≥1时，f(x)＝ex≥e(x＝1时，取等号)，
当x<1时，f(x)＝e|x－2|＝e2－x>e，
因此x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝e.
答案 e
三、解答题
9．已知f(x)＝x3(a>0，且a≠1)．
(1)讨论f(x)的奇偶性；
(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．
解 (1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于定义域内任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3
＝(－x)3
＝x3＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况，
当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，
即＋>0，即>0，则ax>1.
又∵x>0，∴a>1.因此a>1时，f(x)>0.
10．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)．
又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．
因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，
即3t2－2t－1>0，解不等式可得t＞1或t＜－，
故原不等式的解集为.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是
( )
A．(－∞，＋∞)
B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－1，＋∞)
解析 因为2x>0，所以由2x(x－a)<1得a>x－x，令f(x)＝x－x，则函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(0)＝0－0＝－1，
所以a>－1.
答案 D
12．已知函数f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是
( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
解析
作出函数f(x)＝|2x－1|的图像如图中实线所示，
∵af(c)>f(b)，结合图像知a<0,0∴0<2a<1,1<2c<2，
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，
又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2.
答案 D
13．(2017·北京丰台一模)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a>0，且a≠1)对应的图像如图所示，那么g(x)＝________.
解析 依题意，f(1)＝，∴a＝，
∴f(x)＝x，x>0.当x<0时，－x>0.
∴g(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x.
答案 －2x(x<0)
14．(2017·合肥期末)已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解 (1)∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex＋x，
∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，∴f(x)在R上是增函数．又∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)存在．由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立，
f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立，
x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立，
t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立，
t2＋t≤(x2＋x)min＝－ t2＋t＋＝2≤0，
又2≥0，∴2＝0，∴t＝－.
∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立.