第7讲 函数的图像
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．为了得到函数y＝2x－2的图像，可以把函数y＝2x图像上所有的点
( )
A．向右平行移动2个单位长度
B．向右平行移动1个单位长度
C．向左平行移动2个单位长度
D．向左平行移动1个单位长度
解析 因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图像上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图像．
答案 B
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是
( )
解析 小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C.
答案 C
3．(2015·浙江卷)函数f(x)＝cos
x(－π≤x≤π且x≠0)的图像可能为
( )
解析 (1)因为f(－x)＝cos(－x)＝－cos
x＝－f(x)，－π≤x≤π且x≠0，所以函数f(x)为奇函数，排除A，B.当x＝π时，f(x)＝cos
π<0，排除C，故选D.
答案 D
4．(2017·安庆一调)函数y＝(x3－x)2|x|的图像大致是
( )
解析 由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图像关于原点对称．当0
1时，y>0.
排除选项A，C，D，选B.
答案 B
5．使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是
( )
A．(－1,0)
B．[－1,0)
C．(－2,0)
D．[－2,0)
解析 在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像，知满足条件的x∈(－1,0)，故选A.
答案 A
二、填空题
6.已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析 当f(x)>0时，
函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图像知满足f(x)>0的x∈(2,8]．
答案 (2,8]
7．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．
解析 当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0)．
则得∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0)．
∵图像过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
答案 f(x)＝
8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图像，观察图像可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
答案 [－1，＋∞)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图像；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图像指出当x取什么值时f(x)有最值．
解 (1)函数f(x)的图像如图所示．
(2)由图像可知，
函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．
(3)由图像知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.
10．已知f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图像；
(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}．
解 (1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，∴f(x)＝
∴f(x)的图像为：
(2)由函数的图像可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2,3)是减区间；(1,2]，[3，＋∞)是增区间．
(3)由f(x)的图像知，当0能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是
( )
A．f(x1)＋f(x2)<0
B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0
D．f(x1)－f(x2)<0
解析
函数f(x)的图像如图所示：
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．
又0<|x1|<|x2|，
∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
答案 D
12.(2015·安徽卷)函数f(x)＝的图像如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c<0
B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
解析 函数定义域为{x|x≠－c}，结合图像知－c>0，
∴c<0.
令x＝0，得f(0)＝，又由图像知f(0)>0，∴b>0.
令f(x)＝0，得x＝－，结合图像知－>0，∴a<0.
答案 C
13．已知函数f(x)＝若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________．
解析 对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，即f(x)max≤|k－1|.
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝
的图像可知，当x＝时，函数f(x)max＝，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
答案 ∪
14．已知函数f(x)的图像与函数h(x)＝x＋＋2的图像关于点A(0,1)对称．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，g(x)在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．
解 (1)设f(x)图像上任一点坐标为(x，y)，
∵点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图像上，
∴2－y＝－x＋＋2，
∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.
(2)由题意g(x)＝x＋，
且g(x)＝x＋≥6，x∈(0,2]．
∵x∈(0,2]，∴a＋1≥x(6－x)，即a≥－x2＋6x－1.
令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]，
q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，
∴当x∈(0,2]时，q(x)是增函数，q(x)max＝q(2)＝7.故实数a的取值范围是[7，＋∞).第8讲 函数与方程、函数的应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2017·赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是
( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(－2，－1)
D．(－1,0)
解析 由于f(－1)＝－<0，f(0)＝30－0＝1>0，
∴f(－1)·f(0)<0.则f(x)在(－1,0)内有零点．
答案 D
2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为
( )
A.，0
B．－2,0
C.
D．0
解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.
答案 D
3．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是
( )
A．(1,3)
B．(1,2)
C．(0,3)
D．(0,2)
解析 因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0答案 C
4．(2017·德阳一诊)将甲桶中的a
L水缓慢注入空桶乙中，t
min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent.假设过5
min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m
min甲桶中的水只有
L，则m的值为
( )
A．5
B．8
C．9
D．10
解析 ∵5
min后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝a，
可得n＝ln，∴f(t)＝a·，
因此，当k
min后甲桶中的水只有
L时，
f(k)＝a·＝a，即＝，
∴k＝10，由题可知m＝k－5＝5.
答案 A
5．(2017·湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
答案 C
二、填空题
6．(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.
解析 ∵f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1，
∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)
＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.
由此可得
∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.
答案 －2 1
7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg
2≈0.301
0，lg
3≈0.477
1)．
解析 设过滤n次才能达到市场要求，
则2%n≤0.1%，即n≤，
所以nlg≤－1－lg
2，所以n≥7.39，所以n＝8.
答案 8
8．(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图像只有一个交点，则a的值为________．
解析 函数y＝|x－a|－1的图像如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图像只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.
答案 －
三、解答题
9．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的取值范围．
解 (1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根，
因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根．
(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，只需即解得故实数a的取值范围为.
10．(2017·陕西实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1
m/s.
(1)求出a、b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0
m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，
即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1
m/s，故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.
解方程组得
(2)由(1)知，v＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2
m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2
m/s，则其耗氧量至少要270个单位．
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是
( )
A．[0,1)
B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞)
D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
解析 函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝的大致图像(图略)．观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m>1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．
答案 D
12．(2017·合肥质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
( )
A．3.50分钟
B．3.75分钟
C．4.00分钟
D．4.25分钟
解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得
消去c化简得解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．
答案 B
13．(2015·湖南卷)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
解析 由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图像，如图所示．
则当0答案 (0,2)
14．设函数f(x)＝(x>0)．
(1)作出函数f(x)的图像；
(2)当0(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．
解 (1)如图所示．
(2)∵f(x)＝＝
故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．
由0得0且－1＝1－，∴＋＝2.
(3)由函数f(x)的图像可知，当0