第5讲 两角和与差及二倍角的三角函数
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2015·全国Ⅰ卷)sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝
( )
A．－
B.
C．－
D.
解析 sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝sin
20°cos
10°＋cos
20°sin
10°＝sin
30°＝.
答案 D
2．(1＋tan
17°)(1＋tan
28°)的值是
( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析 原式＝1＋tan
17°＋tan
28°＋tan
17°·tan
28°＝1＋tan
45°(1－tan
17°·tan
28°)＋tan
17°·tan
28°
＝1＋1＝2.
答案 D
3．(2017·西安二检)已知α是第二象限角，且tan
α＝－，则sin
2α＝
( )
A．－
B.
C．－
D.
解析 因为α是第二象限角，且tan
α＝－，所以sin
α＝，cos
α＝－，所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－，故选C.
答案 C
4．(2016·河南六市联考)设a＝cos
2°－sin
2°，b＝，c＝，则有
( )
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
解析 由题意可知，a＝sin
28°，b＝tan
28°，c＝sin
25°，
∴c＜a＜b.
答案 D
5．(2016·铜川三模)已知sin
α＝且α为第二象限角，则tan＝( )
A．－
B．－
C．－
D．－
解析 由题意得cos
α＝－，则sin
2α＝－，
cos
2α＝2cos2α－1＝.
∴tan
2α＝－，∴tan＝＝＝－.
答案 D
二、填空题
6．(2016·安庆模拟)若cos＝，则sin(2α－)的值是________．
解析 sin＝sin＝
cos
2＝2cos2－1＝2×－1＝－.
答案 －
7．(2017·南昌一21世纪教育网中月考)已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.
解析 ∵α∈，cos＝，
∴sin＝－，
∵sin＝－，∴sin＝，
又∵β∈，∴cos＝，
∴cos(α＋β)＝cos＝×－×＝－.
答案 －
8．已知θ∈，且sin＝，则tan
2θ＝________.
解析 sin＝，得sin
θ－cos
θ＝，①
θ∈，①平方得2sin
θcos
θ＝，可求得sin
θ＋cos
θ＝，∴sin
θ＝，cos
θ＝，∴tan
θ＝，tan
2θ＝＝－.
答案 －
三、解答题
9．(2017·淮海中学模拟)已知向量a＝(cos
θ，sin
θ)，b＝(2，－1)．
(1)若a⊥b，求的值；
(2)若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．
解 (1)由a⊥b可知，a·b＝2cos
θ－sin
θ＝0，
所以sin
θ＝2cos
θ，
所以＝＝.
(2)由a－b＝(cos
θ－2，sin
θ＋1)可得，
|a－b|＝＝
＝2，
即1－2cos
θ＋sin
θ＝0.又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，
所以sin
θ＝，cos
θ＝.所以sin＝(sin
θ＋cos
θ)＝＝.
10．设cos
α＝－，tan
β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值．
解 法一 由cos
α＝－，π<α<，得sin
α＝－，tan
α＝2，又tan
β＝，于是tan(α－β)＝＝＝1.又由π<α<，0<β<可得－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.
法二 由cos
α＝－，π<α<得sin
α＝－.
由tan
β＝，0<β<得sin
β＝，cos
β＝.
所以sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β＝
－＝－.
又由π<α<，0<β<可得
－<－β<0，<α－β<，因此，α－β＝.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2016·陕西统一检测)cos·cos·cos＝
( )
A．－
B．－
C.
D.
解析 cos·cos·cos＝cos
20°·cos
40°·cos
100°＝－cos
20°·cos
40°·cos
80°
＝－
＝－
＝－
＝－＝－＝－.
答案 A
12．(2017·上饶调研)设α，β∈[0，π]，且满足sin
αcos
β－cos
αsin
β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为
( )
A．[－，1]
B．[－1，]
C．[－1,1]
D．[1，]
解析 ∵sin
αcos
β－cos
αsin
β＝1，∴sin(α－β)＝1，
∵α，β∈[0，π]，
∴α－β＝，由 ≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cos
α＋sin
α＝sin，∵≤α≤π，∴≤α＋≤π，∴－1≤sin≤1，即所求的取值范围是[－1,1]，故选C.
答案 C
13．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.
解析 ∵cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)(cos2α－sin2α)＝cos
2α＝，又α∈，∴2α∈(0，π)，
∴sin
2α＝＝，
∴cos＝cos
2α－sin
2α
＝×－×＝.
答案
14．(2016·西安模拟)如图，现要在一块半径为1
m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式．
(2)求S的最大值及相应的θ角．
解 (1)分别过P，Q
作PD⊥OB于D，QE⊥OB于E，则四边形QEDP为矩形．
由扇形半径为1
m，得PD＝sin
θ，OD＝cos
θ.在Rt△OEQ中，
OE＝QE＝PD，MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos
θ－sin
θ，S＝MN·PD＝·sin
θ＝sin
θcos
θ－sin2θ，θ∈.
(2)由(1)得S＝sin
2θ－(1－cos
2θ)
＝sin
2θ＋cos
2θ－＝sin－，
因为θ∈，所以2θ＋∈，
sin∈.当θ＝时，Smax＝(m2).第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·长沙模拟)已知α是第四象限角，sin
α＝－，则tan
α＝
( )
A．－
B.
C．－
D.
解析 因为α是第四象限角，sin
α＝－，
所以cos
α＝＝，故tan
α＝＝－.
答案 C
2．已知tan
α＝，且α∈，则sin
α＝
( )
A．－
B.
C.
D．－
解析 ∵tan
α＝＞0，且α∈，∴sin
α＜0，
∴sin2α＝＝＝＝，
∴sin
α＝－.
答案 A
3.＝
( )
A．sin
2－cos
2
B．sin
2＋cos
2
C．±(sin
2－cos
2)
D．cos
2－sin
2
解析 ＝
＝＝|sin
2－cos
2|＝sin
2－cos
2.
答案 A
4．(2017·甘肃省质检)向量a＝，b＝(cos
α，1)，且a∥b，则cos＝
( )
A．－
B.
C．－
D．－
解析 ∵a＝，b＝(cos
α，1)，且a∥b，∴×1－tan
αcos
α＝0，∴sin
α＝，
∴cos＝－sin
α＝－.
答案 A
5．(2016·芜湖二测)cos＝，则sin＝
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析 sin＝sin＝cos＝.
答案 A
6．(2017·孝感模拟)已知tan
α＝3，则的值是
( )
A.
B．2
C．－
D．－2
解析 原式＝
＝＝＝＝＝2.
答案 B
7．已知sin
α＝，则sin4α－cos4α的值为
( )
A．－
B．－
C.
D.
解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－1＝－.
答案 B
8．(2017·西安模拟)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2
017)的值为
( )
A．－1
B．1
C．3
D．－3
解析 ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)
＝asin
α＋bcos
β＝3，
∴f(2
017)＝asin(2
017π＋α)＋bcos(2
017π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin
α－bcos
β
＝－3.
答案 D
二、填空题9．(2016·四川卷)sin
750°＝________.
解析 sin
750°＝sin(720°＋30°)＝sin
30°＝.
答案
10．已知α为钝角，sin＝，则sin＝________.
解析 因为α为钝角，所以cos＝－，
所以sin＝cos＝cos＝－.
答案 －
11．化简：＝________.
解析 原式＝＝＝1.
答案 1
12．(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
解析 由题意，得cos＝，∴tan＝.∴tan＝tan＝－＝－.
答案 －
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于
( )
A．－
B．－
C.
D.
解析 ∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
∴－sin
θ＝－cos
θ，
∴tan
θ＝，∵|θ|＜，∴θ＝.
答案 D
14．若sin
θ，cos
θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为
( )
A．1＋
B．1－
C．1±
D．－1－
解析 由题意知sin
θ＋cos
θ＝－，sin
θ·cos
θ＝.
又2＝1＋2sin
θcos
θ，
∴＝1＋，解得m＝1±.
又Δ＝4m2－16m≥0，∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.
答案 B
15．sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________.
解析 sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＋sin290°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝44＋＋1＝.
答案
16．已知cos＝a，则cos＋sin＝________.
解析 ∵cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
∴cos＋sin＝0.
答案 0第四章 三角函数、解三角形
第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确的命题有
( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析 －是第三象限角，故①错误.＝π＋，从而是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
答案 C
2．已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则角α的终边在第________象限
( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析 由题意知tan
α＜0，cos
α＜0，∴α是第二象限角．
答案 B
3．(2017·宜春模拟)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin
θ＝，则m等于( )
A．－3
B．3
C.
D．±3
解析 sin
θ＝＝，解得m＝3.
答案 B
4．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos
＝－，y＝sin
＝.
答案 A
5．设θ是第三象限角，且＝－cos
，则是
( )
A．第一象限角
B．第二象限角C．第三象限角
D．第四象限角
解析 由θ是第三象限角，知为第二或第四象限角，
∵＝－cos
，∴cos
≤0，综上知为第二象限角．
答案 B
6．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为
( )
A.
B.
C.
D．2
解析 设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r＝α·r，∴α＝.
答案 C
7．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin
α＝sin
β，则α与β的终边相同；⑤若cos
θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin＝sin，但与的终边不相同，故④错；当cos
θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．
答案 A
8．(2016·合肥模拟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos
2θ＝
( )
A．－
B．－
C.
D.
解析 由题意知，tan
θ＝2，即sin
θ＝2cos
θ，将其代入sin2θ＋cos2θ＝1中可得cos2θ＝，故cos
2θ＝2cos2θ－1＝－.
答案 B
二、填空题9.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．
解析 在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，
所以，所求角的集合为(k∈Z)．
答案 (k∈Z)
10．设P是角α终边上一点，且|OP|＝1，若点P关于原点的对称点为Q，则Q点的坐标是________．
解析 由已知P(cos
α，sin
α)，则Q(－cos
α，－sin
α)．
答案 (－cos
α，－sin
α)
11．已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于________．
解析 设扇形半径为r，弧长为l，
则解得
答案
12．(2017·衡水21世纪教育网中学月考)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos
α≤0，sin
α>0，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵cos
α≤0，sin
α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴∴－2
答案 (－2,3]
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13．已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tan
α＝
( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析 圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tan
α＝1.
答案 B
14．(2016·郑州一模)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos
α＝x，则tan
α等于
( )
A.
B.
C．－
D．－
解析 因为α是第二象限角，
所以cos
α＝x<0，即x<0.
又cos
α＝x＝，
解得x＝－3，所以tan
α＝＝－.
答案 D
15．函数y＝的定义域为________．
解析 ∵2sin
x－1≥0，
∴sin
x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．∴x∈(k∈Z)．
答案 (k∈Z)
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．
解析 如图，作CQ∥x轴，PQ⊥CQ,
Q为垂足．根据题意得劣弧＝2，故∠DCP＝2，则在△PCQ中，∠PCQ＝2－，
|CQ|＝cos＝sin
2，|PQ|＝sin＝－cos
2，
所以P点的横坐标为2－|CQ|＝2－sin
2，P点的纵坐标为1＋|PQ|＝1－cos
2，所以P点的坐标为(2－sin
2,1－cos
2)，故＝(2－sin
2,1－cos
2)．
答案 (2－sin
2,1－cos
2)第4讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2016·全国Ⅱ卷)若将函数y＝2sin
2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为
( )
A．x＝－(k∈Z)
B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z)
D．x＝＋(k∈Z)
解析 由题意将函数y＝2sin
2x的图像向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.
答案 B
2．(2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<)在区间上的图像如图所示，则ω，φ的值分别是
( )
A．ω＝2，φ＝
B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝，φ＝
D．ω＝，φ＝－
解析 由图可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝，故
选A.
答案 A
3．(2017·西安模拟)将函数f(x)＝sin
x－cos
x的图像沿着x轴向右平移a(a>0)个单位后的图像关于y轴对称，则a的最小值是
( )
A.
B.
C.
D.
解析 依题意得f(x)＝2sin，因为函数f(x－a)＝2sin的图像关于y轴对称，所以sin＝±1，a＋＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋，k∈Z，因此正数a的最小值是，选B.
答案 B
4．(2016·长沙模拟)函数f(x)＝3sinx－logx的零点的个数是
( )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析 函数y＝3sinx的周期T＝＝4，由logx＝3，可得x＝.由logx＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图像(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点．
答案 D
5．(2017·宜春调研)如图是函数f(x)＝sin
2x和函数g(x)的部分图像，则g(x)的图像可能是由f(x)的图像
( )
A．向右平移个单位得到的
B．向右平移个单位得到的
C．向右平移个单位得到的
D．向右平移个单位得到的
解析 由函数f(x)＝sin
2x和函数g(x)的部分图像，可得g(x)的图像位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m，则有－m＝－，解得m＝，故把函数f(x)＝sin
2x的图像向右平移－＝个单位，即可得到函数g(x)的图像，故选B.
答案 B
二、填空题
6．(2016·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28
℃，12月份的月平均气温最低为18
℃，则10月份的平均气温为________℃.
解析 因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；
当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，
所以y＝f(x)＝23＋5cos，
所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos
＝23－5×＝20.5.
答案 20.5
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)的解析式为________．
解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，
即f(x)＝sin.又函数图像过点，
故f(2)＝sin＝－sin
φ＝－，
又－≤φ≤，
解得φ＝，故f(x)＝sin.
答案 f(x)＝sin
8．已知f(x)＝sin
(ω>0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.
解析 依题意，x＝＝时，y有最小值，
∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋
(k∈Z)．
∴ω＝8k＋
(k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，
得ω＝.
答案
三、解答题
9．已知函数f(x)＝sin
ωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.
(1)当ω＝1时，求f的值；
(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值．
解 (1)当ω＝1时，f＝sin
＋cos
＝＋0＝.
(2)f(x)＝sin
ωx＋cos
＝sin
ωx＋cos
ωx－sin
ωx
＝sin
ωx＋cos
ωx＝sin.
∵＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin.
由x∈，得2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.
10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻最高点的距离为π.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图像向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图像，求g(x)的单调递减区间．
解 (1)因为f(x)的图像上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图像关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ＜，所以k＝0，
所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，
则f＝sin＝sin
＝.
(2)将f(x)的图像向右平移个单位后，得到
f的图像，
所以g(x)＝f＝sin
＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2017·西安调研)设函数f(x)＝sin，则下列结论正确的是
( )
A．f(x)的图像关于直线x＝对称
B．f(x)的图像关于点对称
C．f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数
D．把f(x)的图像向右平移个单位，得到一个偶函数的图像
解析 对于函数f(x)＝sin，当x＝时，
f＝sin
＝，故A错；当x＝时，
f＝sin
＝1，故不是函数的对称点，故B错；函数的最小正周期为T＝＝π，当x∈时，
2x＋∈，此时函数为增函数，故C正确；
把f(x)的图像向右平移个单位，得到g(x)＝sin＝sin
2x，函数是奇函数，故D错．
答案 C
12．(2016·南昌一模)已知函数f(x)＝2sin
ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是
( )
A.∪[6，＋∞)
B.∪
C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)
D．(－∞，－2]∪
解析 当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，
由题意知ω≤－，∴ω≤－2.
综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
答案 D
13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y＝2sin
ωx与y＝2cos
ωx
的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.
解析 由得sin
ωx＝cos
ωx，
∴tan
ωx＝1，ωx＝kπ＋
(k∈Z)．
∵ω>0，∴x＝＋
(k∈Z)．
设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝，则|x2－x1|＝＝.
又结合图形知|y2－y1|＝＝2，
且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，
∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(2)2，
∴2＋(2)2＝12，∴ω＝.
答案
14．(2017·郑州模拟)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin(ωx＋φ)
0
5
－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像．若关于x的方程g(x)－(2m＋1)＝0在区间上有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.
数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
21世纪教育网Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数表达式为f(x)＝5sin.
(2)通过平移，g(x)＝5sin，
方程g(x)－(2m＋1)＝0可看成函数y＝g(x)和函数y＝2m＋1的图像在上有两个交点，
当x∈时，2x＋∈，为使直线y＝2m＋1与函数y＝g(x)的图像在上有两个交点，结合函数y＝g(x)在[0，]上的图像，
只需≤2m＋1<5，解得≤m<2.
即实数m的取值范围为.第6讲 正弦定理和余弦定理
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题1．(2016·合肥模拟)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，△ABC的面积为，则C＝
( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
解析 法一 ∵S△ABC＝·AB·AC·sin
A＝，
即××1×sin
A＝，∴sin
A＝1，由A∈(0°，180°)，∴A＝90°，∴C＝60°.故选C.
法二 由正弦定理，得＝，即＝，
sin
C＝，又C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝120°时，A＝30°，
S△ABC＝≠(舍去)．而当C＝60°时，A＝90°，
S△ABC＝，符合条件，故C＝60°.故选C.
答案 C
2．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，b＝，则B等于
( )
A.
B.
C.或
D.
解析 ∵A＝，a＝2，b＝，
∴由正弦定理＝可得，
sin
B＝sin
A＝×＝.∵A＝，∴B＝.
答案 D
3．(2017·成都诊断)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为
( )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
解析 因为cos2＝，
所以2cos2－1＝－1，所以cos
B＝，
所以＝，所以c2＝a2＋b2.
所以△ABC为直角三角形．答案 B
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos
2A＜cos
2B”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 因为在△ABC中，a＞b sin
A＞sin
B sin2A＞sin2B 2sin2A＞2sin2B 1－2sin2A＜1－2sin2B cos
2A＜cos
2B.所以“a＞b”是“cos
2A＜cos
2B”的充分必要条件．
答案 C
5．(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin
A)，则A＝
( )
A.
B.
C.
D.
解析 在△ABC中，由b＝c，得cos
A＝＝，又a2＝2b2(1－sin
A)，所以cos
A＝sin
A，
即tan
A＝1，又知A∈(0，π)，所以A＝，故选C.
答案 C
二、填空题
6．(2015·重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos
C＝－，3sin
A＝2sin
B，则c＝________.
解析 由3sin
A＝2sin
B及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcos
C＝4＋9－2×2×3×＝16，所以c＝4.
答案 4
7．(2017·江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝________.
解析 因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sin
A＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以S△ABC＝ab＝.
答案
8．(2016·北京卷)在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________.
解析 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos
A，
将A＝，a＝c代入，可得(c)2＝b2＋c2－2bc·，整理得2c2＝b2＋bc.∵c≠0，∴等式两边同时除以c2，得2＝2＋，可解得＝1.
答案 1
三、解答题
9．(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos
A＝－.
(1)求a和sin
C的值；
(2)求cos的值．
解 (1)在△ABC中，由cos
A＝－，
可得sin
A＝.
由S△ABC＝bcsin
A＝3，
得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.
由a2＝b2＋c2－2bccos
A，可得a＝8.
由＝，得sin
C＝.
(2)cos＝cos
2A·cos
－sin
2A·sin
＝(2cos2A－1)－×2sin
A·cos
A＝.
10．(2015·全国Ⅱ卷)在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
解 (1)由正弦定理得
＝，＝.
因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以
＝＝.
(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，
所以sin
C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos
B＋sin
B.
由(1)知2sin
B＝sin
C，所以tan
B＝，
即∠B＝30°.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2017·广州调研)已知锐角三角形的边长分别为1,3，x，则x的取值范围是
( )
A．(8,10)
B．(2，)
C．(2，10)
D．(，8)
解析 因为3>1，
所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可，故即8又因为x>0，所以2答案 B
12．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos
C，则c＝
( )
A．2
B．4
C．2
D．3
解析 ∵＝2cos
C，由正弦定理，
得sin
Acos
B＋cos
Asin
B＝2sin
Ccos
C，
∴sin(A＋B)＝sin
C＝2sin
Ccos
C，
由于0＜C＜π，sin
C≠0，∴cos
C＝，∴C＝.
∵S△ABC＝2＝absin
C＝ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，或c2＝a2＋b2－2abcos
C＝4＋16－8＝12，∴c＝2，故选C.
答案 C
13．(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
解析
如图所示，延长BA与CD相交于点E，过点C作CF∥AD交AB于点F，则BF在等腰三角形CBF中，∠FCB＝30°，CF＝BC＝2，
∴BF＝＝－.
在等腰三角形ECB中，∠CEB＝30°，∠ECB＝75°，
BE＝CE，BC＝2，＝，
∴BE＝×＝＋.
∴－答案 (－，＋)
14．设f(x)＝sin
xcos
x－cos2.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．
解 (1)由题意知f(x)＝－
＝－＝sin
2x－.
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,
可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,
可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；
单调递减区间是(k∈Z)．
(2)由f＝sin
A－＝0，得sin
A＝，
由题意知A为锐角，所以cos
A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos
A，
可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，
即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立．
因此bcsin
A≤.
所以△ABC面积的最大值为.第7讲 解三角形应用举例
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在相距2
km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为
( )
A.
km
B.
km
C.
km
D．2
km
解析 如图，
在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴＝，
∴AC＝2×＝(km)．
答案 A
2．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是
( )
A．10海里
B．10海里
C．20海里
D．20海里
解析
如图所示，易知，
在
△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里)．
答案 A
3．(2017·合肥调研)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为
( )
A．a
km
B.
a
km
C.a
km
D．2a
km
解析 由题图可知，∠ACB＝120°，由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2·a·a·＝3a2，解得AB＝a(km)．
答案 B
4．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6
km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1
km，水的流速为2
km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6
min，则客船在静水中的速度为( )
A．8
km/h
B．6
km/h
C．2
km/h
D．10
km/h
解析 设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v
km/h，由题意知，sin
θ＝＝，从而cos
θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.选B.
答案 B
5．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于
( )
A．5
B．15
C．5
D．15
解析 在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得＝，
所以BC＝15.
在Rt△ABC中，
AB＝BCtan
∠ACB＝15×＝15.
答案 D
二、填空题6．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．
解析 由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定理得＝，
所以AC＝＝＝10，
所以海轮航行的速度为＝(海里/分)．
答案
7．江岸边有一炮台高30
m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析 如图，OM＝AOtan
45°＝30(m)，
ON＝AOtan
30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m)．
答案 10
8．在200
m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.
解析 如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200
m，∴AC＝(m)．
在△ACD中，由余弦定理得，
AC2＝2CD2－2CD2·cos
120°＝3CD2，
∴CD＝AC＝(m)．
答案
三、解答题
9．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin
α的值．
解 (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos
120°＝784.
解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14海里/时．
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，
即sin
α＝＝＝.
10．(2015·安徽卷)在△ABC中，A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．
解 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC＝(3)2＋62－2×3×6×cos＝18＋36－(－36)＝90，
所以a＝3.
又由正弦定理，得sin
B＝＝＝，
由题设知0所以cos
B＝＝＝.
在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B.
由正弦定理，得AD＝＝＝＝.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．如图所示，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝a，从D，C两点测得A点仰角分别为α，β(α＜β)，则点A离地面的高AB等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析 结合题图示可知，∠DAC＝β－α.在△ACD中，由正弦定理得：＝，
∴AC＝＝.
在Rt△ABC中，AB＝ACsin
β＝.
答案 A
12．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60
m，则河流的宽度BC等于
( )
A．240(＋1)m
B．180(－1)m
C．120(－1)m
D．30(＋1)m
解析 如图，
∠ACD＝30°，∠ABD＝75°，AD＝60
m，
在Rt△ACD中，
CD＝＝＝60(m)，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝60(2－)(m)，
∴BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1)(m)．
答案 C
13．(2017·西安调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km2.
解析 如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝＝，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，＝，即AD＝＝＝，
故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×＋×2×＝(km2)．
答案
14．如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向距A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船．此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：≈2.449)．
解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD＝10t(海里)，BD＝10t(海里)．
在△ABC中，∵AB＝(－1)海里，AC＝2海里，
∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得
BC＝＝(海里)．
根据正弦定理，可得
sin∠ABC＝＝＝.
∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，
从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD中，根据正弦定理，可得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝(海里)，
则有10t＝，t＝≈0.245小时＝14.7分钟．
故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.第3讲 三角函数的图像与性质
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos
x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为
( )
A．①②③
B．①③④
C．②④
D．①③
解析 ①y＝cos|2x|＝cos
2x，最小正周期为π；
②由图像知y＝|cos
x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，因此选A.
答案 A
2．(2017·石家庄模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间是
( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析 当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时，函数y＝tan单调递增，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，故选B.
答案 B
3．(2016·成都诊断)函数y＝cos2x－2sin
x的最大值与最小值分别为
( )
A．3，－1
B．3，－2
C．2，－1
D．2，－2
解析 y＝cos2x－2sin
x＝1－sin2x－2sin
x
＝－sin2x－2sin
x＋1，
令t＝sin
x，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.答案 D
4．(2016·铜川模拟)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的图像关于直线x＝对称
D．函数f(x)在区间上是增函数
解析 f(x)＝sin＝－cos
2x，故其最小正周期为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos
2x的图像可知，函数f(x)的图像不关于直线x＝对称，C错误；由函数f(x)的图像易知，函数f(x)在上是增函数，D正确．
答案 C
5．(2017·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且任意x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图像的一个对称中心坐标是
( )
A.
B.
C.
D.
解析 由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图像的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图像的对称中心为，故选A.
答案 A
二、填空题
6．(2017·郑州调研)若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.
解析 因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.
答案
7．(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y＝sin
x＋cos
x的单调递增区间是________．
解析 ∵y＝sin
x＋cos
x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴单调递增区间为.
答案
8．(2016·承德模拟)若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
解析 法一 由于函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二 由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.
由已知并结合正弦函数图像可知，ω＝，解得ω＝.
答案
三、解答题
9．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sin
x＋cos
x)2＋cos
2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)因为f(x)＝sin2
x＋cos2
x＋2sin
xcos
x＋cos
2x＝1＋sin
2x＋cos
2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin
x在上的图像知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
10．(2017·昆明调研)设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．
解 (1)f(x)＝sin
cos
－cos
sin
－cos
＝sin
－cos
＝sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)法一 在y＝g(x)的图像上任取一点(x，g(x))，
它关于x＝1的对称点(2－x，g(x))．
由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图像上，
从而g(x)＝f(2－x)＝sin
＝sin＝cos.
当0≤x≤时，≤＋≤，
因此y＝g(x)在区间上的最大值为
g(x)max＝cos
＝.
法二 区间关于x＝1的对称区间为，
且y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，
故y＝g(x)在上的最大值为
y＝f(x)在上的最大值．
由(1)知f(x)＝sin，
当≤x≤2时，－≤－≤.
因此y＝g(x)在上的最大值为
g(x)max＝sin
＝.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．已知函数f(x)＝2sin
ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于
( )
A.
B.
C．2
D．3
解析 ∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
答案 B
12．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是
( )
A．f(2)B．f(0)C．f(－2)D．f(2)解析 由于f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当x＝时，2x＋φ＝＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ>0，∴φmin＝，
故f(x)＝Asin(2x＋)．于是f(0)＝Asin
，
f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，
f(－2)＝Asin＝Asin
＝Asin＝Asin.
又∵－＜－4＜4－＜＜.
又f(x)在上单调递增，
∴f(2)答案 A
13．若函数f(x)＝4sin
5ax－4cos
5ax的图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为________．
解析 因为f(x)＝8sin，依题意有，＝，所以T＝.又因为T＝，所以＝，解得a＝±.
答案 ±
14．(2017·安康调研)已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解 f(x)＝a(1＋cos
x＋sin
x)＋b＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
(ⅰ)当a>0时，∴a＝3－3，b＝5.
(ⅱ)当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.