第2讲 基本不等式及其应用
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列不等式一定成立的是
( )
A．lg>lg
x(x>0)
B．sin
x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.＜1(x∈R)
解析 当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg
x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin
x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．
答案 C
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是
( )
A．[0,2]
B．[－2,0]
C．[－2，＋∞)
D．(－∞，－2]
解析 2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.
答案 D
3．(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则·的最小值为
( )
A．7
B．8
C．9
D．10
解析 ∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．故选C.
答案 C
4．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是
( )
A.≤
B.＋≤1
C.≥2
D．a2＋b2≥8
解析 4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．
答案 D
5．(2015·湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为
( )
A.
B．2
C．2
D．4
解析 依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2，故选C.
答案 C
6．(2017·咸阳模拟)若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为
( )
A．2－
B．2＋
C．4＋2
D．4－2
解析 ＋＝＝＝1＋＝1＋≤1＋＝4－2，当且仅当＝，即x2＝2y2时取等号．故选D.
答案 D
7．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是
( )
A.
B.
C．2
D.
解析 由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
答案 C
8．(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为
( )
A．4
B．2
C．8
D．16
解析 由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，
则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．故选B.
答案 B
二、填空题
9．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．
解析 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，
解得≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
10．(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________．
解析 ∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，
∴＋＝－(m＋n)＝－≤－2－2＝－4，当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.
答案 －4
11．若对于任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析 ＝，
因为x＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，
则≤＝，
即的最大值为，故a≥.
答案
12．(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．
解析 设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)，
∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，
∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为万元，
∵5x＋≥2＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．
答案 2 20
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为
( )
A．0
B．1
C.
D．3
解析 由已知得z＝x2－3xy＋4y2，(
)
则＝＝≤1，当且仅当x＝2y时取等号，把x＝2y代入(
)式，得z＝2y2，所以＋－＝＋－＝－2＋1≤1.
答案 B
14．(2017·衡水中学调研)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋2by(a>0，b>0)的最大值为1，则＋的最小值为________．
解析 不等式组所表示的平面区域是以(0,0)，，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z＝ax＋2by过点(1,1)时，z有最大值，故a＋2b＝1，故1≥2，故ab≤，故＋≥≥8，当且仅当a＝2b＝时等号成立，故＋的最小值为8.
答案 8
15．(2017·辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，则ab的最大值为________．
解析 由题意知a>0，b>0，且(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，化简得a2＋b2＋2(a＋b)＝6，则6≥2ab＋4(当且仅当a＝b时取等号)，令t＝(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0
答案 1
16．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析 因为a＞0，b＞0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.
答案 [6，＋∞)第七章
不等式
第1讲 不等式的性质与一元二次不等式
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是
( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＞g(x)
C．f(x)＜g(x)
D．随x的值变化而变化解析 f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0 f(x)＞g(x)．
答案 B
2．已知下列四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出＜成立的有
( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析 运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.
答案 C
3．(2017·河北省三市联考)若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x<2}，则A∩B等于
( )
A．(1,3)
B．(－∞，－1)
C．(－1,1)
D．(－3,1)
解析 依题意，可求得A＝(－1,3)，B＝(－∞，1)，∴A∩B＝(－1,1)．
答案 C
4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝ ，则实数a的取值范围是
( )
A．{a|0＜a＜4}
B．{a|0≤a＜4}
C．{a|0＜a≤4}
D．{a|0≤a≤4}
解析 由题意知a＝0时，满足条件．
a≠0时，由得0＜a≤4，所以0≤a≤4.
答案 D
5．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是
( )
A．(－1,0)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．不能确定解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图像关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.答案 C
二、填空题
6．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞3的解集为________．
解析 由题意知或解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}．
答案 {x|x＞1}
7．(2017·合肥模拟)若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集为________．
解析 由已知ax＞b的解集为，可知a＜0，且＝，将不等式ax2＋bx－a＞0两边同除以a，得x2＋x－＜0，即x2＋x－＜0，解得－1＜x＜，故不等式ax2＋bx－a＞0的解集为.
答案
8．不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．
解析 因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，
解得－8≤λ≤4.
答案 [－8,4]
三、解答题
9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解 (1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，解得3－2＜a＜3＋2.
所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}．
(2)∵f(x)＞b的解集为(－1,3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
∴解得
即a的值为3±，b的值为－3.
10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10
260元，求x的取值范围．
解 (1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，
定义域为x∈[0,2]．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10
260，
化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是
( )
A．a＞b＋1
B．a＞b－1C．a2＞b2
D．a3＞b3
解析 A项：若a＞b＋1，则必有a＞b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，满足a＞b－1，反之，由a＞b－1不能推出a＞b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立；D项：a＞b是a3＞b3的充要条件，综上所述答案选A.
答案 A
12．(2017·湛江调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)<0的解集为，则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是
( )
A．{x|x<－ln
2或x>ln
3}
B．{x|ln
23}
C．{x|x3}
D．{x|－ln
23}
解析 法一 依题意可得f(x)＝a(x－3)(a<0)，则f(ex)＝a(ex－3)(a<0)，由f(ex)＝a(ex－3)>0，可得23，故选D.
法二 由题知，f(x)>0的解集为，令23，故选D.
答案 D
13．若不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解，则实数a的取值范围是________．
解析 设f(x)＝x2＋ax－2，由题知：Δ＝a2＋8＞0，
所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一负两根，
于是不等式x2＋ax－2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，即a∈.
答案
14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a∈R)．
解 原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.
(1)当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·＜0.因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0＜a＜时，2＜，则原不等式的解集是；当a＝时，原不等式的解集是 ；
当a＞时，＜2，则原不等式的解集是.
(2)当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，
即原不等式的解集是{x|x＞2}．
(3)当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·＞0，
由于＜2，故原不等式的解集是.
综上所述，当a＜0时，不等式的解集为；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}；当0＜a＜时，不等式的解集为；当a＝时，不等式的解集为 ；当a＞时，不等式的解集为.第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的
( )
解析 法一 不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0等价于或画出对应的平面区域，可知C正确．
法二 结合图形，由于点(0,0)和(0,4)都适合原不等式，所以点(0,0)和(0,4)必在区域内，故选C.
答案 C
2．(2016·泰安模拟)不等式组所表示的平面区域的面积为
( )
A．1
B.
C.
D.
解析
作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由得yD＝，所以S△BCD＝×(xC－xB)×＝.
答案 D
3．(2017·广州二测)不等式组的解集记为D，若(a，b)∈D，则z＝2a－3b的最小值是
( )
A．－4
B．－1
C．1
D．4
解析 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
当a＝－2，b＝0，z＝2a－3b取得最小值－4.
答案 A
4．(2017·南昌质量监测)若x，y满足约束条件则3x＋5y的取值范围是
( )
A．[－5,3]
B．[3,5]
C．[－3,3]
D．[－3,5]
解析 作出如图所示的可行域及l0：3x＋5y＝0，平行移动l0到l1过点A(0,1)时，3x＋5y有最大值5，平行移动l0至l2过点B(－1,0)时，3x＋5y有最小值－3，故选D.
答案 D
5．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
( )
A.或－1
B．2或
C．2或1
D．2或－1
解析
如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a＞0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a＜0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.
答案 D
6．若函数y＝2x图像上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为
( )
A.
B．1
C.
D．2
解析 在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图像及所表示的平面区域，如图阴影部分所示．
由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图像上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.
答案 B
7．(2017·石家庄质检)已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是
( )
A．－
B．1
C．2
D．5
解析
作出可行域，如图所示的阴影部分．
化目标函数z＝y－mx(m＞0)为y＝mx＋z，由图可知，当直线y＝mx＋z过A点时，直线在y轴的截距最大，由解得即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.
答案 B
8．(2016·贵州黔东南模拟)若变量x、y满足约束条件则(x－2)2＋y2的最小值为
( )
A.
B.
C.
D．5
解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．
设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方，由图知C、D间的距离最小，此时z最小．由得即C(0,1)，此时zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5，故选D.
答案 D
二、填空题
9．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为________．
解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．
由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，z的几何意义是直线y＝－x＋z在y轴上的截距，要使z最小，需使z最小，易知当直线y＝－x＋z过点A(1,1)时，z最小，最小值为3.
答案 3
10．(2017·合肥模拟)已知O是坐标原点，点M的坐标为(2,1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的最大值是________．
解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，
其中A，
B，C(1,1)．
设z＝·＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值3.
答案 3
11．已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．
解析 法一 设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，则由待定系数法可得解得所以z＝－(x＋y)＋(x－y)．又
所以两式相加可得z∈(3,8)．
法二
作出不等式组
表示的可行域，如图中阴影部分所示．平移直线2x－3y＝0，当相应直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，z取得最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，z取得最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8.所以z∈(3,8)．
答案 (3,8)
12．已知实数x，y满足设b＝x－2y，若b的最小值为－2，则b的最大值为________．
解析
作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示．作出直线l0：x－2y＝0，∵y＝－，
∴当l0平移至A点处时b有最小值，bmin＝－a，又bmin＝－2，
∴a＝2，当l0平移至B(a，－2a)时，b有最大值bmax＝a－2×(－2a)＝5a＝10.
答案 10
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是
( )
A．1
800元
B．2
400元
C．2
800元
D．3
100元
解析 设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、y的约束条件为
设获利z元，则z＝300x＋400y.
画出可行域如图．
画直线l：300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线过点M时，
目标函数取得最大值．
由解得
即M的坐标为(4,4)，∴zmax＝300×4＋400×4＝2
800(元)，故选C.
答案 C
14．(2017·许昌监测)设实数x，y满足则的最小值是
( )
A．－5
B．－
C.
D．5
解析
作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示，则w＝的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(1,1)所在直线的斜率，由图像可知当P位于点时，直线AP的斜率最小，此时w＝的最小值为＝－，故选B.
答案 B
15．已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是________．
解析 画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，
要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－，∴a>.
答案
16．(2015·浙江卷)若实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________．
解析 ∵x2＋y2≤1，∴2x＋y－4＜0,6－x－3y＞0，
∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.
令z＝10－3x－4y，
如图，设OA与直线－3x－4y＝0垂直，∴直线OA的方程为y＝x，
联立得A，
∴当z＝10－3x－4y过点A时，z取最大值，
zmax＝10－3×－4×＝15.
答案 15