第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2016·全国Ⅱ卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝
( )
A．－
B．－
C.
D．2
解析 由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.
答案 A
2．(2017·景德镇模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为
( )
A．2x＋y－5＝0
B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0
D．x－2y－7＝0
解析 ∵过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
∵圆心与切点连线的斜率k＝＝，
∴切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.
答案 B
3．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是
( )
A．－2
B．－4
C．－6
D．－8
解析 将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1,1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4，故选B.
答案 B
4．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析 圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d＝＝，半径是2，结合图形可知有3个符合条件的点．
答案 C
5．(2017·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为
( )
A．y＝－
B．y＝－
C．y＝－
D．y＝－
解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.
故选B.
答案 B
二、填空题
6．(2016·全国Ⅲ卷)
已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由
得y2－3y＋6＝0，解得y1＝，y2＝2，
∴A(－3，)，B(0,2)．
过A，B作l的垂线方程分别为
y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0，
得xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.
答案 4
7．(2017·兰州月考)点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
解析 把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得
(x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.
圆心距d＝＝3.
所以，|PQ|的最小值是3－5.
答案 3－5
8．(2017·铜川一模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________.
解析 设直线上一点为P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝＝.
要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2.所以|PM|的最小值为2.所以|PQ|＝≥＝.
答案
三、解答题
9．(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解 (1)易知圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，
由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，
因为l与C交于两点，所以<1.
解得所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得
(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2
＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，
解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
10．已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．
法一 (1)证明 由
消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因为Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0，
所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝|x1－x2|
＝2＝2
，
令t＝，则tk2－4k＋(t－3)＝0，
当t＝0时，k＝－，当t≠0时，因为k∈R，
所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，
解得－1≤t≤4，且t≠0，
故t＝的最大值为4，此时|AB|最小为2.
法二 (1)证明 因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝<2＝R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．
(2)解 由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有与PC(C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝2＝2，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2017·衡水中学月考)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0
和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为
( )
A．1
B．3
C.
D.
解析 x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，
则＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，
所以＋＝＝≥＝1，当且仅当＝，即a＝±b时取等号．
答案 A
12．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为
( )
A．－或－
B．－或－
C．－或－
D．－或－
解析 由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故选D.
答案 D
13．已知曲线C：x＝－，直线l：x＝6，若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得＋＝0，则m的取值范围为________．
解析 曲线C：x＝－，是以原点为圆心，2为半径的半圆，并且xP∈[－2,0]，对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上的点Q使得＋＝0，
说明A是PQ的中点，Q的横坐标x＝6，
∴m＝∈[2,3]．
答案 [2,3]
14．(2017·湖南省东部六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设圆心C(a,0)，则＝2 a＝0或a＝－5(舍)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN ＋＝0 ＋＝0 2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0 －＋2t＝0 t＝4，所以当点N为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立.第3讲 圆的方程
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是
( )
A．x2＋y2＝2
B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1
D．x2＋y2＝4
解析 AB的中点坐标为(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
答案 A
2．(2017·合肥模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
解析 已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.
答案 A
3．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪
B.
C．(－2,0)
D.
解析 方程为2＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.答案 D
4．(2017·淄博调研)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是
( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案 A
5．(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①
由点A(1,0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为
y－＝，②
联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，
其到原点的距离为
＝.故选B.
答案 B
二、填空题
6．若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．
解析 设圆心C坐标为(2，b)(b<0)，则|b|＋1＝.解得b＝－，半径r＝|b|＋1＝，
故圆C的方程为：(x－2)2＋2＝.
答案 (x－2)2＋2＝
7．(2017·广州模拟)已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________．
解析 圆C的方程可化为2＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大．
答案 (0，－1)
8．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．
解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案 x＋y－1＝0
三、解答题
9．已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．
解 l2平行于x轴，l1与l3互相垂直．三交点A，B，C连线构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．
解方程组
得所以点A的坐标是(－2，－1)．
解方程组得
所以点B的坐标是(1，－1)．
线段AB的中点坐标是，
又|AB|＝＝3.
故所求圆的标准方程是2＋(y＋1)2＝.
10．在△ABC中，已知|BC|＝2，且＝m，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
解
如图，以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点，建立直角坐标系．
则有B(－1,0)，C(1,0)，设点A的坐标为(x，y)．
由＝m，得＝m.整理得(m2－1)x2＋(m2－1)y2－2(m2＋1)x＋(m2－1)＝0.①
当m2＝1时，m＝1，方程是x＝0，轨迹是y轴．
当m2≠1时，对①式配方，得2＋y2＝.
所以，点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆(除去圆与BC的交点)．
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为
( )
A．1
B．5
C．4
D．3＋2
解析 由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，
∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，
∴＋＝(＋)(a＋b)＝3＋＋
≥3＋2
＝3＋2，
当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．
∴＋的最小值为3＋2.
答案 D
12．已知圆心(a，b)(a＜0，b＜0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2，则圆的方程为
( )
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝9
B．(x＋3)2＋(y＋5)2＝25
C．(x＋6)2＋2＝
D.2＋2＝
解析 由圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x轴相切，由题意得圆的半径为|b|，则圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由圆心在直线y＝2x＋1上，
得b＝2a＋1 ①，
由此圆在y轴上截得的弦长为2，
得b2－a2＝5 ②，
由①②得或(舍去)．所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝9.故选A.
答案 A
13．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．
解析 设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
答案 74
14．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
解 (1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6,7)，半径r＝5，
由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0)，
且＝b＋5.
解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)∵kOA＝2，∴可设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.
又|BC|＝|OA|＝＝2，
由题意，圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d＝＝＝2，
即＝2，解得m＝5或m＝－15.
∴直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，
又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.
∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，
解得2－2≤t≤2＋2.
故所求t的范围为[2－2，2＋2].第九章
平面解析几何
第1讲 直线的方程
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为
( )
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
解析 直线的斜率为k＝tan
α＝，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.
答案 B
2．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则直线l的方程是
( )
A．x＋y－2＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0
D．x－y＋3＝0
解析 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
答案 D
3．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是
( )
A.
B.
C.∪
D.∪
解析 ∵直线的斜率k＝－，∴－1≤k＜0，则倾斜角的范围是.
答案 B
4．(2017·南昌一中期中)经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是
( )
A．6x－4y－3＝0
B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0
D．2x＋3y－1＝0
解析 因为抛物线y2＝2x的焦点坐标为，直线3x－2y＋5＝0的斜率为，所以所求直线l的方程为y＝，化为一般式，得6x－4y－3＝0.
答案 A
5．(2016·广州质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为
( )
A.
B．－
C．－
D.
解析 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得
a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.
答案 B
6．(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是
( )
解析 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合．
答案 B
7．(2016·衡水一模)已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为
( )
A．y＝x＋2
B．y＝x－2
C．y＝x＋
D．y＝－x＋2
解析 ∵直线x－2y－4＝0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝x＋2，故选A.
答案 A
8．(2017·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为
( )
A．1
B．2
C．4
D．8
解析 ∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，
∴a＋b＝ab，即＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.
答案 C
二、填空题
9．已知三角形的三个顶点A(－5,0，)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．
解析 BC的中点坐标为，∴BC边上中线所在直线方程为＝，即x＋13y＋5＝0.
答案 x＋13y＋5＝0
10．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________．
解析 当≤α<时，≤tan
α<1，∴≤k<1.
当≤α<π时，－≤tan
α<0，
即－≤k＜0，∴k∈∪[－，0)．
答案 [－，0)∪
11．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________．
解析 ①若直线过原点，则k＝－，
所以y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，
即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.
答案 4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
12．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．
解析 直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0，
由解得x＝2，y＝－2，
所以直线l恒过定点(2，－2)．
答案 (2，－2)
能力提升题组(建议用时：15分钟)
13．已知直线l过点(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为
( )
A．4x－3y－3＝0
B．3x－4y－3＝0
C．3x－4y－4＝0
D．4x－3y－4＝0
解析 由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为，则tan
α＝，
所以直线l的斜率k＝tan
2α＝＝＝，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝(x－1)，
即4x－3y－4＝0.
答案 D
14．(2017·西安调研)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为
( )
A.
B．[－1,0]
C．[0,1]
D.
解析 由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－.
答案 A
15．已知直线l过坐标原点，若直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．
解析
设直线l与线段2x＋y＝8(2≤x≤3)的公共点为P(x，y)．
则点P(x，y)在线段AB上移动，且A(2,4)，B(3,2)，
设直线l的斜率为k.
又kOA＝2，kOB＝.
如图所示，可知≤k≤2.
∴直线l的斜率的取值范围是.
答案
16．在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________．
解析 直线OA的方程为y＝x，
代入半圆方程得A(1,1)，
∴H(1,0)，直线HB的方程为y＝x－1，
代入半圆方程得B.
所以直线AB的方程为＝，
即x＋y－－1＝0.
答案 x＋y－－1＝0
