第5讲 椭 圆
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于
( )
A．5
B．3
C．5或3
D．8
解析 当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当0答案 C
2．“2( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 若＋＝1表示椭圆．
则有∴2故“2答案 B
3．设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 在Rt△PF2F1中，令|PF2|＝1，因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2，|F1F2|＝.故e＝＝＝.故选D.
答案 D
4．(2015·全国Ⅰ卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝
( )
A．3
B．6
C．9
D．12
解析 抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.故选B.
答案 B
5．(2016·江西师大附中模拟)椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则ax＋by＝1，ax＋by＝1，
即ax－ax＝－(by－by)，＝－1，
＝－1，∴×(－1)×＝－1，
∴＝，故选B.
答案 B
二、填空题
6．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为________．
解析 由题意知解得
又b2＝a2－c2，∴b2＝9，∴b＝3.
当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1，
当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
答案 ＋＝1或＋＝1
7．(2017·南昌质检)椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________．
解析 记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
则m＝|PF1|·|PF2|≤2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.
∴点P的坐标为(－3,0)或(3,0)．
答案 (－3,0)或(3,0)
8．(2017·乌鲁木齐调研)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
解析 设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①
将y2＝b2－x2代入①式解得
x2＝＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝∈.
答案
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解 (1)根据c＝及题设知M，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.
(2)由题意，知原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，
所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，
故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|，得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
即
代入C的方程，得＋＝1.②
将①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝2
.
10．(2017·宝鸡月考)已知点M(，)在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积．
解 (1)由已知得
解得
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0)．
由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12＝0，
则x0＝＝－m，y0＝x0＋m＝m，
即D.
因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，
即PD的斜率k＝＝－1，解得m＝2.
此时x1＋x2＝－3，x1x2＝0，
则|AB|＝|x1－x2|＝·＝3，
又点P到直线l：x－y＋2＝0的距离为d＝，
所以△PAB的面积为S＝|AB|·d＝.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2016·高安模拟)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为
( )
A.
B.
C.
D.－1
解析 设F(－c,0)关于直线x＋y＝0的对称点A(m，n)，
则∴m＝，n＝c，
代入椭圆方程可得＋＝1，并把b2＝a2－c2代入，
化简可得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2，又0＜e＜1，∴e＝－1，故选D.
答案 D
12．(2017·海沧实验中学模拟)已知直线l：y＝kx＋2过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为L，若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
解析 依题意，知b＝2，kc＝2.
设圆心到直线l的距离为d，则L＝2≥，
解得d2≤.又因为d＝，所以≤，
解得k2≥.
于是e2＝＝＝，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.故选B.
答案 B
13．椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是________．
解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，
则＝(x＋，y)，＝(x－，y)．
∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，
即x2－3＋y2<0，①
∵y2＝1－，代入①得x2－3＋1－<0，
即x2<2，∴x2<.
解得－答案
14．(2017·西安质监)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．
(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；
(2)若k＝，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；
(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．
解 (1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5.
结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16.
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一 由得x2－a2b2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以x1＋x2＝0，x1x2＝，
由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，
因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，
所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝x1x2＋9＝0.即x1x2＝－8，所以有＝－8，
结合b2＋9＝a2，解得a2＝12，∴e＝.
法二 设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以x＋y＝9，
又由椭圆及直线方程综合可得
由前两个方程解得x＝8，y＝1，
将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9，
解得a2＝12，故e＝.
(3)由(2)的结论知，椭圆方程为＋＝1，
由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，所以k1k2＝，
又＝＝－.
即k2＝－，
由－2＜k1＜－1可知，＜k2＜.
故直线PB的斜率k2的取值范围是.第8讲 圆锥曲线的综合问题
第1课时 直线与圆锥曲线
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线
( )
A．有且只有一条
B．有且只有两条
C．有且只有三条
D．有且只有四条
解析 ∵通径2p＝2，又|AB|＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝3＞2p，故这样的直线有且只有两条．
答案 B
2．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的交点个数是
( )
A．1
B．2
C．1或2
D．0
解析 因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
答案 A
3．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于
( )
A．－3
B．－
C．－或－3
D．±
解析 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan
45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.
答案 B
4．抛物线y＝x2到直线x－y－2＝0的最短距离为
( )
A.
B.
C．2
D.
解析 设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝，
∴x＝时，
dmin＝.
答案 B
5．已知A，B，P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 设A(x1，y1)，P(x2，y2)根据对称性，得B点坐标为
(－x1，－y1)，因为A，P在双曲线上，
所以两式相减，得kPAkPB＝＝，
所以e2＝＝，故e＝.
答案 D
二、填空题
6．(2017·西安调研)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为________．
解析 由题意得解得∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
7．已知抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________．
解析 由题设知p＝＝2，∴a＝.
抛物线方程为y＝x2，焦点为F(0,1)，准线为y＝－1.
联立消去x，
整理得y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，∵直线过焦点F，
∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8.
答案 8
8．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．
解析 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
由于A，B两点均在椭圆上，
故＋＝1，＋＝1，
两式相减得
＋＝0.
又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，
∴kAB＝＝－.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．
即3x＋4y－13＝0.
答案 3x＋4y－13＝0
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．
解 (1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，
l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|＝，即a＝，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝＝＝.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知
x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，
得c＝3，从而a＝3，b＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
10.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
解 (1)由题意得
解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，解得k＝±1.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
11．已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是
( )
A．1
B.
C.
D.
解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2，由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.
由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.
答案 D
12．抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝
( )
A.
B.
C.
D.
解析
∵双曲线C2：－y2＝1，
∴右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±x.
抛物线C1：y＝x2(p＞0)，焦点为F′.设M(x0，y0)，则y0＝x.
∵kMF′＝kFF′，∴＝.①
又∵y′＝x，∴y′|x＝x0＝x0＝.②
由①②得p＝.
答案 D
13．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
解析 直线AF的方程为y＝－(x－2)，联立得y＝4，所以P(6,4)．
由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8.
答案 8
14．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．
解 (1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，
解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)．
代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)．
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，
y3y4＝－4(2m2＋3)．
故MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于MN垂直平分AB，
故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，
即4(m2＋1)2＋2＋2＝
.
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.第6讲 抛物线
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝
( )
A.
B．1
C.
D．2
解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1,2)，代入曲线y＝(k>0)得k＝2，故选D.
答案 D
2．点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A．y＝12x2
B．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2
D．y＝x2或y＝－x2
解析 分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.
答案 D
3．(2017·宜春诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝
( )
A．9
B．8C．7
D．6
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.答案 B
4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|等于
( )
A.
B.
C．3
D．2
解析
∵＝4，
∴||＝4||，∴＝.
如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，
设l与x轴的交点为A，
则|AF|＝4，∴＝＝，
∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.
答案 C
5．(2017·衡水金卷)已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值为
( )
A．12
B．24
C．16
D．32
解析 当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32＞32，综上可知，y＋y≥32.∴y＋y的最小值为32.故选D.
答案 D
二、填空题
6．(2016·兰州诊断)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．
解析 由图可知弦长|AB|＝2，三角形的高为3，
∴面积为S＝×2×3＝3.
答案 3
7．(2017·安徽四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为________．
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案 8
8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解析
建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x2＝－2py(p＞0)．
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米．
答案 2
三、解答题
9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；
②求p的取值范围．
(1)解 ∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2,0)．
即抛物线的焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.
∴抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)①证明 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
则则
∴kPQ＝＝，
又∵P，Q关于l对称．∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，
∴＝－p，又∵PQ的中点一定在l上，
∴＝＋2＝2－p.
∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．
②解 ∵PQ的中点为(2－p，－p)，
∴
即∴
即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根．∴Δ＞0.
即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0＜p＜，
故所求p的范围为.
10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)．
由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(
)
则y1，y2是方程(
)的两个实数根，
所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，
所以x1x2＝＝＝.
(2)＋＝＋
＝.
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得＋＝＝(定值)．
(3)
设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，
则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝
(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
11．(2017·汉中模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于
( )
A．－4
B．4
C．p2
D．－p2
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，则x1x2＝；
②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－)，
联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x1x2＝.又y＝2px1，y＝2px2，
∴yy＝4p2x1x2＝p4，又∵y1y2＜0，∴y1y2＝－p2.
故＝－4.
答案 A
12．(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为
( )
A.
B.
C.
D．1
解析 如图，
由题可知F，设P点坐标为(y0＞0)，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2等号成立．故选C.
答案 C
13．(2016·湖北七校联考)已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________．
解析 如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即＝，即m＋n的最小值为－1.
答案 －1
14．(2017·南昌模拟)已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p＞0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O为坐标原点)．
(1)求抛物线C2的方程；
(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值．
解 (1)由题意知F1(1,0)，F2，
∴＝，∵F1F2⊥OP，∴·＝·(－1，－1)＝1－＝0，
∴p＝2，∴抛物线C2的方程为x2＝4y.
(2)设过点O的直线为y＝kx(k＜0)，
联立得M，
联立得N(4k,4k2)，
从而|MN|＝＝，
又点P到直线MN的距离d＝，
进而S△PMN＝···＝
2·＝
＝2，
令t＝k＋(t≤－2)，则有S△PMN＝2(t－2)(t＋1)，
当t＝－2时，此时k＝－1，S△PMN取得最小值．即当过点O的直线为y＝－x时，△PMN面积的最小值为8.第7讲 双曲线
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2017·郑州模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为
( )
A．y＝±x
B．y＝±x
C．y＝±x
D．y＝±2x
解析 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.
答案 B
2．(2015·广东卷)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为
( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析 因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.
答案 C
3．(2017·山西省四校联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c,0)到y＝x的距离为2，即＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝＝，∴离心率e＝＝＝.
答案 B
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos
∠F1PF2＝
( )
A.
B.
C.
D.
解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos
∠F1PF2＝＝.
答案 C
5．(2017·成都诊断)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝
( )
A.
B．2
C．6
D．4
解析 由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.
答案 D
二、填空题
6．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
解析 由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.
答案 2
7．(2016·北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析
取B为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2，
又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b.
又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案 2
8．(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
解析 由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c.
又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案 2
三、解答题
9．(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
(1)解 ∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.
法二 由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3,0)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
10．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围．
解 (1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2＜1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·＞2，得x1x2＋y1y2＞2，
∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为
( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析 由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝x，因此可得点A的坐标为(a，b)．
设右焦点为F(c,0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为－＝1，故选A.
答案 A
12．若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
解析 由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.
答案 C
13．(2016·浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
解析
如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设点P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，
结合实际意义需满足
解得－1＋＜m＜3，
又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，
∴2＜2m＋2＜8.
答案 (2，8)
14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若A＝P，求△AOB的面积．
解 (1)依题意得解得
故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m,2m)，B(－n,2n)，其中m＞0，n＞0，由A＝P得点P的坐标为.
将点P的坐标代入－x2＝1，
整理得mn＝1.
设∠AOB＝2θ，∵tan＝2，
则tan
θ＝，从而sin
2θ＝.
又|OA|＝m，|OB|＝n，
∴S△AOB＝|OA||OB|sin
2θ＝2mn＝2.
