第5讲 古典概型
基础巩固题组(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2014·全国Ⅰ卷改编)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b.则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P＝＝.
答案 C
2．(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 设另外三名学生分别为丙、丁、戊．从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形．故甲被选中的概率P＝＝.
答案 B
3．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．
故所求事件的概率P＝1－＝.
答案 C
4．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为＝.
答案 B
5．设m，n分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋mx＋n＝0有实根的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 先后两次出现的点数中有5的情况有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11种，其中使方程x2＋mx＋n＝0有实根的情况有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7种．故所求事件的概率P＝.
答案 C
二、填空题
6．在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos
x＝的概率是________．
解析 基本事件总数为10，满足方程cos
x＝的基本事件数为3，故所求概率为P＝.
答案
7．(2016·四川卷)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
解析 从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8),
共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝＝.
答案
8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．
解析 设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．
其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，
所以P(A)＝＝.
答案
三、解答题
9．(2015·山东卷)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
参加书法社团
未参加书法社团
参加演讲社团
8
5
21世纪教育网未参加演讲社团
2
30
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
解 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，
故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，
所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，
{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，
{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，
共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．
因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.
10．在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．
(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局)，求甲获胜的概率；
(2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？
解 用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．
(1)设甲获胜的事件为A，则事件A中包含的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共10个，
则P(A)＝＝.
(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共有10个；则P(B)＝＝.∴P(C)＝1－P(B)＝.
∵P(B)≠P(C)，∴这样规定不公平．
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2017·衡水中学质检)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题意知，向量m共有4×3＝12个，
由m⊥n，得m·n＝0，即a＝b，则满足m⊥n的m有(3,3)，(5,5)，共2个，故所求概率P＝＝.
答案 A
12．某同学先后投掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 先后掷两次骰子的结果共6×6＝36种．
以(x，y)为坐标的点落在直线2x－y＝1上的结果有(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3种，故所求概率为＝.
答案 A
13．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4＜0成立的事件发生的概率为________．
解析 由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4＜0
有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．
故所求事件的概率P＝＝.
答案
14．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区
A
B
C
数量
50
150
100
(1)求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：
50×＝1,150×＝3,100×＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1，3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：
{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有
{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．
所以这2件商品来自相同地区的概率P(D)＝.第2讲 统计图表、数据的数字特征、
用样本估计总体
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：
则这组数据的中位数是
( )
A．19
B．20
C．21.5
D．23
解析 从茎叶图知所有数据为8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32，中间两个数为20,20，故中位数为20，选B.
答案 B
2．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50](单位：元)内，其中支出在[30,50](单位：元)内的同学有67人，其频率分布直方图如图所示，则n的值为
( )
A．100
B．120
C．130
D．390
解析 支出在[30,50]内的同学的频率为1－(0.01＋0.023)×10＝0.67，n＝＝100.
答案 A
3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1
534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为
( )
A．134石
B．169石
C．338石
D．1
365石
解析 254粒和1
534石中夹谷的百分比含量是大致相同的，可据此估计这批米内夹谷的数量．
设1
534石米内夹谷x石，则由题意知＝，
解得x≈169.故这批米内夹谷约为169石．
答案 B
4．(2016·全国Ⅲ卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15
℃，B点表示四月的平均最低气温约为5
℃.下面叙述不正确的是
( )
A．各月的平均最低气温都在0
℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20
℃的月份有5个
解析 对于选项A，由图易知各月的平均最低气温都在0
℃以上，A正确；对于选项B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；对于选项C，三月和十一月的平均最高气温均为10
℃，所以C正确；对于选项D，平均最高气温高于20
℃的月份有七月、八月、共2个月份，故D错误．答案 D
5．(2015·安徽卷)若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为
( )
A．8
B．15
C．16
D．32
解析 已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝2×8＝16，故选C.
答案 C
二、填空题
6．(2015·广东卷)已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________．
解析 由条件知＝＝5，则所求平均数
0＝
＝
＝2＋1＝2×5＋1＝11.
答案 11
7．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175
cm，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为________.
解析 170＋×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，
×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2.
答案 2
8．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100
cm.
解析 底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，
样本容量为60，所以树木的底部周长小于100
cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.
答案 24
三、解答题9．某车间20名工人年龄数据如下表：
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
(3)求这20名工人年龄的方差．
解 (1)这20名工人年龄的众数为30；这20名工人年龄的极差为40－19＝21.
(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图如下：
(3)这20名工人年龄的平均数为(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；
所以这20名工人年龄的方差为
(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.
10．(2016·北京卷)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10
000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．
解 (1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.
所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.
依题意，w至少定为3.
(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
分组
[2,4]
(4,6]
(6,8]
(8,10]
(10,12]
(12,17]
(17,22]
(22,27]
频率
0.1
0.15
0.2
0.25
0.15
0.05
0.05
0.05
根据题意，该市居民该月的人均水费估计为
4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是
( )
A．12.5,12.5
B．13,13
C．13.5,12.5
D．13.5,13解析 第1组的频率为0.04×5＝0.2，第2组的频率为0.1×5＝0.5，则第3组的频率为1－0.2－0.5＝0.3，估计总体平均数为7.5×0.2＋12.5×0.5＋17.5×0.3＝13.由题意知，中位数在第2组内，设为10＋x，则有0.1x＝0.3，解得x＝3，从而中位数是13.
答案 B
12．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
则7个剩余分数的方差为
( )
A.
B.
C．36
D.
解析 由题意知＝91，
解得x＝4.所以s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝.
答案 B
13．(2015·湖北卷)某电子商务公司对10
000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中的a＝________；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．
解析 (1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.
(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.
因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10
000＝6
000.
答案 (1)3 (2)6
000
14．(2014·全国Ⅰ卷)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125]
频数
6
26
38
22
8
(1)作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？
解 (1)样本数据的频率分布直方图如图所示：
(2)质量指标值的样本平均数为
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.
质量指标值的样本方差为
s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为
0．38＋0.22＋0.08＝0.68.
由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.第6讲 几何概型
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．在区间[－2,3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的概率为P＝.
答案 B
2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是
( )
A.
B．π
C．2π
D．3π
解析 设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得＝，则S＝3π.
答案 D
3．(2015·山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 由－1≤log≤1，
得≤x＋≤2，
解得0≤x≤，所以事件“－1≤log≤1”发生的
概率为＝，故选A.
答案 A
4．(2017·陕西师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析 设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝＝＝.
答案 B
5．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1
内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为
( )
A.
B．1－
C.
D．1－
解析 设“点P到点O的距离大于1”为事件A.
则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部．
∴V正方体＝23＝8，V半球＝π·13×＝π.
∴P(A)＝＝1－.
答案 B
6．已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析
如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形．所以△ABD为钝角三角形的概率为＝.
答案 C
7．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
解析
如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是.故选D.
答案 D
8．(2017·华师附中联考)在区间[0,4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析
由x，y∈[0,4]知(x，y)构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分．
易知A(4,2)，S正方形＝16，
S阴影＝＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率P＝＝.
答案 D
9．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
解析 当点P到底面ABC的距离小于时，
VP－ABC＜VS－ABC.
由几何概型知，所求概率为P＝1－3＝.
答案 A
10．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为
( )
A.＋π
B.＋
C.－
D.－
解析
因为复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，
即点(x，y)在以(1,0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y＝x左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，
即P＝＝－.
答案 D
二、填空题
11．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．
当2＜m＜4时，由题意得＝，解得m＝3.
答案 3
12．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________．
解析 因为VA－A1BD＝VA1－ABD＝AA1×S△ABD＝×AA1×S矩形ABCD＝V长方体，故所求概率为＝.
答案
13．(2016·山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．
解析 直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件是圆心(5,0)到直线y＝kx的距离小于3.
则＜3，解之得－＜k＜，故所求事件的概率P＝＝.
答案
14．(2017·唐山模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________．
解析 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于()2－4＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于＝－1.
答案 －1
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
15．在区间[－1,4]内取一个数x，则2x－x2≥的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
解析 由2x－x2≥，得－1≤x≤2.又－1≤x≤4.
∴所求事件的概率P＝＝.
答案 D
16．如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2
km，大圆的半径为4
km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3
km的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 根据几何概型公式，小于3
km的圆环面积为π(32－22)＝5π；圆环总面积为π(42－22)＝12π，所以点P与点O的距离小于3
km的概率为P(A)＝＝.
答案 B
17．已知平面区域D＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，在区域D内任取一点，则取到的点位于直线y＝kx(k∈R)下方的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 由题设知，区域D是以原点为中心的正方形，根据图形的对称性知，直线y＝kx将其面积平分，如图，故所求概率为.
答案 A
18．(2017·合肥质检)在区间[0，π]上随机取一个实数x，使得sin
x∈的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 由0≤sin
x≤，且x∈[0，π]，
解之得x∈∪.
故所求事件的概率P＝＝.
答案 C
19．(2017·成都诊断)如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 ∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P＝＝.
答案 B
20．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 V圆柱＝2π，V半球＝×π×13＝π，＝，故点P到O的距离大于1的概率为.
答案 A
21．(2015·湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则
( )
A．p1
B．p2<C.D．p1<解析 (x，y)构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x＋y≤的区域如图1中阴影部分所示，所以p1＝＝，满足xy≤的区域如图2中阴影部分所示，所以p2＝＝＞，
所以p1＜＜p2，故选D.
答案 D
22．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点的概率为
( )
A．1－
B．1－
C．1－
D．1－
解析
由函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π2有零点，可得Δ＝(2a2)－4(－b2＋π2)≥0，整理得a2＋b2≥π2，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为
Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，其面积SΩ＝(2π)2＝4π2.
事件A表示函数f(x)有零点，
所构成的区域为M＝{(a，b)|a2＋b2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为SM＝4π2－π3，
故P(A)＝＝＝1－.
答案 B
23．(2017·安徽江南名校联考)AB是半径为1的圆的直径，M为直径AB上任意一点，过点M作垂直于直径AB的弦，则弦长大于的概率是________．
解析 依题意知，当相应的弦长大于时，圆心到弦的距离小于＝，因此相应的点M应位于线段AB上与圆心的距离小于的地方，所求的概率等于.
答案
24．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．
解析 由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝.
答案
25．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析 ∵去看电影的概率P1＝＝，
去打篮球的概率P2＝＝，
∴不在家看书的概率为P＝＋＝.
答案
26．随机地向半圆0＜y＜(a为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为________．
解析 由0＜y＜(a＞0)．
得(x－a)2＋y2＜a2.
因此半圆域如图所示．
设A表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于”，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝＝＋.
答案 ＋第4讲 随机事件的概率
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，任意两人不能同一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是
( )
A．互斥但非对立事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．以上都不对
解析 由于任意两人不能同一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．
答案 A
2．(2017·合肥模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为
( )
A．0.7
B．0.65
C．0.35
D．0.3
解析 事件“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件，由于P(A)＝0.65，所以由对立事件的概率公式得“抽到的产品不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.
答案 C
3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率为的事件是
( )
A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，因此“至多有一张移动卡”的概率为.
答案 A
4．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
解析 设a，b分别为甲、乙摸出球的编号．由题意，摸球试验共有36种不同结果，满足a＝b的基本事件共有6种．所以摸出编号不同的概率P＝1－＝.
答案 C
5．掷一个骰子的试验，事件A表示“出现21世纪教育网小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，若表示B的对立事件，则一次试验中，事件A＋发生的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
∴P()＝1－P(B)＝1－＝，
∵表示“出现5点或6点”的事件，
因此事件A与互斥，
从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
答案 C
二、填空题
6．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
解析 ①错，不一定是10件次品；②错，是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
答案 0
7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
解析 20组随机数中，恰有两次命中的有5组，因此该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为P＝＝.
答案
8．某城市2017年的空气质量状况如表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2017年空气质量达到良或优的概率为________．
解析 由题意可知2017年空气质量达到良或优的概率为P＝＋＋＝.
答案
三、解答题
9．某班选派5人，参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：
获奖人数
0
1
2
3
4
5
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
(1)若获奖人数不超过2人的概率为0.56，求x的值；
(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值．
解 记事件“在竞赛中，有k人获奖”为Ak(k∈N，k≤5)，则事件Ak彼此互斥．
(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，
∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.
(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.
由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44.
解得y＝0.2.
10．(2015·陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
晴
日期
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
雨
阴
阴
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
解 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝＝.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率f＝＝.
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A＋B)＝，则A，B之间的关系一定为
( )
A．两个任意事件
B．互斥事件
C．非互斥事件
D．对立事件
解析 因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A＋B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．
答案 B
12.如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
解析 设被污损的数字为x，则
甲＝(88＋89＋90＋91＋92)＝90，
乙＝(83＋83＋87＋99＋90＋x)，
若甲＝乙，则x＝8.
若甲＞乙，则x可以为0,1,2,3,4,5,6,7，
故P＝＝.
答案 C
13．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一面的数是奇数”，事件B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝________.
解析 将事件A＋B分为：事件C“朝上一面的数为1,2”与事件D“朝上一面的数为3,5”．
则C，D互斥，
且P(C)＝，P(D)＝，
∴P(A＋B)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.
答案
14．(2017·宝鸡调研)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额(元)
0
1
000
2
000
3
000
4
000
车辆数(辆)
500
130
100
150
120
(1)若每辆车的投保金额均为2
800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4
000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4
000元的概率．
解 (1)设A表示事件“赔付金额为3
000元”，B表示事件“赔付金额为4
000元”，以频率估计概率得
P(A)＝＝0.15，P(B)＝＝0.12.
由于投保金额为2
800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3
000元和4
000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4
000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1
000＝100(辆)，而赔付金额为4
000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4
000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.第3讲 相关性、最小二乘估计与统计案例
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是
( )
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25
解析 相关指数R2越大，拟合效果越好，因此模型1拟合效果最好．
答案 A
2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是
( )
A．y＝0.4x＋2.3
B．y＝2x－2.4
C．y＝－2x＋9.5
D．y＝－0.3x＋4.4
解析 因为变量x和y正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标代入检验，A满足．
答案 A
3．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是
( )
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1
cm，则其体重约增加0.85
kg
D．若该大学某女生身高为170
cm，则可断定其体重必为58.79
kg
解析 ∵0.85>0，∴y与x正相关，∴A正确；
∵回归直线经过样本点的中心(，)，∴B正确；
∵Δy＝0.85(x＋1)－85.71－(0.85x－85.71)＝0.85，
∴C正确．
答案 D
4．通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由χ2＝算得，
χ2＝≈7.8.
则得到的正确结论是
( )
A．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．有90%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D．有90%的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
解析 根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635，可知有99%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．答案 A
5．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝－b，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为
( )
A．11.4万元
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
解析 由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴a＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
答案 B
二、填空题
6．若8名学生的身高和体重数据如下表：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
54
64
61
43
59
第3名学生的体重漏填，但线性回归方程是y＝0.849x－85.712，则第3名学生的体重估计为________．
解析 设第3名学生的体重为a，则
(48＋57＋a＋54＋64＋61＋43＋59)＝0.849×(165＋165＋157＋170＋175＋165＋155＋170)－85.712.
解之得a≈50.
答案 50
7．(2017·南昌模拟)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表如下：
理科
文科
总计
男
13
10
23
女
7
20
27
总计
20
30
50
根据表中数据，得到χ2＝≈4.844，则有________的把握认为选修文理科与性别有关系．
解析 由χ2＝4.844＞3.841.故有95%的把握认为选修文理科与性别有关系．
答案 95%
8．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
由表中数据得回归直线方程y＝bx＋a中的b＝－2，预测当气温为－4
℃时，用电量约为________度．
解析 根据题意知＝＝10，＝＝40，因为回归直线过样本点的中心，所以a＝40－(－2)×10＝60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度．
答案 68
三、解答题
9．(2017·郑州调研)某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：
年份
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(1)求y关于t的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b＝，a＝－b.
解 (1)由所给数据计算得＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
(ti－)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
(ti－)(yi－)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋
(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
b＝＝＝0.5，
a＝－b＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为y＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，b＝0.5>0，故2009至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年约增加0.5千元．
将2017年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
10．(2017·西安质检)某省会城市地铁将于2017年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：
月收入(单位：百元)
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75]
赞成定价者人数
1
2
3
5
3
4
认为价格偏高者人数
4
8
12
5
2
1
(1)若以区间的中点值为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；
(2)由以上统计数据填下面2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.
月收入不低于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
总计
认为价格偏高者
赞成定价者
总计
解 (1)“赞成定价者”的月平均收入为
x1＝≈50.56.
“认为价格偏高者”的月平均收入为
x2＝＝38.75，
∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．
(2)根据条件可得2×2列联表如下：
月收入不低于55百元的人数
月收入低于55百元的人数
总计
认为价格偏高者
3
29
32
赞成定价者
7
11
18
总计
10
40
50
χ2＝≈6.27<6.635，
∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”．
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x(单位：元)和销售量y(单位：件)之间的四组数据如下表：
售价x
4
4.5
5.5
6
销售量y
12
11
10
9
为决策产品的市场指导价，用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程为y＝－1.4x＋a，那么方程中的a值为
( )
A．17
B．17.5
C．18
D．18.5
解析 ＝＝5，
＝＝10.5，
∵回归直线过样本点的中心，
∴a＝10.5＋1.4×5＝17.5.
答案 B
12．根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为y＝bx＋a，则
( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D．a<0，b<0
解析 作出散点图如下：
观察图像可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b<0，当x＝0时，y＝a>0.故a>0，b<0.
答案 B
13．(2017·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)
几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
根据上述数据，有________的把握推断视觉和空间想象能力与性别有关系．
解析 由列联表计算x2＝≈5.556>3.814.
∴有95%的把握推断视觉和空间想象能力与性别有关系．
答案 95%
14．(2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2
(wi－)2
(xi－)·(yi－)
(wi－)·(yi－)
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1
469
108.8
表中wi＝，＝wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
β＝，α＝－β .
解 (1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于
d＝＝＝68，
c＝－d＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值
y＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.第十章
统计与统计案例、概率
第1讲 抽样方法
基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1．打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体抽取一个13张的样本．这种抽样方法是
( )
A．系统抽样
B．分层抽样
C．简单随机抽样
D．非以上三种抽样方法
解析 符合系统抽样的特征．
答案 A
2．为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
( )
A．简单随机抽样
B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样
D．系统抽样
解析 不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样．
答案 C
3．(2017·南昌一中测试)某中学有高中生3
500人，初中生1
500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为( )
A．100
B．150
C．200
D．250
解析 法一 由题意可得＝，解得n＝100.
法二 由题意，抽样比为＝，总体容量为3
500＋1
500＝5
000，故n＝5
000×＝100.
答案 A
4．在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则
( )
A．p1＝p2＜p3
B．p2＝p3＜p1
C．p1＝p3＜p2
D．p1＝p2＝p3
解析 由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.
答案 D
5．高三·一班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是
( )
A．8
B．13
C．15
D．18
解析 分段间隔为＝13，故还有一个学生的编号为5＋13＝18.
答案 D
6．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是
( )
A．5,10,15,20,25
B．3,13,23,33,43
C．1,2,3,4,5
D．2,4,6,16,32
解析 间隔距离为10，故可能编号是3,13,23,33,43.
答案 B
7．某市电视台为调查节目收视率，想从全市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．已知3个区人口数之比为2∶3∶5，如果最多的一个区抽出的个体数是60，那么这个样本的容量为
( )
A．96
B．120
C．180
D．240
解析 设样本容量为n，则＝，
解得n＝120.
答案 B
8．将参加英语口语测试的1
000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为
( )
A．700
B．669
C．695
D．676解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，
分段间隔数k＝＝＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个编号为15＋(35－1)×20＝695.
答案 C
9．(2017·西安摸底)某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为13，则n＝
( )
A．660
B．720
C．780
D．800
解析 由已知条件，抽样比为＝，
从而＝，解得n＝720.
答案 B
二、填空题
10．(2015·福建卷)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
解析 设男生抽取x人，则有＝，解得x＝25.
答案 25
11．(2017·郑州调研)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．
解析 由系统抽样知，抽样间隔k＝＝16，
因为样本中含编号为28的产品，
则与之相邻的产品编号为12和44.
故所取出的5个编号依次为12,28,44,60,76，即最大编号为76.
答案 76
12．央视春晚直播不到20天的时候，某媒体报道，由六小龄童和郭富城合演的《猴戏》节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：
网民态度
支持
反对
无所谓
人数(单位：人)
8
000
6
000
10
000
若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为________．
解析 持“支持”态度的网民抽取的人数为48×＝48×＝16.
答案 16
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
13．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是
( )
A．②、③都不能为系统抽样
B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样
D．①、③都可能为分层抽样
解析 ①在1～108之间有4个，109～189之间有3个，190～270之间有3个，符合分层抽样的规律，可能是分层抽样．同时，从第二个数据起每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的；同理③符合分层抽样的规律，可能是分层抽样，同时，从第二个数据起每个数据与前一个的差都为27，符合系统抽样的规律，则可能是系统抽样得到的，故选D.答案 D
14．某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为
( )
A．40
B．36
C．30
D．20
解析 利用分层抽样的比例关系，
设从乙社区抽取n户，则＝.
解得n＝30.
答案 C
15．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为
( )
A.23
B．09
C．02
D．17
解析 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.
答案 C
16．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为
( )
A．480
B．481
C．482
D．483
解析 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.
答案 C
17．将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为
( )
A．26,16,8
B．25,17,8
C．25,16,9
D．24,17,9
解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N＋)组抽中的号码是3＋12(k－1)．
令3＋12(k－1)≤300得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495得结合各选项知，选B.
答案 B
18．某工厂的三个车间21世纪教育网在12月份共生产了3
600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为
( )
A．800
B．1
000
C．1
200
D．1
500
解析 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
所以＝b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的，即为×3
600＝1
200.
答案 C
19．某大学工程学院有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为
( )
A．11
B．12
C．13
D．14
解析 使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取＝12人．
答案 B
20．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取________人．
解析 设样本容量为N，则N×＝6，∴N＝14，
∴高二年级所抽学生人数为14×＝8.
答案 8
21．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是________．
解析 由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x，则由系统抽样的法则可知，第n组抽出个体的号码应该为x＋(n－1)×8，所以第16组应抽出的号码为x＋(16－1)×8＝123，解得x＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋(2－1)×8＝11.
答案 11
22．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．
解析 由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
答案 76