第三章
导数及其应用
第1讲 导数的概念及运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．设y＝x2ex，则y′＝
( )
A．x2ex＋2x
B．2xex
C．(2x＋x2)ex
D．(x＋x2)ex
解析 y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.
答案 C
2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln
x，则f′(1)等于
( )
A．－e
B．－1
C．1
D．e
解析 由f(x)＝2xf′(1)＋ln
x，得f′(x)＝2f′(1)＋，
∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.
答案 B
3．曲线y＝sin
x＋ex在点(0,1)处的切线方程是
( )
A．x－3y＋3＝0
B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0
D．3x－y＋1＝0
解析 y′＝cos
x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.
答案 C
4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln
x的切线过原点，则此切线的斜率为
( )
A．e
B．－e
C.
D．－
解析 y＝ln
x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln
x0)，则y′|x＝x0＝，切线方程为y－ln
x0＝(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln
x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.
答案 C
5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于
( )
A．－1
B.
C．－2
D．2
解析 ∵y′＝，∴＝－1.
由条件知＝－1，∴a＝－1.
答案 A
二、填空题
6．若曲线y＝ax2－ln
x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
解析 因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝.
答案
7.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
解析 由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.
答案 0
8．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln
x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析 由y＝x＋ln
x，得y′＝1＋，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
消去y，得ax2＋ax＋2＝0，
∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
答案 8
三、解答题
9．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解 (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，
所以斜率最小的切线过点，
斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－＝0.
(2)由(1)得k≥－1，
所以tan
α≥－1，所以α∈∪.
10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；
(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解 (1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，
由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是
( )
A．y＝sin
x
B．y＝ln
x
C．y＝ex
D．y＝x3
解析 若y＝f(x)的图像上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，
使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.
对于A：y′＝cos
x，若有cos
x1·cos
x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；对于B：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；
对于C：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；
对于D：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.
答案 A
12．(2017·合肥模拟)点P是曲线x2－y－ln
x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为
( )
A．1
B.
C.
D.
解析 点P是曲线y＝x2－ln
x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，
直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln
x，
得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，
故曲线y＝x2－ln
x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，
点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于，
∴点P到直线y＝x－2的最小距离为.
答案 D
13．若函数f(x)＝x2－ax＋ln
x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵f(x)＝x2－ax＋ln
x，
∴f′(x)＝x－a＋(x>0)．
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，
即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)．
答案 [2，＋∞)
14．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－ln
x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．
解 根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，
所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.
曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．
所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.
曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，
所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，
所以，两条切线不是同一条直线.第2课时 导数与函数的极值、最值
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是
( )
A．y＝x3
B．y＝ln(－x)
C．y＝xe－x
D．y＝x＋
解析 由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)，D选项中的函数既为奇函数又存在极值．
答案 D
2．(2017·石家庄质检)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为
( )
A．2
B．3
C．6
D．9
解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6，
又a>0，b>0，则t＝ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
答案 D
3．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln
x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a的值等于
( )
A.
B.
C.
D．1
解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当0
0；当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f＝－ln
a－1＝－1，解得a＝1.
答案 D
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是
( )
A．(－1,2)
B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C．(－3,6)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，
由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝4a2－4×3×(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，
∴a>6或a<－3.
答案 B
5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)图像的是
( )
解析 因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.
答案 D
二、填空题
6．(2017·咸阳模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋3.
依题意知，－3是方程f′(x)＝0的根
所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.
经检验，a＝5时，f(x)在x＝－3处取得极值．
答案 5
7．(2016·北京卷改编)设函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
解析 当x>0时，f(x)＝－2x<0；
当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2.
答案 2
8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
答案 (－∞，－1)
三、解答题
9．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．
解 (1)由题意可知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．
f(x)＝＝，
f′(x)＝＝.
所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0；当－r0.
因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；
f(x)的单调递增区间为(－r，r)．
(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．
因此，x＝r是f(x)的极大值点，
所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100，f(x)在(0，＋∞)内无极小值；
综上，f(x)在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值．
10．(2017·衡水中学二调)已知函数f(x)＝xln
x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值．解 (1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.
又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，
故切线的斜率为g′(1)＝4e.
所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln
x＋1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
－
0
＋
21世纪教育网f(x)
极小值
?
①当t≥时，在区间[t，t＋2]上f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(t)＝tln
t.
②当0所以f(x)min＝f＝－.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．(2017·广州调研)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图像与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0)，且f(x)的极大值为，则m的值为
( )
A．－
B．－
C.
D.
解析 由题意可得f(m)＝m3＋am2＋bm＝0，m≠0，则m2＋am＋b＝0 ①，且f′(m)＝3m2＋2am＋b＝0 ②，
①－②化简得m＝－.
f′(x)＝3x2＋2ax＋b的两根为－和－，
则b＝，f＝，解得a＝－3，m＝.
答案 D
12．(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则下列结论成立的是
( )
A．a>0，b<0，c>0，d>0
B．a>0，b<0，c<0，d>0
C．a<0，b<0，c>0，d>0
D．a>0，b>0，c>0，d<0
解析 由函数y＝f(x)的图像知，a>0，f(0)＝d>0.
又x1，x2是函数f(x)的极值点，
且f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0，
∴x1，x2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由图像知，x1>0，x2>0，
∴因此b<0，且c>0.
答案 A
13．(2015·陕西卷)函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
解析 由y＝xex可得y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，从而可得y＝xex在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x＝－1时，y＝xex取得极小值－e－1，因为y′|x＝－1＝0，故切线方程为y＝－e－1，即y＝－.
答案 y＝－
14．(2016·山东卷改编)设f(x)＝xln
x－ax2＋(2a－1)x(常数a>0)
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值．求实数a的取值范围．
(1)解 由f′(x)＝ln
x－2ax＋2a，
可得g(x)＝ln
x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．
所以g′(x)＝－2a＝.
又a>0，
当x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，
当x∈时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．
∴函数y＝g(x)的单调增区间为，单调减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当01，由(1)知f′(x)在内单调递增，可得当x∈(0,1)时，f′(x)<0，当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增．
所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
③当a>时，0<<1，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意．
综上可知，实数a的取值范围为.第3课时 导数与函数的综合应用
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．某公司生产某种产品，固定成本为20
000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的年关系是R＝R(x)＝则总利润最大时，年产量是
( )
A．100
B．150
C．200
D．300解析 由题意得，总成本函数为C＝C(x)＝20
000＋100
x，
总利润P(x)＝
又P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．
答案 D
2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是
( )
A．(－2,0)∪(2，＋∞)
B．(－2,0)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(0,2)
解析 x>0时′<0，∴φ(x)＝在(0，＋∞)为减函数，又φ(2)＝0，
∴当且仅当00，此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数．故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．答案 D
3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是
( )
A．(－∞，7]
B．(－∞，－20]
C．(－∞，0]
D．[－12,7]
解析 令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．
∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20，
∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.
答案 B
4．(2017·景德镇联考)已知函数f(x)的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：
x
－1
0
2
3
4
f(x)
1
2
0
2
0
f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示．当1( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 根据导函数图像，知2是函数的极小值点，函数y＝f(x)的大致图像如图所示．
由于f(0)＝f(3)＝2,1答案 D
5．(2014·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是
( )
A．(2，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－1)
解析 a＝0时，不符合题意，a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则由图像知f(x)有负数零点，不符合题意．
则a<0，由图像结合f(0)＝1>0知，此时必有
f>0，即a×－3×＋1>0，
化简得a2>4.
又a<0，所以a<－2.
答案 C
二、填空题6．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．
解析 由y′＝x2－39x－40＝0，
得x＝－1或x＝40，
由于0x>40时，y′>0.
所以当x＝40时，y有最小值．
答案 40
7．已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝________.
解析 设f(x)＝x3－3x＋c，
对f(x)求导可得，f′(x)＝3x2－3，
令f′(x)＝0，可得x＝±1，
易知f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，
在(－1,1)上单调递减．
若f(1)＝1－3＋c＝0，可知c＝2；
若f(－1)＝－1＋3＋c＝0，可得c＝－2.
答案 －2或2
8．(2017·长沙调研)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式<1的解集为________．
解析 构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝＝.
由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)＝在R上单调递减．
又g(0)＝＝1，所以<1，即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．
答案 (0，＋∞)
三、解答题
9．据环保部门侧定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18
km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．
(1)试将y表示为x的函数；
(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．
解 (1)设点C受A污染源污染程度为，
点C受B污染源污染程度为，
其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝＋.
(2)因为a＝1，所以，y＝＋，
y′＝k，
令y′＝0，得x＝，
又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.
10．(2017·榆林月考)已知函数f(x)＝ln
x－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)证明：当x>1时，f(x)(1)解 f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞)．
由f′(x)>0得
解得0故f(x)的单调递增区间是.
(2)证明 令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)．
则有F′(x)＝.
当x∈(1，＋∞)时，F′(x)<0，
所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故当x>1时，F(x)即当x>1时，f(x)故当x>1时，f(x)能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．函数f(x)＝3x2＋ln
x－2x的极值点的个数是
( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
解析 函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋－2＝，
由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0，
所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．
答案 A
12．(2017·山东省实验中学诊断)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则
( )
A．3f(1)B．3f(1)>f(3)
C．3f(1)＝f(3)
D．f(1)＝f(3)
解析 由于f(x)>xf′(x)，则′＝<0恒成立，因此在R上是单调递减函数，
∴<，即3f(1)>f(3)．
答案 B
13．(2017·安徽江南名校联考)已知x∈(0,2)，若关于x的不等式<恒成立，则实数k的取值范围为________．
解析 依题意，知k＋2x－x2>0.
即k>x2－2x对任意x∈(0,2)恒成立，从而k≥0，
因此由原不等式，得k<＋x2－2x恒成立．
令f(x)＝＋x2－2x，则f′(x)＝(x－1).
令f′(x)＝0，得x＝1，当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上单调递减，所以k故实数k的取值范围是[0，e－1)．
答案 [0，e－1)
14．(2015·北京卷)设函数f(x)＝－kln
x，k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
(1)解 由f(x)＝－kln
x(k>0)，
得x>0且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝.
(2)证明 由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.
当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．
当k>e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝>0，f()＝<0，
所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点.第2讲 导数在研究函数中的应用
第1课时 导数与函数的单调性
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝x－ln
x的单调递减区间为
( )
A．(0,1)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，解得0所以单调递减区间是(0,1)．
答案 A
2．(2015·陕西卷)设f(x)＝x－sin
x，则f(x)
( )
A．既是奇函数又是减函数
B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数
D．是没有零点的奇函数
解析 因为f′(x)＝1－cos
x≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f(0)＝0－sin
0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.答案 B
3.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是
( )
A．f(b)>f(c)>f(d)
B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)
D．f(c)>f(e)>f(d)
解析 依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，由af(b)>f(a)．
答案 C
4．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为
( )
A．(－∞，2)
B．(－∞，2]
C.
D.
解析 ∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，
即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．
令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，
∴当x>2时，g′(x)>0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴m≤2＋＝.
答案 D
5．(2017·上饶模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为
( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析 由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，
因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增．
又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1.
答案 B
二、填空题
6．已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex(x∈R，e为自然对数的底数)，则函数f(x)的单调递增区间为________．
解析 因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex
＝(－x2＋2)ex.
令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，
因为ex>0，所以－x2＋2>0，解得－所以函数f(x)的单调递增区间为(－，)．
答案 (－，)
7．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln
x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．
解析 由题意知f′(x)＝－x＋4－＝－，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1答案 (0,1)∪(2,3)
8．(2017·武汉模拟)已知f(x)＝2ln
x＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为递减函数，则m的取值范围为________．
解析 由f(x)＝2ln
x＋x2－5x＋c，得f′(x)＝＋2x－5，
又函数f(x)在区间(m，m＋1)上为递减函数，
∴f′(x)≤0在(m，m＋1)上恒成立，
∴解得≤m≤1.
答案
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解 (1)由题意得f′(x)＝，
又f′(1)＝＝0，故k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝.
设h(x)＝－ln
x－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，
即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由h(1)＝0知，当00，从而f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex，若函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，求实数c的取值范围．
解 (1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c，
得f′(x)＝3x2＋2ax－1.
当x＝时，得a＝f′＝3×2＋2a×－1，
解得a＝－1.
(2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c，
则f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x－1)，列表如下：
x
(1，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
递增
递减
递增
所以f(x)的单调递增区间是和(1，＋∞)；
f(x)的单调递减区间是.
(3)函数g(x)＝(f(x)－x3)·ex＝(－x2－x＋c)·ex，
有g′(x)＝(－2x－1)ex＋(－x2－x＋c)ex
＝(－x2－3x＋c－1)ex，
因为函数g(x)在x∈[－3,2]上单调递增，
所以h(x)＝－x2－3x＋c－1≥0在x∈[－3,2]上恒成立，只要h(2)≥0，解得c≥11，
所以c的取值范围是[11，＋∞)．
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则
( )
A．aB．cC．cD．b解析 依题意得，当x<1时，f′(x)>0，
则f(x)在(－∞，1)上为增函数；
又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，
因此有f(－1)即有f(3)答案 C
12．(2016·全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝x－sin
2x＋asin
x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是
( )
A．[－1,1]
B.
C.
D.
解析 ∵f(x)＝x－sin
2x＋asin
x，∴f′(x)＝1－cos
2x＋acos
x＝1－(2cos2x－1)＋acos
x＝－cos2
x＋acos
x＋，
由f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立．
令t＝cos
x，t∈[－1,1]，则－t2＋at＋≥0.
在t∈[－1,1]上恒成立．∴4t2－3at－5≤0在t∈[－1,1]上恒成立．令g(t)＝4t2－3at－5，则解之得－≤a≤.
答案 C
13．(2017·合肥质检)设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)>0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．
解析 令g(x)＝，则g′(x)＝>0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．
又g(－x)＝＝＝＝g(x)，
则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)．
则f(x)＝xg(x)>0 或
解得x>2或－2故不等式f(x)>0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．
答案 (－2,0)∪(2，＋∞)
14．已知函数f(x)＝ln
x，g(x)＝ax＋b.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；
(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．
解 (1)由已知得f′(x)＝，∴f′(1)＝1＝a，a＝2.
又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1.
(2)∵φ(x)＝－f(x)＝－ln
x在[1，＋∞)上是减函数，
∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立，
∴x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞)，
∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.
故实数m的取值范围是(－∞，2].