第3讲 算法与算法框图
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．执行如图所示的算法框图，若输入的实数x＝4，则输出结果为
( )
A．4
B．3
C．2
D.
解析 依题意，输出的y＝log24＝2.
答案 C
2．(2017·汉中质检)根据如图所示算法框图，当输入x为6时，输出的y＝
( )
A．1
B．2
C．5
D．10
解析 当x＝6时，x＝6－3＝3，此时x＝3≥0；当x＝3时，x＝3－3＝0，此时x＝0≥0；当x＝0时，x＝0－3＝－3，此时x＝－3＜0，则y＝(－3)2＋1＝10.
答案 D
3．一个算法的算法框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是
( )
A．i<4
B．i>4
C．i<5
D．i>5
解析 i＝1进入循环，i＝2，T＝1，P＝＝5；再循环，i＝3，T＝2，P＝＝1；再循环，i＝4，T＝3，P＝＝；再循环，i＝5，T＝4，P＝＝，此时应满足判断条件，所以判断框内应填入的条件是i>4.
答案 B
4．(2016·四川卷)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的算法框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为
( )
A．9
B．18
C．20
D．35
解析 由算法框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，
第一次循环：v＝4，i＝1；
第二次循环：v＝9，i＝0；
第三次循环：v＝18，i＝－1.
i＝－1<0，结束循环，输出v＝18.
答案 B
5.(2017·合肥调研)阅读右面的算法框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )
A．－10
B．6
C．14
D．18
解析 算法框图为直到型循环结构，初始值S＝20，i＝1.
执行一次循环，i＝2，S＝20－2＝18.
执行两次循环，i＝2×2＝4，S＝18－4＝14.
执行三次循环，i＝2×4＝8，S＝14－8＝6满足i＞5，终止循环，输出S＝6.
答案 B
6．根据程序写出相应的算法功能为
( )
A．求和：12＋32＋52＋…＋9972
B．求和：12＋32＋52＋…＋9992
C．求和：12＋32＋52＋…＋9952
D．求和：12＋32＋52＋…＋20012
答案 B
7．(2016·天津卷)阅读右边的算法框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析 初始值S＝4，n＝1.循环第一次：S＝8，n＝2；
循环第二次：S＝2，n＝3；
循环第三次：S＝4，n＝4，满足n>3，输出S＝4.
答案 B
8．(2015·全国Ⅱ卷)下面算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a等于
( )
A．0
B．2
C．4
D．14
解析 执行算法框图：当a＝14，b＝18时，a＜b，则b＝18－14＝4；当a＝14，b＝4时，a＞b，则a＝14－4＝10；当a＝10，b＝4时，a＞b，则a＝10－4＝6；当a＝6，b＝4时，
a＞b，则a＝6－4＝2；当a＝2，b＝4时，a＜b，则b＝4－2＝2，此时a＝b＝2，输出a为2.故选B.
答案 B
二、填空题
9．(2017·铜川模拟)执行下面的算法框图，若输入的x的值为1，则输出的y的值是________．
解析 当x＝1时，1<2，则x＝1＋1＝2；当x＝2时，不满足x<2，则y＝3×22＋1＝13.
答案 13
10．(2017·安徽江南名校联考)某算法框图如图所示，判断框内为“k≥n”，n为正整数，若输出的S＝26，则判断框内的n＝________.
解析 依题意，执行题中的算法框图，进行第一次循环时，k＝1＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k＝2＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k＝3＋1＝4，S＝2×11＋4＝26.
因此当输出的S＝26时，判断框内的条件n＝4.
答案 4
11．如图所示的算法框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．
解析 由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.
当x＝1时，满足1≤x≤3，所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；
当x＝2时，满足1≤x≤3，所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；
当x＝3时，满足1≤x≤3，所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；
当x＝4时，不满足1≤x≤3，所以输出n＝3.
答案 3
12．(2017·安庆模拟)执行如图所示的算法框图，如果输入的t＝50，则输出的n＝________.
解析 第一次运行后S＝2，a＝3，n＝1；
第二次运行后S＝5，a＝5，n＝2；
第三次运行后S＝10，a＝9，n＝3；
第四次运行后S＝19，a＝17，n＝4；
第五次运行后S＝36，a＝33，n＝5；
第六次运行后S＝69，a＝65，n＝6；
此时不满足S答案 6
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13．(2016·全国Ⅲ卷)执行下面的算法框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝
( )
A．3
B．4
C．5
D．6
解析 循环1次：a＝2，b＝4，a＝6，s＝6，n＝1；
循环2次：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝10，n＝2；
循环3次：a＝2，b＝4，a＝6，s＝16，n＝3；
循环4次：a＝－2，b＝6，a＝4，s＝20，n＝4；
此时20>16，则输出n的值为4.
答案 B
14．(2017·长沙雅礼中学调研)执行如图所示的算法框图，如果输入n＝3，则输出的S＝
( )
A.
B.
C.
D.
解析 第一次循环：S＝，i＝2；
第二次循环：S＝＋，i＝3；
第三次循环：S＝＋＋，i＝4，满足循环条件，结束循环．
故输出S＝＋＋
＝(1－＋－＋－)＝.
答案 B
15．(2017·西安模拟)执行如图所示的算法框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是________．
解析 首次进入循环体，
S＝1×log23，k＝3；
第二次进入循环体，
S＝×＝2，k＝4；依次循环，
第六次进入循环体，S＝3，k＝8，
此时结束循环，则判断框内填k≤7.
答案 k≤7
16．关于函数f(x)＝的算法框图如图所示，现输入区间[a，b]，则输出的区间是________．
解析 由算法框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cos
x，x∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f′(x)＝－sin
x≤0，即0≤x≤1.故输出区间为[0,1]．答案 [0,1]第2讲 综合法、分析法、反证法
基础巩固题组
(建议用时：35分钟)
一、选择题
1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是
( )
A．lg(1＋a2)>0
B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2
D.<
解析 在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
答案 B
2．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设
( )
A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
答案 B
3．已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是
( )
A．a>b
B．aC．a＝b
D．a，b大小不定
解析 ∵a＝－＝，
b＝－＝.
而＋>＋＞0(m＞1)，
∴<，即a答案 B
4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是
( )
A．a－b＞0
B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0
D．(a－b)(a－c)＜0
解析 由题意知＜a b2－ac＜3a2
(a＋c)2－ac＜3a2
a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0
－2a2＋ac＋c2＜0
2a2－ac－c2＞0
(a－c)(2a＋c)＞0 (a－c)(a－b)＞0.
答案 C
5．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是
( )
A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误；②的假设正确
解析 反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．
答案 D
二、填空题
6.＋与2＋的大小关系为________．
解析 要比较＋与2＋的大小，
只需比较(＋)2与(2＋)2的大小，
只需比较6＋7＋2与8＋5＋4的大小，
只需比较与2的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴＋>2＋.
答案 ＋>2＋
7．用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________．
答案 都不能被5整除
8．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．
解析 要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．
答案 ①③④
三、解答题
9．若a，b，c是不全相等的正数，求证：
lg＋lg＋lg＞lg
a＋lg
b＋lg
c.
证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴··＞abc成立．
上式两边同时取常用对数，
得lg＞lg
abc，
∴lg＋lg＋lg＞lg
a＋lg
b＋lg
c.
10．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
(1)证明 假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)解 当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；
当q≠1时，{Sn}不是等差数列，
否则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，
得q＝0，这与公比q≠0矛盾．
综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C
B．A≤C≤B
C．B≤C≤A
D．C≤B≤A
解析 ∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数，∴f≤f()≤f.
答案 A
12．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋
( )
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋＋＝＋＋
≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案 D
13．如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是________．
解析 ∵a＋b－(a＋b)
＝(a－b)＋(b－a)
＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋)．
∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.
∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.
答案 a≥0，b≥0且a≠b
14．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋≤＋＋xy.
证明 由于x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋≤＋＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]
＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]
＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)
＝(xy－1)(xy－x－y＋1)
＝(xy－1)(x－1)(y－1)．
因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
从而所要证明的不等式成立.第十一章
推理与证明、算法、复数
第1讲 归纳与类比
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2016·西安八校联考)观察一列算式：1 1,1 2,2 1，1 3，2 2,3 1,1 4,2 3,3 2,4 1，…，则式子3 5是第
( )
A．22项
B．23项
C．24项
D．25项
解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3 5为和为8的第3项，所以为第24项，故选C.
答案 C
2．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是
( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但推理形式错误
D．使用了“三段论”，但小前提错误
解析 由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误．
答案 C
3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos
x)′＝－sin
x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝
( )
A．f(x)
B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x)
解析 由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．
答案 D
4．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于
( )
A．28
B．76
C．123
D．199
解析 观察规律，归纳推理．
从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案 C
5．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 ①②正确；③④⑤⑥错误．
答案 B
6．(2017·宜春一中月考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好”；
乙说：“我们四人中有人考的好”；
丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；
丁说：“我没考好”．
结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对的两人是
( )
A．甲，丙
B．乙，丁
C．丙，丁
D．乙，丙解析 甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为D.
答案 D
7．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为( )
A．n＋1
B．2n
C.
D．n2＋n＋1
解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域，选C.
答案 C
8．如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为
( )
A．6
B．7
C．8
D．9
解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n(n≥2，n∈N＋)层的点数为6(n－1)．设一个点阵有n(n≥2，n∈N＋)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由题意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8层．
答案 C
二、填空题
9．仔细观察下面○和●的排列规律：○
●
○○
●
○○○
●
○○○○
●
○○○○○
●
○○○○○○
●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．
解析 进行分组
○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，
则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.
答案 14
10．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n个等式为________．
解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n个等式为13＋23＋…＋n3＝2＝.
答案 13＋23＋…＋n3＝
11．(2017·重庆模拟)在等差数列{an}中，若公差为d，且a1＝d，那么有am＋an＝am＋n，类比上述性质，写出在等比数列{an}中类似的性质：___________________________.
解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n.”
答案 在等比数列{an}中，若公比为q，且a1＝q，则am·an＝am＋n
12．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin
x1)，B(x2，sin
x2)是函数y＝sin
x(x∈(0，π))的图像上任意不同两点，则类似地有________成立．
解析 对于函数y＝ax(a＞1)的图像上任意不同两点A，
B，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论＞a成立；对于函数y＝sin
x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点A(x1，sin
x1)，B(x2，sin
x2)，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，
类比可知应有＜sin
成立．
答案 ＜sin
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13．(2017·湖北八校二联)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是
( )
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
解析 根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：
1号
2号
3号
4号
5号
6号
甲
不可能
不可能
不可能
可能
可能
不可能
乙
可能
可能
不可能
可能
可能
可能
丙
可能
可能
不可能
不可能
不可能
可能
丁
可能
可能
可能
不可能
不可能
不可能
由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选D.
答案 D
14．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．
比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是
( )
A．289
B．1
024
C．1
225
D．1
378
解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，
…an＝an－1＋n.
∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n) an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1
225.
答案 C
15．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________．
解析 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则P1，P2的切线方程分别是－＝1，－＝1.
因为P0(x0，y0)在这两条切线上，
故有－＝1，－＝1，
这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，
故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.
答案 －＝1
16．(2016·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下：
1
3
7
13
21
…
5
9
15
23
…
…
11
17
25
…
…
…
19
27
…
…
…
…
29
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
则第30行从左到右第3个数是________．
解析 先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数．观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝－1＝929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1
051.
答案 1
051第4讲 复数
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于
( )
A．3，－2
B．3,2
C．3，－3
D．－1,4
解析 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a＝3，b＝－2，故选A.
答案 A
2．(2016·四川卷)设i为虚数单位，则复数(1＋i)2＝
( )
A．0
B．2
C．2i
D．2＋2i
解析 (1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，故选C.
答案 C
3．(2016·山东卷)若复数z＝，其中i为虚数单位，则＝
( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
解析 ∵z＝＝＝1＋i，∴＝1－i，故选B.
答案 B
4．(2015·安徽卷)设i为虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝
( )
A．3＋3i
B．－1＋3i
C．3＋i
D．－1＋i
解析 (1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i.
答案 C
5．复数对应的点位于
( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限解析 复数＝＝－i，∴其对应的点为，在第四象限，故选D.
答案 D
6．(2017·北京东城综合测试)若复数(m2－m)＋mi为纯虚数，则实数m的值为
( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
解析 因为复数(m2－m)＋mi为纯虚数，所以解得m＝1，故选C.
答案 C
7．已知复数z＝(i为虚数单位)，则z的虚部为
( )
A．－1
B．0
C．1
D．i
解析 ∵z＝＝＝＝i，故虚部为1.
答案 C
8．设z是复数，则下列命题中的假命题是
( )
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2＜0
解析 举反例说明，若z＝i，则z2＝－1＜0，故选C.
答案 C
9．(2015·全国Ⅰ卷)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于
( )
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
解析 由(z－1)i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i.
答案 C
10．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是
( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
解析 A中，|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故1＝2，成立．
B中，z1＝2，则1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，则|z1|2＝|z2|2，即z11＝z22，C正确．D不一定成立，如z1＝1＋i，z2＝2，
则|z1|＝2＝|z2|，但z＝－2＋2i，z＝4，z≠z.
答案 D
11．(2017·河北省三市联考)若复数z＝＋a在复平面上对应的点在第二象限，则实数a可以是
( )
A．－4
B．－3
C．1
D．2
解析 因为z＝＋a＝(3＋a)－ai在复平面上对应的点在第二象限，所以a<－3，选A.
答案 A
12．(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝
( )
A．1
B.
C.
D．2
解析 由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi 所以|x＋yi|＝＝，故选B.
答案 B
二、填空题
13．(2016·江苏卷)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的实部为5.
答案 5
14．(2015·四川卷)设i是虚数单位，则复数i－＝________.
解析 i－＝i－＝2i.
答案 2i
15．(2015·江苏卷)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
解析 设复数z＝a＋bi，a，b∈R，则z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，a，b∈R，则(a，b∈R)，解得或则z＝±(2＋i)，故|z|＝.
答案
16．若＝a＋bi(a，b为实数，i为虚数单位)，则a＋b＝________.
解析 ＝＝[(3－b)＋(3＋b)i]＝＋i.∴解得∴a＋b＝3.
答案 3
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
17.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是
( )
A．E
B．F
C．G
D．H
解析 由题图知复数z＝3＋i，
∴＝＝＝＝2－i.
∴表示复数的点为H.
答案 D
18.是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z等于
( )
A．1＋i
B．－1－i
C．－1＋i
D．1－i
解析 法一 设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi.
∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.
又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.
法二 ∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.
又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，
∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.
答案 D
19．(2014·全国Ⅰ卷)设z＝＋i，则|z|＝
( )
A.
B.
C.
D．2
解析 ∵z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，
∴|z|＝＝，故选B.
答案 B
20．(2017·安徽师大附中月考)已知复数z＝(cos
θ－isin
θ)·(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是
( )
A．θ＝
B．θ＝
C．θ＝
D．θ＝
解析 因为z＝(cos
θ＋sin
θ)＋(cos
θ－sin
θ)i，所以当θ＝时，z＝－i为纯虚数，当z为纯虚数时，θ＝kπ－.故选C.
答案 C
21．(2017·哈尔滨六中期中)若复数z满足i·z＝－(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是
( )
A．－i
B.i
C．－
D.
解析 i·z＝－(1＋i) z＝＝＝(－1＋i)，则z的共轭复数＝(－1－i)，其虚部是－.
答案 C
22．(2017·陕西高三四校联考)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是
( )
A．－2
B．－1
C．0
D.
解析 ∵＝＝－i＝a＋bi，
∴∴lg(a＋b)＝lg
1＝0.
答案 C
23．下面是关于复数z＝的四个命题：
p1：|z|＝2;
p2：z2＝2i；
p3：z的共轭复数为1＋i;
p4：z的虚部为－1.
其中真命题为
( )
A．p2，p3
B．p1，p2
C．p2，p4
D．p3，p4
解析 ∵z＝＝－1－i，
∴|z|＝＝，∴p1是假命题；
∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵＝－1＋i，
∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．其中真命题共有2个：p2，p4.答案 C
24．(2017·广州综合测试)若1－i(i是虚数单位)是关于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一个解，则p＋q＝
( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
解析 依题意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1，故选C.
答案 C
25．复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是________．
解析 z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－2<0且m－1<0，∴m<.
答案
26．设f(n)＝n＋n(n∈N＋)，则集合{f(n)}中元素的个数为________．
解析 f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n，
f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…
∴集合中共有3个元素．
答案 3
27．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．
解析
∵|z－2|＝＝，
∴(x－2)2＋y2＝3.
由图可知max＝＝.
答案
28．定义运算＝ad－bc.若复数x＝，y＝，则y＝________.
解析 因为x＝＝＝－i.
所以y＝＝＝－2.
答案 －2
