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《探索轴对称的性质》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）进一步复习生活中的轴对称现象，探索轴对称的性质；
（2）掌握轴对称的性质，会利用轴对称的性质解决问题。
2.过程与方法
在探索轴对称性质的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
3.情感态度和价值观
学生在自主探索获得正确的学习方式和良好的情感体验。
【教学重点】
探索轴对称的性质。
【教学难点】
利用轴对称的性质解决问题。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习导入
【过渡】上节课，我们学习了轴对称现象，通 ( http: / / www.21cnjy.com )过对生活中的轴对称现象的欣赏，我们了解了轴对称图形，以及两个图形成轴对称。在我们的生活中，除了建筑、剪纸等艺术可以看到轴对称现象之外呢，我们的汉字也会有这样的轴对称现象。现在，我们来看几个字的一部分，大家来猜一下是什么字。21世纪教育网版权所有
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【过渡】大家能猜到这是什么字吗？一起来试一下吧。
（学生回答）
【过渡】这几个字呢，就是成轴对称的图形。那么，轴对称到底有哪些性质呢？今天我们就来探究一下。
二、新课教学
1．探索轴对称的性质
【过渡】现在，请大家拿出一张纸，然后按照课本P118页，将这张纸对折，然后用笔尖扎出14这个数字，将纸打开后铺平。21cnjy.com
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【过渡】结合你们刚刚的动手过程，我们来看一下下边几个问题吧。
（1）两个“14”有什么关系？
【过渡】大家可以再将手中的纸对折，这两个“14”能够完全重合吗？
（学生回答）
【过渡】结合上节课的学习，我们能够回答这个问题，这两个“14” 成轴对称图形.。
（2）设折痕所在直线为l，连接点E和E′的线段和l有什么关系？点F和F′呢？
【过渡】对折过后，我们能够发现，点E和E′重合，大家动手连接E E′，再对折一次，你们能发现什么呢？2·1·c·n·j·y
【过渡】我们发现，线段E E′与对称轴l形 ( http: / / www.21cnjy.com )成的两个角也是重合的，我们知道这两个角总共有180°，那么分别的两个角就是90°。因此，我们知道，线段EE’与直线l垂直。
【过渡】同样地，线段FF’与直线l垂直。
【过渡】接下来，我们来看第三个问题。
（3）线段AB与A′B′,CD与C′D′有什么关系？
【过渡】很明显，对折过后，线段AB与A′B′,CD与C′D′都是重合的，因此，我们能够知道，AB=A′B′，CD=C′D′。21·世纪*教育网
（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？
【过渡】我们动手将这几个角标出来，然后再一次结合对折。谁能告诉我答案。
（学生回答）
【过渡】∠1=∠2，∠3=∠4。
【过渡】通过这个小实验，我们初步了解了轴对称的性质，那究竟是不是所有的轴对称都具有这的性质呢？我们再来看一个例子。www-2-1-cnjy-com
【过渡】课本的图5-6所示的一个轴对称图形。
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【过渡】接下来的几个问题，大家一块来解决一些吧。
（1）找出它的对称轴。
课件展示
【过渡】将对称轴画出之后，我们能够看到对称轴左右的两个部分是明显对称的。
（2）连接点A与点A1的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B1的线段呢？
【过渡】在这里，我们结合刚刚的例子，我们知 ( http: / / www.21cnjy.com )道，将其对折之后，A与A1重合，因此，我们就可以这样称点A关于对称轴的对应点是A1，同样的，B与B1重合，称点B关于对称轴的对应点是B1。www.21-cn-jy.com
连接AA1，BB1，这两个线段分别与对称轴垂直。
（3）线段AD与线段A1D1有什么关系？线段BC与B1C1呢？为什么？
【过渡】沿对称轴对折，AD ( http: / / www.21cnjy.com )与A1D1重合，称线段AD关于对称轴的对应线段是A1D1，BC与B1C1重合，称线段BC关于对称轴的对应线段是B1C1。由于重合，我们知道，AD=A1D1，BC=B1C1。
（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？说说你的理由？
【过渡】对折，∠1与∠2，∠3与∠4分 ( http: / / www.21cnjy.com )别重合，我们就称∠1关于对称轴的对应角是∠2，∠3关于对称轴的对应角是∠4。而且结合重合的特点，我们知道，∠1=∠2，∠3=∠4。
【过渡】通过刚刚的分析，你能总结，你能得到什么结论？
轴对称的性质：
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。
【过渡】利用轴对称的性质，我们就可以解决问题，首先，我们来看一下课本做一做的内容。
如图是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半。
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【过渡】根据轴对称的性质，确定不在对称轴上的两点的对应点的位置。
课件展示解题过程。
【过渡】在探索了轴对称的相关性质之后，我们来看几个例题吧。
例：例：请在直线l上找一个点C，使CA+CB最小。
【过渡】对于这个问题，我们需要知道 ( http: / / www.21cnjy.com )，两点之间，线段最短。因此，提供给我们的思路就是寻找一条直线，再根据轴对称的性质，我们就能很轻易的找到这个点。21·cn·jy·com
课件展示解题过程。
【过渡】在直线L上的同侧有两个点A ( http: / / www.21cnjy.com )、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点。21教育网
【过渡】接下来，我们看另外一个例题。
例：如图所示，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，借助于轴对称的性质想一想，CD与AB+BD相等吗？请说明你的理由。【来源：21·世纪·教育·网】
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【过渡】对这个问题进行分析。首先，我们知道要 ( http: / / www.21cnjy.com )求使用轴对称的性质。但是观察这个图形，并没有轴对称的存在。这就需要我们添加辅助线。结合图形及轴对称的性质，我们发现，AD⊥BC，这就给我们启示，是否可以将AD作为对称轴？那么我们就需要结合轴对称的性质，找到其平分的线段，辅助线的做法也就清楚了。2-1-c-n-j-y
课件展示解题过程。
【学以致用】1、如图，由四 ( http: / / www.21cnjy.com )个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（ C ）【来源：21cnj*y.co*m】
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2、作△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，点A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′，则下列说法中正确的是（ B ）【出处：21教育名师】
A. AA′垂直平分对称轴
B. △ABC和△A′B′C′的周长相等
C. 线段AB′被对称轴平分
D. △ABC的面积被对称轴平分
3、如图，∠A=30°，∠C′=60°，△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B= 90° 。
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4、如图，P为∠AOB内 ( http: / / www.21cnjy.com )的一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1、P2，交OA于M，交OB于N，若P1P2=13cm，求△MNP的周长？21*cnjy*com
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解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△MNP的周长等于P1P2=13cm。
5、如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．【版权所有：21教育】
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解：∵A点和E点关于BD对称，
∴∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．
又B点、C点关于DE对称，
∴∠DBE=∠C，∠ABC=2∠C．
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°。
∴∠C=30°
∴∠ABC=2∠C=60°。
【板书设计】
1、轴对称的性质：
对应点所连的线段被对称轴垂直平分
对应线段相等
对应角相等
【教学反思】
通过大量的动手操作，力图让学生用自己的 ( http: / / www.21cnjy.com )思维方式自由开放地去探索、去发现、去创造，使学生通过大量的感性经验形成表象，进一步体会轴对称的含义。通过动手探索，掌握轴对称图形的性质，感受对称图形的内在美。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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《探索轴对称的性质》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（ ）
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A．形状没有改变，大小没有改变
B．形状没有改变，大小有改变
C．形状有改变，大小没有改变
D．形状有改变，大小有改变
2．如图，正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，下列判断错误的是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．AB=A′B′ B．BC∥B′C′ C．直线l⊥BB′ D．∠A′=120°
3．下列语句中，正确的个数有（ ）
①两个关于某直线对称的图形是全等的
②两个图形关于某直线对称，对称点一定在该直线的两旁
③两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线，就是它们的对称轴
④平面内两个全等的图形一定关于某直线对称．
A． 1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
4．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线对称，下列结论中：
①△ABC≌△A′B′C′；
②∠BAC′=∠B′AC；
③l垂直平分CC′；
④直线BC和B′C′的交点不一定在l上，
正确的有（ ）
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A． 4个 B．3个 C．2个 D．1个21世纪教育网版权所有
5．已知△ABC关于直线MN对称，则下列说法错误的是（ ）
A．△ABC中必有一个顶点在直线MN上
B．△ABC中必有两个角相等
C．△ABC中，必有两条边相等
D．△ABC中必有有一个角等于60°
二、解答——知识提高运用
6．如图，△ABC和△A′B′C′关于 ( http: / / www.21cnjy.com )直线l对称，求证：△ABC≌△A′B′C′．若△ABC≌△A′B′C′，那么△ABC和△A′B′C′一定关于某条直线l对称吗？若一定请给出证明，若不一定请画出反例图。21教育网
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7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称。
（1）结合图形指出对称点．
（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？
（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样的关系？其它对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流。21cnjy.com
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8．如图所示，已知O是∠APB内的一点， ( http: / / www.21cnjy.com )点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点，MN与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN=5cm，求△OEF的周长。【来源：21·世纪·教育·网】
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9．如图，已知A，B两点在直线1的同侧，点A′与A关于直线l对称，连接A′B交l于点P．若A′B=a。21·世纪*教育网
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（1）求AP+PB。
（2）若点M是直线l上异于点P的任意一点，求证：AM+MB＞AP+PB。
10．如图，l是线段AB的对称轴，l′是线段BC的对称轴，l和l′相交于点O．OA与OC相等吗？为什么？www-2-1-cnjy-com
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11．设直线l1和直线l2平行，且 ( http: / / www.21cnjy.com )l1和l2间的距离为a．如果线段AB在l1的右侧，并设AB关于l1的对称图形是A′B′，而A′B′关于l2的对称图形是A″B″（如图），那么，线段AB和A″B″有什么关系？2-1-c-n-j-y
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】A
【解析】∵轴对称变换不改变图形的形状与大小，
∴与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变。
故选A。
2．【答案】B
【解析】由图形可知：
A、点A和B对称点是点A′和B′，所以AB=A′B′．故A是正确的；
B、点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′，所以BC∥D′E′，DE∥B′C′．故B是错误的；21*cnjy*com
C、点B、E对称点分别是点B′、E′，所以BB’⊥直线l．故C是正确的；
D、正六边形ABCDEF关于直线l的 ( http: / / www.21cnjy.com )轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′，所以六边形A′B′C′D′E′F′也是正六边形，则∠A′=120°．故D是正确的；【来源：21cnj*y.co*m】
故选B。
3．【答案】B
【解析】①两个关于某直线对称的图形是全等的，此选项正确；
②两个图形关于某直线对称，对称点一定在该直线的两旁也有可能在直线上，此选项错误；
③两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线，就是它们的对称轴，此选项正确；
④平面内两个全等的图形不一定关于某直线对称，故此选项错误。
故选B。
4．【答案】B
【解析】∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
∴①△ABC≌△A′B′C′，正确；
②∠BAC=∠B′AC′，
∴∠BAC+∠CAC′=∠B′AC′+∠CAC′，
即∠BAC′=∠B′AC，正确；
③l垂直平分CC′，正确；
④应为：直线BC和B′C′的交点一定在l上，故本小题错误。
综上所述，结论正确的是①②③共3个。
故选B。
5．【答案】D
【解析】∵△ABC关于直线MN对称，
∴△ABC为等腰三角形，其对角线为底边上的高所在的直线．
A、△ABC中必有一个顶点在直线MN上，故本选项正确；
B、△ABC中必有两个角相等，故本选项正确；
C、△ABC中，必有两条边相等，故本选项正确；
D、当该等腰三角形是等边三角形时，△ABC中有一个角等于60°，故本选项错误。
故选D。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC和△A′B′C′能够完全重合，
∴△ABC≌△A′B′C′。
若△ABC≌△A′B′C′，△ABC和△A′B′C′不一定一定关于某条直线l对称，如图所示．
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7．【答案】（1）对称点有A和A′，B和B′，C和C′。
（2）连接A、A′，直线m是线段AA′的垂直平分线．
（3）延长线段AC与A′C′，它们的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点在直线m上，其它对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上。21·cn·jy·com
8．【答案】根据轴对称的性质得：OE=EM，OF=FN
△OEF的=OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN=5cm
∴△OEF的周长为5cm。
9．【答案】（1）∵点A′与A关于直线l对称，
∴PA=PA′
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=a；
（2）∵点A′与A关于直线l对称，
∴MA=MA′
∴AM+BM=MA′+MB
由（1）可知：AP+PB=A′B
由两点之间线段最短可知：MA′+MB＞A′B，即AM+MB＞AP+PB。
10．【答案】∵l是线段AB的对称轴，
∴OA=OB，
∵l′是线段BC的对称轴，
∴OB=OC，
∴OA=OC。
11．【答案】因为l1平行于l2，并且AA′A″垂直于l1，当然也垂直于l2，同理BB′B″也垂直于l1和l2。www.21-cn-jy.com
又在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，
所以AA′A″∥BB′B″①
另一方面，因为AP=PA′，A′P′=P′A″，
所以AA′A″=2PP′=2a，
同理BB′B″=2a，
所以AA′A″=BB′B″②
由①②可知，ABB″A'″为平行四边形，所以A''B''平行且等于AB。
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北师大版 七年级下册
5.2 探索轴对称的性质
导入新课
猜一猜，这各是什么字的一半？
轴对称现象
新课学习
如图：将一张长方形形的纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平：
新课学习
2
4
5
（1）两个“14”有什么关系？
（2）设折痕所在直线为l，连接点E和E′的线段和l
有什么关系？点F和F′呢？
线段EE’与直线l垂直。
成轴对称图形.
l
线段FF’与直线l垂直。
新课学习
（3）线段AB与A′B′,CD与C′D′有什么关系？
（4）∠1与∠2有什么关系？∠3与∠4呢？
∠1=∠2，∠3=∠4.
AB=A′B′，CD=C′D′.
∠1与∠2重合，
∠3与∠4重合。
新课学习
1
2
3
4
5
做一做：
（1）找出它的对称轴.
（2）连接点A与点A1的线段与
对称轴有什么关系？连接
点B与点B1的线段呢？
A
A1
B
C
D
D1
C1
B1
3
4
1
2
与对称轴垂直.
B与B1重合
A与A1重合
称点A关于对称轴的对应点是A1
称点B关于对称轴的对应点是B1
新课学习
（3）线段AD与线段A1D1有什么
关系？线段BC与B1C1呢？
为什么？
AD=A1D1，BC=B1C1.
A
A1
B
C
D
D1
C1
B1
3
4
1
2
称线段AD关于对称轴的对应线段是A1D1
称线段BC关于对称轴的对应线段是B1C1
新课学习
（4）∠1与∠2有什么关系 ∠3
与∠4呢？说说你的理由？
∠1=∠2，∠3=∠4.
A
A1
B
C
D
D1
C1
B1
3
4
1
2
综合以上问题，你能得到什么结论？
称∠1关于对称轴的对应角是∠2
称∠3关于对称轴的对应角是∠4
新课学习
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
轴对称的性质
新课学习
做一做
如图是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称轴，画出这个图案的另一半。
根据轴对称的性质，确定不在对称轴上的两点的对应点的位置。
新课学习
例：请在直线l上找一个点p，使PA+PB最小。
作点B关于直线l的对称点B’
l
A
B
B’
P
连接AB’交直线l于点P
点P即为所求。
两点之间，线段最短
新课学习
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
l
A
B
B’
P
新课学习
例：如图所示，AD为△ABC的高，∠B=2∠C，借助于轴对称的性质想一想，CD与AB+BD相等吗？请说明你的理由。
轴对称性质
构筑轴对称图形
AD⊥BC
关于AD的对称
辅助线，作与BD相等的线段
轴对称性质
新课学习
解：CD=AB+BD
证明：在CD上取一点E，使DE=BD，连接AE。
∵BD=DE,且∠AED为△AEC的外角， ∠B=2∠C ，
∴ ∠B=∠AED=∠C+∠EAC=2 ∠C ，
∴ ∠EAC= ∠C ，
∴ AE=EC，
则CD=DE+EC=AB+BD。
课堂小结
1. 轴对称的性质：
对应点所连的线段被对称轴垂直平分，
对应线段相等
对应角相等.
学以致用
1.如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
解析：△HEC关于CD对称；△FDB关于BE对称；△GED关于HF对称；关于AG对称的是它本身．所以共3个．故选C．
学以致用
2.作△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，点A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′，则下列说法中正确的是（ ）
A. AA′垂直平分对称轴
B. △ABC和△A′B′C′的周长相等
C. 线段AB′被对称轴平分
D. △ABC的面积被对称轴平分
B
学以致用
3.如图，∠A=30°，∠C′=60°，△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B= ．
解析：∵△ABC 与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C=∠C′=60°，
∵∠A=30°，∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-30°-60°=90°．
故答案为：90°．
90°
学以致用
4.如图，P为∠AOB内的一点，分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连结P1、P2，交OA于M，交OB于N，若P1P2=13cm，求△MNP的周长？
解：∵点P关于OA、OB的对称点P1、P2，
∴PM=P1M，PN=P2N，
∴△MNP的周长等于P1P2=13cm．
学以致用
5.如图，∠A=90°，E为BC上一点，A点和E点关于BD对称，B点、C点关于DE对称，求∠ABC和∠C的度数．
学以致用
解：∵A点和E点关于BD对称，
∴∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．
又B点、C点关于DE对称，
∴∠DBE=∠C，∠ABC=2∠C．
∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°．
∴∠C=30°
∴∠ABC=2∠C=60°．
