专题训练(六) 平行四边形中的动态问题
——教材P68习题第13题的变式与应用
【例】 (人教版八年级下册教材第68页第13题)
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8
cm，AD＝24
cm，BC＝26
cm.点P从点A出发，以1
cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3
cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？
【解答】①设经过t
s时，四边形PQCD是平行四边形，
∵AP＝t，CQ＝3t，DP＝24－t，
∴DP＝CQ.∴24－t＝3t.
∴t＝6，即经过6s时，四边形PQCD是平行四边形，此时PQ∥CD，且PQ＝CD.
②设经过t
s时，PQ＝CD，即四边形PQCD是等腰梯形，
∵AP＝t，BQ＝26－3t，
∴t＝26－3t＋2，t＝7.
综上所述当t＝6
s或7
s时，PQ＝CD.
【方法归纳】 根据动点运动过程中构造的特殊四边形的性质列方程求解．
1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC
( http: / / www.21cnjy.com )，AD＝6，BC＝16，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．求当运动时间t为多少秒时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
解：由题意可知，AP＝t，CQ＝2t，CE＝BC＝8.∵AD∥BC，∴当PD＝EQ时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
当2t＜8，即t＜4时，点Q在C、E之间，如图甲．此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CE－CQ＝8－2t，
由6－t＝8－2t得t＝2.
当8<2t<16，且t<6，即4( http: / / www.21cnjy.com )，点Q在B、E之间，如图乙．此时，PD＝AD－AP＝6－t，EQ＝CQ－CE＝2t－8，由6－t＝2t－8得t＝.
∴当运动时间为2s或s时，以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形．
图甲
图乙
2．如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四
( http: / / www.21cnjy.com )个顶点，AB＝25
cm，AD＝8
cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3
cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以2
cm/s的速度向点D移动．
(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQ∥AD
(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．
解：(1)设P，Q两点从出发开始到第x秒时，PQ∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即AP∥DQ.
∵PQ∥AD，
∴四边形APQD是平行四边形．
∴AP＝DQ.
∴3x＝25－2x.解得x＝5.
答：P，Q两点从出发开始到第5秒时，PQ∥AD.
(2)设P，Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米，
∵BP＝25－3a，CQ＝2a，
∴根据梯形面积公式得：
(25－3a＋2a)·8＝84.解得a＝4.
答：P，Q两点从出发开始到第4秒时，四边形PBCQ的面积为84平方厘米．
3．如图，平行四边形ABC
( http: / / www.21cnjy.com )D中，AC＝6，BD＝8，点P从点A出发以每秒1
cm的速度沿射线AC移动，点Q从点C出发以每秒1
cm的速度沿射线CA移动．
(1)经过几秒，以P，Q，B，D为顶点的四边形为矩形？
(2)若BC⊥AC垂足为C，求(1)中矩形边BQ的长．
解：(1)当t＝7秒时，四边形BPDQ为矩形．
理由如下：当t＝7秒时，PA＝QC＝7，
∵AC＝6，
∴CP＝AQ＝1.
∴PQ＝BD＝8.
∵四边形ABCD为平行四边形，BD＝8，AC＝6，
∴AO＝CO＝3.
∴BO＝DO＝4.
∴OQ＝OP＝4.
∴四边形BPDQ为平形四边形．
∵PQ＝BD＝8，
∴四边形BPDQ为矩形．
(2)由(1)得BO＝4，CQ＝7，
∵BC⊥AC，
∴∠BCA＝90°.
∴BC2＋CQ2＝BQ2.
∴BQ＝＝2.
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8
cm，
AD＝12
cm，BC＝18
cm，点P从点A出发以1
cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2
cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
(1)作DE⊥BC于E，则CD边的长度为10cm；
(2)从运动开始，当t取何值时，四边形PQRA是矩形？
(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
备用图
解：(2)如图1，由题意得：AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t.
要使四边形PQBA是矩形，已有∠B＝9
( http: / / www.21cnjy.com )0°，AD∥BC即AP∥BP，只需满足AP＝BQ即t＝18－2t，解得t＝6，因此，当t＝6秒时，四边形PQBA是矩形．
(3)不存在，理由：
如图2，要使四边形PQCD是平行四边形，已有AD∥BC即DP∥CQ，
只需满足DP＝CQ即12－t＝2t，
∴t＝4时，四边形PQCD是平行四边形，
但DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，
∴按已经速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，但不可能是菱形．
5．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
(1)求证：四边形PMEN是平行四边形；
(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
(3)四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
解：(1)∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴ME是PC的中位线，NE是PD的中位线．
∴ME∥PC，EN∥PD.
∴四边形PMEN是平行四边形．
(2)当AP＝5时，
在Rt△PAD和Rt△PBC中，
∴△PAD≌△PBC(SAS)．
∴PD＝PC.
∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点，
∴NE＝PM＝PD，ME＝PN＝PC.
∴PM＝ME＝EN＝PN.
∴四边形PMEN是菱形．
(3)四边形PMEN可能是矩形．
若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90°.
设PA＝x，PB＝10－x，
则DP＝，CP＝.
∵DP2＋CP2＝DC2，
即16＋x2＋16＋(10－x)2＝102，
∴x2－10x＋16＝0.
解得x＝2或x＝8.
故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形．(共16张PPT)
敖为
专题训练(六)平行四边形中的动态问题
教材P68习题第13题的变式与应用
【例】(人教版八年级下册教材第68页第13题)
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB
8cm,AD=24cm,BC=26cm.点P从点A出发,以
1cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,以
3cm/s的速度向点B运动,规定其中一个动点到达端
点时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始,使PQ
CD,分别需经过多少时间 为什么
B
【解答】①设经过ts时,四边形PQCD是平行四边
形
AP=t,
CQ=3t,
DP=24-t
DP=CQ.∴24-t=3t
t=6,即经过6s时,四边形PQCD是平行四边形,此
时PQ∥CD,且PQ=CD
②设经过ts时,PQ=CD,即四边形PQCD是等
腰梯形,
AP=t,
BQ=26--3t
t=26-3t+2,t=7
综上所述当t=6s或7s时,PQ=CD
方法归纳】根据动点运动过程中构造的特殊四
边形的性质列方程求解.
针对训练
1.如图,在四边形ABCD中,AD
BC,AD=6,BC=16,点E是
BC的中点.点P以每秒1个单
位长度的速度从点A出发,沿B
E
O
C
AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的
速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动
时,点Q也随之停止运动求当运动时间t为多少秒
时,以点P、Q、E、D为顶点的四边形是平行四边形
解:由题意可知,AP=t,(Q=2t,CE=BC=8
∴AD∥BC,∴当PD=EQ时,以点P、Q、E、D为顶
点的四边形是平行四边形
当2<8,即t<4时,点Q在C、E之间,如图甲.此
Hf,
PD=AD-AP=6--t,
EQ=CE--CQ=8--2t
由6-t=8-2t得t=2
当8<2-16,且t<6,即4<<6时,点Q在B、E之
间,如图乙.此时,PD=AD-AP=6-t,EQ=CQ
CE=2t-8,由6
2t-8得
∴当运动时间为2s或s时,以点P、Q、E、D为顶
点的四边形是平行四边形
OE
图甲
图乙
2.如图,A,B,C,D为矩形ABCD的四个顶点,AB
25cm,AD=8cm,动点P,Q分别从点A,C同时出
发,点P以3cm/s的速度向点B移动,运动到点B
为止,点Q以2cm/s的速度向点D移动
(1)P,Q两点从出发开始到第几秒时,PQ∥AD
(2)试问:P,Q两点从出发开始到第几秒时,四边形
PBCQ的面积为84平方厘米
解:(1)设P,Q两点从出发开始到第x秒
时,PQ∥AD,
四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,即AP∥DQ
PQ∥AD
∴四边形APQD是平行四边形
∴AP=DQ
x=25-2x.解得x=5
答:P,Q两点从出发开始到第5秒时,PQ∥AD
