人教B版数学必修1同步练习（40份）

第32课时　指数函数与对数函数的关系
课时目标
1.知道同底的指数函数与对数函数互为反函数，能以具体函数为例对反函数进行解释和直观理解．
2．了解函数与其反函数的图象关于直线y＝x对称．
识记强化
1．函数y＝ax(a＞0，且a≠1，x∈R)与y＝logax(a＞0，且a≠1，x＞0)互为反函数．
2．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．函数y＝logx的反函数为(　　)
A．y＝x，x＞0
B．y＝()x，x∈R
C．y＝x2，x∈R
D．y＝2x，x∈R
答案：B
解析：对数函数y＝logx的反函数为指数函数y＝()x，其定义域为R.
2．已知f(x)＝10x－1－2，则f－1(8)的值是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
解析：根据互为反函数的两个函数的关系，f－1(8)的值就是原函数函数值为8时对应的自变量x的值．由8＝10x－1－2解得x＝2，即f－1(8)＝2.故选B.
3．已知函数f(x)＝()x，则f－1(4－x2)的单调减区间是(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(0,2)
D．(－2,0)
答案：D
解析：由题意知f－1(x)＝logx，∴f－1(4－x2)＝log
(4－x2)，定义域为(－2,2)，单调减区间是函数y＝4－x2的单调增区间(－2,0)．
4．如图，当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是(　　)
答案：A
解析：首先把y＝a－x化为y＝x，∵a＞1，∴0＜＜1.因此y＝x，即y＝a－x的图象是下降的，y＝logax的图象是上升的．
5．设f(x)＝的图象与g(x)的图象关于直线y＝x对称，则g(x＋2)为(　　)
A．1＋
B．1＋
C．1－
D．1－
答案：A
解析：由题知g(x)是函数y＝f(x)的反函数，∴g(x)＝，将x＋2代入g(x)中，可求出
g(x＋2)＝＝＝1＋.
6．已知函数y＝ex的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称，则(　　)
A．f(2x)＝e2x(x∈R)
B．f(2x)＝ln2·lnx(x＞0)
C．f(2x)＝2ex(x∈R)
D．f(2x)＝ln2＋lnx(x＞0)
答案：D
解析：由y＝f(x)是y＝ex的反函数，得f(x)＝lnx，∴f(2x)＝ln2x＝ln2＋lnx(x＞0)．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7.
若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝________.
答案：log2x
解析：y＝ax的反函数y＝f(x)＝logax，则1＝loga2，∴a＝2，∴f(x)＝log2x.
8．已知函数f(x)＝2x＋1，则f－1(4)＝________.
答案：1
解析：由2x＋1＝4，得x＝1，∴f－1(4)＝1.
9．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图象过点(0,0)，其反函数的图象过点(1,2)，则a＋b＝________.
答案：4
解析：由题意，知原函数的图象过点(0,0)和点(2,1)，∴logab＝0，loga(2＋b)＝1，∴b＝1，a＝3，∴a＋b＝4.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)解下列方程：
(1)4x－2x＋1－8＝0；
(2)log22x·log2＝4；
(3)＝3.
解：(1)4x－2x＋1－8＝0 (2x)2－2·2x－8＝0 2x＝4或2x＝－2(舍)，∴x＝2，∴原方程的解为x＝2.
(2)log22x·log2＝4 (1＋log2x)·(log2x－2)＝4，整理得(log2x)2－log2x－6＝0，
∴log2x＝－2或log2x＝3，
∴x＝或x＝8.
∴原方程的解为x＝或x＝8.
(3)＝3 log(x－a)[a(x2－a2)]＝3，∴log(x－a)[a(x＋a)]＋log(x－a)(x－a)＝3，∴log(x－a)[a(x＋a)]＝2，∴a(x＋a)＝(x－a)2，∴x2－3ax＝0，解得x＝0或x＝3a.
又x－a＞0且x－a≠1，∴当a＞0时，x＞a且x≠1＋a，
∴当a＞0且a≠时，原方程的解为x＝3a，a＝或a＝0时，原方程无解．
当a＜0时，x＞0且x≠1＋a,3a＜a且0≠1＋a，a≠－1，此时，原方程的解为x＝0.
11．(13分)已知f(x)＝是R上的奇函数．
(1)求a的值；
(2)求f－1(x)的解析式．
解：(1)∵f(－x)＝－f(x)，
∴－＝恒成立．解得a＝1.
(2)y＝f(x)＝ y·2x＋y＝2x－1
(1－y)·2x＝1＋y
2x＝
x＝log2.
∴f－1(x)＝log2　(－1＜x＜1)．
能力提升
12．(5分)设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数f－1(x)，f(4)＝0，则f－1(4)＝________.
答案：－2
解析：∵f(4)＝0，∴函数f(x)的图象过点(4,0)，点(4,0)关于点(1,2)的对称点(－2,4)也在f(x)的图象上，即f(－2)＝4，∴f－1(4)＝－2.
13．(15分)设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
解：将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3，
函数y＝2x，y＝log2x，y＝－x＋3的图象如图所示，
a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3的交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3的交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，
所以它们的图象关于直线y＝x对称，
由题意可得A，B两点也关于直线y＝x对称，
于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
而A，B都在直线y＝－x＋3上，
所以，
故a＋b＝3.习题课(五)
时间：45分钟　总分：90分
一、选择题
1．化简[]的结果为(　　)
A．5
B.
C．－
D．－5
答案：B
解析：[]＝(52)＝5＝5＝，故选B.
2．(－2ab)·(ab)6÷(－3ab)等于(　　)
A.ab
B．－a
C．－ab
D.ab
答案：A
解析：原式＝(－2ab)·(a3b－2)÷(－3ab)＝ab＝ab.
3．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c三个数的大小关系是(　　)
A．cB．cC．aD．b答案：A
解析：y＝x是减函数，－>－，∴b>a>1.又04．已知a－＝3(a＞0)，则a2＋a＋a－2＋a－1的值等于(　　)
A．13－
B．11－
C．13＋
D．11＋
答案：D
解析：由a－＝3，得(a－)2＝9，因此a2＋－2＝9，故a2＋a－2＝11.又(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝11＋2＝13，且a＞0，所以a＋a－1＝.于是a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋，选D.
5．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是(　　)
A．f(x)＝
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
答案：A
解析：由题意可知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，结合选项，可知选A.
6．方程log2(x＋4)＝3x的实根的个数是(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
答案：C
解析：方程的解的个数问题可转化为函数图象y1＝3x，y2＝log2(x＋4)的交点个数问题，如图所示，由图可知有2个交点．
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知＋b＝1，则＝________.
答案：3
解析：利用＋b＝1的关系消去b，即＝32a×3×3＝3＝3.
8．若a，b，c为正实数，ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc＝________.
答案：1
解析：设ax＝by＝cz＝k，则k＞0，a＝k，b＝k，c＝k，因此abc＝kkk＝k＝k0＝1.
9．已知函数f(2x)的定义域为[－1,2]，则函数y＝f[log3(x＋2)]的定义域为________．
答案：[－2,79]
解析：∵函数f(2x)的定义域为[－1,2]，即－1≤x≤2，∴≤2x≤4.
∴≤log3(x＋2)≤4，即≤x＋2≤81.
∴－2≤x≤79.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)比较下列各组数的大小．
(1)40.9,80.48，－1.5；
(2)log20.4，log30.4，log40.4.
解：(1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，
∵y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴40.9>－1.5>80.48；
(2)∵对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.44又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，
所以<<，
即log20.411．(13分)已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，且f＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且a≠1)的解集．
解：f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f＝0，
∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，f＝0，则有logax>或logax<－.
(1)当a>1时，logax>或logax<－，可得x>或0(2)当0或logax<－，可得0.
综上可知，当a>1时，f(logax)>0的解集为∪(，＋∞)；
当00的解集为(0，)∪.
能力提升
12．(5分)若x1满足2x＋2x＝5，x2满足2x＋2log2(x－1)＝5，则x1＋x2＝(　　)
A.
B．3
C.
D．4
答案：C
解析：由2x＋2x＝5得2x＝5－2x，作出草图，如图所示．
数形结合可知1所以313．(15分)设f(x)＝lg，其中a∈R，如果当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求a的取值范围．
解：解法1：令2x＝t，t∈(0,2]，
则问题转化为at2＋t＋1>0，在t∈(0,2]上恒成立．
设g(t)＝at2＋t＋1，
则当a＝0时，g(t)＝t＋1在(0,2]上恒有g(t)>0；
当a>0时，g(t)的对称轴t＝－<0，
且其图象恒过(0,1)点，所以在(0,2]上g(t)>0；
当a<0时，g(t)的对称轴t＝－>0，只需g(2)>0即可，即4a＋3>0，解得－综上所述，a的取值范围是a>－.
解法2：分离参数法：设＝t，则t∈，
则1＋2x＋4xa>0在x∈(－∞，1]上恒成立可转化为
a>－t2－t在t∈上恒成立，
则a就大于φ(t)＝－t2－t＝－2＋的最大值．由二次函数知识知φ(t)max＝φ＝－1＋＝－.
所以a>－.第12课时　函数单调性的概念
课时目标
1.了解函数单调性的概念．
2．会求函数的单调区间．
识记强化
1．函数y＝f(x)的图象上任意两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，自变量的改变量Δx＝x2－x1，函数值的改变量Δy＝y2－y1.
2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A.
如果取区间M中的任意两个值x1，x2.
改变量Δx＝x2－x1＞0，
则当Δy＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数．
当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．
3．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性．区间M称为单调区间．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列说法正确的是(　　)
A．定义在(a，b)上的函数f(x)若存在x1、x2∈(a，b)，使得x1B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1、x2∈(a，b)，使得x1C．若函数f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数
D．若函数f(x)在区间I上为增函数，且f(x1)答案：D
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　　)
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝－x2
D．y＝x2－2x－3
答案：B
解析：(排除法)选项A，y＝3－x在R上是减函数；选项C，y＝－x2在(0，＋∞)上是减函数；选项D，y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，当x≤1时，y是x的减函数，当x≥1时，y是x的增函数，而在(0,2)上并不严格单调．故选B.
3．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由3a－1＞0，得a＞，故选B.
4．若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　)
A．f(a)＞f(2a)
B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a)
D．f(a2＋1)＜f(a2)
答案：D
解析：因为f(x)是区间(－∞，＋∞)上的减函数，且a2＋1＞a2，所以f(a2＋1)＜f(a2)．故选D.
5．函数y＝的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2)
B．[－5，－2]
C．(－2，＋∞)
D．[－2,1]
答案：B
解析：设y＝，则u∈[0，＋∞)，y＝单调递增，
令u＝5－4x－x2，u≥0.
则x∈[－5,1]
x∈[－5，－2]时，u＝5－4x－x2为增函数，由复合函数单调性得y＝的递增区间为[－5，－2]．
6．函数f(x)＝的单调性为(　　)
A．在(0，＋∞)上是减函数
B．在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数
C．不能判断其单调性
D．在(－∞，＋∞)上是增函数
答案：D
解析：f(x)＝的定义域为R，由图象可知，f(x)在R上是增函数．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．二次函数y＝2x2＋3mx－6在(－∞，6]上是减函数，则m的取值范围是________．
答案：(－∞，－8]
解析：依题意，抛物线开口向上，
因为在(－∞，6]上是减函数，
所以由－＝－m≥6，得m≤－8.
8．设x1，x2为函数f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①x1－x2＞0；②x1－x2＜0；③＞0；④＜0.
其中能推出函数f(x)为增函数的命题为________．
答案：③
解析：对于③，因为＞0，即x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，即若x1＞x2，f(x1)＞f(x2)，若x1＜x2，f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)为增函数．其他几个命题均不能推出f(x)为增函数，故填③.
9．若函数f(x)的图象如图所示，则其单调递减区间是________．
答案：(－1,1)
解析：由函数f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)f(x)＝|x|·|x－2|；
(2)f(x)＝.
解：(1)由题意，得f(x)＝，作出图象如图1，由图象知，函数的单调递减区间是(－∞，0)和(1,2)，单调递增区间是[0,1]和[2，＋∞)．
(2)作出图象如图2，由图象知，函数的单调递减区间是(－∞，0]和(0，＋∞)．
11．(13分)(1)证明：函数f(x)＝在(－∞，0)上是减函数；
(2)证明：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
证明：(1)设x1，x2是(－∞，0)上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为x1，x2∈(－∞，0)，所以x1x2＞0，又因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，则＞0.
于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
因此函数f(x)＝在(－∞，0)上是减函数．
(2)设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则x2－x1＞0，
而f(x2)－f(x1)＝(x＋x2)－(x＋x1)
＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x)＋(x2－x1)
＝(x2－x1)(x＋x2x1＋x＋1)
＝(x2－x1)[(x2＋)2＋x＋1]．
因为(x2＋)2＋x＋1＞0，x2－x1＞0，所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．
因此函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．
能力提升
12．(5分)设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则(　　)
A．f(a)＞f(2a)
B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a)
D．f(a2＋1)＜f(a)
答案：D
解析：判断出自变量值的大小即可由单调性得到函数值的大小关系．
13．(15分)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其定义域上为增函数，满足f(x·y)＝f(x)＋f(y)且f(2)＝1，试解不等式f(x)＋f(x－2)<3.
解：∵f(x·y)＝f(x)＋f(y)且f(2)＝1
∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2
f(8)＝f(4)＋f(2)＝3
f(x)＋f(x－2)<3
∴f[x(x－2)]∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增
∴解得2∴f(x)＋f(x－2)<3的解集{x|2课时目标
1.熟练掌握指数幂的运算法则．
2．加深根式的性质、分数指数幂的运算．
识记强化
1．根式的性质：(1)()n＝a(n＞1，且n∈N＋)；
(2)当n为奇数时＝a，当n为偶数时＝|a|.
2．分数指数幂的运算法则：
a＝(a＞0)；
a＝()m＝(a＞0，m，n∈N＋且为既约分数)
a＝＝(a＞0，m，n∈N＋且为既约分数)
3．设a＞0，b＞0，对任意有理数α、β，有理指数幂有如下三条运算法则
aαaβ＝aα＋β，(aα)β＝aαβ，(ab)α＝aαbα.
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(　　)
A．(－1)和(－1)
B．0－2和0
C．2和4
D．4和()－3
答案：C
解析：选项A中，(－1)
和(－1)
均不符合分数指数幂的定义，故A不满足题意；选项B中，0的负分数指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，4和()－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D不满足题意；选项C中，2＝，4＝＝2＝，满足题意．故选C.
2．将化为分数指数幂为(　　)
A．2
B．2
C．2
D．2
答案：D
解析：＝
(2)＝2.
3．计算：3π×()π＋(2)＋1的值为(　　)
A．17
B．18
C．6
D．5
答案：B
解析：3π×()π＋(2)＋1＝(3×)π＋2×＋1＝1π＋24＋1＝18.
4．已知x－2＋x2＝2且x＞1，则x2－x－2的值为(　　)
A．2或－2
B．－2
C.
D．2
答案：D
解析：解法一：∵x＞1，
∴x2＞1.
由x－2＋x2＝2可得x2＝＋1.
∴x2－x－2＝＋1－＝＋1－(－1)＝2.
解法二：令x2－x－2＝t，①
∵x－2＋x2＝2，②
∴①2－②2得t2＝4.
∵x＞1，∴x2＞x－2，
∴t＞0，于是t＝2.
即x2－x－2＝2.故选D.
5.…的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：原式＝××…××＝.
6．下列四个结论：
①当a＜0时，(a2)＝a3；
②＝|a|(n＞1，n∈N＋)；
③函数y＝(3－x)－(3x－7)0的定义域是(－∞，3)；
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.
其中正确的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
解析：①中，当a＜0时，(a2)
＝[(a2)
]3＝|a|3＝－a3，∴①不正确；
②中，当n是正偶数时，＝|a|成立，当n是正奇数时，＝a，∴②不正确；
③中，有则x≤3且x≠，故定义域为∪(，3]，∴③不正确；
④中，∵100a＝5,10b＝2，
∴102a＝5,10b＝2,102a×10b＝5×2.∴102a＋b＝101.
∴2a＋b＝1.∴④正确．故选B.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7.＋＝________.
答案：1
解析：＋
＝|3.14－π|＋|4.14－π|
＝π－3.14＋4.14－π
＝1.
8．计算：8－(0.5)－3＋()－6×()＝________.
答案：4
解析：8－(0.5)－3＋()－6×()＝(23)
－(2－1)－3＋(3－)－6×[()4]
＝22－23＋33×()－3＝4－8＋27×＝4.
9.＋＝________.
答案：－
解析：＋＝＋＝＋＝－＋－＝－.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)计算：
(1)(2)0.5－0.752＋6－2×()；
(2)(0.25)－[－2×()0]2×[(－2)3]
＋10(2－)－1－10×30.5；
(3)(7＋4)－81＋32－2×()＋×(4)－1.
解：(1)(2)0.5－0.752＋6－2×()
＝[()2]－()2＋×[()3]
＝－()2＋×()－2
＝－＋×
＝1.
(2)(0.25)
－[－2×()0]2×[(－2)3]
＋10(2－)－1－10×30.5
＝[(0.5)2]
－(－2×1)2×(－2)－2＋10×－10×3＝2－4×＋10(2＋)－10
＝21.
(3)(7＋4)－81＋32－2×()＋×(4)－1
＝[(2＋)2]
－(34)
＋(25)
－2×(2－3)
＋2×(22)
＝2＋－＋8－8＋2
＝4.
11．(13分)已知x＋x＝3，计算：
(1)x－x－1；
(2).
解：(1)将x＋x＝3两边平方，得x＋x－1＋2＝32，
即x＋x－1＝7，
∴(x－x)2＝x＋x－1－2x·x＝7－2×1＝5，
即x－x＝±.
∴x－x－1＝(x－x)(x＋x)＝±3.
(2)将x＋x－1＝7两边平方，得x2＋x－2＋2＝49，
∴x2＋x－2＝47，
∴＝＝4.
能力提升
12．(5分)式子＋的化简结果为(　　)
A．1
B．10
C．100
D.
答案：D
解析：(＋)2＝3＋＋3－＋2＝6＋2＝10.
13．(15分)当x＞0，y＞0，且(＋)＝3(＋5)时，求的值．
解：由已知得x＋＝3
＋15y 2
＝x－15y x2－34xy＋225y2＝0 (x－25y)(x－9y)＝0.
∴当x＝25y时，＝＝＝2；
当x＝9y时，＝＝＝.第18课时　待定系数法
课时目标
1.了解待定系数法的意义．
2．会用待定系数法求一些常见的初等函数．(如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等)
识记强化
1．一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后，再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．
2．常见待定系数法的设法：
①若f(x)为正比例函数，可设f(x)＝kx；
②若f(x)为反比例函数，可设f(x)＝；
③若f(x)为一次函数，可设f(x)＝kx＋b；
④若f(x)为二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c.
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，则这个函数的解析式为(　　)
A．y＝4x
B．y＝－4x
C．y＝x
D．y＝－x
答案：A
解析：设正比例函数的解析式为y＝kx(k≠0)．∵点(2,8)在函数图象上，∴8＝2k，∴k＝4，故选A.
2．已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为(　　)
A．y＝x－
B．y＝x＋
C．y＝－x＋
D．y＝－x－
答案：B
解析：方法一　点(1,3)不在直线y＝x－，y＝－x＋，y＝－x－上，排除A、C、D，故选B.
方法二　设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意，得
，解得，∴y＝x＋.
3．已知f(x)＝ax＋b(a≠0)且af(x)＋b＝9x＋8，则(　　)
A．f(x)＝3x＋2
B．f(x)＝－3x－4
C．f(x)＝3x－4
D．f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4
答案：D
解析：∵f(x)＝ax＋b，∴af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝9x＋8，
∴a2x＋ab＋b＝9x＋8，∴∴或.
∴f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.
4．二次函数y＝f(x)的对称轴为x＝1，最小值为1，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝x2－2x＋2
B．f(x)＝x2＋2x＋2
C．f(x)＝x2＋2x＋1
D．f(x)＝x2－2x
答案：A
5．设函数f(x)＝，若f(－1)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
解析：由f(－1)＝f(0)，f(－2)＝－2，可得，解得，∴f(x)＝.令f(x)＝x，得x＝2或x＝－2.
6．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x(x∈N＋)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年使其营运年平均利润最大(　　)
A．3年
B．4年
C．5年
D．6年
答案：C
解析：设y＝a(x－6)2＋11.将点(4,7)代入得
a(4－6)2＋11＝7，∴a＝－1
∴y＝－(x－6)2＋11＝－x2＋12x－25，
∴年平均利润为＝－x＋12－＝－(x＋)＋12.
设g(x)＝－(x＋)＋12易证g(x)在(0,5]上递增，在[5，＋∞)上递减，故当x＝5时，g(x)有最大值，即g(5)＝10.此时最大利润为2万元，故选C.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一个点的坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为________．
答案：(－，)
解析：∵点(1,4)既在抛物线y＝ax2上，又在直线y＝kx＋1上，
∴，解得，
∴抛物线方程为y＝4x2，直线方程为y＝3x＋1.
由，得或.
∴另一个点的坐标为(－，)．
8．已知函数y＝f(x)的图象如图所示．则y＝f(x)的表达式为________．
答案：f(x)＝
解析：因为f(x)的图象由两条线段所组成，所以其函数关系式是一次式，于是可分段设f(x)＝kx＋b，然后利用待定系数法，可得
f(x)＝
9．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________.
答案：2
解析：∵f(x)＝x2＋4x＋3，
∴f(ax＋b)＝(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3
＝a2x2＋2abx＋b2＋4ax＋4b＋3
＝a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3.
又f(ax＋b)＝x2＋10x＋24.
∴，解得或.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积为，求该一次函数的解析式．
解：由题意，知k≠0.
设一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴的交点分别为A，B，则A(－，0)，B(0，b)．
又一次函数y＝kx＋b的图象过点(，0)，
∴－＝，|OA|＝，
∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝××|b|＝，
∴b＝5或b＝－5.
当b＝5时，k＝－2；当b＝－5时，k＝2.
∴所求一次函数的解析式为y＝2x－5或y＝－2x＋5.
11．(13分)已知二次函数f(x)满足条件f(0)＝2及f(x＋1)－f(x)＝2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值和最小值．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
∵f(0)＝2，∴c＝2，∴f(x)＝ax2＋bx＋2.
又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，
∴，∴.
∴f(x)＝x2－x＋2.
(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝，又∈[－1,2]，
∴当x＝时，函数f(x)取得最小值，
当x＝2或－1时，函数f(x)取得最大值4.
能力提升
12．(5分)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到下列文字：“已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过(1,0)，……求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．”根据以上信息，题中的二次函数图象不具有的性质是(　　)
A．过点(3,0)
B．顶点(2,2)
C．在x轴上截得的线段长为2
D．与y轴交点为(0,3)
答案：B
解析：由题意可设y＝(x－2)2＋k，将点(1,0)代入得k＝－1，∴y＝x2－4x＋3，∴顶点为(2，－1)，故选B.
13．(15分)已知a，b，c为△ABC的三边长，抛物线y＝ax2－2bx＋c的顶点为(1,0)．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)若△ABC外接圆面积为3π，求这条抛物线的解析式．
解：(1)由题意，得
即a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
(2)设△ABC的外接圆半径为R，则有πR2＝3π，
∴R＝，由△ABC为等边三角形，
∴··a＝R，∴a＝R＝3，
∴a＝b＝c＝3，∴抛物线的解析式为
y＝3x2－6x＋3.第4课时　集合关系与其特征性质之间的关系
课时目标
1.理解集合关系与其特征性质之间的关系，并会简单应用．
2．体验子集概念的形成过程，逐渐学会观察、比较、抽象概括的思维方法．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知集合A{3,4,9}，且A中至多只有一个奇数，则这样的集合A的个数为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
答案：D
解析：集合{3,4,9}的真子集有 ，{3}，{4}，{9}，{3,4}，{3,9}，{4,9}，共7个，去掉含两个奇数的集合{3,9}，可知满足条件的集合A有6个．
2．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的维恩(Venn)图是(　　)
答案：B
解析：由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}，则NM，选B项．
3．若A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x＝，n∈Z}则(　　)
A．A＝B
B．AB
C．AB
D．以上都不对
答案：A
解析：∵A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x|x＝，n∈Z}＝{0,1}，∴A＝B.
4．已知集合M＝{x|－1a}，若M N，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≥3}
B．{a|a>3}
C．{a|a≤－1}
D．{a|a<－1}
答案：C
解析：M＝{x|－15．集合M＝{1,2，a，a2－3a－1}，N＝{－1,3}，若3∈M，且NM，则a的取值为(　　)
A．－1
B．4
C．－1或－4
D．－4或1
答案：B
解析：①若a＝3，则a2－3a－1＝－1，即M＝{1,2,3，－1}，显然N M，不合题意；②若a2－3a－1＝3，即a＝4或a＝－1(舍去)，当a＝4时，M＝{1,2,4,3}，满足要求．
6．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A B，A C.则集合A的个数是(　　)
A．8
B．3
C．4
D．1
答案：C
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．若集合{1,2}＝{a，h}，则点(a，h)的坐标为________．
答案：(1,2)或(2,1)
8．集合U，S，T，F的关系如图所示，下列关系错误的有________(把所有错误的序号都填上)．
①SU；②FT；③ST；④SF；⑤S F；⑥FU.
答案：②④⑤
9．已知集合P＝{x|0＜x－a≤2}，Q＝{x|－3＜x≤4}，若P Q，则a的取值范围是________．
答案：{a|－3≤a≤2}
解析：依题意，知P＝{x|a＜x≤a＋2}，又Q＝{x|－3＜x≤4}，若P Q，则，解得－3≤a≤2.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)设集合A＝{a|a＝2n＋1，n∈Z}，B＝{b|b＝2n－1，n∈Z}．求证：A＝B.
证明：任设a∈A，则a＝2n＋1＝2(n＋1)－1，
∵n∈Z，∴n＋1∈Z，∴a∈B，故A B.①
又任设b∈B，则b＝2n－1＝2(n－1)＋1，
∵n∈Z，∴n－1∈Z，∴b∈A，∴B A.②
由①②知A＝B.
11．(13分)设集合P＝{x|x2－5x－14＝0}，Q＝{x|mx＋1＝0}．
(1)若m＝，试判断集合P与Q的关系；
(2)若Q P，求实数m构成的集合T.
解：(1)由x2－5x－14＝0，解得x＝－2或x＝7，
即P＝{－2,7}．
若m＝，由x＋1＝0，得x＝－2，
此时Q＝{－2}．
所以QP.
(2)因为P＝{－2,7}，又Q P，所以
①若Q＝ ，则方程mx＋1＝0无解，此时m＝0；
②若Q≠ ，则m≠0，由mx＋1＝0，可得x＝－，
所以－＝－2或－＝7，
即m＝或m＝－.
综上所述，T＝{0，，－}．
能力提升
12．(5分)设集合M＝{m|m＝9n，n∈N＋，且10A．136
B．144
C．145
D．154
答案：C
解析：当n＝2时，m1＝18；n＝3时，m2＝27；…，m15＝m1＋9(15－1)＝18＋126＝144，所以a可取的最小自然数为145.
13．(15分)集合A＝{x|－4≤x≤3}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．
(1)若B A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)若不存在实数x使x∈A，x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m－1＞2m＋1，即m＜－2时，B＝ ，满足题意；
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，要使B A成立，则有
解得－2≤m≤1.
综上，若B A，则实数m的取值范围是{m|m≤1}．
(2)当x∈Z时，A＝{－4，－3，－2，－1,0,1,2,3}，共8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(3)不存在实数x使x∈A，x∈B同时成立，即A，B没有公共元素．
当m－1＞2m＋1，即m＜－2时，B＝ ，满足题意；
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，要使A，B没有公共元素，则有
或，解得m＞4.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＞4或m＜－2}．第14课时　函数奇偶性的概念
课时目标
1.掌握利用函数的奇偶性定义判断函数奇偶性的方法和步骤．
2．掌握奇偶函数的图象的对称性，并能利用其正确作出奇偶函数的草图．
识记强化
1．奇(偶)函数的概念．
(1)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说f(x)具有奇偶性．
2．奇(偶)函数的图象特点．
(1)奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．
(2)偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
(3)若当x＝0时奇函数f(x)有意义，则f(0)＝0.
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列说法错误的个数为(　　)
①图象关于原点对称的函数是奇函数；
②图象关于y轴对称的函数是偶函数；
③奇函数的图象一定过坐标原点；
④偶函数的图象一定与y轴相交．
A．4
B．3
C．2
D．1
答案：C
解析：由奇、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，所以④说法错误．故选C.
2．函数f(x)＝－x的图象关于(　　)
A．y轴对称
B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称
D．直线y＝x对称
答案：C
解析：∵f(x)＝－x是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，故选C.
3．奇函数f(x)的定义域为R，则有(　　)
A．f(x)＜f(－x)
B．f(x)≤f(－x)
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)＞0
答案：C
解析：f(x)为奇函数，f(x)f(－x)＝f(x)[－f(x)]＝－[f(x)]2≤0.
4．下列函数不具备奇偶性的是(　　)
A．y＝－x
B．y＝－
C．y＝
D．y＝x2＋2
答案：C
解析：y＝－x与y＝－都是奇函数，y＝x2＋2是偶函数，y＝的定义域为{x∈R|x≠－1}，不关于原点对称，故选C.
5．函数f(x)＝ax2＋bx＋2a－b是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝(　　)
A．－
B.
C．0
D．1
答案：B
解析：由偶函数的定义，知[a－1,2a]关于原点对称，所以2a＝1－a，解得a＝.又f(x)为偶函数，则b＝0.
所以a＋b＝.
6．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，那么g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
答案：A
解析：由f(x)为偶函数，得b＝0，则g(x)＝ax3＋cx(a≠0)为奇函数．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．函数f(x)＝ax2＋bx＋3x＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则2a＋3b＝________.
答案：－
解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，
所以(a－1)＋2a＝0，所以a＝.
因为偶函数的图象关于y轴对称，
所以－＝0，所以b＝－3.
故2a＋3b＝－.
8．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
答案：(－2,0)∪(2,5]
解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f(x)在[－5,0)的图象，由图象可以看出，不等式f(x)＜0的解集是(－2，0)∪(2,5]，如图所示．本题主要考查函数的奇偶性及数形结合的思想方法．
9．已知f(x)、g(x)是R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为5，则F(x)在(－∞，0)上的最小值为________．
答案：－1
解析：奇偶性的应用，由图象特征知在某一区间存在最值，则其关于原点对称的区间也存在最值．
设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)．
∵f(x)、g(x)是R上的奇函数，
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－af(x)－bg(x)＋2＝
－[af(x)＋bg(x)]＋2.
又∵F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为5，
∴F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)]＋2≤5.
∴af(x)＋bg(x)≥－3.
∴af(x)＋bg(x)＋2≥－1.
则F(x)在(－∞，0)上的最小值为－1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝|x－1|－|x＋1|；
(2)f(x)＝.
解：(1)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
因为f(－x)＝|－x－1|－|－x＋1|＝|x＋1|－|x－1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称．
当x＜－1时，－x＞1，f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
当|x|≤1时，|－x|≤1，f(－x)＝0＝f(x)；
当x＞1时，－x＜－1，f(－x)＝(－x)＋2＝－x＋2＝f(x)．
所以对一切x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)是偶函数．
11．(13分)已知函数f(x)＝(a－b)2x3－(a2－b2)x2＋(a－b)x－(a＋b)2.试问：当a、b满足什么条件时，f(x)是奇函数或偶函数．
解：①当f(x)是奇函数时，有f(－x)＝－f(x)，即
－(a－b)2x3－(a2－b2)x2－(a－b)x－(a＋b)2＝－(a－b)2x3＋(a2－b2)x2－(a－b)x＋(a＋b)2，也就是(a2－b2)x2＋(a＋b)2＝0对一切实数x恒成立．
解得a＋b＝0.
②当f(x)是偶函数时，类似可求得a－b＝0.
能力提升
12．(5分)已知函数f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋3，g(－7)＝10，则g(7)＝(　　)
A．4
B．－4
C．7
D．－7
答案：B
解析：g(－7)＝f(－7)＋3＝10，∴f(－7)＝7，f(x)为奇函数，f(7)＝－f(－7)＝－7，∴g(7)＝f(7)＋3＝(－7)＋3＝－4.
13．(15分)函数f(x)的图象关于y轴对称，且x≥0时f(x)＝x2－2x.求满足f(x－1)<3的x取值范围．
解：∵f(x)图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数
x≥0时，x2－2x＝3，x＝3或x＝－1(舍去)即f(3)＝3.
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)＝f(|x|)结合图象f(x－1)<3，f(|x－1|)∴|x－1|<3，－2课时目标
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．
识记强化
　函数的表示法．
表示函数常用的三种方法为解析法、图象法、列表法．
(1)用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫解析法．
(2)用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫图象法．
(3)列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫列表法．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　)
A．13立方米
B．14立方米
C．18立方米
D．26立方米
答案：A
解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.
2．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了a
km，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了b
km(b＜a)，再折回匀速前进ckm，则此人距起点的距离s与时间t的关系示意图正确的是(　　)
答案：C
解析：注意理解两坐标轴s，t的含义，这里s是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知C符合.
故选C.
3．y与x成反比，且x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式(　　)
A．y＝
B．y＝
C．y＝
D．y＝－
答案：C
解析：y＝，x＝2，y＝1，∴k＝2，故选C.
4．一个面积为100
cm2的等腰梯形，上底长为x
cm，下底长为上底长的3倍，把它的高y表示成x的函数为(　　)
A．y＝50x(x＞0)
B．y＝100x(x＞0)
C．y＝(x＞0)
D．y＝(x＞0)
答案：C
解析：依题意，得100＝·y，即y＝.又x＞0，则所求函数解析式为y＝(x＞0)．故选C.
5．如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于(　　)
A.
B.
C.
D.－1
答案：B
解析：令＝t，则x＝，f(t)＝＝，
∴f(x)＝，故选B.
6．设f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝x＋3，则f(1)等于(　　)
A．2
B．4
C.
D.
答案：A
解析：令x＝±1，得f(－1)＋2f(1)＝4，f(1)＋2f(－1)＝2，消去f(－1)，得f(1)＝2.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．设f(x)＝x2，g(x)＝2x－1，则f[g(0)]＝________.
答案：1
解析：g(0)＝－1，∴f[g(0)]＝f(－1)＝1.
8.
如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是________，这个函数的定义域为________．
答案：V＝x(a－2x)2　{x|0＜x＜}
解析：据长方体的体积公式，易得V＝x(a－2x)2，其中0＜x＜.
9．若2f()＋f(x)＝x(x≠0)，则f(x)＝________.
答案：－(x≠0)
解析：用代换x，得2f(x)＋f()＝
.解方程组，得f(x)＝－.故填－(x≠0)．
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)把长为l的铁丝弯成下部为矩形ABCD，上部为半圆形的框架(如图所示)，若AB＝2x，求此框架围成的平面图形的面积y与x的函数关系式y＝f(x)，并求其定义域．
解：设AB＝2x，则＝πx.
于是AD＝.
∴y＝2x·＋
＝－x2＋lx.
由题意，得解得0∴函数的定义域为.
11．(13分)由给定条件求下列解析式：
(1)已知f(x)＝x2，求f(2x＋1)；
(2)已知f(－1)＝x＋2，求f(x)．
解：(1)因为f(x)＝x2，
所以f(2x＋1)＝(2x＋1)2＝4x2＋4x＋1.
(2)方法一(拼凑法)　因为f(－1)＝x＋2＝(－1)2＋4(－1)＋3，而－1≥－1，所以f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
方法二(换元法)　令t＝－1，则＝t＋1，且t≥－1.
所以f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3，
即f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．
能力提升
12．(5分)函数y＝ax2＋bx＋c与y＝ax＋b(ab≠0)的图象只可能是(　　)
答案：D
解析：由a的符号排除B、C，又A中y轴为抛物线的对称轴，即b＝0，也应排除．
13．(15分)
(1)已知f(x)＋2f(－x)＝x＋1，求f(x)的解析式；
(2)设f(x)是R上的函数，且f(0)＝1，并且对任意实数x、y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
解：(1)∵f(x)＋2f(－x)＝x＋1，
∴f(－x)＋2f(x)＝－x＋1.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－x＋.
(2)解法一：由f(0)＝1，f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
设x＝y，得f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)．
因为f(0)＝1，所以f(x)－x(2x－x＋1)＝1，
即f(x)＝x2＋x＋1.
解法二：令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，
即f(－y)＝1－y(－y＋1)．
又令－y＝x，代入上式得：
f(x)＝1－(－x)(x＋1)＝1＋x(x＋1)，
∴f(x)＝x2＋x＋1.第13课时　函数单调性的应用
课时目标
1.进一步理解单调性的意义，会判断复合函数的单调性．
2．能运用函数的单调性解决一些较复杂的函数性质问题．
识记强化
　复合函数的单调性：
若函数y＝f(x)和y＝g(x)都是R上的增函数
y＝h(x)和y＝φ(x)都是R上的减函数
则函数y＝f[g(x)]在R上为增函数
y＝f[h(x)]在R上为减函数
y＝h[g(x)]在R上为减函数
y＝h[φ(x)]在R上为增函数
记忆方法为：同增异减．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列函数中，在(－∞，1)上是减函数的是(　　)
A．f(x)＝2＋2x2
B．f(x)＝x2＋6x
C．f(x)＝
D．f(x)＝1－
答案：C
解析：通过图形判断．
2．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是(　　)
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤25
D．f(1)＞25
答案：A
解析：f(x)＝4x2－mx＋5在上单调递增，故[－2，＋∞) ，即－2≥，∴m≤－16.f(1)＝9－m≥25.
3．已知函数f(x)的图象关于x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a＝f(－)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＜b＜a
B．b＜a＜c
C．b＜c＜a
D．a＜b＜c
答案：B
解析：∵函数f(x)的图象关于x＝1对称，∴a＝f(－)＝f()．又f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴f(2)＜f()＜f(3)，即b＜a＜c.
4．函数f(x)在区间[－4,7]上是增函数，则y＝f(x－3)的一个单调增区间为(　　)
A．[－2,3]
B．[－1,7]
C．[－1,10]
D．[－10，－4]
答案：C
解析：由函数y＝f(x)的图象向右平移3个单位后得到y＝f(x－3)的图象，所以y＝f(x－3)的一个单调增区间为[－1,10]．
5．函数y＝f(x－1)的图象如图所示，它在R上单调递减，现有如下结论：
①f(0)＞1;
②f＜1；
③f(2)＜1;
④f＞f(2)．
其中正确结论的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
解析：y＝f(x)的图象是在y＝f(x－1)的基础上向左平移一个单位长度得到的，由图象知f(0)＝1.故①不正确，而③正确．②显然正确．对于④f(x－1)单调递减，
∴f(x)单调递减，故f＞f(2)，∴④正确，综上②③④均正确．故选C.
6．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(||)＜f(1)的实数x的取值范围是(　　)
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：由f(x)为R上的减函数且f(||)＜f(1)，得，即，∴－1＜x＜0或0＜x＜1.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．函数y＝的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
答案：　
解析：由－x2－x＋6≥0，即x2＋x－6≤0，解得－3≤x≤2.
∴y＝的定义域是[－3,2]．
又∵u＝－x2－x＋6的对称轴是x＝－，
∴u在x∈上单调递增，在x∈上单调递减．
又∵y＝是[0，＋∞)上的增函数，
∴y＝的递增区间是，递减区间是.
8．若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________(用区间表示)．
答案：
解析：设任意的x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1∵f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝.
∵f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，
∴f(x1)－f(x2)<0.
∴<0.
∵x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0，
∴2a－1>0，∴a>.
9．函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2)＞f(－m)，则实数m的取值范围是________．
答案：(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析：由函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m2)＞f(－m)，得m2＞－m，结合二次函数y＝m2＋m的图象解得m＜－1或m＞0.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)．
(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)在[，2]上的值域是[，2]，求a的值．
解：(1)设任意x1，x2∈(0，＋∞)且x2＞x1，则x2－x1＞0，x1x2＞0，
∵f(x2)－f(x1)＝(－)－(－)＝－＝＞0，
∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(2)∵f(x)在[，2]上是增函数，
∴f()＝，f(2)＝2，即－2＝，－＝2，解得a＝.
11．(13分)已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)解：由题意，得解得故a的取值范围是.
能力提升
12．(5分)设f(x)是定义在D上的减函数，且f(x)＞0，则下列函数y＝3－f(x)，y＝1＋，y＝[f(x)]2，y＝1－中增函数有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：C
解析：f(x)为减函数，f(x)＞0.则
y＝3－f(x)是增函数，y＝1＋是增函数；
y＝[f(x)]2是减函数，y＝1－是增函数．
13．(15分)已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，且当x＞1时，f(x)＞0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)在定义域上是增函数．
解：(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，
所以f(1)＝0.
(2)令y＝，则f(1)＝f(x)＋f()＝0，即f()＝－f(x)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f()＝f()，
由于＞1，因此f()＞0，即f(x2)＞f(x1)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．第2课时　集合的表示方法
课时目标
1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法)．
2．能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．
识记强化
1．列举法表示集合
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{　　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法表示集合
用集合所含元素的特征性质表示集合的方法称为描述法．
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的特征性质．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为(　　)
A．{(1,2)}
B．{(2,1)}
C．{1,2}
D．{x2－3x＋2＝0}
答案：C
2．集合M＝{(x，y)|xy＜0，x∈R，y∈R}是(　　)
A．第一象限内的点集
B．第三象限内的点集
C．第四象限内的点集
D．第二、四象限内的点集
答案：D
解析：∵xy＜0.∴x与y异号，故点(x，y)在第二或第四象限，故选D.
3．下列四个命题
①集合N
中最小数是0；
②
∈Q；
③a∈Z，b∈Z，则a＋b∈Z，且a－b∈Z；
④方程x(x2－1)＝0的解集为{0,1}．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
解析：①中的最小数为1，①错；不是有理数，②错；a、b为整数，其和差仍为整数，③对；集合中元素不能重复④对，故选C.
4．已知集合M＝{0,2,4}，定义集合P＝{x|x＝ab，a∈M，b∈M}，则集合P为(　　)
A．{0,2,16}
B．{0,4,8}
C．{0,2,4,8}
D．{0,4,8,16}
答案：D
5．下列集合中，与其他三个集合不同的是(　　)
A．{y|y＝1}
B．{y|(y－1)2＝0}
C．{y＝1}
D．{1}
答案：C
解析：A，B，D都表示单元素集合{1}，而C表示只含一个元素y＝1的集合．
6．给出下列说法：
①实数集可以表示为{R}；
②方程＋|2y＋1|＝0的解集是；
③方程组的解集是{(x，y)|}；
④集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}与集合N＝{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}表示同一个集合．
其中说法正确的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
解析：实数集就是R，所以①错误；方程＋|2y＋1|＝0的解为x＝，y＝－，用集合表示为{(x，y)|}，所以②错误；方程组的解为，用集合表示为{(x，y)|}，所以③正确；y＝x2＋1≥1，集合M表示大于等于1的实数集合，N中的元素(x，y)表示抛物线y＝x2＋1上的点，它们不是同一个集合，所以④错误．故选B.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．用列举法表示下列集合：
(1)A＝{x∈N||x|≤2}＝________；
(2)B＝{x∈Z||x|≤2}＝________；
(3)C＝{(x，y)|
x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z}＝________.
答案：(1){0,1,2}　(2){－2，－1,0,1,2}　(3){(2,0)，(－2,0)(0,2)，(0，－2)}
解析：(1)∵x∈N，|x|≤2，∴x＝0,1,2，∴A＝{0,1,2}．
(2)∵x∈Z，|x|≤2，∴x＝－2，－1,0,1,2，∴B＝{－2，－1，0,1,2}．
(3)∵x2＋y2＝4，x∈Z，y∈Z，∴或，∴C＝{(2,0)，(－2,0)，(0,2)，(0，－2)}．
8．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝________.
答案：{0,1}
解析：∵x∈A，∴当x＝－1时，y＝|x|＝1；当x＝0时，y＝|x|＝0；当x＝1时，y＝|x|＝1.∴B＝{0,1}．
9．当a满足________时，集合A＝{x|3x－a＜0，x∈N
}表示集合{1}．
答案：3＜a≤6
解析：由3x－a＜0，得x＜，又x∈N
，故A表示集合{1}时，1＜≤2，解得3＜a≤6.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)用列举法把下列集合表示出来：
(1)C＝{y|y＝－x2＋5，x∈N，y∈N}；
(2)D＝{(x，y)|y＝－x2＋5，x∈N，y∈N}．
解：(1)∵y∈N，∴0≤－x2＋5，∴x＝0,1,2，故y＝5,4,1，即C＝{5,4,1}．
(2)x＝0时y＝5；x＝1时y＝4；x＝2时y＝1，∴D＝{(0,5)，(1,4)，(2,1)}．
11．(13分)已知集合A＝{x|mx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数m的值．
解：当m＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，解得x＝2，此时集合A＝{2}，满足题意；
当m≠0时，要使一元二次方程mx2－8x＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64m＝0，解得m＝1，此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，实数m的值为0或1.
能力提升
12．(5分)集合{x∈N
|x<5}的另一种表示法是(　　)
A．{0,1,2,3,4}
B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
D．{1,2,3,4,5}
答案：B
解析：集合{x∈N
|x<5}表示由所有小于5的正整数构成的集合，故选B.
13．(15分)集合M中的元素为自然数，且满足若x∈M，则8－x∈M.试回答下列问题：
(1)写出只有一个元素的集合M；
(2)写出元素个数为2的所有的集合M；
(3)满足题设条件的集合M共有多少个？
解析：(1)M中只有一个元素，根据已知必须满足x＝8－x，所以x＝4.
所以含一个元素的集合M＝{4}．
(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和8－x，
所以元素个数为2的所有的集合M为{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}．
(3)满足条件的集合M是由集合{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}中的元素组成，它包括以下情况：
①{4}，{0,8}，{1,7}，{2,6}，{3,5}，共5个；
②{4,0,8}，{4,1,7}，{4,2,6}，{4,3,5}，{0,8,1,7}，{0,8,2,6}，{0,8,3,5}，{1,7,2,6}，{1,7,3,5}，{2,6,3,5}，共10个；
③{4,0,8,1,7}，{4,0,8,2,6}，{4,0,8,3,5}，{4,1,7,2,6}，{4,1,7,3,5}，{4,2,6,3,5}，{0,8,1,7,2,6}，{0,8,1,7,3,5}，{1,7,2,6,3,5}，{0,8,2,6,3,5}，共10个；
④{4,0,8,1,7,2,6}，{4,0,8,1,7,3,5}，{4,0,8,2,6,3,5}，{4,1,7,2,6,3,5}，{0,8,1,7,2,6,3,5}，共5个；
⑤{4,0,8,1,7,2,6,3,5}，共1个．
于是满足题设条件的集合M共有5＋10＋10＋5＋1＝31个．第1课时　集合的概念
课时目标
1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性．
2．体会元素与集合间的“从属关系”．
3．记住常用数集的表示符号并会应用．
识记强化
1．集合：把一些元素组成的总体叫做集合．
2．元素与集合关系
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作“a∈A”；如果a不是A中的元素，就说a不属于集合A，记作“a A”．
3．常用数集及表示符号
非负整数集(自然数集)N；正整数集N
或N＋；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
4．不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列各组对象不能构成集合的是(　　)
A．所有的直角三角形
B．不超过10的非负数
C．著名的艺术家
D．方程x2－2x－3＝0的所有实数根
答案：C
解析：A，B，D中的元素是确定的，都能构成集合．但C中的“著名艺术家”的标准不明确，不满足确定性，所以不能构成集合．故选C.
2．下列所给关系正确的个数是(　　)
①π∈R　② Q　③0∈N
　④|－5| N
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
解析：①π是实数，所以π∈R正确；②是无理数，所以 Q正确；③0不是正整数，所以0∈N
错误；④|－5|＝5为正整数，所以|－5| N
错误．故选B.
3．给出下列命题：
①N中最小的元素是1；
②若a∈N，则－a N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.
其中所有正确命题的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：A
解析：自然数集中最小的元素是0，故①③不正确；对于②，当a＝0时，－a仍为自然数，所以②也不正确．故选A.
4．集合A中只含有元素a，则下列各式正确的是(　　)
A．0∈A
B．a A
C．a∈A
D．a＝A
答案：C
解析：元素与集合关系符号是“∈”或“ ”，选C.
5．若a∈R，b∈R，下面结论不一定正确的是(　　)
A．a＋b∈R
B．a－b∈R
C．ab∈R
D.∈R
答案：D
解析：当a＝－1，b＝3时，ab＝－3，无意义，故D不正确．
6．由实数x，－x，|x|，及－所组成的集合，最多含有(　　)
A．2个元素
B．3个元素
C．4个元素
D．5个元素
答案：A
解析：因为|x|＝±x，＝|x|，－＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x，－x，故集合最多含有2个元素．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．若集合P由小于的实数构成，则2________P(填“∈”或“ ”)．
答案：
解析：因为2＝＞，所以2不在由小于的实数构成的集合P中，所以2 P.
8．已知x∈N，且∈Z，若x的所有取值构成集合M，则集合M中的元素为________．
答案：0,1,2,5
解析：因为x∈N，且∈Z，所以x＋1＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5，所以集合M中的元素是0,1,2,5.
9．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6－a∈A，则a＝________.
答案：2或4
解析：代入验证，若a＝2，则6－2＝4∈A，符合题意；若a＝4，则6－4＝2∈A，符合题意；若a＝6，则6－6＝0 A，不符合题意，舍去．所以a＝2或4.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)由实数,1,0，x可以构成含三个元素的集合，求实数x的值．
解：若x2＝0，则x＝0.
此时集合中只有两个元素：0,1，不符合题意．
若＝1，则x＝±1.
当x＝1时，集合中只有两个元素：0,1，不符合题意；
当x＝－1时，集合中有三个元素：1,0，－1，符合题意．
若＝x，则x＝0或x＝1，都不符合题意．
综上，x＝－1.
11．(13分)数集M满足条件：若a∈M，则∈M(a≠±1，且a≠0)，已知3∈M，试把由此确定的M的元素求出来．
解：∵a＝3∈M，∴＝＝－2∈M，
∴＝－∈M，∴＝∈M，
∴＝3∈M，
∴M＝{3，－2，－，}．
能力提升
12．(5分)含有三个元素的集合A，这三个元素可以是a，，1，也可以是a2，a＋b,0，则a2013＋b2013的值为(　　)
A．0
B．1
C．－1
D．±1
答案：C
解析：因为{a，，1}＝{a2，a＋b,0}，
所以＝0，得b＝0.
于是{a,0,1}＝{a2，a,0}．
根据集合中元素的互异性，可得，
a2＝1，即a＝－1(a＝1舍去)．
所以a2013＋b2013＝(－1)2013＋02013＝－1.故选C.
13．(15分)集合A中只有3个元素：－4,2a－1，a2，集合B中也只有3个元素：9，a－5,1－a.已知9∈A，且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，求出实数a的值；若不能，请说明理由．
解：能求出实数a的值．
∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9.
①若2a－1＝9，则a＝5，
此时A中的元素为－4,9,25，B中的元素为9,0，－4，
显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
②若a2＝9，则a＝±3.
当a＝3时，A中的元素为－4,5,9，B中的元素为9，－2，－2，
B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7,9，B中的元素为9，－8,4，符合题意，
综上所述，a＝－3.第6课时　补集
课时目标
1.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集．
2．会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．
识记强化
1．全集的定义．
如果一个集合含有所要研究的问题中涉及的所有元素，这个集合就可以看作一个全集，通常用U表示．
2．补集的定义．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作A，即A＝{x|x∈U，且x A}．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,6}，则A＝(　　)
A．{1,3,5}
B．{2,3,5}
C．{1,3,5,7}
D．{1,3,4,6}
答案：C
解析：因为A是全集U中除去集合A中的所有元素后的集合，所以A＝{1,3,5,7}．故选C.
2．已知全集U＝{0,1,3,5,6,8}，集合A＝{1,5,8}，B＝{2}，则集合(A)∪B＝(　　)
A．{0,2,3,6}
B．{0,3,6}
C．{1,2,5,8}
D．
答案：A
解析：依题意，知A＝{0,3,6}，又B＝{2}，所以(A)∪B＝{0,2,3,6}．故选A.
3．已知U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,3,4}，则图中阴影部分表示的集合是(　　)
A．{1,3}
B．{1,5}
C．{2,3}
D．{2,3,5}
答案：B
解析：图中阴影部分表示的集合是A∩(B)，而B＝{0,1,5}，所以A∩(B)＝{1,3,5}∩{0,1,5}＝{1,5}，故选B.
4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，
B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∩(B)等于(　　)
A．{x|－2≤x＜4}
B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x＜－1}
D．{x|－1≤x≤3}
答案：D
解析：由题意知B＝{x|－1≤x≤4}，
∴A∩(B)＝{x|－1≤x≤3}．故选D.
5．设U为全集，下列四个命题中，不正确的是(　　)
A．若A∩B＝ ，则(A)∪(B)＝U
B．若A∩B＝ ，则A＝B＝
C．若A∪B＝U，则(A)∩(B)＝
D．若A∪B＝ ，则A＝B＝
答案：B
解析：当A＝U，B＝ 时，A∩B＝ 成立，但A≠B，故A∩B＝ 不一定有A＝B＝ .故应选B.
6．设U＝{1,2,3,4,5}，S∩T＝{2}，(S)∩T＝{4}，(S)∩(T)＝{1,5}，则(　　)
A．3∈S,3 T
B．3 S,3∈T
C．3∈S,3∈T
D．3 S,3 T
答案：A
解析：(S)∩(T)＝(S∪T)＝{1,5}，所以S∪T＝{2,3,4}．又S∩T＝{2}，(S)∩T＝{4}，所以3∈S,4∈T,3 T.故选A.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．已知集合A＝{x|－2≤x＜3}，B＝{x|x＜－1}，则A∩(B)＝________.
答案：{x|－1≤x＜3}
解析：因为B＝{x|x＜－1}，则B＝{x|x≥－1}，所以A∩(B)＝{x|－2≤x＜3}∩{x|x≥－1}＝{x|－1≤x＜3}．
8．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(A)∩B＝{3,7}，(B)∩A＝{2,8}，(A)∩(B)＝{1,5,6}，则集合A＝________，B＝________.
答案：{2,4,8,9}　{3,4,7,9}
解析：借助Venn图把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A，B了．
用Venn图表示集合U，A，B的关系，如图所示的有关区域分别表示集合A∩B，(A)∩B，A∩(B)，(A)∩(B)，并填上相应的元素，可得A＝{2,4,8,9}，B＝{3,4,7,9}．
9．某班有学生55人，其中音乐爱好者30人，体育爱好者40人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中既爱好体育又爱好音乐的有________人．
答案：19
解析：画出集合图形如图，其中A＝{音乐爱好者}，B＝{体育爱好者}，I＝{某班学生}．
设A∩B中有n人，
则A∩(B)有30－n(人)，
B∩(A)有40－n(人)，
(A∪B)有4人，
于是30－n＋n＋40－n＋4＝55，解得n＝19(人)．
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知全集U＝{3，a2－3a－2,2}，A＝{3，|a－1|}，A＝{－2}，求实数a的值．
解：因为A∪(A)＝U，
所以{3，－2，|a－1|}＝{3，a2－3a－2,2}，
从而，解得a＝3.
11．(13分)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}．
(1)求(A)∪B；
(2)求A∩(B)．
解：易知A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，B＝{x|x＜－3或2＜x≤4}．
则(1)(A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}．
(2)A∩(B)＝{x|2＜x＜3}．
能力提升
12．(5分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,5}，BA，则集合B的个数是(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
答案：C
解析：先确定集合A，然后从空集开始按集合B中元素的个数由少到多分情况讨论．
∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,5}，∴A＝{2,3,4}．
若BA，则B＝ ；{2}；{3}；{4}；{2,3}；{2,4}；{3,4}，共7个．
13．(15分)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2解：
把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2∴ R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．
∵ RA＝{x|x<3或x≥7}，
∴( RA)∩B＝{x|2课时目标
1.理解变号零点和不变号零点的概念．
2．掌握函数零点存在的判定方法．
3．能够正确利用二分法求函数零点的近似值．
识记强化
1．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点x1；
(3)计算f(x1)；
①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；
②若f(a)·f(x1)＜0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；
③若f(x1)·f(b)＜0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．
(4)判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为(　　)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
答案：B
解析：∵f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(1)·f(2)＜0，故选B.
2．对于定义在R上的函数y＝f(x)，若f(m)·f(n)＞0(m，n∈R，且m＜n)，则函数y＝f(x)在(m，n)内(　　)
A．只有一个零点
B．至少有一个零点
C．无零点
D．无法确定有无零点
答案：D
解析：对于条件f(m)·f(n)＞0(m，n∈R，且m＜n)，根据下列三种函数图象可知D正确．
3．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
答案：C
解析：能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)＜0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.
4．用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内的近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)＜0，f(1.25)＜0，f(1.5)＞0，f(1.75)＞0，则该方程的一个根落在区间(　　)
A．(1,1.25)内
B．(1.25,1.5)内
C．(1.5,1.75)内
D．(1.75,2)内
答案：B
解析：由f(1.25)＜0，f(1.5)＞0，得f(1.25)·f(1.5)＜0，所以函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的一个根落在区间(1.25,1.5)内．
5．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y
123.56
21.45
－7.82
11.45
－53.76
－128.88
则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
答案：B
解析：由表，可知f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0.由变号零点的性质，得函数y＝f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内各应至少存在1个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．
6．函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6在区间[－2,4]上的零点必定在(　　)
A．[－2,1]
B.
C.
D.
答案：D
解析：f＜0，f＞0.
∴在内存在零点．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________.(填区间)
答案：(2,3)
解析：f(2)·f(x1)＜0即f(2)·f(3)＜0，故零点x0∈(2,3)．
8．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个含有根的区间是________．
答案：(2,3)
解析：令f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f(3)＝33－2×3－5＝16＞0，故下一个含有根的区间为(2,3)．
9．在16枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，若用二分法的思想，则最多称________次就可以发现这枚假币．
答案：4
解析：将16枚金币均分成两份，放在天平两端，则假币一定在较轻的8枚中；再将这8枚均分成两份，则假币一定在较轻的4枚中，以此类推可得．
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)证明：方程x3－4x－2＝0在区间[－2,0]内至少有两个零点．
证明：设f(x)＝x3－4x－2，
则f(x)的图象是连续曲线，
又f(－2)＝－2＜0，f(0)＝－2＜0，
若取区间[－2,0]内一点－1，得f(－1)＝1＞0，
因此函数f(x)满足f(－2)·f(－1)＜0，f(－1)·f(0)＜0，
即f(x)在[－2，－1]、[－1,0]内分别至少存在一个零点．
所以f(x)在[－2,0]内至少存在两个零点．
11．(13分)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
解：(1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，∴a≠0.
由题意，得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)＜0，
即或，∴1＜a＜2，
故实数a的取值范围为(1,2)．
(2)若a＝，则f(x)＝x3－x＋，
∴f(－1)＝＞0，f(0)＝＞0，f(1)＝－＜0，
∴函数f(x)的零点在区间(0,1)上，又f()＝0，
∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为.
能力提升
12．(5分)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　　)
A．0.68
B．0.72
C．0.7
D．0.6
答案：C
解析：已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的一个正实数零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)<0，所以一个正实数零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
13．(15分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(t＋1)x＋(t－1)(a≠0)．
(1)当a＝1，t＝2时，求f(x)的不动点；
(2)若对任意t∈R，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝1，t＝2时，由f(x)＝x得x2＋3x＋1＝x，解得x＝－1.
∴f(x)的不动点为－1.
(2)∵f(x)恒有两个相异不动点，
∴方程ax2＋(t＋1)x＋(t－1)＝x恒有不等两根，
即方程ax2＋tx＋(t－1)＝0有不等两根．
∴对于一切t∈R恒成立．
∴Δ2＝16a2－16a<0，解得0∴实数a的取值范围是(0,1)．第15课时　函数奇偶性的应用
课时目标
1.能利用奇偶函数的图象特征求函数的单调区间及函数的解析式．
2．能综合应用函数的单调性、奇偶性解决一些简单的数学问题．
识记强化
1．奇函数 函数图象关于原点对称．
2．偶函数 函数图象关于y轴对称．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列函数中既是奇函数又在定义域上为增函数的是(　　)
A．f(x)＝3x＋1
B．f(x)＝
C．f(x)＝1－
D．f(x)＝x
答案：D
解析：A.f(x)＝3x＋1在定义域R上是增函数但不是奇函数．B.f(x)＝是奇函数但不是增函数．C.f(x)＝1－不是奇函数且在定义域上不是增函数，只有D符合．
2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点(　　)
A．(a，f(－a))
B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a))
D.
答案：C
解析：∵f(－a)＝－f(a)，∴C正确，故选C.
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝(　　)
A．－
B．－
C.
D.
答案：A
解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－.
4．若f(x)＝(x－a)(x＋3)为R上的偶函数，则实数a的值为(　　)
A．－3
B．3
C．－6
D．6
答案：B
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即(－x－a)(－x＋3)＝(x－a)(x＋3)，化简得(6－2a)x＝0.
因为x∈R，所以6－2a＝0，即a＝3.
5．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝(　　)
A．21
B．－21
C．26
D．－26
答案：B
解析：设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.
6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－1)＜f(3)＜f(4)
B．f(4)＜f(3)＜f(－1)
C．f(3)＜f(4)＜f(－1)
D．f(－1)＜f(4)＜f(3)
答案：D
解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，又f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，则f(4)＝－f(0)＝0.又f(x)＝－f(－x)且f(x－4)＝－f(x)，所以f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)．又f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(1)＞f(0)，即f(1)＞0，所以f(－1)＝－f(1)＜0，f(3)＝f(1)＞0，于是f(－1)＜f(4)＜f(3)．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．已知函数f(x)为偶函数，且当x＜0时，f(x)＝x＋1，则x＞0时，f(x)＝________.
答案：－x＋1
解析：当x＞0时，－x＜0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.
8．对于定义在R上的函数f(x)，有如下四个命题：
①若f(0)＝0，则函数f(x)是奇函数；
②若f(－4)≠f(4)，则函数f(x)不是偶函数；
③若f(0)＜f(4)，则函数f(x)是R上的增函数；
④若f(0)＜f(4)，则函数f(x)不是R上的减函数．
其中正确的命题是________(把你认为正确命题的序号都填上)．
答案：②④
解析：对于函数f(x)＝x2，满足f(0)＝0，f(0)＜f(4)，但f(x)是偶函数，在定义域内不具有单调性，所以①③错误，易知②④正确．
9．设f(x)是连续的偶函数，且当x＞0时f(x)是单调函数，则满足f(x)＝f()的所有x之和为________．
答案：－8
解析：因为f(x)是连续的偶函数，且当x＞0时是单调函数，由偶函数的性质可知，若f(x)＝f()，则只有两种情况：①x＝；②x＋＝0.由①知x2＋3x－3＝0，则两根之和x1＋x2＝－3；由②知x2＋5x＋3＝0，则两根之和x3＋x4＝－5.所以满足条件的所有x之和为－8.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数且f(x)<0.问F(x)＝在(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．
解：F(x)在(－∞，0)上是增函数，证明过程如下：
设x1－x2>0.
F(x1)－F(x2)＝－＝.
∵f(x)是奇函数，∴－f(x1)<－f(x2)，
即f(x2)－f(x1)<0.
∵f(x)在(0，＋∞)上总小于0，－x1>－x2>0，
∴f(x1)＝－f(－x1)>0，f(x2)＝－f(－x2)>0.
∴f(x1)f(x2)>0，∴F(x1)－F(x2)<0.
即F(x1)∴F(x)在(－∞，0)上是增函数．
11．(13分)奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)＜0，求实数m的取值范围．
解：原不等式化为f(m－1)＜－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)＜f(2m－3)．
因为f(x)是减函数，所以m－1＞2m－3，所以m＜2.
又f(x)的定义域为(－1,1)，
所以－1＜m－1＜1且－1＜3－2m＜1，
所以0＜m＜2且1＜m＜2，所以1＜m＜2.
综上得1＜m＜2.
故实数m的取值范围是(1,2)．
能力提升
12．(5分)已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对任意正实数x1，x2(x1≠x2)，恒有＞0，则一定有(　　)
A．f(3)＞f(－5)
B．f(－3)＜f(－5)
C．f(－5)＞f(3)
D．f(－3)＞f(－5)
答案：D
解析：设x1＞x2＞0，
则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＞0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵f(x)为奇函数，故在(－∞，0)上也单调递增，
又∵－3＞－5，
∴f(－3)＞f(－5)．故选D.
13．(15分)已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝.
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即＝－，求得b＝0.
又f()＝，即＝，求得a＝1.
故所求函数解析式为f(x)＝(x∈(－1,1))．
(2)当x＝0时，f(0)＝0；当x≠0时，f(x)＝＝
令u(x)＝x＋，x∈(－1,1)，且x≠0，设任意的x1，x2∈(0,1)，且x1＜x2，则
u(x1)－u(x2)＝x1＋－(x2＋)＝(x1－x2)(1－)．
因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1,1－＜0.
又x1－x2＜0，所以u(x1)－u(x2)＞0，即u(x1)＞u(x2)，故u(x)在(0,1)上单调递减．
同理可得u(x)在(－1,0)上单调递减．
所以当x∈(－1,0)时，u(x)＜u(－1)＝－2,0＞f(x)＞－；
当x∈(0,1)时，u(x)＞u(1)＝2,0＜f(x)＜.
又x＝0时，f(0)＝0，所以当x∈(－1,1)时，函数f(x)的值域为(－，)．第22课时　实数指数幂及其运算(1)
课时目标
1.理解分数指数幂的概念及有理指数幂的含义．
2．掌握指数幂的运算．
识记强化
1．正整数指数幂：一个数a的n次幂等于n个a的乘积，记作an.它的运算法则是：
am·an＝am＋n；
(am)n＝amn；＝am－n(m＞n，a≠0)；
(ab)m＝ambm.
2．n次方根的定义：如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．
3．有理数指数幂规定：a0＝1(a≠0)
a－n＝(a≠0，n∈N＋)
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列各式运算错误的是(　　)
A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8
B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3
C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6
D．[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18
答案：C
解析：对C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6≠a6b6，选C.
2．计算(－2)101＋(－2)100所得的结果是(　　)
A．2100
B．－1
C．2101
D．－2100
答案：D
解析：由(－2)101＋(－2)100＝(－2)100(－2＋1)＝－2100，可知结果．
3．当有意义时，化简－的结果为(　　)
A．2x－5
B．－2x－1
C．－1
D．5－2x
答案：C
解析：由有意义得x≤2.
由－＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.故选C.
4．5－2的平方根是(　　)
A.＋
B.－
C.－
D.－，－
答案：D
解析：解法一：∵[±(－)]2＝(－)2＝5－2，
∴5－2的平方根为±(－)．
解法二：设5－2的平方根为x，
则x2＝5－2＝()2－2·＋()2＝(－)2.
∴|x|＝|－|，即x＝±(－)．
5．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(　　)
A．－＝(－x)
(x≠0)
B．x＝－
C.＝(xy＞0)
D.＝y
(y＜0)
答案：C
解析：根据根式、分数指数幂的意义和转化法则可知，选项A中负号应在括号外；选项B应等于；选项D指数不能约分成，这样值域会发生变化，左边的值域为(0，＋∞)，右边的值域为(－∞，0)．
6．已知a＋b＝4，x＝a＋3ab，y＝b＋3ab
，
则(x＋y)
＋(x－y)
为(　　)
A．0
B．8
C．10
D．以上答案都不对
答案：B
解析：x＋y＝a＋3ab＋b＋3ab＝(a＋b)3
x－y＝a＋3ab－b－3ab＝(a－b)3
∴原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a＋b)＝2×4＝8.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．若2x＋2－x＝2，则8x＋8－x的值为________．
答案：2
解析：∵8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)(22x＋2－2x－1)＝2[(2x＋2－x)2－3]＝2(22－3)＝2.
8．化简：(＋)2011·(－)2012＝________.
答案：－
解析：原式＝(＋)2011(－)2011(－)＝[(＋)(－)]2011(－)＝－.
9．计算：0.027－－2＋2560.75－＋－1－729＝________.
答案：32
解析：原式＝－36＋64－＋－＝32.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)设x3＋x－3＝2，求x＋的值．
解：由乘法公式x3＋x－3＝，又x2＋＝2－2，故x3＋x－3＝，令x＋＝m，则方程变形为m(m2－3)＝2.解方程得m＝－1或m＝2.若m＝－1，则有x＋＝－1，此时方程无解，故m＝－1舍去．∴m＝2，即x＋＝2.
11．(13分)化简下列各式：
(1)(n∈N
)；
(2)(a－2b－3)(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)．
解：(1)原式＝＝＝2－2n＋7＝()2n－7.
(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)·b－2－(－2)c－1＝－ab0c－1＝－.
能力提升
12．(5分)化简(1＋2)(1＋2)(1＋2)(1＋2)(1＋2)的结果是(　　)
A.(1－2)－1
B．(1－2)－1
C．1－2
D.(1－2)
答案：A
解析：把原式的分子分母同乘以1－2，分子的结果为1－2－1＝.
13．(15分)求下列各式的值：
(1)(7＋4)－27＋16－2·(8)＋·；
(2)＋·(－)－1－－－－1.
解：(1)原式＝(2＋)－3＋2－2＋2
＝2＋－＋8－8＋2
＝4.
(2)原式＝＋－－(3－)－31
＝＋(＋)－－3－3
＝＋3＋－－－3
＝－.第34课时　函数的应用(Ⅱ)
课时目标
1.能够运用指数函数、对数函数、幂函数的性质来解决某些简单的实际问题．
2．了解函数模型在社会生活及科研中的广泛应用．
3．培养应用数学的意识和分析问题、解决问题的能力．
识记强化
1．平均增长率问题
如果原来产值的基数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y为y＝N(1＋p)x.
2．储蓄中的复利问题
如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则它们的关系为y＝a(1＋r)x.
3．常见的函数模型：
(1)指数函数模型，y＝kax＋b(k≠0，a＞0，a≠1)．
(2)对数函数模型，y＝mlogax＋n(m≠0，a＞0，a≠1，x＞0)．
(3)幂函数模型，y＝kxn＋b(k≠0，n为常数，n≠1)．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3x，f4(x)＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人对应的函数关系是(　　)
A．f1(x)＝x2
B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log3x
D．f4(x)＝2x
答案：D
解析：在同一坐标系中画出函数f1(x)，f2(x)，f3(x)，f4(x)的图象(图略)，可知当x＞4时，f4(x)＞f1(x)＞f2(x)＞f3(x)，故选D.
2．某人2010年1月1日到银行存入a元，年利率为x，若按复利计算，则到2015年1月1日可取款(　　)
A．a(1＋x)5元
B．a(1＋x)4元
C．[a＋(1＋x)5]元
D．a(1＋x5)元
答案：A
解析：2010年1月1日到银行存入a元，到2011年1月1日本息共a(1＋x)元，作为本金转入下一个周期，到2012年1月1日本息共a(1＋x)(1＋x)＝a(1＋x)2元，因此，到2015年1月1日可取款a(1＋x)5元，故选A.
3．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪比上一年增加20%；另外，每年新招3名工人，每名新工人第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同．若以今年为第一年，那么，将第n年企业付给工人的工资总额y(单位：万元)表示成n的函数，其表达式为(　　)
A．y＝(3n＋5)×1.2n＋2.4
B．y＝8×1.2n＋2.4n
C．y＝(3n＋8)×1.2n＋2.4
D．y＝(3n＋5)×1.2n－1＋2.4
答案：A
解析：第一年企业付给工人的工资总额为1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12万元，而对于4个选项而言，当n＝1时，C，D相对应的函数值均不为12，故可排除C，D.再考虑第二年企业付给工人的工资总额，第二年有11个老工人，3个新工人，工资总额为(11×1.22＋2.4)万元，故选A.
4．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年绿色植被的面积可以增长为原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)
答案：D
解析：设该山区第一年的绿色植被的面积为a，则y＝＝(1＋10.4%)x，故选D.
5．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)(　　)
A．10
B．9
C．8
D．7
答案：C
解析：设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×()n≤，即()n≤，由nlg≤－lg20，即n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，得n≥≈7.4，所以选C.
6．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数为2；
②第5个月时，浮萍面积就会超过30m2；
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；
④浮萍每月增加的面积都相等；
⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的命题个数为(　　)
A．1　　　B．2
C．3　　　D．4
答案：C
解析：由图象可知①②⑤正确．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．2014年某品牌手机经两次降价，单价由原来的2
000元降到1
280元，那么这种手机两次降价的平均百分率为________．
答案：20%
解析：设两次降价的平均百分率为x%，则2
000(1－x%)2＝1
280，∴(1－x%)2＝64%，∴1－x%＝80%，∴x%＝20%，∴这种手机平均降价的百分率为20%.
8．某工厂生产某种产品的月产量y(单位：万件)与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份分别生产该产品1万件、1.5万件．则此工厂3月份生产该产品________万件．
答案：1.75
解析：由题意，知，∴，∴y＝(－2)×0.5x＋2，把x＝3代入，解得y＝1.75.
9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是v＝2
000ln，要使火箭的最大速度可达12
km/s，则燃料的质量与火箭的质量的比值是__________．
答案：e6－1
解析：v＝12
km/s＝1.2×104
m/s，代入v＝2
000ln(1＋)中得：
1．2×104＝2
000ln(1＋) ＝e6－1，即燃料的质量与火箭的质量的比值是e6－1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)某食品厂对蘑菇进行深加工，每千克蘑菇的成本为20元，并且每千克蘑菇的加工费为t(t为常数，且2≤t≤5)元，设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x(25≤x≤40)元．根据市场调查，日销售量q(单位：kg)与ex成反比，当每千克蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100
kg.
(1)求该工厂的日销售利润y(单位：元)与每千克蘑菇的出厂价x(单位：元)的函数关系式：
(2)若t＝5，则每千克蘑菇的出厂价为多少时，该工厂的日销售利润为100e4元？
解：(1)设日销售量q＝(25≤x≤40)，则＝100，
∴k＝100e30，
∴日销售量q＝(25≤x≤40)，
∴y＝(25≤x≤40)．
(2)当t＝5时，y＝＝100e4，则x－25＝ex－26，
根据函数y＝x－25与y＝ex－26的图象(如图所示)，
可求得方程x－25＝ex－26的解为x＝26，
∴当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的日销售利润为100e4元．
11．(13分)某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0、λ是正的常数．
(1)说明函数是增函数还是减函数；
(2)把t表示为原子数N的函数；
(3)求当N＝时t的值．
解：(1)由于N0＞0，λ＞0，函数N＝N0e－λt是属于指数函数y＝e－x类型的，所以它是减函数，
即原子数N的值随时间t的增大而减小．
(2)将N＝N0e－λt写成e－λt＝，
根据对数的定义有－λt＝ln，
即t＝－(lnN－lnN0)＝(lnN0－lnN)．
(3)把N＝代入t＝(lnN0－lnN)，得t＝
＝(lnN0－lnN0＋ln2)＝ln2.
能力提升
12．(5分)含有一组实验数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似值表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)
A．v＝log2t
B．v＝logt
C．v＝
D．v＝2t－2
答案：C
解析：取t＝1.99≈2，代入A得v＝log22＝1≠1.5，代入B得v＝log2＝－1≠1.5，代入C得v＝＝1.5，代入D得v＝2×2－2＝2≠1.5.
13．(15分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效．
①求服药一次治疗疾病的有效时间；
②当t＝5时，第二次服药，问t∈时，药效是否连续？(已知函数y＝4(x－5)＋()x－3在t∈[5，tx]上是增函数)
解：(1)当0≤t＜1时，y＝4t.
当t≥1时，y＝()t－a，此时，M(1,4)在曲线上，
∴4＝()1－a，∴a＝3，这时y＝t－3.
∴y＝f(t)＝
(2)①由f(t)≥0.25，解得≤t≤5，所以服药一次治疗的有效时间为5－＝4小时．
②设t∈，血液含药量g(t)为：第二次的含药量4(t－5)毫克加上第一次的剩余量()t－3毫克
即g(t)＝4(t－5)＋()t－3.
∵t∈[5,5]，t－3＞0
又已知g(t)＝4(t－5)＋t－3在上为增函数，故g(t)≥g(5)＝0.25.
∴t＝5时，第二次服药在t∈时药效连续．第7课时　集合的并集、交集、补集的综合运算
课时目标
1.深刻理解交集、并集、补集的含义及运算．
2．能进行集合的并交补运算．
识记强化
1．集合的运算性质
(1)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪ ＝A，A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩ ＝ .
(2)A (A∪B)，B (A∪B)，(A∩B) A，(A∩B) B.
(3)A B A∪B＝B A∩B＝A.
(4)A∪(A)＝U，A∩(A)＝ .
(5)(A)＝A，U＝ ， ＝U.
2．全集具有相对性，即对于研究某个问题时的全集可能在研究另一个问题时就不是全集；补集是相对于全集而言的，由于全集具有相对性，那么补集也具有相对性，在不同的全集下，一个集合的补集可能不相同．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)
A．{－1,0,1}
B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2}
D．{0,1}
答案：B
解析：由题意，得M∪N＝{－1,0,1,2}，选B.
2．设全集U和集合A，B，P，若A＝B，B＝P，则A与P的关系是(　　)
A．A＝P
B．A＝P
C．AP
D．AP
答案：B
解析：A＝B＝(P)＝P.
3．设全集U＝Z，集合A＝{－1,1,2}，B＝{－1,1}，则A∩(B)为(　　)
A．{1,2}
B．{1}
C．{2}
D．{－1,1}
答案：C
解析：因为U＝Z，B＝{－1,1}，所以B为除－1,1外的所有整数的集合，而A＝{－1,1,2}，所以A∩(B)＝{2}．
4．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(A)∩B＝(　　)
A．{－2，－1}
B．{－2}
C．{－1,0,1}
D．{0,1}
答案：A
解析：集合A＝{x|x＞－1}，所以A＝{x|x≤－1}，所以(A)∩B＝{－2，－1}．
5．已知集合A，B，I.AI，BI，且A∩B≠ ，则下面关系式正确的是(　　)
A．(A)∪(B)＝I
B．(A)∪B＝I
C．A∪B＝I
D.(A∩B)∪(A∩B)＝I
答案：D
解析：由A∪(A)＝U知D正确．
6．已知全集U＝R，集合A＝{x|12}，则A∩(B)等于(　　)
A．{x|1B．{x|1≤x<2}
C．{x|1≤x≤2}
D．{x|1≤x≤3}
答案：A
解析：U＝R，∴B＝{x|x≤2}，A∩B＝{x|1二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．集合A＝{x|－1答案：{x|－1解析：(B)＝{x|x<2}，A∩(B)＝{x|－18．如图所示阴影部分表示的集合为________．
答案：(A)∪B
9．设集合A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1答案：{a|a>3}
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)某班有50名学生，有36名同学参加学校组织的数学竞赛，有23名同学参加物理竞赛，有3名学生两科竞赛均未参加，问该班有多少同学同时参加了数学、物理两科竞赛？
解：全集为U，其中含有50名学生，设集合A表示参加数学竞赛的学生，B表示参加物理竞赛的学生，则U中元素个数为50，A中元素个数为36，B中元素个数为23，全集中A、B之外的学生有3名，设数学、物理均参加的学生为x名，则有(36－x)＋(23－x)＋x＋3＝50，解得x＝12.
所以，本班有12名学生同时参加了数学、物理两科竞赛．
11．(13分)已知全集S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A S，B S，且有(A)∩B＝{1,9}，A∩B＝{2}，(A)∩(B)＝{4,6,8}，求A和B.
解：如图，A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,9}．
能力提升
12．(5分)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是(　　)
A．A∪B
B．A∩B
C.(A∩B)
D.(A∪B)
答案：D
解析：逐一检验．
13．(15分)已知集合A＝{x|2a－2解：B＝{x|x≤1或x≥2}，
∵AB，
∴分A＝ 和A≠ 两种情况讨论．
(1)若A＝ ，此时有2a－2≥a，∴a≥2.
(2)若a≠ ，则有或.∴a≤1.
综上所述，a≤1或a≥2.第3课时　子集集合相等
课时目标
1.理解集合之间包含与相等的含义．
2．能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系．
3．在具体情境中，了解空集的含义．
识记强化
1．子集的概念．
对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)．
2．真子集的概念．
如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．规定：空集是任何集合的子集是任何非空集合的真子集．
3．集合相等的概念．
如果集合A B，且B A，称集合A与集合B相等，记作A＝B.
4．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.
(2)对于集合A，B，C，如果A B，B C，那么A C.
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．给出如下表示：①{1}∈{0,1,2}；②{0,1,2}{1,0,2}；③ ∈{0}．其中错误表示的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．0
答案：C
解析：集合之间的关系不能用“∈”表示，所以①③错误；对于②，因为集合{0,1,2}与{1,0,2}表示同一个集合，所以{0,1,2}不是{1,0,2}的真子集，所以②错误，故选C.
2．已知四个命题：① ＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合都有两个或两个以上的子集；④空集是任何集合的子集．其中正确的命题个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：B
解析：空集是不含任何元素的集合，所以①错误；空集是任何集合的子集，因此空集也是空集的子集，且空集的子集只有一个，所以②③错误，④正确．
3．满足{a} M{a，b，c，d}的集合M共有(　　)
A．6个
B．7个
C．8个
D．15个
答案：B
解析：由题知a∈M，但M≠{a，b，c，d}，因此{b，c，d}的真子集有23－1＝7个，故选B.
4．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是(　　)
A．A B
B．A＝B
C．AB
D．AB
答案：D
解析：对于x＝3k(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时，x＝6m－3(m∈Z)．由此可知AB.
5．集合A＝{x|1＜x＜4，x∈N}的真子集的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
解析：由题意得集合A＝{2,3}，因此集合A的真子集个数是22－1＝3，选C.
6．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q P，则a的值为(　　)
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0,1或－1
答案：D
解析：P＝{－1,1}，当a＝0时，Q＝ ，当a≠0时，Q＝{x|x＝}，∵Q P，∴a＝0或a＝±1.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．用适当的符号填空．
(1)0________{x|x2＝0}；
(2) ________{x∈R|x2＋1＝0}；
(3){0,1}________N；
(4){0}________{x|x2＝x}；
(5){2,1}________{x|x2－3x＋2＝0}．
答案：(1)∈　(2)＝　(3)　(4)
　(5)＝
8．已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．
(1)若B A，则a的取值范围为________；
(2)若AB，则a的取值范围为________．
答案：(1)a≤3　(2)a＞3
解析：(1)数形结合，将A、B表示在数轴上．
(2)数形结合，将A、B表示在数轴上．
9．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1,1－2a}，且B A，则a的值为________．
答案：－1或
解析：由题意，得1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝.当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，符合题意；当a＝时，A＝{1,3，}，B＝{1，}，符合题意．所以a的值为－1或.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)写出集合{0,1,2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．
解：集合{0,1,2}的所有子集为 ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}．
真子集为 ，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．
11．(13分)设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x、y的值．
解：由题意得①或②
解①，得或经检验不合题意，舍去，则
解②，得经检验不合题意，舍去．
综上所得，
能力提升
12．(5分)A
B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A
B的子集个数为(　　)
A．3
B．4
C．6
D．8
答案：D
解析：由题意知：A
B＝{0,2,4}，所以共有子集23＝8个．
13．(15分)已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0，x∈R}，B＝{－1,2}，且AB，求实数a的取值范围．
解：因为B＝{－1,2}，且AB，所以A可以是 ，{－1}，{2}．
①当A＝ 时，Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2；
②当A＝{－1}时，方程有两个相等的实数根，则Δ＝a2－4＝0，且1－a＋1＝0，所以a＝2；
③当A＝{2}时，方程有两个相等的实数根，则Δ＝a2－4＝0，且4＋2a＋1＝0，此时无解．
综上所述，实数a的取值范围是{a|－2＜a≤2}．第27课时　对数的概念及常用对数
课时目标
1.理解对数概念及常用对数．
2．掌握指数式与对数式的互化．
3．理解对数恒等式、并能灵活运用．
识记强化
1．对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0且a≠1)，其中数a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数恒等式a＝N.
3．由对数定义得：
(1)0和负数没对数，即N>0.
(2)1的对数为零，即loga1＝0.
(3)底的对数为1，即logaa＝1.
4．以10为底的对数叫做常用对数．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．若loga＝b(a＞0且a≠1)，则下列等式正确的是(　　)
A．N＝a2b
B．N＝2ab
C．N＝b2a
D．N2＝ab
答案：A
解析：把loga＝b写成＝ab，∴N＝(ab)2＝a2b.
2．若c＞0，且a＞0，a≠1，则将ab＝c化为对数式为(　　)
A．logab＝c
B．logac＝b
C．logbc＝a
D．logca＝b
答案：B
解析：由对数的定义判断．
3．已知logax＝2，logbx＝1，logcx＝4，则logx(abc)＝(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：x＝a2＝b＝c4，所以(abc)4＝x7，
所以abc＝x.
4．若对数式log(2a－1)(6－2a)有意义，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，3)
B．(，3)
C．(，1)∪(1，＋∞)
D．(，1)∪(1,3)
答案：D
解析：解得＜a＜1且1＜a＜3.
5．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为(　　)
A．－3
B．3
C．－1或3
D．1或－3
答案：B
解析：解得x＝3.
6．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：由题知log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，
∴x＝23，∴x＝(23)
＝2＝.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．在log(1－2x)(3x＋2)中x的取值范围是________．
答案：(－，0)∪(0，)
解析：由3x＋2＞0且1－2x＞0，1－2x≠1，∴x∈(－，0)∪(0，)．
8．若log2(x2－2x－6)＝1，则________．
答案：x＝4或x＝－2
解析：log2(x2－2x－6)＝1，∴x2－2x－6＝2，x2－2x－8＝0，∴x＝4或x＝－2.
9．若a＝lg2，b＝lg3，则100的值为________．
答案：
解析：由题知10a＝2,10b＝3，
100＝＝＝.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)完成以下指数式，对数式的互化．
(1)log5＝－1；
(2)log16＝－4；
(3)log125＝6；
(4)26＝64；
(5)10－3＝0.001；
(6)－3＝8.
解：log5＝－1,5－1＝；
(2)log16＝－4，－4＝16；
(3)log125＝6，()6＝125；
(4)26＝64，log264＝6；
(5)10－3＝0.001　lg0.001＝－3；
(6)－3＝8，log8＝－3.
11．(13分)计算：(1)7；(2)4．
解：(1)7＝＝.
(2)4＝(22)
＝2＝＝.
能力提升
12．(5分)logab＝1成立的条件是(　　)
A．a＝b
B．a＝b，且b>0
C．a>0，且a≠1
D．a>0，a＝b≠1
答案：D
13．(15分)求下列各式中x的值．
(1)log2(log4x)＝0；
(2)log3(lgx)＝1；
(3)log()＝x.
解：(1)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝20＝1，
∴x＝41＝4.
(2)∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，
∴x＝103＝1
000.
(3)∵log()＝x，
∴(－1)x＝
＝＝
＝－1，∴x＝1.第25课时　指数函数的图象及其应用
课时目标
1.加深指数函数图象的认识，掌握图象的变换．
2．能利用图象解决一些简单问题．
识记强化
1．两类指数函数图象
(1)a>1　　　　　　　　(2)0　　　　　
2．指数函数y＝ax，当a＝2，a＝，a＝10，a＝时，图象为图中的①、②、③、④
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝πx与g(x)＝()x的图象关于(　　)
A．原点对称
B．x轴对称
C．y轴对称
D．直线y＝－x对称
答案：C
解析：设点(x，y)为函数f(x)＝πx的图象上任意一点，则点(－x，y)为g(x)＝π－x＝()x的图象上的点．因为点(x，y)与点(－x，y)关于y轴对称，所以函数f(x)＝πx与g(x)＝()x的图象关于y轴对称，选C.
2．函数y＝()|x|的图象是(　　)
答案：B
解析：因为y＝()|x|＝，所以选B.
3．要得到函数y＝21－2x的图象，只需将指数函数y＝x的图象(　　)
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
答案：D
解析：y＝x＝2－2x＝2
向右平移个单位．
4．函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则对应的a，b，c，d的值是(　　)
A.，，，
B.，，，
C.，，，
D.，，，
答案：C
解析：方法一　从第一象限看指数函数的图象，逆时针方向底数依次从小变大，故选C.
方法二　直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而＞＞＞，故选C.
5．函数f(x)＝ax与g(x)＝ax－a的图象大致是(　　)
答案：C
解析：分0＜a＜1和a＞1两种情况去判断两函数图象与a的取值情况是否一致．当0＜a＜1时，f(x)＝ax的图象是下降的，而g(x)＝ax－a＝a(x－1)的图象过(1,0)点，且斜率a小于1，故选C.
6．已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象不经过(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
答案：A
解析：y＝ax＋b.当0＜a＜1，b＜－1时，
其图象相当于y＝ax的图象向下平移|b|个单位，
图象如图所示．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．当x∈[－1,1]时，f(x)＝3x－2的值域为________．
答案：[－，1]
解析：由题意x∈[－1,1]，
则≤3x≤3，即－≤3x－2≤1.
8．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，且图象关于直线x＝1对称，x>0时，f(bx)、f(cx)的大小关系________．
答案：f(cx)>f(bx)
解析：由已知c＝3，b＝2，x>0时，3x>2x>1，f(x)＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上单调递增，∴f(cx)>f(bx)．
9．若函数f(x)＝则不等式|f(x)|≥的解集为________．
答案：{x|－3≤x≤1}
解析：①当x<0时，|f(x)|＝≥，即≥或≤－，∴－3≤x<0.
②当x≥0时，≥，即x≥，
∴0≤x≤1.由①②可得－3≤x≤1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)画出函数y＝2|x＋1|的图象，并根据图象指出它的单调区间．
解：y＝2|x＋1|＝
其图象分成两部分，一部分是将y1＝x＋1(x＜－1)的图象作出，而它的图象是由y1＝x沿x轴的负方向平移一个单位得到的，另一部分是将y2＝2x＋1(x≥－1)的图象作出，即将y＝2x的图象向左平移一个单位得到的．如图，可知单调递减区间为(－∞，－1]，单调递增区间是[－1，＋∞)．
11．(13分)已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的值域．
解：f(x)＝3＋2×3x＋1－9x＝－(3x)2＋6×3x＋3.
令3x＝t，
则y＝－t2＋6t＋3＝－(t－3)2＋12.
∵－1≤x≤2，
∴≤t≤9.
∴当t＝3，即x＝1时，y取得最大值12；
当t＝9，即x＝2时，y取得最小值－24，
即f(x)的最大值为12，最小值为－24.
∴函数f(x)的值域为[－24,12]．
能力提升
12．(5分)函数y＝(0答案：D
解析：函数定义域为{x|x∈R，x≠0}，且y＝＝当x>0时，函数是一个指数函数，因为013．(15分)函数f(x)＝(ax＋a－x)(a>0，且a≠1)的图象经过点.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
解：(1)∵f(x)的图象过点，
∴(a2＋a－2)＝，即＝.
整理得9a4－82a2＋9＝0，解得a2＝9或a2＝.
又a>0，且a≠1，∴a＝3或a＝.
当a＝3时，f(x)＝(3x＋3－x)；
当a＝时，f(x)＝＝(3x＋3－x)
综上可知，所求解析式为f(x)＝(3x＋3－x)．
(2)设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝(3＋3)－(3＋3)
.
∵0≤x1≤x2，∴3－3<0，且3x1＋x2>1.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数．第31课时　对数函数的性质及应用
课时目标
1.掌握对数函数的图象及其性质．
2．能运用对数函数的性质解决一些简单问题．
识记强化
1．对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)图象特征：
(1)图象都在y轴右侧．
(2)图象都过(1,0)点．
2．(1)a>1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是单调递增函数，应01时，y>0.
(2)00；x>1时，y<0.
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．函数y＝log2x＋3(x≥1)的值域是(　　)
A．[2，＋∞)
B．(3，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．R
答案：C
解析：∵log2x≥0(x≥1)，∴y＝log2x＋3≥3.
2．函数y＝的定义域是(　　)
A．(5，＋∞)
B．(6，＋∞)
C．(5,6]
D．(5,6)
答案：C
解析：∵log0.5(x－5)≥0，∴0＜x－5≤1，∴5＜x≤6.
3．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
答案：C
解析：y＝a－x＝()x，∵a＞1,0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选C.
4．若y＝－3log(2a－3)x在(0，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围为(　　)
A．(0,1)
B．(0,1)∪(1，＋∞)
C．(，2)
D．(2，＋∞)
答案：D
解析：由已知，得y＝log(2a－3)x在(0，＋∞)上是增函数，所以2a－3＞1，解得a＞2，故选D.
5．若函数f(x)＝，则f(log43)＝(　　)
A.
B．3
C.
D．4
答案：B
解析：由0＜log43＜1，得f(log43)＝4＝3.
6．函数f(x)＝log2|2x－4|的图象为(　　)
答案：A
解析：函数f(x)＝log2|2x－4|的图象可以看作是将函数y＝log2|2x|的图象向右平移2个单位得到的，故选A.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．函数f(x)＝的定义域为________．
答案：{x|x<4且x≠3}
解析：由题意得，解得x<4且x≠3，即函数f(x)的定义域为{x|x<4且x≠3}．
8．函数y＝log|x－3|的单调递减区间是________．
答案：(3，＋∞)
解析：令t＝|x－3|，则在(－∞，3)上t为x的减函数，在(3，＋∞)上t为x的增函数，又∵0＜＜1，∴在区间(3，＋∞)上y为x的减函数．
9．函数f(x)＝log
(5－4x－x2)的最小值为________．
答案：－2
解析：因为5－4x－x2＝－(x＋2)2＋9∈(0,9]
而y＝logx在(0,9]上单调递减．
当x＝9时取到最小值－2.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)分别比较下列各组数的大小：
(1)log3.82.5，log2.82.9，log2.84.6；
(2)2
015－0.201
4，log2
0140.201
5，log0.201
50.201
4；
(3)log54，(log53)2，log45.
解：(1)∵y＝log2.8x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log2.84.6＞log2.82.9＞log2.82.8＝1.
又∵y＝log3.8x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log3.82.5＜log3.83.8＝1.
∴log3.82.5＜log2.82.9＜log2.84.6.
(2)∵y＝2
015x在R上是增函数，
∴0＜2015－0.2014＜20150＝1.
∵y＝log2014x在(0，＋∞)上是增函数，
∴log20140.2015＜log20141＝0.
∵y＝log0.2015x在(0，＋∞)上是减函数，
∴log0.20150.2014＞log0.20150.2015＝1.
∴log0.20150.2014＞2015－0.2014＞log20140.2015.
(3)∵y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，
∴0＝log51＜log53＜log54＜log55＝1.
∵y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，∴log45＞log44＝1，∴0＜log53＜log54＜1＜log45.
又(log53)2－log53＝log53×(log53－1)＜0，
∴(log53)2＜log53，
∴(log53)2＜log54＜log45.
11．(13分)讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．
解：由3x2－2x－1＞0得函数的定义域为
令u＝3x2－2x－1＝3(x－)2－，则
当a＞1时，若x＞1，∵u＝3x2－2x－1为增函数，
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
若x＜－，∵u＝3x2－2x－1为减函数．
∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．
当0＜a＜1时，
若x＞1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，
若x＜－，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
能力提升
12．(5分)已知0＜x＜y＜a＜1，则有(　　)
A．loga(xy)＜0
B．0＜loga(xy)＜1
C．1＜loga(xy)＜2
D．loga(xy)＞2
答案：D
解析：因为0＜x＜a＜1，所以logax＞logaa.
又因为0＜y＜a＜1，所以logay＞logaa，
所以logax＋logay＞logaa＋logaa＝2.
13．(15分)已知f(x)是对数函数，且f(b2－2b＋5)的最大值为－2，其中b∈R.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于任意的实数x∈[2,8]，都有2f(x)－m＋6＜0恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)设f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，
则f(b2－2b＋5)＝loga(b2－2b＋5)．
令u＝b2－2b＋5＝(b－1)2＋4，所以当b＝1时，u取得最小值4.
因为f(b2－2b＋5)的最大值为－2，
所以0＜a＜1，且loga4＝－2，解得a＝，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝logx.
(2)由于对于任意的实数x∈[2,8]，都有2f(x)－m＋6＜0恒成立，
所以m＞2f(x)＋6对于任意的x∈[2,8]恒成立．
设g(x)＝2f(x)＋6＝2logx＋6，x∈[2,8]，则m＞g(x)max.
因为g(x)＝2logx＋6在[2,8]上是减函数，
所以g(x)max＝g(2)＝2log2＋6＝4，
所以m＞4，即实数m的取值范围为(4，＋∞)．第11课时　分段函数
课时目标
1.了解分段函数概念．并能画出一些简单分段函数图象．
2．会求简单分段函数的值域．
识记强化
1．分段函数是一个函数，只是函数在定义域的不同部分、对应法则不同．
2．分段函数的值域是函数在每一段函数的取值集合的并集．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)
答案：B
解析：解法一：函数的解析式化为y＝画出此分段函数的图象；
解法二：将函数f(x)＝x－1位于x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，与f(x)＝x－1位于x轴上方部分合起来，即可得到函数f(x)＝|x－1|的图象；
解法三：由f(－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A、C、D，故选B.
2．如图△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积(见图中阴影部分)为y，则函数y＝f(t)的大致图形为图中的(　　)
答案：D
解析：易知表示图形面积的曲线关于点(1，)对称，故可排除A、B，又阴影部分面积在[0,1]上的增加速度先慢后快，故曲线应先缓后陡；同理在[1,2]上曲线应先陡后缓，故选D.
3．由于水污染日益严重，水资源变得日益短缺．为了节约用水，某市政府拟自2010年开始对居民自来水收费标准调整如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨6元；当用水超过4吨时，超过部分每吨增收3元．则某户居民所交水费y元与该月此户居民所用水量x吨之间的函数关系式为(　　)
A．y＝6x
B．y＝
C．y＝
D．y＝9x－12
答案：B
解析：当用水量0≤x≤4时，水费y＝6x；当用水量x＞4时，水费y＝24＋9×(x－4)＝9x－12.故选B.
4．已知函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值是(　　)
A.
B．9
C．－1或1
D．－或
答案：A
解析：依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0＜x≤3，则x2＝3，解得x＝－(舍去)或x＝.故选A.
5．已知f(x)＝则f{f[f(－1)]}等于(　　)
A．π－1
B．π
C．π＋1
D．0
答案：C
解析：因为－1＜0，所以f(－1)＝0，又f(0)＝π，π＞0，故f(π)＝π＋1.
6．设函数f(x)＝，φ(x)＝，则当x＜0时，f(φ(x))＝(　　)
A．－x
B．－x2
C．x
D．x2
答案：C
解析：依题意，当x＜0时，φ(x)＝x＜0，所以f(φ(x))＝x.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的函数解析式是________．
答案：f(x)＝
解析：∵f(x)的图象由两条线段组成，
∴由一次函数解析式求法可知该函数是一分段函数，特别要注意的是端点值是否可以取到．
8．已知函数f(x)＝，
若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.
答案：2
解析：依题意，得f(0)＝3×0＋2＝2，则f(f(0))＝f(2)＝4＋2a，所以4＋2a＝4a，解得a＝2.
9．依据下图，可确定函数解析式为f(x)＝______，值域为______；定义域为______．
答案：　　[0,1]　　[－2,2]
解析：结合分段函数的有关知识易得答案．
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(f(0))的值；
(2)若f(x)＝，求x的值．
解：(1)依题意，知f(0)＝|0－1|－2＝－1，
则f(f(0))＝f(－1)＝|－1－1|－2＝0.
(2)f(x)＝，若|x|≤1，则|x－1|－2＝，解得x＝或x＝－，均不符合|x|≤1，舍去；
若|x|＞1，则＝，解得x＝±，符合|x|＞1.
于是所求x的值为±.
11．(13分)电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元，超过3分钟，以后每增加1分钟，收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费．求通话收费x(元)与通话时间t(分钟)的函数解析式，并画出其图象(提示：[t]表示不超过t的最大整数)．
解：这个函数的定义域是(0，＋∞)，函数解析式为
x＝
函数的图象如图所示．
能力提升
12．(5分)
图中的图象所表示的函数的解析式为(　　)
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
答案：B
解析：分段求得当0≤x≤1时，y＝x，当113．(15分)如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝4，BC＝2，∠BAD＝45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，设AM＝x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示成x的函数，并写出函数的定义域．
解：作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD
，G为垂足，依题意，
则有AH＝＝1，AG＝×2＝3，
(1)当M位于点H的左侧时，点N在AB上，∵AM＝x，∠A＝45°，∴MN＝x.
∴y＝S△AMN＝x2(0≤x≤1)．
(2)当M位于HG之间时，∵AM＝x，
MN＝1，BN＝x－1，
∴y＝S直角梯形AMNB＝·1·[x＋(x－1)]
＝x－(1＜x≤3)．
(3)当M位于点G的右侧时，由于AM＝x，MN＝MD＝4－x，
∴y＝S梯形ABCD－S△MDN
＝·1·(4＋2)－(4－x)2
＝－x2＋4x－5(3综上，y＝第33课时　幂函数
课时目标
1.通过实例，了解幂函数的概念．
2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况及简单性质．
3．会用幂函数的图象和性质解决一些简单问题．
识记强化
1．一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
2．幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；
(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
(4)如果幂函数的图象过第三象限，则一定过点(－1，－1)．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．在函数①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是(　　)
A．①②④⑤
B．③④⑥
C．①②⑥
D．①②④⑤⑥
答案：C
解析：幂函数是形如y＝xα(α∈R，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．
2．已知函数f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，则实数a的值为(　　)
A．－1或2
B．－2或1
C．－1
D．1
答案：C
解析：因为f(x)＝(a2－a－1)x为幂函数，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.
3．幂函数f(x)＝x的大致图象为(　　)
答案：B
解析：由于f(0)＝0，所以排除C，D选项，而f(－x)＝(－x)
＝＝＝x＝f(x)，且f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．故选B.
4．设a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．c＞b＞a
答案：B
解析：∵f(x)＝()x在R上为减函数，∴()＜()，即a＜b；∵f(x)＝x在(0，＋∞)上为增函数，∴()＞()，即a＞c.∴b＞a＞c.
5．函数f(x)＝x＋的定义域为(　　)
A．(1，＋∞)
B．(0,1)
C．(0，＋∞)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
答案：D
解析：由已知，得 0＜x＜1或x＞1，所以f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．
6．当x∈(1，＋∞)时，函数y＝xa的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是(　　)
A．0＜a＜1
B．a＜0
C．a＜1，且a≠0
D．a＞1
答案：C
解析：如图(1)所示，当0＜a＜1时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xa的图象恒在直线y＝x的下方；如图(2)所示，当a＜0时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xa的图象也符合条件．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．若α∈R，函数f(x)＝(x－1)α＋3的图象恒过定点P，则点P的坐标为________．
答案：(2,4)
解析：令x－1＝1，得x＝2，∴f(2)＝1α＋3＝4，所以f(x)＝(x－1)α＋3的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标为(2,4)．
8．已知幂函数f(x)＝x
(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝x4
解析：因为幂函数f(x)＝x
(m∈Z)为偶函数，所以－m2＋2m＋3为偶数．又f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以－m2＋2m＋3＞0，所以－1＜m＜3.又m∈Z，－m2＋2m＋3为偶数，所以m＝1，故所求解析式为f(x)＝x4.
9．函数y＝(mx2＋4x＋2)＋(x2－mx＋1)的定义域是全体实数，则m的取值范围是________．
答案：m＞2
解析：要使y＝(mx2＋4x＋2)
＋(x2－mx＋1)的定义域是全体实数，则需mx2＋4x＋2＞0对一切实数都成立，即所以解得m＞2.
故m的取值范围是m＞2.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)将下列各组数从小到大排列起来．
(1)2.5，(－1.4)
，(－)；
(2)4.5，3.8，(－1.9)；
(3)0.16，0.5，6.25.
解：(1)∵(－1.4)
＝1.4＞0，(－)＜0，
又y＝x在(0，＋∞)上单调递增．
∴(－)＜(－1.4)
＜2.5.
(2)∵4.5＞1,0＜3.8＜1，(－1.9)
＜0，
∴(－1.9)
＜3.8＜4.5.
(3)0.16＝0.4，6.25＝2.5＝()，
又∵y＝x在(0，＋∞)上单调递减，且＞0.5＞0.4，
∴6.25＜0.5＜0.16.
11．(13分)已知幂函数f(x)的图象过点P(8，)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的值域；
(3)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)设f(x)＝xα.
∵f(x)的图象过点P(8，)，
∴8α＝，即23α＝2－1，
∴3α＝－1，即a＝－，
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x
(x≠0)．
(2)∵f(x)＝x＝，x≠0，∴y≠0，
∴f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)∵f(－x)＝(－x)
＝＝－＝－f(x)，
又f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∴f(x)是奇函数．
能力提升
12．(5分)已知幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在第一象限内的图象分别是图中的C1、C2、C3、C4，则n1、n2、n3、n4的大小关系是(　　)
A．n1＞n2＞1，n3＜n4＜0
B．n1＞n2＞1，n4＜n3＜0
C．n1＞1＞n2＞0＞n4＞n3
D．n1＞1＞n2＞0＞n3＞n4
答案：D
解析：直接根据幂函数的单调性得到结果，也可过(1,1)点作垂直于x轴的直线，在该直线的右侧，自上而下幂函数的指数依次减小．
13．(15分)已知幂函数f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.
(1)求m的值；
(2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围．
解：(1)依题意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.
当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0.
(2)由(1)，可知f(x)＝x2.
当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)均为单调递增，
∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]．
∵A∪B＝A，∴B A，
∴ 0≤k≤1.
∴实数k的取值范围是[0,1]．第20课时　函数的零点
课时目标
1.理解函数零点的定义，会判断函数零点的存在及零点的个数．
2．了解函数的零点与方程根的联系，能根据具体函数的图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解．
3．了解零点与方程根的关系．
识记强化
1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．
2．一般地，函数f(x)的零点与方程根的关系是f(x)的零点个数与方程根的个数相等．
3．函数f(x)的图象与x轴有公共点叫这个函数有零点，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
4．如果函数f(x)在给定区间[a，b]上是连续不间断的，且在两个端点处的函数值f(a)·f(b)＜0，那么该函数在给定区间(a，b)上至少有一个零点．
5．如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点．如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)
答案：A
解析：由函数零点的意义，可得函数的零点是否存在表现在函数图象与x轴有无公共点，故选A.
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac＜0，则函数的零点个数是(　　)
A．1
B．2
C．0
D．无法确定
答案：B
解析：∵Δ＝b2－4ac，ac＜0，∴Δ＞0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，∴函数f(x)有两个零点．
3．函数f(x)＝x2－3x＋1的零点之和为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
4．已知偶函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　)
A．一个
B．两个
C．至少两个
D．无法判断
答案：B
解析：由函数f(x)的性质，易知f(－2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图所示．由图象可知函数f(x)有两个零点．
5．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)
A．－1和
B．1和－
C.和
D．－和
答案：B
解析：∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，∴，即，∴g(x)＝6x2－5x－1，∴g(x)的零点为1和－，故选B.
6．设函数f(x)＝，若f(－4)＝0，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
解析：根据f(－4)＝0，f(－2)＝－2，易求得，b＝5，c＝4，故f(x)＝，所以当x≤0时，方程f(x)＝x为x2＋4x＋4＝0，此方程有两个相等的实数根，即x1＝x2＝－2，当x＞0时，x＝2也是方程f(x)＝x的解，故选C.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．已知函数f(x)＝ax＋b的零点为2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点为________．
答案：0，－
解析：由f(x)＝ax＋b的零点为2，得2a＋b＝0，即b＝－2a，则g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax.令－2ax2－ax＝0，由题意，知a≠0，则x＝0或x＝－，则g(x)的零点为0和－.
8．函数y＝x2－5x－14的零点为________．
答案：－2或7
解析：解二次方程x2－5x－14＝0可得x＝－2或7.
9．已知关于x的方程x2－(2m－8)x＋m2－16＝0的两个实根为x1和x2，且满足x2＜＜x1，则实数m的取值范围是________．
答案：(－，)
解析：关于x的方程x2－(2m－8)x＋m2－16＝0的两个实根x1、x2满足x2＜＜x1，
设f(x)＝x2－(2m－8)x＋m2－16，则有f＜0，
即－(2m－8)·＋m2－16＜0，解得{m|－＜m＜}．
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)分别判断下列函数的零点的个数，并说明理由．
(1)f(x)＝x2＋6x＋9；
(2)f(x)＝x－；
(3)f(x)＝.
解：(1)函数f(x)＝x2＋6x＋9的图象为开口向上的抛物线，且与x轴有唯一的公共点(－3,0)，
所以函数f(x)＝x2＋6x＋9有一个零点．
(2)令f(x)＝0，得x－＝0，
即x2－1＝0，解得x＝±1，
所以函数f(x)＝x－有两个零点．
(3)方法一　当x≥0时，令f(x)＝0，得x＋1＝0，
解得x＝－1，与x≥0矛盾；
当x＜0时，令f(x)＝0，得x－1＝0，
解得x＝1，与x＜0矛盾．
所以函数f(x)＝没有零点．
方法二　画出函数f(x)＝的图象，如图所示．
因为函数f(x)的图象与x轴没有公共点，
所以f(x)＝没有零点．
11．(13分)已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f(x)＝－x2＋x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的零点．
解：(1)设x∈(－∞，0)，则－x＞0，由题意得f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x，∵函数f(x)是偶函数，
∴f(x)＝－x2－x.∴f(x)＝
(2)由f(x)＝0，得
或解得x＝0，x＝1，x＝－1，∴y＝f(x)的零点分别为－1,0,1.
能力提升
12．(5分)若函数y＝f(x)是偶函数，其定义域为{x|x≠0}，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　)
A．唯一一个
B．两个
C．至少两个
D．无法判断
答案：B
解析：由题意可知函数f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，根据y＝f(x)是偶函数知该函数在(－∞，0)上也有一个零点，所以选B.
13．(15分)如图所示，有一块边长为15
cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x
cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．
(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；
(2)如果要做成一个容积是150
cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少cm？(精确到0.1
cm)
解：(1)盒子是一个底面边长是(15－2x)cm、高为x
cm的长方体，则y＝(15－2x)2·x，这个函数的定义域为(0,7.5)．
(2)令y＝150，则(15－2x)2·x－150＝0，令f(x)＝(15－2x)2·x－150，f(0)＝－150，f(7.5)＝－150，f(4)＝46.①f(0)·f(4)＜0，∴零点x1∈(0,4)，f(2)＝92，f(2)·f(0)＜0，∴x1∈(0,2)，f(1)＝19，f(1)·f(0)＜0，∴x1∈(0,1)，f(0.5)＝－52，f(0.5)·f(1)＜0，
∴x1∈(0.5,1)，f(0.75)≈－13.313，f(0.75)·f(1)＜0，∴x1∈(0.75,1)，同理x1∈(0.75，0.875)，x1∈(0.812
5,0.875)，∵|0.875－0.812
5|＝0.062
5＜0.1，∴取x1≈0.8(cm)．
②f(4)·f(7.5)＜0，∴零点x2∈(4,7.5)，f()＝f(5.75)≈－79.563，f(5.75)·f(4)＜0，∴x2∈(4，5.75)，f()＝f(4.875)≈－15.633，f(4.875)·f(4)＜0，∴x2∈(4,4.875)．同理x2∈(4.4375,4.875)，x2∈(4.656
25,4.875)，x2∈(4.656
25,4.765
625)，x2∈(4.656
25，4.710
937
5)，
∵|4.656
25－4.710
937
5|＜0.1，∴取x2≈4.7(cm)．由①②可知截去的小正方形边长约为0.8
cm或4.7
cm.　第19课时　函数的应用(Ⅰ)
课时目标
1.会利用一次函数和二次函数模型解决简单实际问题．
2．理解数学建模的过程，并不断地加强数学应用意识．
识记强化
常见的函数模型：
(1)正比例函数模型，形如y＝kx(k≠0)．
(2)反比例函数模型，形如y＝(k≠0)．
(3)一次函数模型，形如y＝ax＋b(a≠0)．
(4)二次函数模型，形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(5)分段函数模型，形如y＝.
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝
其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为(　　)
A．15　
　B．25　
　C．40　
　D．130
答案：B
解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故该公司拟录用25人．
2．从地面竖直向上抛出一个小球，小球距离地面的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至落回到地面所需要的时间是(　　)
A．6
s
B．4
s
C．3
s
D．2
s
答案：A
解析：令h＝30t－5t2＝0，则t＝0(舍去)或t＝6.
3．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为(　　)
A．45元
B．55元
C．65元
D．70元
答案：D
解析：设在50元的基础上提高x元，x∈N，每月的月利润为y，则y与x的函数关系式为y＝(500－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋400x＋5
000，x∈N，其对称轴为x＝20，故每件商品的售价为70元时，月利润最高．
4．从装满20
L纯酒精的容器中倒出1
L酒精，然后用水加满，再倒出1
L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时共倒出纯酒精x
L，倒第k＋1次时共倒出纯酒精f(x)
L，则f(x)的表达式是(　　)
A．f(x)＝x＋1
B．f(x)＝x＋1
C．f(x)＝(x＋1)
D．f(x)＝x
答案：A
解析：∵倒第k次时共倒出纯酒精x
L，∴第k次后容器中含纯酒精(20－x)
L，第k＋1次倒出的纯酒精是
L，所以f(x)＝x＋＝x＋1.
5．用长度为24
m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道墙，要使矩形的面积最大则隔墙的长度为(　　)
A．3
m
B．4
m
C．6
m
D．12
m
答案：A
解析：设隔墙的长为xm，矩形面积为S，则
S＝x·
＝x·(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，
∴当x＝3时，S有最大值为18.
6．某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形(如图)，腰与水平线的夹角为60°，要求横截面的周长(不含上底)为定值m，要使流量最大，则渠深h为(　　)
A.m
B.m
C.m
D.m
答案：D
解析：等腰梯形的腰为h，周长为m，下底为m－h，上底为m－h＋h＝m－h，
∴S等腰梯形＝(2m－h)h＝－h2＋mh＝－2＋m2，当h＝m时，Smax＝m2，此时流量最大．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且产量每增加一单位，成本增加1万元，又知总收入R(万元)与产量Q的函数关系式为R(Q)＝4Q－Q2，则最大总利润L(Q)是________万元，这时产品的产量为________．(总利润＝总收入－成本)
答案：250　300
解析：L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)＝－(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润L(Q)取最大值250万元．
8．如图，小明的父亲在相距2
m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面的高度都是2.5
m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1
m的小明距较近的那棵树0.5
m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________m.
答案：0.5
解析：若以距离小明较近的那棵树的树根为原点、以水平线为x轴建立平面直角坐标系，
则抛物线的对称轴为x＝1，设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5.
当x＝0.5时，y＝0.25a－a＋2.5＝1，∴a＝2，y＝2(x－1)2＋0.5.
∴绳子的最低点距地面的距离为0.5
m.
9．某种电热水器的水箱盛满水是200
L，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34
L，在放水的同时注水，t
min注水2t2
L，当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65
L，则该热水器一次至多可供________人洗澡．
答案：4
解析：设最多用热水器x
min，则水箱内水量y＝200＋2x2－34x＝2(x－)2＋，
∴当x＝时，y有最小值，此时共放水34×＝289
L.
∵每人洗浴用水65
L，∴至多可供4人洗澡．
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)某公司生产某种电子仪器的固定成本为20
000元，且每生产一台仪器需再投入100元，已知总收益(单位：元)满足函数R(x)＝，
其中x(单位：台)是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？(利润＝总收益－总成本)
解：(1)由题意，知总成本为(20
000＋100x)元，
从而f(x)＝.
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25
000，
∴当x＝300时，f(x)有最大值25
000；
当x＞400时，f(x)＝60
000－100x是减函数，又f(400)＝20
000＜25
000，∴当x＝300时，f(x)取得最大值25
000.
即当月产量为300台时，公司所获最大利润为25
000元．
11．(13分)某校校长暑假期间带领该校市级三好学生去北京旅游，有甲、乙两家旅行社可供选择．甲旅行社的方案：校长按全票收费，学生可享受半价优惠．乙旅行社的方案：全部按票价的6折收费．已知全票价为240元．
(1)设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙关于学生人数x的函数解析式．
(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；
(3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠．
解：(1)y甲＝120x＋240(x∈N
)，
y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N
)．
(2)令y甲＝y乙，则120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，
即当学生人数为4时，两家旅行社的收费一样．
(3)①当y甲＞y乙时，120x＋240＞144x＋144，解得x＜4；
②当y甲＝y乙时，x＝4；
③当y甲＜y乙时，120x＋240＜144x＋144，解得x＞4.
综上所述，当x＜4时，乙旅行社更优惠；当x＝4时，两家旅行社收费一样．
能力提升
12．(5分)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3
000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为40万元，则生产者不亏本(销售收入不少于总成本)时的最低产量是(　　)
A．100台
B．120台
C．150台
D．180台
答案：A
解析：要使生产者不亏本需满足3
000＋20x－0.1x2≤40x.
即0.1x2＋20x－3
000≥0，x2＋200x－30
000≥0，
∴x≥100或x≤－300
∵x∈(0,240)
∴最低产量是100台，故选A.
13．(15分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价P(单位：元/102
kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102
kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系．
(1)写出图1表示的西红柿的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)，图2表示的西红柿的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)若西红柿的市场售价减去其种植成本为西红柿的纯收益，问何时上市西红柿的纯收益最大？
解：(1)由图1，可得西红柿的市场售价与上市时间的函数关系式为
f(t)＝.
由图2，可得西红柿的种植成本与上市时间的函数关系式为
g(t)＝(t－150)2＋100,0＜t≤300.
(2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)，
则由题意，得h(t)＝f(t)－g(t)，
即h(t)＝.
当0＜t≤200时，整理，得
h(t)＝－(t－50)2＋100，
当t＝50时，h(t)取得最大值100；
当200＜t≤300时，整理，得
h(t)＝－(t－350)2＋100，
当t＝300时，h(t)取得最大值87.5.
综上，当t＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿纯收益最大．习题课(三)
时间：45分钟　总分：90分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么A的区间是(　　)
A．(－∞，0)
B.
C．[0，＋∞)
D.
答案：B
解析：y＝|x|(1－x)＝的图象如图所示．
显然增区间为.
2．已知f(x)是R上的增函数，若令F(x)＝f(1－x)－f(1＋x)，则F(x)是R上的(　　)
A．增函数
B．减函数
C．先减后增的函数
D．先增后减的函数
答案：B
解析：取f(x)＝x，则F(x)＝(1－x)－(1＋x)＝－2x为减函数，故选B.
3．下列函数中值域是R＋的是：(　　)
A．y＝
B．y＝2x＋1(x＞0)
C．y＝x2＋x＋1
D．y＝
答案：D
解析：A的值域为，B的值域为(1，＋∞)，C的值域为.
4．函数y＝的值域是(　　)
A．[－5,5]
B．[－5,0]
C．[0,5]
D．[0，＋∞)
答案：C
解析：由定义域是[－5,5]．得0≤25－x2≤25,0≤≤5，即0≤y≤5.故选C.
5．下列四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，故①错；③正确；奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，故②错；若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，只要函数的定义域关于原点对称即可，故④错．
6．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(－∞，0]上是减函数，f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是(　　)
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2,2)
答案：D
解析：由f(x)在(－∞，0]上是减函数，且偶函数的图象关于y轴对称，知f(x)在[0，＋∞)上是增函数．又由f(2)＝0，知函数图象过点(2,0)，作出符合题设条件的函数f(x)的大致图象如图，由图象可知，使f(x)＜0的x的取值范围是(－2,2)．
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．
答案：
解析：y＝－(x－3)|x|＝作出其图象如图，观察图象知递增区间为.
8．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，那么实数a的取值范围是________．
答案：(1,3]
解析：由题意知f(x)在[1，a]内是单调递减的．
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3)，∴19．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.
答案：－2x2＋4
解析：∵f(－x)＝f(x)且
f(x)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，
∴b(－x)2＋(2a＋ab)(－x)＋2a2＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2，
∴－(2a＋ab)＝2a＋ab，
即2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.
当a＝0时，f(x)＝bx2，
∵f(x)的值域为(－∞，4]，而y＝bx2的值域不可能为(－∞，4]，∴a≠0.
当b＝－2时，f(x)＝－2x2＋2a2，值域为(－∞，2a2]，
∴2a2＝4，∴a2＝2，∴f(x)＝－2x2＋4.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2.
(1)若f(x)的单调区间为(－∞，4)，求a的值；
(2)若f(x)在区间(－∞，4)上是减函数，求a的取值范围．
解：(1)由题意知＝4，解得a＝.
(2)由于f(x)在区间(－∞，4)上是减函数，说明(－∞，4)只是函数f(x)的一个减区间，所以应对a加以讨论．
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，在(－∞，4)上是减函数，所以a＝0满足；
当a≠0时，，解得0＜a≤.
综合得，a的取值范围为{a|0≤a≤}．
11．(13分)已知函数f(x)＝|x－a|，g(x)＝ax(a∈R)．
(1)若函数y＝f(x)是偶函数，求实数a的值；
(2)若方程f(x)＝g(x)有两解，求实数a的取值范围．
解：(1)因为函数y＝f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)，
即|－x－a|＝|x－a|，两边平方化简得4ax＝0.
又4ax＝0在x∈R时恒成立，所以a＝0.
(2)当a＞0时，|x－a|－ax＝0有两解等价于方程(x－a)2－a2x2＝0在(0，＋∞)上有两解．
令h(x)＝(a2－1)x2＋2ax－a2，
因为h(0)＝－a2＜0，所以，解得0＜a＜1.
同理，当a＜0时，得－1＜a＜0；当a＝0时，不合题意，舍去．
综上可知，实数a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
能力提升
12．(5分)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
答案：(－1，－1＋)
解析：结合函数图象解得0≤x<－1＋，或解得－113．(15分)已知函数f(x)＝x2－mx(m＞0)在区间[0,2]上的最小值为g(m)．
(1)求函数g(m)的解析式．
(2)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h(x)为偶函数，且当x＞0时，h(x)＝g(x)．若h(t)＞h(4)，求实数t的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x2－mx＝(x－)2－(m＞0)，
所以当0＜m≤4时，0＜≤2，此时g(m)＝f()＝－.
当m＞4时，函数f(x)＝(x－)2－在区间[0,2]上单调递减，
所以g(m)＝f(2)＝4－2m.
综上可知，g(m)＝.
(2)因为x＞0时，h(x)＝g(x)，
所以当x＞0时，h(x)＝.
易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h(x)为偶函数，且h(t)＞h(4)，
所以0＜|t|＜4，解得－4＜t＜0或0＜t＜4.
综上所述，所求实数t的取值范围为(－4,0)∪(0,4)．第17课时　二次函数的性质与图象
课时目标
1.掌握二次函数的图象和性质，学会用配方法研究二次函数的性质．
2．掌握作二次函数图象的一般方法，学会运用函数图象理解和研究函数的性质．
3．会用二次函数的图象和性质解决一些简单问题．
识记强化
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.当b＝c＝0时，二次函数变为y＝ax2(a≠0)，它的图象是一条顶点为原点的抛物线，a＞0时，抛物线开口向上，a＜0时，抛物线开口向下，这个函数是偶函数．
2．二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k有如下性质：
(1)函数的图象是一条抛物线，抛物线顶点的坐标是(h，k)，对称轴是x＝h；
(2)当a＞0时，抛物线的开口向上，函数在x＝h处取最小值ymin＝k＝f(h)，在区间(－∞，h]上是减函数，在[h，＋∞)上是增函数；
(3)当a＜0时，抛物线开口向下，函数在x＝h处取最大值ymax＝k＝f(h)，在区间(－∞，h]上是增函数，在[h，＋∞)上是减函数．
3．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方后为：y＝a(x＋)2＋.
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－3,1)，则b，c的值是(　　)
A．b＝6，c＝8
B．b＝6，c＝－8
C．b＝－6，c＝8
D．b＝－6，c＝－8
答案：D
解析：由题意，得，解得.
2．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为(　　)
A．－7
B．1
C．17
D．25
答案：D
解析：∵函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，∴＝－2，即m＝－16，∴y＝4x2＋16x＋5，∴当x＝1时，y＝25，故选D.
3．在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝－mx2＋2x＋2(m是常数，且m≠0)的图象可能是(　　)
答案：D
解析：当m＞0时，函数y＝mx＋m递增，且在y轴上的截距为正，函数y＝－mx2＋2x＋2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧．当m＜0时，函数y＝mx＋m递减，且在y轴上的截距为负，函数y＝－mx2＋2x＋2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧．满足上述条件的只有D选项．
4．若f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2]
B．[－2，＋∞)
C．(－∞，2]
D．[2，＋∞)
答案：A
解析：∵对称轴为直线x＝，图象开口向上，在(－∞，1]上是减函数，∴≥1，∴a≤－2.
5．若函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3)
B．(1,3)
C．[1,3]
D．[0,4]
答案：C
解析：函数f(x)＝－x2＋2ax的图象的对称轴为直线x＝a，由题意，知1≤a≤3.
6．对于每一个实数x，f(x)是y＝2－x2和y＝x这两个函数值中的较小者，则f(x)的最大值是(　　)
A．1
B．2
C．0
D．－2
答案：A
解析：由数形结合的思想，比较两函数图象在同一坐标系下的位置关系．
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．函数y＝x－＋2的值域为________．
答案：
解析：函数y＝x－＋2定义域x≥1，令＝t(t≥0)，则x＝t2＋1，∴y＝t2－t＋3＝2＋，t≥0，∴y≥.
8．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，0)
解析：令f(x)＝－x2＋2x.因为x∈[0,2]时，a＜－x2＋2x恒成立，则a＜f(x)min，而f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，当x∈[0,2]时，f(x)∈[0,1]，所以a＜0.
9．设二次函数的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
答案：y＝x2＋x－2
解析：设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，由题设知x＝0时，y＝c＝－2.
a＝，b＝.
故解析式为y＝x2＋x－2.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出图象；
(2)求x为何值时，分别有y>0，y＝0，y<0.
解：(1)配方，得y＝2(x－1)2－8，
∴函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．
列表如下：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
10
0
－6
－8
－6
0
…
描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图象，如图所示．
(2)当函数图象在x轴上方，即x<－1或x>3时，y>0；
x＝－1或x＝3时，y＝0；－111．(13分)设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，且f(x)＝0的两实根的平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式．
解：由f(x＋2)＝f(2－x)得f(x)的对称轴为x＝2.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，即－＝2.
∵图象过点(0,3)，∴c＝3.
又f(x)＝0的两实根的平方和为10，设两根分别为x1，x2，则x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2·＝10，将b＝－4a，c＝3代入得：
16－2·＝10，∴a＝1，b＝－4，
∴f(x)＝x2－4x＋3.
能力提升
12．(5分)如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(　　)
A．f(2)＜f(1)＜f(4)　B．f(1)＜f(2)＜f(4)
C．f(2)＜f(4)＜f(1)
D．f(4)＜f(2)＜f(1)
答案：A
解析：由f(2＋t)＝f(2－t)，知f(x)的对称轴为x＝2，又f(x)的图象开口向上，
∴f(2)＜f(1)＜f(4)．
13．(15分)已知函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[t，t＋2]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．
解：∵f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2，
∴函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝2.
当t≥2时，函数f(x)在区间[t，t＋2]上为增函数，
∴当x＝t时，f(x)取最小值t2－4t＋2；
当t＋2≤2，即t≤0时，函数f(x)在区间[t，t＋2]上为减函数，
∴当x＝t＋2时，f(x)取最小值(t＋2)2－4(t＋2)＋2＝t2－2；
当0＜t＜2时，函数f(x)取得最小值－2.
∴g(t)＝.第5课时　交集、并集
课时目标
1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
识记强化
并集
交集
定义
由属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集
由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为集合A与B的交集
符号表示
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
Venn图
性质
A∪B＝B∪A
A∪A＝AA∪ ＝AA∪B AA∪B B
A∩B＝B∩AA∩A＝AA∩ ＝ A∩B AA∩B B
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B＝(　　)
A．
B．{，}
C．{(，)}
D．{x＝，y＝}
答案：C
解析：由，解得，即A∩B＝{(，)}，故选C.
2．已知集合M＝{－1,1}，则满足M∪N＝{－1,1,2}的集合N的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：D
解析：依题意，得满足M∪N＝{－1,1,2}的集合N有{2}，{－1,2}，{1,2}，{－1,1,2}，共4个．
3．若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝(　　)
A．{1,2}
B．{0,1}
C．{0,3}
D．{3}
答案：C
解析：因为B＝{x|x＝3a，a∈A}＝{0,3,6,9}，所以A∩B＝{0,3}．
4．已知集合M＝{x|y2＝x＋1}，P＝{x|y2＝－2(x－3)}，那么M∩P等于(　　)
A．{(x，y)|x＝，y＝±}
B．{x|－1＜x＜3}
C．{x|－1≤x≤3}
D．{x|x≤3}
答案：C
解析：由M：x＝y2－1≥－1.
即M＝{x|x≥－1}．
由P：x＝－y2＋3≤3，即P＝{x|x≤3}，所以M∩P＝{x|－1≤x≤3}．
5．设集合P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是(　　)
A．P∩Q＝P
B．P∩QQ
C．P∪Q＝Q
D．P∩QP
答案：D
解析：P∩Q＝{2,3,4,5,6}，显然P∩QP.
6．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩B＝(　　)
A．{－2}
B．{(－2，－3)}
C．
D．{－3}
答案：C
解析：A为点集，B为数集，所以A∩B＝ .
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．若A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|1≤x＜2}，则A∪B＝________，A∩B＝________.
答案：{x|0＜x＜2}　{x|1≤x＜}
解析：依题意，在数轴上画出集合A，B表示的区间，可得A∪B＝{x|0＜x＜2}，A∩B＝{x|1≤x＜}．
8．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤3}，C＝{x|－3＜x＜2}，且A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.
答案：－1　2
解析：利用数轴可求得A∩(B∪C)＝{x|－1≤x≤2}．
9．给出下列命题：
①设A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则A∪B＝{三角形}；
②设A＝{矩形}，B＝{菱形}，则A∩B＝{正方形}；
③设A＝{奇数}，B＝{偶数}，则A∪B＝{自然数}；
④设A＝{质数}，B＝{偶数}，则A∩B＝{2}；
⑤若集合A＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，B＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B＝{(0,1)，(1,2)}．
其中正确命题的序号是________．
答案：②④
解析：由于三角形分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故①错；由于奇数分正奇数和负奇数，而负奇数不在自然数中，故③错；在⑤中，A∩B是数集，不是点集，故⑤错．
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)设集合A＝{x|x2－9＝0}，集合B＝{x|x(x－3)＝0}，求A∪B.
解：集合A＝{－3,3}，集合B＝{0,3}，
所以A∪B＝{－3,0,3}．
11．(13分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|a＜x＜3a}．
(1)若A∩B＝ ，求a的取值范围；
(2)若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的值．
解：(1)因为A∩B＝ ，所以可分两种情况讨论：B＝ 或B≠ .
当B＝ 时，a≥3a，解得a≤0；
当B≠ 时，，解得a≥4或0＜a≤.
综上，得a的取值范围是{a|a≤或a≥4}．
(2)因为A∩B＝{x|3＜x＜4}，所以a＝3.
能力提升
12．(5分)设A＝{x|x＝，k∈N}，B＝{x|0≤x≤6，x∈Q}，则A∩B等于(　　)
A．{1,4}
B．{1,6}
C．{4,6}
D．{1,4,6}
答案：D
解析：解不等式组得k＝0,1,2,3,4,5,6,7，则有x＝＝1，，，4，，，，6，则A∩B＝{1,4,6}，故选D.
13．(15分)已知集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，集合B＝{x|x2－5x＋6＝0}，是否存在实数a，使得集合A，B同时满足下列三个条件？
①A≠B；②A∪B＝B；③
(A∩B)．
若存在，求出这样的实数a的值；若不存在，说明理由．
解：由已知条件可得B＝{2,3}，因为A∪B＝B，且A≠B，所以A B，又A≠ ，所以A＝{2}或A＝{3}．当A＝{2}时，将2代入A中方程，得a2－2a－15＝0，所以a＝－3或a＝5，但此时集合A分别为{2，－5}和{2,3}，与A＝{2}矛盾．所以a≠－3，且a≠5.当A＝{3}时，同上也能导出矛盾．综上所述，满足题设要求的实数a不存在．模块综合检测
班级____　姓名____　考号____　分数____
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|2＜x≤4}，则A∩B＝(　　)
A．(0,2]
B．[－1,3]
C．[1,2)
D．(2,3]
答案：D
2．幂函数y＝x4的单调递增区间可以是(　　)
A．(1,2)
B．(－1,2)
C．(－1,0)
D．(－5，－2)
答案：A
3．如果幂函数f(x)＝xα的图象经过点(3，)，则f(8)的值等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由3α＝得α＝－，故f(8)＝8＝.
4．设f(x)＝则f[f(2)]的值为(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
答案：C
解析：f[f(2)]＝f(1)＝2，故选C.
5．函数f(x)＝的所有零点之和为(　　)
A．7
B．5
C．4
D．3
答案：A
解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x＞0时，令lgx－1＝0解得x＝10，所以可知函数所有零点之和为－3＋10＝7.
6．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是(　　)
A．[0,1]
B．[1,2]
C．[－2，－1]
D．[－1,0]
答案：D
解析：本题主要考查函数零点与方程根的关系．逐一验证即可，f(－1)＝3－1－(－1)2＜0，f(0)＝30－02＞0，故选D.
7．已知函数f(x)在[－5,5]上满足f(－x)＝f(x)，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)＜f(1)，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．f(－1)＜f(－3)
B．f(2)＜f(3)
C．f(－3)＜f(5)
D．f(0)＞f(1)
答案：D
解析：由f(3)＝f(－3)＜f(1)，及f(x)在[0,5]上单调可知f(x)在[0,5]上单调递减．
8．函数f(x)＝lg(＋a)是奇函数，则实数a等于(　　)
A．－3
B．－1
C．1
D．－1或1
答案：B
解析：(法一)f(－x)＝lg(＋a)＝－f(x)，
∴f(－x)＋f(x)＝0，即lg[(＋a)(＋a)]＝0，
∴a＝－1.
(法二)由f(0)＝0得a＝－1.
9．某种生物的繁殖数量y(只)与时间x(年)之间的关系式为y＝alog2(x＋1)，设这种生物第一年有100只，则第7年它们发展到(　　)
A．300只
B．400只
C．500只
D．600只
答案：A
解析：由题意得100＝alog2(1＋1)，∴a＝100，∴第7年时，y＝100log2(7＋1)＝300.
10．在同一坐标系中，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax＋的图象应是如图所示的(　　)
答案：B
解析：y＝xa为幂函数，y＝ax＋为一次函数．对于A，y＝xa中，a＜0，y＝ax＋中，由倾斜方向判断a＞0，∴A不对；对于B，y＝xa中，a＜0，y＝ax＋中，a＜0，∴B对；对于C，y＝xa中，a＞0，y＝ax＋中，由图象与y轴交点知a＜0，∴C不对；对于D，y＝xa中，a＞0，y＝ax＋中，由倾斜方向判断a＜0，∴D不对．
11．已知f(x)是R上的偶函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x＋1，则f(3)等于(　　)
A．2
B．－2
C．1
D．－1
答案：A
解析：由条件知f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)．又因为f(－1)＝f(1)，当x∈(0,2)时，f(x)＝x＋1，所以f(1)＝2.所以f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2.
12．函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是(　　)
A．(0，)
B．(0，]
C．(0,1)
D．[3，＋∞)
答案：B
解析：由题意知f(x)在R上是减函数，∴0＜a＜1，又a－3＋4a≤a,4a≤3，a≤，∴0＜a≤.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设全集S＝{1,2，x2＋x}，A＝{1，x2－2}，A＝6，则x＝______.
答案：2
解析：∵A＝6，∴6 A，∴6∈S，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，当x＝－3时，A＝{1,7}，此时AS，故舍去x＝－3.
14．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[0,3]上的最大值是________．
答案：7
解析：f(3)＝9－3＋1＝7.
15．对于任意实数a、b，定义min{a，b}＝.设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．
答案：1
解析：依题意，h(x)＝，结合图象，易知h(x)的最大值为1.
16．分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝|x|，分段函数f(x)＝可表示为f(x)＝(x＋3－|x－3|)．仿此，分段函数f(x)＝可以表示为f(x)＝________.
答案：(6＋x＋|x－6|)
解析：由f(x)＝
f(x)＝的表达式可知，f(x)＝，可表示为f(x)＝(6＋x＋|x－6|)．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)求下列各式的值：
(1)1.5×0＋80.25×＋(×)6－；
(2)2log32－log3＋log38－5.
解：(1)原式＝()×1＋(23)×2＋(2)6×(3)6－[()]
＝＋(23×2)
＋22×33－
＝2＋4×27＝110.
(2)原式＝2log32－(log325－log332)＋log323－5
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9
＝2－9＝－7.
18．(12分)已知集合A＝{x|x2＋ax－6＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∪B＝{－2,3}，A∩B＝{－2}，求a，b，c的值．
解：∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B，
将－2代入方程：x2＋ax－6＝0中，得a＝－1，从而A＝{－2,3}．
将－2代入方程x2＋bx＋c＝0，得2b－c＝4.
∵A∪B＝{－2,3}，∴A∪B＝A，∴B A.
∵A≠B，∴BA，∴B＝{－2}．
∴方程
x2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4c＝0，
∴
由①得c＝2b－4，代入②整理得：(b－4)2＝0，
∴b＝4，c＝4.
19．(12分)某市在如图所示的地面区域ABCD上规划一块矩形地面PQCR作为经济适用房用地，但为了保护古城墙，不得使用△AEF内的部分．则测量可知AB＝200
m，BC＝160
m，AE＝60
m，AF＝40
m，问怎样设计矩形经济适用房用地的长和宽，才能使其面积最大，最大面积是多少？
解：P点可取在DF，FE或EB上，显然P点取在DF上时最大住宅面积应是P点恰与F点重合时，同理如果P点取在EB上，则P点恰与E点重合时面积最大，所以面积最大时，P点必在EF上，如图，设PQ＝x，则140≤x≤200，设QP的延长线交AF于G点，则PG＝200－x.
∵△FGP∽△FAE，∴GF＝(200－x)，
∴PR＝120＋(200－x)，
∴S矩形PQCR＝x·[120＋(200－x)]＝－x2＋x＝－(x－190)2＋，
∴当x＝190，即经济适用房用地长PQ为190
m，宽为
m时，面积最大，最大值为
m2.
20．(12分)已知定义域为R的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x.
(1)求f(x)的解析式并画出其图象；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，
∴x＜0时，f(x)＝x2＋2x,
即f(x)＝
其图象为
(2)由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，只需解得1＜a≤3.
∴实数a的取值范围为(1,3]．
21．(12分)已知函数f(x)＝alog2x－blogx，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若a＞0，b＞0，证明函数f(x)在定义域内为增函数；
(2)若a＝ln(m2＋2m＋3)，b＝ln10，解不等式f(3x－1)≤f(x＋3)．
解：f(x)＝alog2x－blogx＝alog2x＋blog3x，其定义域为(0，＋∞)．
(1)任取x1，x2∈(0，＋∞)，x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝alog2x1＋blog3x1－(alog2x2＋blog3x2)
＝a(log2x1－log2x2)＋b(log3x1－log3x2)
∵0＜x1＜x2且y＝log2x和y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，
∴log2x1＜log2x2，log3x1＜log3x2，
当a＞0，b＞0时，a(log2x1－log2x2)＜0，b(log3x1－log3x2)＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
(2)∵a＝ln(m2＋2m＋3)＝ln[(m＋1)2＋2]≥ln2＞ln1＝0，b＝ln10＞ln1＝0，
∴由(1)可知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(3x－1)≤f(x＋3) ∴＜x≤2，
∴原不等式的解集为{x|＜x≤2}．
22．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，x∈R，F(x)＝
(1)若f(－1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)，求F(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)设m·n<0，m＋n>0，a>0，且f(x)为偶函数，判断F(m)＋F(n)能否大于零？
解：(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，又x∈R，f(x)≥0恒成立，
∴
∴b2－4(b－1)≤0，
∴b＝2，a＝1，
∴f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
∴F(x)＝
(2)由(1)知g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1＝2＋1－，
当≥2或≤－2时，即k≥6或k≤－2时，g(x)是单调函数，
所以k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．
(3)∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝ax2＋1，F(x)＝
∵m·n<0，设m>n，则n<0.
又m＋n>0，∴m>－n>0，且|m|>|－n|.
∴F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝(am2＋1)－an2－1＝a(m2－n2)>0，
∴F(m)＋F(n)能大于零．第29课时　换底公式与自然对数
课时目标
1.掌握换底公式及其推导证明．
2．了解自然对数及其表示．
3．能用换底公式进行对数式的化简、求值、证明．
识记强化
1．换底公式logbN＝，推论(1)logambn＝logab　(2)logab＝.
2．以无理数e＝2.718
28……为底的对数叫自然对数，logeN记作lnN；lnN?2.302
6lgN.
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列等式中错误的是(　　)
A．logab·logba＝1
B．logcd＝
C．logcd·logdf＝logcf
D．logab＝
答案：D
2．若log5·log36·log6x＝2，则x＝(　　)
A．9
B.
C.
D．25
答案：C
解析：log5·log36·log6x＝2，∴··＝
－＝2.
即log5x＝－2，∴x＝5－2＝.
3．若log37·log29·log49m＝log4，则m等于(　　)
A.
B.
C.
D．4
答案：B
解析：左边＝··＝；
右边＝＝－，所以lgm＝－lg2，
所以m＝2－＝.
4．若lg2＝a，lg3＝b，则log512等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：由换底公式可知：log512＝＝＝＝＝.
5．若，则n的值所在的区间是(　　)
A．(－2，－1)
B．(－3，－2)
C．(1,2)
D．(2,3)
答案：D
解析：，利用换底公式得n＝＋，整理得n＝＝＝＝log310，而log396．以下四个数中的最大者是(　　)
A．(ln2)2
B．ln(ln2)
C．ln()
D．ln2
答案：D
解析：因为e>2，所以0二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．计算log9的值为________．
答案：
解析：log9＝＝＝＝.
8．若log23·log36m·log96＝，则实数m的值为________．
答案：4
解析：∵log23·log36m·log96＝··＝＝log2m＝，∴log2m＝2，∴m＝4.
9．已知函数f(x)＝alog2x＋blog3x＋2且f＝4，则f(2011)＝________.
答案：0
解析：解法一：由f()＝alog2
＋b
log3＋2＝4，
得－alog22
011－blog32
011＝2，
∴alog22
011＋blog32
011＝－2.
∴f(2
011)＝alog22
011＋blog32
011＋2
＝－2＋2＝0.
解法二：f()＋f(x)＝alog2＋blog3＋2＋alog2x＋blog3x＋2＝4.
∴f(x)＝4－f()．
于是f(2011)＝4－f()＝0.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)若2a＝3,3b＝5，试用a与b表示log4572.
解：∵2a＝3,3b＝5，
∴log23＝a，log35＝b，
∴log25＝log23·log35＝ab，
∴log4572＝＝＝＝.
11．(13分)计算
的值．
解：原式＝
＝
＝－.
能力提升
12．(5分)已知函数f(x)＝则
f的值是(　　)
A．9
B.
C．－9
D．－
答案：B
解析：f＝log3＝－2，f(－2)＝3－2＝.
13．(15分)设a＞0，a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求当x取何值时，logay取得最小值．
解：由换底公式，得logax＋－＝3，
整理，得(logax)2＋3－logay＝3logax，
∴logay＝(logax)2－3logax＋3＝(logax－)2＋.
∴当logax＝，即x＝a时，logay取得最小值.第16课时　一次函数的性质与图象
课时目标
1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质和图象．
2．学会运用一次函数的图象理解和研究函数性质及解决一些简单的应用题．
识记强化
1．函数y＝kx＋b(k≠0)叫做一次函数，它的定义域为R，值域为R，图象是直线．
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，k叫直线的斜率，k＝＝或Δy＝kΔx(x2≠x1)，即函数值的改变量Δy与自变量的改变量Δx成正比．
当k＞0时，一次函数是增函数，当k＜0时，一次函数是减函数．
3．直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点为，与y轴的交点为(0，b)．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则(　　)
A．a＞
B．a＜
C．a≥
D．a≤
答案：B
解析：∵函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，∴2a－1＜0，∴a＜.
2．一次函数y＝kx－k，若y随x的增大而增大，则它的图象经过(　　)
A．第一、二、三象限
B．第一、三、四象限
C．第一、二、四象限
D．第二、三、四象限
答案：B
解析：由题意知k＞0，所以－k＜0，故y＝kx－k的图象经过第一、三、四象限．
3．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则有(　　)
A．a≥
B．a≤
C．a＞－
D．a＜
答案：D
解析：∵y＝f(x)是R上的减函数．∴2a－1＜0.
∴a＜.故选D.
4．如果ab＞0，bc＜0，那么一次函数ax＋by＋c＝0的大致图象是(　　)
答案：A
解析：∵ab＞0，bc＜0，∴－＜0，－＞0，∴直线y＝－x－的斜率k＜0，直线在y轴上的截距大于0，故选A.
5．一个水池有水60
m3，现要将水池的水排出，如果排水管每小时排出水量为3m3，则水池中剩余水量Q与排水时间t之间的函数关系式为(　　)
A．Q＝60－3t
B．Q＝60－3t(0≤t≤20)
C．Q＝60－3t(0≤t＜20)
D．Q＝60－3t(0＜t≤20)
答案：B
解析：将t＝0和t＝20代入即可排除A、C、D
∴故选B.
6．下列关于一次函数y＝2－x的叙述：
①直线y＝2－x在y轴上的截距是1　②是减函数　③y－2是x的正比例函数　④直线y＝－x沿x轴向左平移2个单位长度可以得到直线y＝2－x，其中正确叙述的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：B
解析：直线y＝2－x在y轴上的截距是2，①不正确；一次函数y＝2－x是减函数，由y－2＝－x知y－2是x的正比例函数，②③正确；画直线验证知④不正确．故答案为B.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．一次函数y＝(3a－7)x＋a－2的图象与y轴的交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，则a的取值范围是________．
答案：(2，)
解析：由题意，知a－2＞0，且3a－7＜0，解得2＜a＜.
8．当0≤x≤1时，函数y＝ax＋a－1的值有正也有负，则实数a的取值范围是________．
答案：(，1)
解析：当a＝0时，函数y＝－1，不符合条件，舍去；当a≠0时，函数y＝ax＋a－1在定义域上是单调的，令f(x)＝ax＋a－1，则只需满足f(0)f(1)＜0，即(a－1)(2a－1)＜0，解得＜a＜1.综上，可得a的取值范围是(，1)．
9．已知一次函数y＝kx＋12(k≠0)的图象和两坐标轴所围成的三角形面积为24，则k的值为________．
答案：3或－3
解析：当x＝0时，y＝12，即图象与y轴交于点A(0,12)，当y＝0时，x＝－，即图象与x轴交于点B(－，0)，设坐标系原点为O，则OA＝12，OB＝|－|，
∴·||·12＝24
∴|－|＝4，解得k＝3，或k＝－3.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知函数f(x)＝(1－2m)x＋m－1.
(1)m满足什么条件时，这个函数为正比例函数？
(2)m满足什么条件时，这个函数为一次函数？
(3)m满足什么条件时，函数f(x)的值随x的减小而减小？
解：(1)由题意，得，∴m＝1.
(2)由题意，得1－2m≠0，∴m≠.
(3)由题意，得1－2m＞0，∴m＜.
11．(13分)已知一次函数y＝－x－4和y＝x＋的图象交于点(1,3)，求a，b的值，并求出两函数图象与x轴围成的三角形的面积．
解：由已知得
解得
∴两函数分别为：y＝7x－4；y＝x＋2.
分别令y＝0得A(－2,0)，B(，0)，
∴S△PAB＝|－(－2)|·3＝.
∴两直线与x轴围成的三角形面积为.
能力提升
12．(5分)已知直线y＝kx＋b过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，若k＜0且x1＜x2，则y1与y2的大小关系是(　　)
A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1＝y2
D．不能确定
答案：A
解析：k＜0则函数y＝kx＋b在R上为减函数，∴x1＜x2时，有y1＞y2.
13．(15分)对于每个实数x，设f(x)取y＝x－3，y＝－x－4，y＝－2三个函数中的最大值，用分段函数的形式写出f(x)的解析式，并求f(x)的最小值．
解：在同一坐标系中作出函数y＝x－3，y＝－x－4，y＝－2的图象，如图所示.
由，得，即A(－2，－2)．
由，得，即B(1，－2)．
根据图象，可得函数f(x)的解析式为f(x)＝
由图象，可知f(x)的最小值为－2.第26课时　指数函数的性质及其应用
课时目标
1.理解指数函数的单调性．
2．能利用指数函数的单调性比较指数式的大小．
3．会解决与指数函数有关的综合问题．
识记强化
1．指数函数的单调性
(1)当0＜a＜1时指数函数y＝ax为减函数．
(2)当a＞1时指数函数y＝ax为增函数．
2．比较指数式的大小，首先要把两指数式化为同底指数幂的形式，然后根据底数的值，结合指数函数的单调性，判断出指数式的大小．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则a满足(　　)
A．|a|＜1
B．1＜|a|＜2
C．1＜|a|＜
D．1＜a＜
答案：C
解析：由指数函数的单调性知0＜a2－1＜1，解得1＜a2＜2.1＜|a|＜.
2．函数y＝1－x的单调增区间为(　　)
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0,1)
答案：A
解析：设t＝1－x，则y＝t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝1－x的递增区间．
3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则(　　)
A．y3＞y1＞y2
B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2
D．y1＞y2＞y3
答案：C
解析：y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝()－1.5＝21.5.因为函数y＝2x在R上为增函数，所以y1＞y3＞y2.
4．函数y＝ax－(a＞0，a≠1)的图象可能是(　　)
答案：D
解析：A，B选项中，a＞1，于是0＜1－＜1，所以图象与y轴的交点的纵坐标应在(0,1)之间，显然A，B的图象均不正确；C，D选项中，0＜a＜1，于是1－＜0，故D选项正确．
5．若函数f(x)＝2－|x|－c的图象与x轴有交点，则实数c的取值范围为(　　)
A．[－1,0)
B．[0,1]
C．(0,1]
D．[1，＋∞)
答案：C
解析：因为函数f(x)＝2－|x|－c的图象与x轴有交点，所以2－|x|－c＝0有解，即2－|x|＝c有解．因为－|x|≤0，所以0＜2－|x|≤1，所以0＜c≤1.
故选C.
6．已知方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)
B．(1,2)
C．(0，＋∞)
D．(0,1)
答案：D
解析：函数y＝|2x－1|＝，其图象如图所示．由直线y＝a与y＝|2x－1|的图象相交且有两个交点，可得0＜a＜1.故选D.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．已知指数函数f(x)的图象经过点(－，)，则f(3.14)与f(π)的大小关系为________．
答案：f(3.14)＜f(π)
解析：∵f(x)是指数函数，∴可设f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，由已知，得f(－)＝，a＝＝3，即a＝3，∴f(x)＝3x.∵3.14＜π，∴f(3.14)＜f(π)．
8．若函数f(x)＝，则函数f(x)的值域是________．
答案：(－1,0)∪(0,1)
解析：由x＜0，得0＜2x＜1；由x＞0，得－1＜－2－x＜0.所以函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
9．已知实数a，b满足等式()a＝()b，给出下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式为________．
答案：③④
解析：画出函数y＝()x和y＝()x的图象(图略)，借助图象进行分析．由于实数a，b满足等式()a＝()b，若a，b均为正数，则a＞b＞0；若a，b均为负数，则a＜b＜0；若a＝b＝0，则()a＝()b＝1，故③④不可能成立．
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)求函数y＝|x－1|的单调区间．
解：设u＝|x－1|，如图所示，可知u＝|x－1|在(－∞，1]内单调递减，在[1，＋∞)内单调递增．又因为＜1，所以y＝|x－1|的递减区间为[1，＋∞)，递增区间为(－∞，1]．
11．(13分)已知函数f(x)＝a
(a＞0且a≠1)．
(1)若函数f(x)的图象经过点P(，4)，求a的值；
(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性；
(3)比较f(－2)与f(－2.1)的大小，并说明理由．
解：(1)∵函数f(x)的图象经过点P(，4)，
∴f()＝a2＝4，∴a＝2.
(2)函数f(x)为偶函数．
∵函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝a＝a＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数．
(3)∵y＝x2－1在(－∞，0)上单调递减，
∴当a＞1时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴f(－2)＜f(－2.1)；
当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f(－2)＞f(－2.1)．
能力提升
12．(5分)已知实数a、b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
答案：B
解析：由y＝x与y＝x的图象可知，
当a＝b＝0时，a＝b＝1；
当a当a>b>0时，也可以使a＝b.
当①②⑤都可以，不可能成立的关系式是③④两个．
13．(15分)已知函数f(x)＝为偶函数．
(1)求a的值；
(2)判断函数f(x)的单调性，并求其最小值．
解：(1)由偶函数的定义，可得
＝，∴＝，
即(a－1)·(4x－1)＝0.
∵上式对于x∈R恒成立，∴a－1＝0，即a＝1.
(2)由(1)，得f(x)＝＝2x＋.
取任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)
，
∵x1＜x2，∴2＜2.
又2·2＞0，∴有以下两种情况：
①当x1＜x2＜0时，0＜2＜2＜1，∴2·2－1＜0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(－∞，0)上是减函数；
②当x2＞x1＞0时，2＞2＞1，∴2·2－1＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
从而f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．
故当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝2.第8课时　变量与函数的概念
课时目标
1.理解函数概念，明确函数的三要素．
2．正确使用区间表示数集．
3．掌握函数定义域求法．
识记强化
1．设集合A是非空数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，A叫做函数的定义域．
函数的值域被定义域和对应法则完全确定．确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则．
2．区间．
满足下面不等式的主体实数记成：
a≤x≤b，记成[a，b]；aa记成(a，＋∞)；x≤a记成(－∞，a]；x课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．函数y＝－的定义域是(　　)
A．[，＋∞)
B．(－∞，－]
C．[－，]
D．{－，}
答案：D
解析：依题意，知，解得x＝±，所以函数的定义域为{－，}．
2．若函数y＝f(x)的定义域是[－2,4]，则函数g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域是(　　)
A．[－4,4]
B．[－2,2]
C．[－4，－2]
D．[2,4]
答案：B
解析：由，得－2≤x≤2.
3．下列各组中的函数相等的是(　　)
A．f(x)＝与g(x)＝|x|
B．f(x)＝2x－1与g(x)＝
C．f(x)＝|x－1|与g(t)＝
D．f(x)＝与g(t)＝1
答案：C
解析：对于A，因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)的定义域为R，定义域不同，所以A中函数不相等；对于B，因为f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，定义域不同，所以B中函数不相等；对于C，因为f(x)＝|x－1|，g(t)＝＝|t－1|，定义域和对应法则都相同，所以C中函数相等；对于D，因为f(x)的定义域为{x|x≠1，x∈R}，g(t)的定义域为R，定义域不同，所以D中函数不相等．故选C.
4．已知函数f(1－x)的定义域是[1,4]，则函数f(x)的定义域是(　　)
A．[1,4]
B．[0,3]
C．[－3,0]
D．R
答案：C
解析：设1－x＝t，∵函数f(1－x)的定义域是[1,4]，
∴1≤x≤4.∴－3≤t≤0.
∴函数f(t)的定义域是[－3,0]．
∴函数f(x)的定义域是[－3,0]．故选C.
5．如图，可表示函数y＝f(x)图象的是(　　)
答案：D
解析：在选项A和选项C中，当x＝0时，有两个y值与之对应，选项B中，当x＞0时，每个x都有两个y与之对应，故答案为D.
6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是(　　)
A．[0,4]
B．[，4]
C．[，3]
D．[，＋∞)
答案：C
解析：y＝x2－3x－4＝(x－)2－，结合二次函数图象可知≤m≤3.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．设函数f(x)＝，若f(a)＝2，则实数a＝________.
答案：－1
解析：由题意，知f(a)＝＝2，得a＝－1.
8．定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x)＋a的值域为________．
答案：[2a，a＋b]
解析：依题意，a≤f(x)≤b，则2a≤f(x)＋a≤a＋b，即函数y＝f(x)＋a的值域为[2a，a＋b]．
9．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－，若f(5)＝－5，则f[f(1)]＝________.
答案：
解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x)＝－.∴f(1)＝－＝－＝－＝f(5)＝－5.∴f(1)＝－5.∴f[f(1)]＝f(－5)．又f(－5)＝－＝－＝－＝f(－1)＝－＝－＝－＝.∴f[f(1)]＝.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知函数f(x)＝x2＋1，x∈R.
(1)分别计算f(1)－f(－1)，f(2)－f(－2)，f(3)－f(－3)的值；
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明．
解：(1)f(1)－f(－1)＝(12＋1)－[(－1)2＋1]＝2－2＝0；
f(2)－f(－2)＝(22＋1)－[(－2)2＋1]＝5－5＝0；
f(3)－f(－3)＝(32＋1)－[(－3)2＋1]＝10－10＝0.
(2)由(1)可发现结论：对任意x∈R，有f(x)＝f(－x)．证明如下：
由题意，得f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)．
∴对任意x∈R，总有f(x)＝f(－x)．
11．(13分)求下列函数的定义域：
(1)y＝－；
(2)y＝.
解：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足，即，
所以函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
(2)要使函数有意义，需满足|x|－x≠0，即|x|≠x，所以x＜0，
所以函数的定义域为{x|x＜0}．
能力提升
12．(5分)函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x＋1)的定义域是(　　)
A．[－2,2]
B．[－1,1]
C．[0,2]
D．[1,3]
答案：B
解析：f(x)与f(x＋1)的定义域都是指的x的取值范围，由函数f(x)的定义域为[0,2]知0≤x＋1≤2，即可求出x的范围．解不等式0≤x＋1≤2，得－1≤x≤1，故选B.
13．(15分)对任何实数x，y，函数f(x)满足：f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(1)＝2，试求＋＋＋…＋＋.
解：由f(x＋y)＝f(x)·f(y)，得f(x＋1)＝f(x)·f(1)，又∵f(1)＝2，
∴＝f(1)＝2.
＋＋＋…＋＋＝f(1)＋f(1)＋…＋f(1)＝2012·f(1)＝4024.习题课(二)
时间：45分钟　总分：90分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知函数f(2x－1)的定义域为[－1,4)，则函数f(x)的定义域为(　　)
A．(－3,7]
B．[－3,7)
C．(0，]
D．[0，)
答案：B
解析：令2x－1＝t，因为－1≤x＜4，所以－3≤2x－1＜7，即－3≤t＜7，即函数f(t)的定义域为[－3,7)．所以函数f(x)的定义域为[－3,7).
故选B.
2．图中是函数y＝|x＋1|的图象的是(　　)
答案：A
解析：转化成分段函数y＝或用特殊值法．
3．f(x)＝，则f{f[(－2)]}等于(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
答案：B
解析：－2<0，∴f(－2)＝(－2)＋1＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝(－1)＋1＝0.∴f{f[f(－2)]}＝f(0)＝0.
4．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系．如果购买1
000吨，每吨800元；购买2
000吨，每吨700元，若一客户购买400吨，单价应该是(　　)
A．820元
B．840元
C．860元
D．880元
答案：C
解析：设y＝kx＋b(k≠0)，由题意得解得k＝－10，b＝9000.∴y＝－10x＋9000，当y＝400时，得x＝860，故选C.
5．f(x)＝f(a)＝1，则a等于(　　)
A．4
B．1－
C．4或1－
D．4或1±
答案：C
解析：x≤0时，x2－2x－3＝1，x2－2x－4＝0，x＝1＋(舍)，x＝1－.x>0时，x－3＝1，x＝4，故选C.
6．函数f(x)恒大于零，且对任意x、y∈R，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(2)＝，则等于(　　)
A.
B.
C．1
D．2
答案：A
解析：令x＝y＝1，则f(1)·f(1)＝f(2)＝，f(1)>0，f(1)＝.令x＝n，y＝1，则f(n＋1)＝f(n)·f(1)，＝，故选A.
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．函数f(x)＝＋的定义域为________．
答案：{x|x≥－1且x≠2}
解析：要使函数有意义，自变量x的取值须满足解得x≥－1且x≠2.
8．函数y＝x＋的值域为________．
答案：[2，＋∞)
解析：令＝t，则x＝t2＋2(t≥0)，原函数表达式变为y＝t2＋t＋2＝(t＋)2＋(t≥0)．结合函数图象知y≥2，即所求函数的值域为[2，＋∞)．
9．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
答案：(－∞，1]
解析：由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象得值域是(－∞，1]，
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知f(x)满足3f(x)＋f(－)＝2x2(x≠0)，求函数f(x)的解析式．
解：因为3f(x)＋f(－)＝2x2，①
以－代换x得3f(－)＋f(x)＝，②
由①②两式消去f(－)，
得f(x)＝x2－(x≠0)．
11．(13分)如图，在边长为6的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)画出y＝f(x)的图象．
解：(1)当点P在线段BC上移动时，BP＝x且0＜x≤6，则S△APB＝AB×BP＝×6×x＝3x；
当点P在线段CD上移动时，6＜x≤12，
S△APB＝AB×6＝×6×6＝18；
当点P在线段DA上移动时，12＜x＜18，
S△APB＝AB×PA＝×6×(18－x)＝54－3x.
于是y＝
(2)画出函数y＝f(x)的图象，如图所示．
能力提升
12．(5分)已知函数f(x)＝
则f(x－1)＝________.
答案：f(x－1)＝
解析：当x－1≥0即x≥1时，f(x－1)＝(x－1)＋1＝x
当－1∴f(x－1)＝
13．(15分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)与f，f(3)与f；
(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2
013)＋f＋f＋…＋f.
解：(1)∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
∴f＝＝.
∴f(3)＝＝.
∴f＝＝.
(2)由(1)发现f(x)＋f＝1.
证明如下：
f(x)＋f＝＋
＝＋＝1.
(3)由f(1)＝＝，
由(2)知f(2)＋f＝1，
f(3)＋f＝1…
f(2
013)＋f＝1，
原式＝＋＝2
012＋＝.习题课(一)
时间：45分钟　总分：90分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知下面的关系式：
①a {a}；②0∈{0}，③0∈ ；④{1}＝{1,2}．
其中正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
解析：根据元素与集合、集合与集合的关系可知，①错误，②正确，③错误，④错误．故选A.
2．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,5}，则A∩(B)等于(　　)
A．{2}
B．{2,3}
C．{3}
D．{1,3}
答案：D
解析：B＝{1,3,4}，A∩(B)＝{1,3}，故选D.
3．设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x≥a}，若A B，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a＜1}
B．{a|a≤1}
C．{a|a＜2}
D．{a|a≤2}
答案：B
解析：由子集的概念，可知a≤1，故选B.
4．设集合A＝{x|－＜x＜2}，B＝{x|－1≤x≤1}，则A∪B＝(　　)
A．{x|－1≤x＜2}
B．{x|－＜x≤1}
C．{x|x＜2}
D．{x|1≤x＜2}
答案：A
解析：利用数轴求解，易知A∪B＝{x|－1≤x＜2}，故选A.
5．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(B)＝R，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a|a≤2}
B．{a|a＜1}
C．{a|a≥2}
D．{a|a＞2}
答案：C
解析：由已知，得B＝{x|x≤1或x≥2}，又A∪(B)＝R，所以a≥2，故选C.
6．定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}，设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为(　　)
A．0
B．6
C．12
D．18
答案：D
解析：x＝0，y＝2或y＝3时z＝0；x＝1，y＝2时z＝6；x＝1，y＝3时z＝12，∴A⊙B＝{0,6,12}，故选D.
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.
答案：{0,2}
解析：N＝{0,2,4}，∴M∩N＝{0,2}．
8．设A＝{(x，y)|ax＋y－3＝0}，B＝{(x，y)|x－y－b＝0}．若A∩B＝{(2,1)}，则a＝________，b＝________.
答案：1　1
解析：∵A∩B＝{(2,1)}，∴(2,1)∈A，∴2a＋1－3＝0，a＝1.(2,1)∈B，∴2－1－b＝0，b＝1.
9．方程x2－px＋6＝0的解集为M，方程x2＋6x－q＝0的解集为N，且M∩N＝{2}，那么以p、q为根的一元二次方程为________．
答案：x2－21x＋80＝0
解析：由M∩N＝{2}，∴22－2p＋6＝0，p＝5；22＋12－q＝0，q＝16，p＋q＝21，p·q＝80，所以以p、q为根的一元二次方程为x2－21x＋80＝0.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若9∈(A∩B)，求a的值．
解：∵9∈(A∩B)，∴9∈A，且9∈B，
∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.
当a＝3时，B＝{－2，－2,9}，违反了元素的互异性，
故a＝3(舍去)．
当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，
满足9∈(A∩B)．
当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，
满足9∈(A∩B)．
综上所述，a＝－3或a＝5时，有9∈(A∩B)．
11．(13分)已知集合A＝{－3,4}，B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠ 且A∩B＝B，求a，b的值．
解：因为A∩B＝B，所以B A.
又因为A＝{－3,4}且B≠ ，所以B＝{－3}或{4}或{－3,4}．
若B＝{－3}，则，即；
若B＝{4}，则，即；
若B＝{－3,4}，则，即.
综上所述，a＝－3，b＝9或a＝4，b＝16或a＝，b＝－12.
能力提升
12．(5分)设2
013∈{x，，x2}则满足条件的所有x组成的集合的真子集个数为(　　)
A．3
B．4
C．7
D．8
答案：A
解析：由集合元素的不可重复性x＝－2
013或x＝－，∴满足条件的所有x构成集合含有两个元素，其真子集有22－1＝3个．
13．(15分)若函数f(x)＝
的定义域是一切实数，求实数a的取值范围．
解：函数y＝
的定义域是一切实数，即对一切实数x，ax2－ax＋≥0恒成立，
即
∴解得0故所求实数a的取值范围是{a|0时间：45分钟　总分：90分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝x－的零点有(　　)
A．0个　B．1个
C．2个
D．无数个
答案：C
解析：令f(x)＝0，即x－＝0.所以x＝±2.故f(x)的零点有2个，选C.
2．一次函数y＝f(x)，经过点(0,1)，(1,2)，则y＝f(x)的解析式为(　　)
A．y＝x
B．y＝x＋1
C．y＝－x＋1
D．y＝－x
答案：B
3．已知函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(2)＝1，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)＝(　　)
A.
B．1
C.
D．2
答案：C
解析：因为f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，所以f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2).
令x＝－1，则f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2),
即f(1)＝－f(1)＋f(2)，所以2f(1)＝f(2)＝1，即f(1)＝.
故f(3)＝＋1＝.故选C.
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)，x，f(x)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
由此可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间分别是(　　)
A．(－3，－1)和(2,4)
B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2)
D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
答案：A
解析：∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，∴f(－3)·f(－1)＜0.∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，∴f(2)·f(4)＜0.∴方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2,4)．
5．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利率×100%由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于(　　)
A．12
B．15
C．25
D．50
答案：B
解析：设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15.
6．函数y＝2x2＋bx＋5在(3，＋∞)上单调递增，则实数b的取值范围(　　)
A．b≥－6
B．b≥－12
C．b≤6
D．b≤12
答案：B
解析：由题意，－≤3，∴b≥－12.
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．
答案：(－2,0)
解析：函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上单调递增．由已知条件，可得f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.
8．已知S(x)＝，则函数g(x)＝S(|x|)＋|S(x)|的值域为________．
答案：{2}
解析：由|x|≥0，得S(|x|)＝1，又|S(x)|＝1，所以g(x)＝2.故g(x)的值域为{2}．
9．设函数f(x)＝|x2－2ax＋b|，给出下列命题：
①f(x)必是偶函数；
②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x＝1对称；
③若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数；
④f(x)有最大值|a2－b|.
其中正确命题的序号是________．
答案：③
解析：若a＝1，b＝1，则f(x)＝|x2－2x＋1|＝x2－2x＋1，显然f(x)不是偶函数，所以①错误；若a＝－1，b＝－4，则f(x)＝|x2＋2x－4|，满足f(0)＝f(2)，但显然f(x)的图象不关于直线x＝1对称，所以②错误；若a2－b≤0，则f(x)＝|x2－2ax＋b|＝x2－2ax＋b，图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线x＝a，此时f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，所以③正确；显然函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)没有最大值，所以④错误．故填③.
三、解答题(本大题共3小题，共45分)
10．(12分)某股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在下图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P与时间t所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据确定日交易量Q与时间t的一次函数关系式；
(3)在(1)(2)的结论下，若该股票的日交易额为y(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天的日交易额最大，最大值是多少？
解：(1)P＝(t∈N
)．
(2)设Q＝at＋b(a，b为常数)，把(4,36)，(10,30)代入，
得，解得.
所以日交易量Q与时间t的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0＜t≤30，t∈N
.
(3)由(1)(2)，可得
y＝(t∈N
)，
即y＝(t∈N
)，
当0＜t≤20时，y有最大值，即ymax＝125，此时t＝15；
当20＜t≤30时，y随t的增大而减小，
ymax＜×(20－60)2－40＝120.
所以这30天中的第15天的日交易额最大，最大值是125万元．
11．(13分)当且仅当实数a满足什么条件时，函数y＝f(x)＝ax2＋2x＋1至少有一个零点在原点左侧？
解：当a＝0时，函数为y＝2x＋1，令2x＋1＝0，得x＝－，∴函数y＝2x＋1的零点在原点左侧，符合题意．当a≠0时，∵f(0)＝1，∴抛物线y＝ax2＋2x＋1过(0,1)点．若a<0，则抛物线开口向下，如图(1)所示，函数必然有一个零点在原点左侧；若a>0，要使此函数至少有一个零点在原点左侧，如图(2)所示，则必须满足
∴0能力提升
12．(20分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.
(1)若a>b>c，且f(1)＝0，试证明：f(x)必有两个零点；
(2)设x1，x2∈R，x1证明：(1)∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.
又∵a>b>c，∴a>0，c<0，即ac<0.
∴Δ＝b2－4ac≥－4ac>0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根，
∴f(x)必有两个零点．
(2)令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则
g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]
＝[f(x1)－f(x2)]，
g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]
＝[f(x2)－f(x1)]．
∵g(x1)g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2，
且f(x1)≠f(x2)，
∴g(x1)g(x2)<0.
∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一实根，
∴方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]必有一实根属于区间(x1，x2)．第9课时　映射与函数
课时目标
1.掌握映射的概念及表示方法．
2．理解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，并会求象或原象．
3．弄清函数与映射的区别与联系．
识记强化
1．映射
设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
2．映射与函数的关系
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．设集合A＝{a，b}，B＝{m，n}，则从A到B的映射共有(　　)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
答案：B
解析：满足条件的映射有，，，，共4个．
2．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应关系不是从A到B的映射的是(　　)
答案：C
解析：从A到B的映射中，A中的任意一个元素在B中有且仅有一个元素与之对应，因此C选项不是从A到B的映射．
3．已知集合A＝N＋，B＝{正奇数}，映射f：A→B使A中任一元素a和B中元素2a－1相对应，则与B中元素17对应的A的元素为(　　)
A．3
B．5
C．17
D．9
答案：D
解析：由对应法则有：17＝2a－1，∴a＝9.
4．给出下列两个集合之间的对应法则，回答问题：
①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；
②M＝{1,2,3,4}，N＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；
③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；
④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．
上述四个对应中是映射的有________，是函数的有________，是一一映射的有________．依次填入答题线的是(　　)
A．3个，2个，1个
B．3个，3个，2个
C．4个，2个，2个
D．2个，2个，1个
答案：C
解析：由映射、函数、一一映射的定义可知：①②③④是映射，②③是函数，②④是一一映射．
5．已知A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f是从A到B映射的对应关系，则满足f(0)＞f(1)的映射共有(　　)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
答案：A
解析：当f(0)＝1时，f(1)的值为0或－1都能满足f(0)＞f(1)；当f(0)＝0时，只有f(1)＝－1时满足f(0)＞f(1)；当f(0)＝－1时，没有f(1)的值满足f(0)＞f(1)，故满足f(0)＞f(1)的映射共有3个．
6．设f：A→B是集合A到B的映射，共中A＝{x|x＞0}，B＝R，若f：x→x2－2x－1，则A中元素1＋的象和B中元素－1的原象分别为(　　)
A.，0或2
B．0,2
C．0,0或2
D．0,0或
答案：B
解析：当x＝1＋时，x2－2x－1＝(1＋)2－2(1＋)－1＝0，∴1＋的象为0.当x2－2x－1＝－1时，x＝0或2.∵x＞0，∴x＝2，即－1的原象是2.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．已知(x，y)在映射f的作用下的象是(x＋y，xy)，则(3,4)的象是________，(1，－6)的原象是________．
答案：(7,12)　(－2,3)或(3，－2)
解析：当x＝3，y＝4时，x＋y＝7，xy＝12，∴(3,4)的象是(7,12)；
令解得或
8．给定从集合A到集合B的映射f：(x，y)→(x＋2y,2x－y)，集合A，B都是平面直角坐标系内点的集合，则在该映射下，与集合B中元素(3,1)相对应的A中的元素是________．
答案：(1,1)
解析：由，得.故所求元素为(1,1)．
9．设f，g都是集合A到A的映射，其中A＝{1,2,3}，其对应法则如下表：
A
1
2
3
f：x→y
1
1
2
g：x→y
3
2
1
则f(g(3))的值为________．
答案：1
解析：∵g(3)＝1，∴f(g(3))＝f(1)＝1.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)设f：A→B是从A到B的映射，且B中的元素a2＋3与A中的元素a对应．
(1)若A＝R，B＝{x|x≥1}，求5，－5的象；
(2)若A＝{x|x≥0}，B＝{x|x≥1}，求228的原象．
解：(1)a＝5时，a2＋3＝28，
a＝－5时，a2＋3＝28，所以5与－5的象都是28.
(2)令a2＋3＝228，又a≥0得a＝15，即228的原象为15.
11．(13分)判断下列对应是否为从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝N，B＝N
，对应法则f：x→|x－1|；
(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，对应法则f：x→；
(3)A＝{1,2,3,4}，B＝{4,5,6,7}，对应法则f：x→x＋3.
解：(1)集合A＝N中的元素1在对应法则f的作用下变为0，而0 N
，即A中的元素1在B中没有元素与之对应，故对应法则f不是从A到B的映射．
(2)集合A中的元素6在对应法则f的作用下变为3，而3 B，故对应法则f不是从A到B的映射．
(3)集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，所以对应法则f是从A到B的映射．又B中的每一个元素在A中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f是一一映射．又A，B是非空数集，因此对应法则f也是从集合A到集合B的函数．
能力提升
12．(5分)设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→，则经过两次映射，A中元素1在C中的象为________．
答案：
13．(15分)求下列函数的值域．
(1)y＝；
(2)y＝(x≥－4)；
(3)y＝x－2＋3.
解：(1)由x2≥0及≥0
知∈[0,2]．故所求的值域为[0,2]．
(2)由y＝，得x＝，而x≥－4，∴≥
－4，即≥0，∴y≥，或y＜1.故所求的值域为
(－∞，1)∪[，＋∞)．
(3)∵y＝(－1)2＋2≥2，
∴所求的值域为[2，＋∞)．第28课时　积、商、幂的对数
课时目标
1.掌握对数的运算性质．
2．能灵活运用运算性质进行计算．
识记强化
1．loga(MN)＝logaM＋logaN.
loga(N1N2－NK)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNK.
2．loga＝logaM－logaN.
3．logaMn＝nlogaM.(n∈R)
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．2log525＋3log264－8ln
1等于(　　)
A．220
B．8
C．22
D．14
答案：C
解析：原式＝2×2＋3×6－8×0＝4＋18＝22.故选C.
2．下列四个命题中，真命题是(　　)
A．lg2lg3＝lg5
B．lg23＝lg9
C．若logaM＋N＝b，则M＋N＝ab
D．若log2M＋log3N＝log2N＋log3M，则M＝N
答案：D
解析：解答本题的关键是熟练掌握对数概念及对数运算的有关性质．将选项中提供的答案一一与相关的对数运算性质相对照，不难得出答案．在对数运算的性质中，与A类似的一个正确等式是lg2＋lg3＝lg6；B中的lg23表示(lg3)2，它与lg32＝lg9不是同一个意义；C中的logaM＋N表示(logaM)＋N，它与loga(M＋N)不是同一意义；D中等式可化为log2M－log2N＝log3M－log3N，即log2＝log3，所以M＝N.
3．lg32＋3lg2lg5＋lg35等于(　　)
A．1
B．2
C.
D.
答案：A
解析：原式＝(lg2＋lg5)(lg22＋lg25－lg2lg5)＋3lg2lg5＝lg22＋lg25－lg2lg5＋3lg2lg5＝(lg2＋lg5)2＝1.
故选A.
4．已知a、b、c为非零实数，且3a＝4b＝6c，那么(　　)
A.＝＋
B.＝＋
C.＝＋
D.＝＋
答案：B
解析：设3a＝4b＝6c＝k，则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，得＝logk3，＝logk4，＝logk6.所以＝＋.
5．已知lga＝2.4310，lgb＝1.4310，则＝(　　)
A.
B.
C．10
D．100
答案：B
解析：lg＝lgb－lga＝1.4310－2.4310＝－1，
所以＝.
6．若lga、lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于(　　)
A．2
B.
C．4
D.
答案：A
解析：(lg)2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lgalgb＝22－4×＝2.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．若a32＝16，则loga2＝________.
答案：8
解析：a32＝16＝24，∴a8＝2，
∴loga2＝8.
8．(log32＋log92)·(log43＋log83)＝________.
答案：
解析：利用换底公式，原式＝·＝＝·＝.
9．计算：＝________.
答案：
解析：原式＝＝log3＝log33＝.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)(1)(lg5)2＋3lg2＋2lg5＋lg2×lg5；
(2)；
(3)(log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6－log62)．
解：(1)(lg5)2＋3lg2＋2lg5＋lg2×lg5
＝lg5(lg5＋lg2)＋2(lg2＋lg5)＋lg2
＝lg5×lg10＋2lg10＋lg2
＝2＋(lg5＋lg2)
＝3.
(2)
＝
＝
＝－4.
(3)(log62)2＋(log63)2＋3log62×(log6－log62)
＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6
＝(log62)2＋(log63)2＋3log62×log6
＝(log62)2＋(log63)2＋2log62×log63
＝(log62＋log63)2
＝1.
11．(13分)(1)用lg
2和lg
3表示lg75；
(2)用logax，logay，logaz表示loga.
解：(1)lg75＝lg(25×3)＝lg(52×3)＝2lg5＋lg3＝
2lg＋lg3＝2(1－lg2)＋lg3＝2－2lg2＋lg3.
(2)原式＝loga(x4·)－loga
＝4logax＋loga(y2z)－loga(xyz3)
＝4logax＋(2logay＋logaz)－(logax＋logay＋3logaz)
＝logax＋logay－logaz.
能力提升
12．(5分)若t＝log32，则log38－2log36可用t表示为(　　)
A．t＋2
B．t－2
C．2t＋1
D．2t－1
答案：B
解析：log38－2log36
＝log38－log336
＝log3＝log32－2
＝t－2.
13．(15分)设x＝log23，求.
解：＝＝2x＋2－x
又x＝log23，∴2x＝3，原式＝3＋3－1＝.第24课时　指数函数的基本内容
课时目标
1.理解指数函数的概念和意义．
2．会求与指数函数有关的定义域和值域．
3．会画指数函数的图象，能用指数函数的图象解决一些简单的问题．
识记强化
1．指数函数的定义．
函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数．
2．指数函数的图象与性质.
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
定点
图象过点(0,1)即a0＝1
相应的y值
x＞0时，y＞1；x＝0时，y＝1；x＜0时，0＜y＜1.
x＞0时，0＜y＜1；x＝0时，y＝1；x＜0时，y＞1.
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．下列函数中，是指数函数的是(　　)
A．y＝x2
B．y＝32x＋1
C．y＝3×4x
D．y＝32x
答案：D
解析：A项中函数的底数是自变量x，指数是常数2，故不是指数函数；B项中函数的底数是常数3，指数是2x＋1，而不是自变量x，故不是指数函数；对于C项，这个函数中4x的系数是3，不是1，故不是指数函数；D项中函数可以化为y＝9x，符合指数函数的定义，而y＝32x与y＝9x的定义域与对应关系相同，所以它们是同一函数，即y＝32x是指数函数．故选D.
2．对函数y＝x，使0A．x<0
B．x<1
C．x>0
D．x>1
答案：C
3．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有(　　)
A．a＝1或a＝2
B．a＝1
C．a＝2
D．a＞1，且a≠2
答案：C
解析：由指数函数的概念，得a2－3a＋3＝1，解得a＝1或a＝2.当a＝1时，底数是1，不符合题意，舍去；当a＝2时，符合题意，故选C.
4．函数y＝的定义域为(　　)
A．[3，＋∞)
B．[4，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(4，＋∞)
答案：B
解析：要使函数有意义，需2x－1－8≥0，则2x－1≥8＝23，∴x－1≥3.得x≥4.故选B.
5．当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A．1＜|a|＜2
B．|a|＜1
C．|a|＞1
D．|a|＞
答案：D
解析：根据指数函数性质知a2－1＞1，即a2＞2，∴|a|＞.
6．函数y＝5的值域为(　　)
A．(0，＋∞)
B．R
C．(0,1)∪(1，＋∞)
D．(1，＋∞)
答案：C
解析：u＝，u∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝5u，y>0且y≠1.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．函数的定义域为________．
答案：{x|－2≤x≤3}
解析：1－3≥0 3≤1 x2－x－6≤0 －2≤x≤3.
8．函数y＝ax＋2013＋2012(a>0，且a≠1)的图像恒过定点________．
答案：(－2013,2013)
解析：∵y＝ax(a>0，且a≠1)恒过定点(0,1)，∴y＝ax＋2013＋2012恒过定点(－2013,2013)．
9．函数y＝的值域为________．
答案：[0,1)
解析：由3x＞0，得－3x＜0，∴1－3x＜1，又1－3x≥0，所以0≤＜1，所以函数y＝的值域为[0,1)．
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)求下列函数的定义域．
(1)y＝3；
(2)y＝5.
解：(1)y＝3的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
(2)由x－1≥0，得x≥1，故定义域为[1，＋∞)．
11．(13分)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在区间[0,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
解：①当a＞1时，f(x)＝ax在区间[0,2]上为增函数，
此时f(x)max＝f(2)＝a2，
f(x)min＝f(0)＝1，
a2－1＝，所以a＝；
②当0＜a＜1时，f(x)＝ax在区间[0,2]上为减函数，
此时f(x)max＝f(0)＝1，
f(x)min＝f(2)＝a2，
1－a2＝，所以a＝.
综上所述，a＝或a＝.
能力提升
12．(5分)若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则(　　)
A．AB
B．A B
C．AB
D．A＝B
答案：A
解析：A＝{y|y＞0}，B＝{y|y≥0}，故AB.
13．(15分)对于A年可成材的树木，在此期间的年生长率为a%，以后的年生长率为b%(a＞b)，树木成材后，既可以出售树木，重栽新树苗；也可让其继续生长．
(1)问哪一种方案可获得较大的木材量？
(2)对于5年成材的树木，用哪种方案可获得较大的木材量？(2≈1.149)
解：(1)只需考虑2A年的情形，设新树苗的木材量为Q，则2A年后有两种结果：
①连续长2A年，木材量N＝Q(1＋a%)A(1＋b%)A；
②生长A年后再重栽，木材量M＝2Q(1＋a%)A.
∵＝，
∴当(1＋b%)A＜2时，用重栽的方案较好；
当(1＋b%)A＞2时，用连续生长的方案较好．
(2)当A＝5时，考虑(1＋b%)5＝2，解得b＝14.9.
因此，对于5年成材的树木，当5年以后的生长率低于14.9%，应考虑重栽，当5年以后的生长率高于14.9%时应考虑用连续生长的方案．第30课时　对数函数的基本内容
课时目标
1.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系．
2．初步理解对数函数的概念，能画出具体函数的图象，并理解其单调性与特殊点．
识记强化
1．一般地，函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)叫做对数函数．其中x是自变量，其定义域是正实数集，值域是R.
2．对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)的图象特征：
(1)图象都在y轴的右侧；
(2)图象经过点(1,0)；
(3)a＞1时，自左向右看图象是上升的；对应区间(1，＋∞)上的图象在x轴上方，对应区间(0,1)上的图象在x轴下方；
(4)0＜a＜1时，自左向右看图象是下降的；对应区间(1，＋∞)上的图象在x轴下方，对应区间(0,1)上的图象在x轴上方．
3．当a＞1时，函数y＝logax在定义域内是单调增函数；当0＜a＜1时，函数y＝logax在定义域内是单调减函数．
课时作业
(时间：45分钟，满分：90分)
　　　　　　　　　
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝lg(x2－3x＋2)的定义域为F，函数g(x)＝lg(x－1)＋lg(x－2)的定义域为G，则F与G的关系为(　　)
A．F∩G＝
B．F＝G
C．FG
D．FG
答案：D
解析：F＝{x|x2－3x＋2＞0}＝(－∞，1)∪(2，＋∞)，G＝＝(2，＋∞)，∴F?G.
2．函数y＝
定义域是(　　)
A．[1，＋∞)
B．(－∞，1]
C．[2，＋∞)
D．(－∞，2]
答案：B
解析：log2(2－x)≥0,2－x≥1，x≤1.
3．函数y＝log2x＋3(x≥1)的值域是(　　)
A．[2，＋∞)
B．(3，＋∞)
C．[3，＋∞)
D．R
答案：C
解析：∵log2x≥0(x≥1)，∴y＝log2x＋3≥3.
4．函数f(x)＝的定义域为(0,10]，则实数a的值为(　　)
A．0
B．10
C．1
D.
答案：C
解析：由已知，得a－lgx≥0的解集为(0,10]，由a－lgx≥0，得lgx≤a，又当0＜x≤10时，lgx≤1，所以a＝1，故选C.
5．已知loga2>logb2(a>0，a≠1；b>0，b≠1)，则(　　)
A．aB．1C．0D．a>b
答案：A
解析：结合不同底的对数函数图象可得．
6．若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：本题关键是利用f(x)的单调性确定f(x)在[a,2a]上的最大值与最小值．
f(x)＝logax(0＜a＜1)在(0，＋∞)上是减函数，
当x∈[a,2a]时，f(x)max＝f(a)＝1，f(x)min＝f(2a)＝loga2a.
根据题意，3loga2a＝1，即loga2a＝，
所以loga2＋1＝，即loga2＝－.
故由a＝2得a＝2＝.
二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)
7．函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为________．
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析：由x2－x－2>0，得x>2或x<－1.
8．已知f(x)为对数函数，f()＝－2，则f()＝________.
答案：
解析：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则loga＝－2，∴＝，即a＝，∴f(x)＝logx，
∴f()＝log＝log2()2＝log22＝.
9．已知集合P＝{x|≤x≤3}，函数f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.若P∩Q＝，P∪Q＝(－2,3]，则实数a的值为________．
答案：－
解析：f(x)＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为ax2－2x＋2＞0的解集，而P∩Q＝，P∪Q＝(－2，3]，可知－2为ax2－2x＋2＝0的一个根，可得a＝－.
三、解答题(本大题共4小题，共45分)
10．(12分)求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝log(2x－4)(10－2x)；
(2)f(x)＝.
解：(1)由已知，得，
解得2＜x＜或＜x＜5，
∴函数f(x)的定义域为(2，)∪(，5)．
(2)由已知，得log0.5(2－4x)＞0，∴0＜2－4x＜1,1＜4x＜2，∴20＜22x＜21，
∴0＜2x＜1，即0＜x＜，
∴函数f(x)的定义域为(0，)．
11．(13分)求函数f(x)＝log
(－x2＋2x＋3)的值域．
解：设u＝－x2＋2x＋3，则u＝－(x－1)2＋4≤4，
∵u＞0，∴0＜u≤4.
又∵y＝logu在(0,4]上是减函数，
∴logu≥log4＝－2，即f(x)≥－2，
∴函数f(x)＝log
(－x2＋2x＋3)的值域为[－2，＋∞)．
能力提升
12．(5分)函数y＝log2的值域为________．
答案：[1，＋∞)
解析：函数y＝log2定义域(0，＋∞)．设a＝x＋.
则u＝x＋≥2
＝2，log2a≥1，∴函数值域[1，＋∞)．
13．(15分)已知函数f(x)＝log|x|.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)画出函数f(x)的草图；
(3)写出函数f(x)的单调区间．
解：(1)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝log|－x|＝log|x|＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．
(2)
(3)由图象f(x)的单调递增区间是(－∞，0)
f(x)的单调递减区间是(0，＋∞)．