人教版数学八年级上册 同步备课教案（36份）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 同步备课教案（36份） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 6.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2017-04-22 00:00:00 | ||
文档简介
15．2分式的运算
15．2．1分式的乘除(一)
一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.
二、重点、难点
1．重点：会用分式乘除的法则进行运算.
2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算
.
三、例、习题的意图分析
1．P135本节的引入还是用问题1求水面的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的水面的高是，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出P135[思考]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间.
2．P136例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简.
3．P136例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.
4．P136例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1四、课堂引入
1.出示P135本节的引入的问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.
[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.
1.从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.
2.类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？
类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.
五、例题讲解
例1：
[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.
例2：
[分析]
这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.
例3：
[分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是、，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1六、随堂练习
计算
（1）
（2）
（3）
（4）-8xy
（5）
（6）
七、课后练习
计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
八、答案：
六、（1）ab
（2）
（3）
（4）-20x2
（5）
（6）
七、（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
课后反思：§15.1.2
分式的基本性质
一、教学目标
1．使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形．
2．通过分式的恒等变形提高学生的运算能力．
3．渗透类比转化的数学思想方法．
二、教学重点和难点
1．重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键．
2．难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形．
三、教学方法
分组讨论．
四、教学手段
幻灯片．
五、教学过程
(一)复习提问
1．分式的定义？
2．分数的基本性质？有什么用途？
(二)新课
1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：
2．加深对分式基本性质的理解：
例2
填空：
（1）
，
解：∵x≠0，
同理可化简第二个.
（2）
学生自己解答.
把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．
练习1：
化简下列分式(约分)
例3（1）
（2）
（3）
教师给出定义：
把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分.
问：分式约分的依据是什么？
分式的基本性质
在化简分式
时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
教师指出：一般约分要彻底,
使分子、分母没有公因式.
彻底约分后的分式叫最简分式.
练习2（通分）：
把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.
例4：（1）
与
（2）
与
解：（1）最简公分母是
（2）最简公分母是（x-5）（x+5）
(三)课堂小结
1．分式的基本性质．
2．性质中的m可代表任何非零整式．
3．注意挖掘题目中的隐含条件．
4．利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件．三角形的内角
[教学目标]
掌握三角形内角和定理。
[重点难点]
三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。
[教学过程]
一、导入新课
我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？
二、三角形内角和的证明
回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出
∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。[投影1]
图1
想一想，还可以怎样拼？
①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
图2
②把和剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。
证明一
过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800
∴∠A+∠B+∠ACB=1800。
即：三角形的内角和等于1800。
由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。
三、例题
例
如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：怎样能求出∠ACB的度数？
根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。
∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？
解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300
∵AD∥BE
∴∠BAD+∠ABE=1800
∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600
∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900
答：从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900。
三角形的外角
[教学目标]
1、理解三角形的外角；
2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。
[重点难点]
三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。
[教学过程]
一、导入新课
〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。
若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
二、三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
想一想，三角形的外角共有几个？
共有六个。
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.
三、三角形外角的性质
容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？
〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CE∥AB，
∴∠A=∠1，∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由加数与和的关系你还能知道什么？
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
即
，。
四、例题
〔投影3〕例
如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？
分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？
解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600。
你能用语言叙述本例的结论吗？
三角形外角的和等于3600。
五、课堂小结
1、什么是三角形的外角？
2、三角形的外角有哪些性质？14.1.1
同底数幂的乘法
（一）教学目标
知识与技能目标：
理解同底数幂乘法的性质．
掌握同底数幂乘法的运算性质．
能够熟练运用性质进行计算．
过程与方法目标：
通过推导运算性质训练学生的抽象思维能力．
通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力．
情感态度与价值观：
通过学生自己发现问题，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度．
教学重点：
同底数幂的乘法运算法则的推导过程．
会用同底数幂的乘法运算法则进行有关计算．
教学难点：
在导出同底数幂的乘法运算法则的过程中，培养学生的归纳能力和化归思想
（二）教学程序
教学过程
师生活动
设计意图
问题情境导入新课在an这个表达式中，a是什么？n是什么？当an作为运算结果时，又读作什么？参考答案：a是底数，n是指数，an又读作a的n次幂
问题情境导入新课有助于激发学生的学习兴趣
新知讲解探究1：光的速度约是3×108m/s，太阳光照射到地面表面所需时间约是5×102s，那么(3×108)×(5×102)表示什么？探究2：现代天文学家认为银河系是一个由1000多亿颗大大小小的恒星和大量气体及尘埃组成的巨大盘状系统，中间厚、四周薄，就象一块“铁饼”，“铁饼”的直径达10光年，1光年是光在空气中1年传播的距离，那么请你算算:1光年约是多少千米？，银河系的直到约多少千米？探究3：一种电子计算机每秒可进行1014次运算，那么它工作103秒可进行多少次运算？做一做：1.计算下列各式：10×104；104×105；103×105参考答案：根据乘方的意义，可以得到：
10×104
=105；
104×105=109;
103×105=108;如：103×105＝(10×10×10)
×(10×10×10×10×10)＝10×10×10×10×10×10×10×10＝1082.
怎样计算10m 10n（m、n是正整数）参考答案：10m×10n＝(10×10×…10×10)
×(
10×10×…×10)
＝(
10×10×…×10)＝10m+n所以：10m 10n=10m+n（m、n是正整数）3.
当m，n是正整数时2m 2n等于什么？参考答案：2m×2n＝(2×2×…2×2×2×2)
×(
2×2×…×2)
＝(
2×2×…×2)＝2m+n对于：am×an（m，n）都是正整数，该如何计算？am×an＝(a×a×…a×a×a×a)
×(a×a×…×a)
＝(
a×a×…×a)＝am+n归纳：同底数幂相乘，底数不变，指数相加推广:
am an ap等于什么？（m，n，p是正整数）am an ap＝am+n+p
通过三个探究问题让学生体会生活的周围存在着大量的较大的数据，数的世界充满着神奇，期待学生去探索研究通过3个做一做让学生在相互交流中学习新知识,培养学生的合作学习能力,独立思考能力和语言表达能力.通过多方讨论最后得出:
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.使学生对次知识点有更深的理解.
探究：例题讲解：例题1：下面运用所学的知识来判断以下的计算是否正确，如果有错误，请指出产生错误的原因.（1）a2+a2＝a4
（2）a2 a3＝a6 （3）a2 a3＝a5 （4）xm+xm＝2xm (5)
xm xm＝2xm
（6）3m+2m＝5m参考答案：（1）错误；a2+a2＝2a2（2）错误；a2 a3＝a2+3＝a5（3）对（4）对（5）错误；xm xm＝x2m（6）错误例题2：计算（1）(-8)12×(-8)5
（2）x x7（3）-
a3 a6
（4）a3m a2m-1
(m是正整数)参考答案：（1）(-8)12×(-8)5=(-8)12+55=(-8)17
（2）x x7=
x1+7=
x8
（3）-
a3 a6=-a3+6=-a9（4）a3m a2m-1=
a3m+2m-1=
a5m-1例题3：计算（1）10×104×103×105
（2）a2 a3 a5参考答案：（1）10×104×103×105=101+4+3+5=1013（2）a2 a3 a5=
a2+3+5=
a10例4：一颗卫星绕地球运行的速度是7.9×103m/s，，求这颗卫星运行1h的路程。参考答案：2.844×107（米）问题：用科学记数法如何记数？有怎样的要求？把一个较大的数写成a×10n（n是正整数），其中1≤a＜10.归纳:同底数幂的乘法，是整式乘法运算的基础，学好同底数幂的乘法法则，要注意以下几点：
（1）用法则时，首先要看是否同底，底不同就不能直接用.
（2）指数相加，而不是相乘，不能与幂的乘方法则相混淆.
（3）底数不一定只是一个数或一个字母，可以是一个单项式或多项式.（4）底数是相反数时，可以由幂的运算性质变成同底数的幂进行运算.（5）幂的个数可以推广到任意个数.
本例题旨在让学生真正理解同底数幂的乘法法则.本例题是同底数幂的乘法法则的具体应用,培养学生应用数学知识的能力.回忆科学计数法的有关知识,是前后所学知识相互联系.根据例题出现的问题总结学好同底数幂的乘法法则，要注意的事项,为提高学生的运算能力奠定了基础.
四、达标训练计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）（m、n是正整数）参考答案：（1）（2）（3）
此题也可以由以下解法得到结果：（4）（5）（6）
（7）
（8）
为正整数
必为奇数
帮助学生及时巩固、运用所学知识.并且体验到成功的快乐.养成学生规范的答题习惯和正确的思维.(3)给学生提供不同的解法,开拓学生的思维.
五、点评与小结让学生小结本节课所学内容，应注意的地方.
激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会.
六、作业
由学生根据自己学习能力，恰当选做，既面向全体学生，又满足不同学生的学习需要.
板书设计：
同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
am×an＝(a×a×…a×a×a×a)
×(a×a×…×a)
＝(
a×a×…×a)＝am+n
n个10
m个10
(m+n)个10
n个2
m个2
(m+n)个2
m个a
n个a
(m+n)个a
n个a
m个a
(m+n)个a等边三角形
导学活动过程
教学目标：知识与能力了解等边三角形的性质和判定方法。会用等边三角形得相关性质解决简单的实际问题。情感、态度和价值观经历通过探究发现规律的过程，感受数学学习的乐趣，激发数学学习的兴趣。经历通过应用等边三角形的相关性质解决实际问题的过程，体会数学与现实的密切联系，感受数学的应用价值，培养应用意识。教学重点、难点重点：等边三角形的性质、判定方法和应用；含30°角的直角三角形的性质；几何问题的代数解法。难点：理解含30°角的直角三角形的性质的理论依据。教学设计：回顾旧知，引入新知引导学生回顾等腰三角形的相关知识，指出本节课将讨论一类特殊的等腰三角形----等边三角形。给出等边三角形的概念。三边都相等的三角形叫做等边三角形。提出下列问题，组织学生进行分组讨论。问题：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形满足什么条件就是等边三角形？提醒学生等边三角形是等腰三角形的特例，显然它在有等腰三角形的所有性质的同时还应该满足一些特殊的性质。一段时间之后，师生共同分析讨论，归纳出等边三角形的性质和判定方法。由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到：
⑴等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形．
⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．二、等边三角形性质的运用学生互相交流，并尝试完成，教师巡视班级，观察监督学生活动情况。鼓励学生积极发言，师生共同分析、讨论，给出问题的解答。尝试其它解法。
形式
个
人
备
课
集体研讨与个案补充
导学活动过
2、随堂练习：课本80页练习1、23、多媒体展示如下问题
让学生动手操作，用两个含30°角的三角尺摆一摆，猜一猜，证一证。用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．
其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．图（1）中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB．
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
形式
个
人
备
课
集体研讨与个案补充
展示
例5：右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB．
[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
求：CD的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．三、布置思考题及课后作业1、思考题：
展开你的想象，从一个或几个图形出发，利用轴对称变换或与平移进行组合，设计出一些图案，并与同学交流。2、课后作业
反思15．3分式方程
一、教学目标：
1．了解分式方程的概念,
和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检
验一个数是不是原方程的增根.
二、重点、难点
1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
三、例、习题的意图分析
1．P149思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因.
2．P149的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法.
3．P150思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P151的归纳出检验增根的方法.
4．P151归纳提出检验增的方法的理论根据是什么？
5.
教材P154习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数.
这种方程的解必须验根.
四、课堂引入
1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程
2．提出本章引言的问题：
一艘轮船在静水中的最大航速为30
km/h，它以最大航速沿江顺流航行90
km所用时间，与以最大航速逆流航行60
km所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v
km/h，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程.
像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
五、例题讲解
（P151）例1.解方程
[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化
为整式方程，整式方程的解必须验根
这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便.
（P151）例2.解方程
[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根.
六、随堂练习
解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
七、课后练习
1．解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
2．X为何值时，代数式的值等于2？
八、答案：
六、（1）x=18
（2）原方程无解
（3）x=1
（4）x=
七、1．
（1）
x=3
（2）
x=3
（3）原方程无解
（4）x=1
2.
x=
课后反思：
15．3分式方程(二)
一、教学目标：
1．会分析题意找出等量关系.
2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
二、重点、难点
1．重点：利用分式方程组解决实际问题.
2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.
三、例、习题的意图分析
本节的例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.
例
4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同（1）本题中涉及到的列车平均提速v
km/h，提速前行驶的路程为s
km.用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v、s和未知数x，表示提速前列车行驶s
km所用的时间，提速后列车的平均速度设为未知数x
km/h，以及提速后列车行驶（x+50）
km所用的时间.
这两道例题都设置了带有探究性的分析，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究，教师不要替代他们思考，不要过早给出答案.
教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要独立地分析、解决实际问题，所以教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力.
四、例题讲解
例3
分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.
等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1
例4
分析：是一道行程问题的应用题,
基本关系是：速度=.这题用字母表示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间
五、随堂练习
1.
学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.
2.
一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天
3.
甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
六、课后练习
1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快
，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
2．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
3．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？
七、答案：
五、1.
15个，20个
2.
12天
3.
5千米/时，20千米/时
六、1.
10千米/时
2.
4天，6天
3.
20升
课后反思：画轴对称图形
【教学目标】
1.知识与能力：
（1）能够作轴对称图形；
（2）能够经过探索利用坐标来表示轴对称；
（3）能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．
2.过程与方法：
在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受函数与生活的联系．
3.情感、态度与价值观：
培养学生的应用意识和探究精神．
【教学重点】
（1）能够作轴对称图形；
（2）能够经过探索利用坐标来表示轴对称；
（3）能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．
【教学难点】
用轴对称知识解决相应的数学问题．
【教学方法】
创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学过程】
1.创设情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容
活动1
观察图片
操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
学生活动设计：
学生观察图片，动手操作、观察所画图形，先独立思考，然后进行交流．
教师活动设计：
教师组织活动，引导学生作以下归纳：
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；
新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
活动2
问题
如图（1），已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？
图（1）
图（2）
学生活动设计：
学生进行讨论，然后根据讨论的结果独立作图，最后交流想法．根据轴对称的性质，只需要作出点A、B、C关于直线l的对称点再连接就可以了．
教师活动设计：
在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．如图（2），作点A关于l的对称点的方法是：
（1）过A作l的垂线垂足为O；
（2）连接AO并延长到A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．最后进行归纳．
几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；
对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
活动3
二、观察操作，主动探索，研究坐标系内的轴对称
活动4
问题
在平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？
已知点
A(2，－3)
B（－1，2）
C（－6，－5）
D（0.5，1）
E（4，0）
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
学生活动设计：
学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间坐标的关系，经过讨论得出规律．
点（x，y）关于x轴对称的点的作标是（x，－y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的作标是（－x，y）．
教师活动设计：
组织学生进行探索，观察猜测，然后进行归纳总结．
活动5
问题
如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．
学生活动设计：
学生根据活动4中发现的规律，首先求出点A、B、C、D关于x轴、y轴的对称点，然后再连接对称点即可．
教师活动设计：
本活动主要巩固加深学生对利用坐标表示轴对称的理解，所以要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程．
三、应用提高、拓展创新
问题
如图所示：要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
教师和学生活动设计：
分组讨论，让学生探索：在街道上找一点C，使得AC+BC为最小．通过学生活动，使他们懂得：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小，这时作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
学生自主探索其中的原因（原因：在直线l上取异于点C的点D，由于l垂直平分AA′，所以得到DA=DA′，所以DA+DB=DA′＋DB，根据两点之间线段最短得到DA′＋DB＞A′B，而A′B＝A′C+BC=AC+BC，于是有AD+DB>AC+BC．）
四、归纳小结、布置作业
小结：
1．作轴对称图形；
2．用坐标表示轴对称．13.1.2
线段的垂直平分线的性质
教学目标
①探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．
②探索并理解线段垂直平分线的两个性质．
③通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法．
④在数学学习的活动中，养成良好的思维品质．
教学重点与难点
重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质．
难点：由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述．
教学过程
Ⅰ、情境导入
1．下面的图形是轴对称图形吗 如果是，请说出它的对称轴．
2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系 (如下图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称)
3．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、B、C的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系
Ⅱ、自主探究
探究1：要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，
用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A和点A'，
折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A和点A'关于直线MN对称．连结点
A，A'，交直线MN于点P．
观察图形，线段AA'与直线MN有怎样的位置关系 你能说明理由吗
类似地，点B与点B'，点C与点C'是否也有同样的关系 你能用语言归纳上述发现的规律吗
上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢
探究2：如图，木条MN与AB钉在一起，MN垂直平分AB，P1，P2，P3，……是MN上的点，分别量一下点P1，P2，P3，……到A与B的距离，你有什么发现吗？你能说明理由吗
探究3:反过来PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？为什么？
Ⅲ、交流归纳
通过探究1首先知道垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线；
学生归纳出图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
探究2可以得出垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等。
探究3可以得到垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
Ⅳ、巩固训练
(1)图8是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO＝BO，为什么
(2)如图9，△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长．
(3)有A、B、C三个村庄(如图10)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．
Ⅳ、总结提升
1．本节课你学到了什么
(1)从知识上：一个概念(线段的垂直平分线)，四条性质(轴对称图形的性质、垂直平分线的性质)；
(2)从方法上：合作探究是数学学习的一种重要方法，数学与实际问题的联系．
2．轴对称图形的性质与线段垂直平分线的性质之间的联系；在解决问题的过程中所看到的新旧知识之间的联系(如全等三角形)．
拓展训练：1.
如图
2，AB＝AD，BC＝DC，E
是
AC
上的一点．求证：BE＝DE
2.
如右图所示，已知AB＝AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB＝12cm，BC＝l0cm，.求△BCD的周长。
图3
图3
图4
图7
图8
图9
图1015．2．3整数指数幂
一、教学目标：
1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）.
2．掌握整数指数幂的运算性质.
3．会用科学计数法表示小于1的数.
二、重点、难点
1．重点：掌握整数指数幂的运算性质.
2．难点：会用科学计数法表示小于1的数.
三、例、习题的意图分析
1．P142
思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质.
2．P142
思考是为了引出同底数的幂的乘法：，这条性质适用于m,n是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，在整数范围里也都适用.
3．P144例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.
4．P145中间一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数.
用科学计算法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识.
用科学计数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.
5．P145思考提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出：对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几.
6．P145例10是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数.
四、课堂引入
1．回忆正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法：(m,n是正整数)；
（2）幂的乘方：(m,n是正整数)；
（3）积的乘方：(n是正整数)；
（4）同底数的幂的除法：(
a≠0，m,n是正整数，m＞n)；
（5）商的乘方：(n是正整数)；
2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，.
3．你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=米吗？
4．计算当a≠0时，===，再假设正整数指数幂的运算性质(a≠0，m,n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么==.于是得到=（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a≠0）.
五、例题讲解
例9.计算
[分析]
是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数
指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.
例10.
[分析]
是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数.
六、随堂练习
1.填空
（1）-22=
（2）(-2)2=
（3）(-2)
0=
（4）20=
(
5）2
-3=
(
6）(-2)
-3=
2.计算
（1）
(x3y-2)2
（2）x2y-2
·(x-2y)3
（3）(3x2y-2)
2÷(x-2y)3
七、课后练习
1.用科学计数法表示下列各数：
0．000
04，
-0.
034,
0.000
000
45,
0.
003
009
2.计算
（1）
(3×10-8)×(4×103)
（2）
(2×10-3)2÷(10-3)3
八、答案：
六、1.（1）-4
（2）4
（3）1
（4）1
（5）
（6）
2.（1）
（2）
（3）
七、1.（1）
4×10-5
（2）
3.4×10-2
（3）4.5×10-7
（4）3.009×10-3
2.（1）
1.2×10-5
（2）4×103
课后反思：12.2全等三角形的判定
【学习目标】：
1.
经历探索三角形全等条件的过程（即如何用尺规作图：已知三边作三角形），体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2.
记住全等三角形的识别方法（S.S.S），并会运用该方法判断三角形是否全等.
【学习重难点】：
理解三边对应相等的两个三角形全等.
【自学指导】：
一
、学生看书并理解：
思考:要使两个三角形全等,
是否一定要六个条件呢
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
一个条件：一边相等的两个三角形或一角相等的两个三角形；两个条件：两个边分别相等的两个三角形，两个角分别相等的两个三角形或一个角和一条边分别相等的三角形；三个条件：三条边分别都相等的两个三角形全等吗？
思考：将三根木条钉成一个三角形木架,这个三角形木架的形状,大小就不变了.你能用“边边边”解释这个事例吗？（三角形的三边长度固定，这个三角形的形状大小就完全确定，这个性质叫三角形的稳定性。）
证明题的普遍出现！理解证明题中证明两个三角形的基本步骤，书写方式要注意那些？
二、自学检测：
1.如图，已知AB=DE
BC=EF
CA=FD
证明△ABC
≌△DEF
(对应顶点写在对应的位置)
2.如图,
△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证:
△ABD≌
△ACD
SHAPE
\
MERGEFORMAT
3.如图，已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB，证明△ABC
≌△
FDE
SHAPE
\
MERGEFORMAT
三、师生共同探讨，总结：
关于全等三角的证明题的基本做法，写的过程需要注意的数学语言。
四、例题讲解：
P9例2
五、提高练习：
1．已知，如图，AD=BC，AE=FC，DF=BE。求证：∠B=∠D．
六、作业与学后反思：
1.
已知：如图，AB=CD，AD=CB，求证：△ABC≌△CDA.
2.
已知：如图，AB=DC，AC=DB.求证：（1）∠ACB=∠DBC；（2）.
3.
已知：如图，AB=AC，D是BC中点，
（1）
求证：△ABD≌△ACD；（2）
求证：AD⊥BC；
（3）
若∠BAD=25°，则∠BAC是多少度？
4.
已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC.求证：∠B=∠D.
12.2.2《三角形全等的判定》教案
【学习目标】
1、掌握三角形全等的“SＡS”条件，能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，做最佳自己。
学习重点：SAS的探究和运用.
学习难点：领会两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
【学习过程】
一、自主学习
1、复习思考
（1）怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定（一）的内容是什么？
（2）上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应相等；两角和一边对应相等；两边和一角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一边的对角两种情况。
2、探究一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？
(1)动手试一试
已知：△ABC
求作：，使，，
(2)
把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形
（可以简写成“
”或“
”）
(4)用数学语言表述全等三角形判定（二）
在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌
3、探究二：两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？
通过画图或实验可以得出：
4.例题学习
（再次温馨提示：证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。）
5.我的疑惑：
二、学以致用
三、当堂检测
1、
如图，AD⊥BC，D为BC的中点，那么结论正确的有
A、△ABD≌△ACD
B、∠B=∠C
C、AD平分∠BAC
D、△ABC是等边三角形
2、如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到△AOC≌△BOD
(允许添加一个条件)
3、
﹡四、能力提升：（学有余力的同学完成）
如图，已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM=DN
五、课堂小结
1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“
”或“
”
2、到目前为止,我们一共探索出判定三角形全等的2种方法，它们分别是:
和
12.2.3三角形全等的判定教案
1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
学习重点：已知两角一边的三角形全等探究．
学习难点：灵活运用三角形全等条件证明．
【学习过程】
一、自主学习
1、复习思考
（1）．到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
（2）．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？
2、探究一：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等？
(1)动手试一试。
已知：△ABC
求作：△，使=∠B,
=∠C，=BC，（不写作法，保留作图痕迹）
(2)
把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（三）：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
（可以简写成“
”或“
”）
(4)用数学语言表述全等三角形判定（三）
在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌
3、探究二。两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等
（1）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用前面学过的判定方法来证明你的结论吗？
（2）归纳；由上面的证明可以得出全等三角形判定（四）：
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形
（可以简写成“
”或“
”）
(3)用数学语言表述全等三角形判定（四）
在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌
二、合作探究
1、例1、如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．
2．已知：点D在AB上，点E在AC上，
BE⊥AC,
CD⊥AB,AB=AC，求证：BD=CE
三、学以致用
3、如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+CE
四、课堂小结
（1）今天我们又学习了两个判定三角形全等的方法是：
（2）三角形全等的判定方法共有
五、课后检测
1、
2、
3、
4.满足下列哪种条件时,就能判定△ABC≌△DEF
(
)
A.
AB=DE,BC=EF,
∠A＝∠E;
B.
AB=DE,BC=EF,
∠C＝∠F
C.
∠A＝∠E,AB=EF,
∠B＝∠D;
D.
∠A＝∠D,AB=DE,
∠B＝∠E
5.如图所示,已知∠A＝∠D,∠1＝∠2,那么要
得到△ABC≌△DEF,还应给出的条件是:(
)
A.
∠B＝∠E
B.ED=BC
C.
AB=EF
D.AF=CD
6.如6题图,
在△ABC和△DEF中,AF=DC,
∠A＝∠D,
当_____________时,可根据“ASA”证明△ABC≌△DEF
12.2.4三角形全等的判定
教案
【学习目标】
1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；
2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；
3.
极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
学习重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
【学习过程】
一、自主学习
1、复习思考
(1)、判定两个三角形全等的方法：
、
、
、
(2)、如图，Rt△ABC中，直角边是
、
，斜边是
(3)、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
①若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”
）
根据
（用简写法）
②若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”
）
根据
（用简写法）
③若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”
）根据
（用简写法）
④若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”
）根据
（用简写法）
2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
(1)动手试一试。
已知：Rt△ABC
求作：Rt△，
使=90°，
=AB,
=BC
作法：
(2)
把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形
（可以简写成“
”或“
”）
(4)用数学语言表述上面的判定方法
在Rt△ABC和Rt中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△
（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法
“
”、
“
”、
“
”、
“
”、
还有直角三角形特殊的判定方法
“
”
二、合作探究
1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
三、学以致用
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
则△ADB与△ADC
（填“全等”或“不全等”
）
根据
（用简写法）
2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（
）
A、两条直角边对应相等
B、斜边和一锐角对应相等
C、斜边和一条直角边对应相等
D、两个锐角对应相等
3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
答：AB平行于CD
理由：∵
AF⊥BC，DE⊥BC
（已知）
∴
∠AFB=∠DEC=
°（垂直的定义）
∵BE=CF，∴BF=CE
在Rt△
和Rt△
中
∵∴
≌
（
）
∴
=
（
）
∴
（内错角相等，两直线平行）
四、能力提升：（学有余力的同学完成）
如图1，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点。（1）求证：MB=MD,ME=MF;(2)当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，给予证明。
五、当堂检测
如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据
（5）
若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据
六、课堂小结
这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流
作业：
A
B
C
D
A
F
C
D
1
2
E
B
A
B
C
A1
B1
C111．2．2
三角形的外角
【教学目标】
1、知识与技能:使学生初步掌握三角形内角和定理的两个推论，并会应用．。
2、过程与方法：培养学生总结知识内容，使之条理化，以便加深理解和记忆，养成良好的学习习惯．
3、情感态度与价值观：
⑴培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力。
⑵通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
【重点】三角形内角和定理推论的应用．
【难点】三角形外角的概念．真正理解推论，并能灵活运用．
【课型】
新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
【学习过程】
一、目标导入
〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
（是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。）
若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
二、自主学习(1)：
1.自学内容：教材第15页“思考”上.
2.自学要求：学生理解三角形外角的概念。
三、交流展示(1)：
1：三角形外角的定义：________________________________
2：外角的特征有三：(1)顶点在___________上．(2)一条边是______________．(3)另一条边是__________________．
3、画出一个三角形，并画出它的所有外角。
4、下列图中，∠1、∠2、∠3哪些是△ABC的外角？
四、自主学习(2)：
1.自学内容：课本15页思考到15页第3行；
2.自学要求：学生理解三角形内角和定理推论
五、交流展示
(2)
容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？
〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CE∥AB，
∴∠A=∠1，∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由加数与和的关系你还能知道什么？
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
即
，。
六、自主学习(3)：
1.自学内容：课本15页例题；
2.自学要求：学生能灵活运用三角形内角和定理推论
例
如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？
分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？
解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600。
你能用语言叙述本例的结论吗？
三角形外角的和等于3600。
七、交流展示(3)
1、课本15页练习
2、已知：D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°
求：(1)∠BDC度数．(2)∠BFD度数．
八、巩固练习：
1.
一个三角形的两内角分别55°和65°，它的外角不可能是（
）
A.
115°
B.
120°
C.
125°
D.
130°
2.
已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（
）
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
以上三种情况都有可能
3.
已知，如图，在△ABC中，D是三角形内一点，
求证：∠BDC>∠BAC。
九、小结
1、什么是三角形外角？
2、三角形的外角有哪些性质？
（1.
三角形的外角与它相邻的内角互补。
2.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.
三角形的外角和等于360°。
找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的方法是讲清定义，图形分析，变换位置，思路清晰．）
十、布置作业：课本16页2、5、6、8、10。
314.3.2《公式法》教案
教学目标
1.知识技能：①.掌握平方差公式分解因式的方法.
②.掌握提公因式法、平方差公式分解因式的综合运用.
2.数学思考：通过平方差公式逆向的变形，发展学生逆向思维.通过将高次偶数指数向2次指数的转化，培养学生的化归思想.
3.解决问题：①.发现并归纳出因式分解的又一方法：逆用整式乘法的平方差公式，得.
a2-b2=（a+b）（a-b）.
②.通过小组讨论让学生发现问题，解决问题，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.
4.情感态度：培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法.
教学重点：运用平方差公式分解因式.
教学难点:
平方差公式的逆用及高次指数的转化、两种因式分解方法的灵活运用.
教学准备：
教学方法：小组合作探究式学习
教
具：多媒体课件
学
具：笔、纸、导学案
教学过程
一、导入新课
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
问题3：你能说出平方差公式的符号表示和语言表示吗？
问题4：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？
（设计意图：使学生更好地理解多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解.）
二．探索新知
1.小组合作探究
观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？
（让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）
（1）右侧是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
（2）左侧是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式．
2.自主学习
见课件
3.例题解析：
出示投影片：
[例1]分解因式
（1）4x2-9
（2）（x+p）2-（x+q）2
[例2]分解因式
（1）x4-y4
（2）a3b-ab
（设计意图：通过教师展示和学生的演示讲解，使学生初步了解换元的思想方法和会运用平方差公式分解因式.）
三、巩固提升
见课件
四、课堂小结
五、课后作业
1.必做题：课本119页复习巩固2
2.选做题：①
将a2-b2-a-b因式分解.
②已知x,y,z均为正整数，且满足x2+z2=10,
y2+z2=13,求（x-y）z的值.
板书设计
学生板演
例题解析
例1.
例2.
14.3.2公式法
1.
a2-b2=（a+b）（a-b）；
2.注意的问题；《分式》教案
一、导学目标：
1、知识目标：了解分式产生的背景和分式的概念，以及分式与整式的区别于联系，掌握分式有意义的条件。
2、过程与方法：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养符号感。
3、情感态度与价值观：通过丰富的现实情境及课堂学习，培养学生动手操作能力，实践及其探究能力及其团队合作精神。
二、导学重点：分式与整式的联系与区别，类比分数探究并学习分式有意义的条件。
三、导学难点：理解分式比分数更具有一般性，分式有意义的条件是表示分母的式子的值不能为零。
四、导学方式：教师指导下的学生有效合作学习。
五、导学活动设计：
引导学生结合下面六个活动认真自学课本全部内容，然后以小组合作讨论，探究完成活动内容，之后分组展示，教师和学生共同互动，点拨释疑。
活动一：填一填
1、长方形的面积为10
，长为7cm，宽应为
cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为
。
2、把体积为200的水倒入底面积为33的圆柱形容器中，水面高度为
cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为
。
提示：通常5除以3可以写成，那么式子A除以B可以写成
活动二：想一想
1、观察思考上面填出式子中的有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
2、归纳分式的概念。
学生可能出现的思维困难：
1、分式是不同于整式的另一类有理式，且分母中含有字母是分式与整式的直接区别。
2、分式比分数更具有一般性，如：分数，仅表示5除以3的商。而分式则可以表示任何两个整式相除的商（除式不等于0），即可以表示5除以3，又可以表示8除以（-9）等等。
活动三：练一练
下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？这两类式子的区别是什么？
活动四：学一学
1、类比除法运算，除数不能为
，那么就是说分数有意义的条件是
，同样，分式的分母应满足什么条件？
2、对于分式，当B时，分式才有意义，当B时，分式无意义。
活动五：做一做
1、当x时，分式有意义；
2、当x
时，分式有意义；
3、当b时，分式有意义；
4、当x、y满足关系时，分式有意义。
学生可能出的思维困难：个别后进生很难理解或者准确找出分式的分母，根据分式有意义的条件确定分母不能为零，也就是分母中的字母取值是受制约的，进而求出上面字母满足的条件。
活动六：议一议
1、下面三个式子中，哪个是分式，那个是整式，讨论，交流，并说出你判断的理由：
提公因式法
教学目标
1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．
2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．
3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.
教学重点及难点
教学重点：因式分解的概念及提公因式法．
教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．
教学过程设计：
一、复习提问
乘法对加法的分配律．
二、新课
1．新课引入：用类比的方法引入课题．
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．
在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．
2．因式分解的概念：
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．)
如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc
2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy
(a+b)(a-b)＝a2-b2
(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn
(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10
等等．
再请学生观察它们有什么共同的特点？
特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．
可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．
联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．
区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式．
例1
下列各式从左到右哪些是因式分解？（投影）
(1)x2-x＝x(x-1)
(√)
(2)a(a-b)＝a2-ab
(×)
(3)(a+3)(a-3)＝a2-9
(×)
(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1
(×)
(5)x2-4x+4＝(x-2)2
(√)
下面我们学习几种常见的因式分解方法．
3．提公因式法：
我们看多项式：ma+mb+mc
请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．
注意：公因式是各项都含有的公共的因式．
又如：a是多项式a2-a各项的公因式．
ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．
2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．
根据乘法的分配律，可得
m(a+b+c)＝ma+mb+mc，
逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式
ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多 项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2
指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)ax+ay+a
(a)
(2)3mx-6mx2
(3mx)
(3)4a2+10ah
(2a)
(4)x2y+xy2
(xy)
(5)12xyz-9x2y2
(3xy)
例3
把8a3b2-12ab3c分解因式．
分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．
先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．
解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．
说明：
(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．
(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解．
例4
把3x2-6xy+x
分解因式．
分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．
解：3x2-6xy+x
=x·3x-x·6y+x·1
＝x(3x-6y+1)．
说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，
3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．
课堂练习：（投影）
把下列各式分解因式：
(l)2πR+2πr；
(2)
(3)3x3+6x2；
(4)21a2+7a；
(5)15a2+25ab2；
(6)x2y+xy2-xy．
例5
把-4m3+16m2-26m分解因式．
分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提"-"号时，注意添括号法则．
解：-4m3+16m2-26m
＝-(4m3-16m2+26m)
＝-2m(2m2-8m+13)．
说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．
课堂练习：（投影）
把下列各式分解因式：
(1)-15ax-20a；
(2)-25x8+125x16；
(3)-a3b2+a2b3；
(4)-x3y3-x2y2-xy；
(5)-3ma3+6ma2-12ma；
(6)
(三)小结
1．因式分解的意义及其概念．
2．因式分解与整式乘法的联系与区别．
3．公因式及提公因式法．
4．提公因式法因式分解中应注意的问题．
六、作业
七、板书设计15．2．2分式的加减（二）
一、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
二、重点、难点
1．重点：熟练地进行分式的混合运算.
2．难点：熟练地进行分式的混合运算.
三、例、习题的意图分析
1．
例7是分式的混合运算.
分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
例7只有一道题，训练的力度不够，所以应补充一些练习题，使学生熟练掌握分式的混合运算.
2．
P142页练习1：写出问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.
四、课堂引入
1．说出分数混合运算的顺序.
2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.
五、例题讲解
例7.计算
[分析]
这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
（补充）计算
（1）
[分析]
这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边..
解：
=
=
=
=
（2）
[分析]
这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.
解：
=
=
=
=
六、随堂练习
计算
（1）
（2）
（3）
七、课后练习
1．计算
（1）
（2）
（3）
2．计算，并求出当-1的值.
八、答案：
六、（1）2x
（2）
（3）3
七、1.（1）
（2）
（3）
2.
,-
课后反思：15．1分式
15.1.1从分数到分式
一、
教学目标
1．了解分式、有理式的概念.
2．理解分式有意义的条件，能熟练地求出分式有意义的条件.
二、重点、难点
1．重点：理解分式有意义的条件.
2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件.
三、课堂引入
1．让学生填写P127[思考]，学生自己依次填出：，，，.
2．学生看问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30
km/h，它沿江以最大航速顺流航行90
km所用时间，与以最大航速逆流航行60
km所用时间相等，江水的流速为多少？
请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.
设江水的流速为v
km/h.
轮船顺流航行90
km所用的时间为小时，逆流航行60
km所用时间小时，所以=.
3.
以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
四、例题讲解
P128例1.
当下列分式中的字母为何值时，分式有意义.
[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解
出字母的取值范围.
[补充提问]如果题目为：当字母为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
(补充)例2.
当m为何值时，分式的值为0？
（1）
（2）
（3）
[分析]
分式的值为0时，必须同时满足两个条件：分母不能为零；分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
[答案]
（1）m=0
（2）m=2
（3）m=1
五、随堂练习
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4,
,
,
,
，
2.
当x取何值时，下列分式有意义？
（1）
（2）
（3）
3.
当x为何值时，分式的值为0？
（1）
（2）
（3）
六、课后练习
1．下列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？
（1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件
个，做80个零件需
小时.
（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是
千米/时，轮船的逆流速度是
千米/时.
（3）x与y的差于4的商是
.
2．当x取何值时，分式
无意义？
3.
当x为何值时，分式
的值为0？
七、答案：
五、1.整式：9x+4,
,
分式：
,
,
2．（1）x≠-2
（2）x≠
（3）x≠±2
3．（1）x=-7
（2）x=0
（3）x=-1
六、1．18x,
,a+b,
,;
整式：8x,
a+b,
;
分式：,
2．x
=
3．x=-1
课后反思：等腰三角形
教学目标
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
思考：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
由此可以得到等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
所以△BAD≌△CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
所以△BAD≌△CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
分析：
根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
解：因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）阅读课本，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．作业
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
板书设计
13.3.1等腰三角形（一）
一、设计方案作出一个等腰三角形
二、等腰三角形性质
1．等边对等角
2．三线合一
参考练习
一、选择题
1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（
）
A．某一条边上的高;
B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线;
D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（
）
A．80°
B．20°
C．80°和20°
D．80°或50°
答案：1．C
2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．
求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．
解得x=4．
所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．《完全平方公式》
一、教材分析
说课内容：
《整式的乘除与因式分解》的《完全平方公式》。
教材的地位和作用：
完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用，重要的数学方法“配方法”的基础也是依据完全平方公式的。而且它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起作十分重要的作用。
本节内容共安排两个课时，这次说课是其中第一个课时。完全平方公式这一教学内容是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，教材从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。
教学目标和要求：
由课标要求以及学生的情况我将三维目标定义为以下三点：
知识与技能目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算。
过程与方法目标：在学习的过程中使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学建模的思想。
情感与态度目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立自信心。
教学的重点与难点：
根据对学生学习过程分析及课标要求我把重点定为：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。而难点应为完全平方公式的应用以及对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用。在教学过程中多处留有空白点以供学生独立研究思考。
二、教法与学法
（1）多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化，激发学生的兴趣。
（2）教学中逐步设置疑问，引导学生动手、动脑、动口，积极参与知识全过程。
（3）由易到难安排例题、练习，符合八年级学生的认知结构特点。
（4）课堂中，对学生激励为主，表扬为辅，树立其学习的自信心。
三、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
一、创设情景，推导公式计算1、想一想（电脑演示）一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种，（如图所示）⑴、分别写出每块实验田的面积；⑵、用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较，你发现了什么？2、算一算①、=？你能用多项式乘法法则说明理由吗？（引导学生说理）②、3、做一做
你能利用面积知识，仿照课本以及演示的动画，自己给出的示意图吗？二、自主探究，合作交流板书公式：①②1、问题：①这两个公式有何相同点与不同点？②你能用自己的语言叙述这两个公式吗？（教师参与）2、说一说：公式里的a、b能表示什么？三、利用模型，巩固新知例1：利用完全平方公式计算(1)(4m+n)
2
⑵(y-1/2)
2例2：利用完全平方公式计算（1）1022
（2）992思考：（a+b）2与（-a-b）2相等吗？（a-b）2与（b-a）2相等吗？（a-b）2与a2-b2相等吗？为什么？四、小结：问题：本节课，你学到了什么？本节课我们又学习了乘法的两个公式①②我们在运用公式时，要注意以下几点：1、将公式转化成数学模型，套用模型计算时，注意选择适合的模型；2、公式中的字母a、b可以是任意代数式；3、公式的结果有三项，不要漏项和写错符号五、作业：1、书面作业：课本习题15.2的第2题。2、试一试：（1）（a+b+c）2(2)(x+y-3)(x+y+3)3、阅读作业：课本157
“阅读与思考”。尝试展开(a+b)4、(a+b)
5
（要求学生从不同的角度表示图形的面积）观察动画，学生抢答：⑴、四块实验田的面积分别为：
、
、
、
；⑵、两种形式表示实验田的总面积：①整体看：边长
的大正方形，S=
；②部分看：四块面积的和，S=
。根据面积相等，学生猜测：
①学生运用多项式乘法法则推导出并说出每一步运算的道理。②学生自己探索，并小组互相交流所得的结果和所用的方法。（教师参与到小组中去，并给予困难学生帮助）同桌一组思考，并互相交流结果。（1）要求指明等式左右每部分所对应的几何背景学生4人一组讨论两个问题后①、填表：左边右边相
同点不同点②、学生用语言叙述完全平方公式。两数和（差）的平方等于两数平方的和加（减）两数积的二倍。学生自己思考，然后互相交流各种说法。教师板书，学生观看解答过程，留意如何直接运用公式。学生独立完成练习并展示计算结学生独立思考后集体交流学生回忆本节课所讲的内容，根据自己的体会，说出自己学到了什么。由教师引导学生给出注意的几点。
复习旧知，并以问题引入。由于试验田的总面积有多种表示方式，学生通过对比面积的不同表示，大胆猜测出公式，并对公式有一个直观认识。①学生在直观认识的基础上，从代数角度推导公式，可以培养学生的逻辑推理能力。②鼓励学生自己探索，鼓励算法多样化，尤其是对这种用已获得的知识来解决问题的方法，渗透了转化的数学思想，应充分给予肯定。通过学生自己动手，了解的几何背景。对于不同的答案，只要正确，就要给予肯定。引导学生合作交流学习。①、在参与的过程中引导学生互相交流各自的结果，鼓励学生倾听他人的看法，并从中获益。②、有意识培养学生有条理的思考和语言表达能力。对于学生的各种回答，只要有条理都要给予肯定。为学生提供充分从事数学活动的时间和空间，学生在自主探索、合作交流的氛围中，有机会分享同学的想法。重要的是得出a、b不仅能表示数字，也能表示整式。学习如何套用公式，利用直观模型解题，便于学生接受和掌握。将公式中的字母进行多种变化，帮助学生理解字母的广泛性，并训练学生利用模型进行计算的能力。使学生将学到的知识用自己的语言进行总结，也是对本课内容的一个回顾与复习。作业的设计充分体现层次性。“试一试”只要求感兴趣的同学探索。以不同层次要求不同的同学，体现分层次教学。阅读作业则是训练学生的自学能力。依据：分层次教学，为了每一位学生的发展的理念。
四、设计说明与评价
我将本节课定位为探究式教学活动，通过对教材进行适当的整合。让学生带着原有的知识背景、生活体验和理解走进学习活动，并通过自己的主动探索，与同学合作交流、反思等，构建对知识的形成和运用。
在整个教学过程中充分运用探究学习与合作学习。有学生之间的交流，也有师生之间的交流，在课堂中构建和谐，民主的气氛。
对于作业习题的布置打破传统的格局，使不同层面的学生得到不同发展。《因
式
分
解》
教
案
【教学目标】
知识技能目标：
1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2、熟练运用提取公因式法分解因式。
过程与方法目标：
在教学过程中，体会类比思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。
情感与态度目标:
通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。
【教学重点与难点】
重点:理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。
难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。
【教学方法与手段】
教法：类比、探究式教学方法
学法：自主、合作、探索的学习方法
【教具准备】
多媒体展示
【教学过程】
创设情景
组织学生先观看一段有关沙尘暴的视频（或图片）资料，并请学生谈谈看后有何感想。（2至3人）
提出问题
近年来，我国土地沙漠化严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有一些青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动。
如图，在沙漠边上开垦荒地植树造林。共开了三块，从左到右，它们的长分别是a﹑b﹑c,宽是m，那么一共开垦荒地的面积是？
方法一得：
方法二得：
总结：因此=
利用整式乘法验证：
=
我们把=这一变换过程称作因式分解。
出示课题：因式分解
概念：像这样把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，称作因式分解。
对象：多项式
结果：整式的乘积形式
学生举例：（说明什么是因式分解）
思考：整式的乘法与因式分解的关系
1、
因式分解
整式的乘法
2、利用整式的乘法检验因式分解的正确性。
辩一辩：判断下列各式是不是因式分解，为什么？
⑴
12x3y2=3x3·4y2
⑵
5x-5y+5z=5(x-y+z)
⑶ax+bxy-xy=ax+xy(b-1)
⑷a2-b2=(a-b)·(a+b)
说明：1、等式左边是多项式，右边是整式的乘积形式;
2、因式分解一般分解到不能再分解为止。
三、
引入新知
=想学习这样分解因式的方法吗？
这种方法就是提取公因式法，哪什么叫做公因式呢
公
因
式：多项式中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。
根据多项式和提供的整式，寻找出下面多项式的公因式。
①
3a+3b
②
3a2-9ab
③
21x2y2+7x2y
3
,
a
,
b
3a2
,
3ab
,
3a
21xy
,
7x2y
,
7x2y2
④
-x3y2+3xy2-xy
⑤
x(x-y)2-y(x-y)
xy
，-xy
,
3xy
x(x-y)
,
y(x-y)
,
(x-y)
寻找公因式的方法：
⑴
取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式中的数字因式。
⑵
各项中的相同字母（或多项式）作为公因式中的字母（或多项式），并取它们的最低次幂。
提取公因式法：把公因式提出来，多项式就分解成m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解方法叫做提公因式法。
例：把下列各式因式分解：
⑴
3a+3b
⑵
3a2-9ab
⑶
21x2y2+7x2y
⑷
-x3y2+3xy2-xy
易出现的典型错误：
1、符号
2、项数
例：⑸
x(x-y)2-y(x-y)
⑹
（x-y）3
-(y-x)2
注：n为偶数
（x-y）n=
(y-x)n
n为奇数
（x-y）n=
-(y-x)n
探索：a2-bc+ac-ab能因式分解吗
方法1：（a2+ac）+（-bc-ab）
方法2：（a2-ab）+（ac-bc）
方法3：（a2+ac-ab）-bc
（不能分解）
四、
强化训练
A级：将下列各式因式分解
（1）a2b+5ab+b
（2）(a-b)2-(a-b)(a-c)+(a-b)(b+c)
计算：7.6×199.8+4.3×199.8-1.9×199.8
B级：将下列各式因式分解
（1）xn
+
xn-1
+
xn-2
（2）ac-bc-ad+bd
五、实践拓展
丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高。丁丁和冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有尺子，只找到了一根短绳，他们量得长方体底面的长正好是3个绳长，宽是2个绳长，圆柱体的底面周长是10个绳长。你知道哪一个体积较大吗？大多少？如果给你一架天平，你有办法知道哪一个体积较大吗？
（提示：可设绳长为a厘米，长方体和圆柱体的高均为h厘米）
六、知识形成（课堂小结）
七、作业布置
1.已知n为非零的自然数,先将2n+4-2n分解因式,再说明2n+4-2n能否被30整除.
2.
若a=-2，a+b+c=-2.8，求a2（-b-c）-3.2a（c+b）的值.
兴趣题：手工课上，老师给同学们发了3张正方形纸片，3张长方形纸片，请你将它们拼成一个长方形，并运用面积之间的关系，将多项式2a2+3ab+b2因式分解
a
积
和
差
说说本节课你的收获…用坐标表示轴对称
教学目标
（一）教学知识点
1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．
2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形．
（二）能力训练要求
1．在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生数形结合的思维意识．
2．在同一坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．
（三）情感与价值观要求
在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．
教学重点
1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．
2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．
教学难点
用坐标表示轴对称．
教学方法
探索发现法．
教具准备
课件，坐标纸．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[活动1]
1．如图：
（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？
（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）．
你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？
2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，2），（4，2），（4，4），（2，4），（2，2）的点用线段依次连结起来形成一个图案．
（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有何变化？
（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案又与原图案相比有何变化？
设计意图：
通过有趣的轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点的好奇心，是一种形到数的探究，接着又从对坐标实施变化，引起图案的变化，使学生在坐标的变化中产生对每对关于x轴、y轴对称的点的坐标规律的探究．
师生行为：
[生]1．（1）观察可发现图中的两个圆脸关于y轴对称．
（2）我们可以设右脸中的左眼为A点，右眼为B点，则A（2，3），B（4，3），嘴角的左右端为D（2，1），C（4，1）．根据轴对称的性质，A与A1关于y轴对称，则A1到y轴的距离和A到y轴的距离相等，A1、A到x轴的距离也相等，∵A1在第二象限，∴A1的坐标为（-2，3）．
同理，B1、C1、D1的坐标分别为（-4，3）、（-4，1）、（-2，1）．
2．师生共同完成
[生]在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图．A（2，2），B（4，2），C（4，4），D（2，4）．
（1）纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到相应四个点为A1（-2，2），B1（-4，2），C1（-4，4），D1（-2，4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，不难发现它们是关于y轴对称的．
（2）横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到相应的四个点为A2（2，-2），B2（4，-2），C2（4，-4），D2（2，-4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，可得它们是关于x轴对称的．
[师]A（2，2）与A1（-2，2）关于y轴对称，
B（4，2）与B1（-4，2）关于y轴对称，
C（4，4）与C1（-4，4）关于y轴对称，
D（2，4）与D1（-2，4）关于y轴对称．
那么关于y轴对称的点具有什么规律呢？
A（2，2）与A2（2，-2）关于x轴对称，
B（4，2）与B2（4，-2）关于x轴对称，
C（4，4）与C2（4，-4）关于x轴对称，
D（2，4）与D2（2，-4）关于x轴对称．
那么关于x轴对称的点有何规律呢？
这节课我们就来研究关于x轴，y轴对称的每对对称点坐标的规律．
Ⅱ．导入新课
[活动2]
在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．
已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（，1），E（4，0）．
关于x轴的对称点A′（____，____）B′（_____，______）C′（_____，_____）D′（____，_____）E′（_____，_____）．
关于y轴的对称点A″（_____，____）B″（_____，______）C″（_____，_____）D″（____，_____）E″（_____，_____）．
设计意图：
通过学生动手操作，分别作A，B，C，D，E关于x轴、y轴的对称点A′，B′，C′，D′，E′；A″，B″，C″，D″，E″，并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐标之间的关系．
师生行为：
教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律．
[生]如图，我们先在直角坐标系中描出A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（，1），E（4，0）点．
我们先在坐标系中作出A点关于x轴的对称点，即过A作x轴的垂线交x轴于M点，M点的坐标为（2，0）．在AM的延长线上截A′M=AM，则A′就是A点关于x轴的对称点，所以A′在第一象限，因为A′M=AM，所以A′的纵坐标为3，因为AA′⊥x轴，即AA′∥y轴，所以A′的横坐标为2，即A′的坐标为（2，3）．
同理可求得B，C，D，E关于x轴的对称点B′，C′，D′，E′的坐标分别为B′（-1，-2），C′（-6，5），D′（，-1），E′（4，0）．列表如下：
已知点
A（2，-3）
B（-1，2）
C（-6，-5）
关于x轴的对称点
A′（2，3）
B′（-1，-2）
C′（-6，5）
续表
已知点
D（，1）
E（4，0）
关于x轴的对称点
D′（，-1）
E′（4，0）
[师]观察上表每对对称点坐标之间的关系，你发现什么规律？
[生]每对对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
[师]我们不仿再找几对关于x轴对称的点，写出它们的坐标，还有上面的规律吗？
学生亲自动手进一步尝试，在学生认可的情况下明确关于x轴对称的每对对称点的坐标的规律．
[师生共析]
关于x轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
接着我们再来作出A，B，C，D，E关于y轴的对称点，并求出它们的坐标．
[生]同样，我们先作出A关于y轴的对称点A″，并求出A″的坐标．
过A作y轴的垂线AN，垂足为N，则N点坐标为（0，-3），然后在AN的延长线上截A″N，使A″N=AN，则A″就是所求的A关于y轴的对称点．A″在第三象限，AA″⊥y轴，且AN=A″N，所以A″的坐标为（-2，-3），同理可求得B，C，D，E关于y轴的对称点B″，C″，D″，E″的坐标分别为B″（1，2），C″（6，-5），D″（-，1），E″（-4，0）．列表如下：
已知点
A（2，-3）
B（-1，2）
C（-6，-5）
关于y轴对称点
A″（-2，-3）
B″（1，2）
C″（6，-5）
续表
已知点
D（，1）
E（4，0）
关于y轴对称点
D″（，1）
E″（-4，0）
[师]观察上表，比较每对关于y轴的对称点的坐标，你能发现什么规律？
[生]关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．
Ⅲ．随堂练习
[活动3]
练习：（教科书P41练习）
1．分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：
（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）．
2．如图，△ABC关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），标出点B的坐标．
3．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形．
设计意图：
巩固关于x轴、y轴对称的每对对称点的坐标规律．根据已知点，能求出关于x轴、y轴对称的点的坐标，并能利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，作出与已知图形关于坐标轴对称的图形．
师生行为：
学生练习，教师巡视，师生共评．
[生]1．解：根据关于x轴对称的点的坐标的特点求得（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）关于x轴对称的点的坐标分别为（-2，-6），（1，2），（-1，-3），（-4，2），（1，0）．
根据关于y轴对称的点的坐标的特点可得（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）关于y轴对称的点的坐标分别为（2，6），（-1，-2），（1，3），（4，-2），（-1，0）．
2．△ABC关于x轴对称，则A、B为关于x轴的一对对称点，已知A的坐标为（1，-2），则B的坐标为（1，2）．
3．分析：要作出与△ABC关于x轴、y轴的对称图形，只需把A、B、C关于x轴、y轴的对称点找到即可．
解：△ABC各顶点的坐标：A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）它们关于x轴对称的点的坐标为A1（-4，-1），B1（-1，1），C1（-3，-2）．在同一直角坐标系中描出A1（-4，-1），B1（-1，1），C1（-3，-2）连结A1B1，B1C1，C1A1，则△A1B1C1就是△ABC关于x轴对称的图形（如图）．
A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）它们关于y轴对称的点的坐标为A2（4，1），B2（1，-1），C2（3，2）．在同一坐标系中描出A2（4，1），B2（1，-1），C2（3，2），连结A2B2，B2C2，C2A2，则△A2B2C2就是△ABC关于y轴对称的图形（如图）．
[活动4]
补充练习：
1．将下图中的点（2，1），（5，1），（2，5）做如下变化：
（1）纵坐标不变，横坐标分别加2．
（2）横坐标不变，纵坐标分别加1．
（3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍．
（4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍．
（5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1．
（6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1．
（7）纵坐标、横都分别乘以-1，观察变化后的三角形与原三角形有什么变化？
设计意图：
进一步让同学们亲身经历点的坐标的变化与图形变换之间的关系．
师生行为：
学生练习，教师指导．
精析：行根据变化，把每次变化后的三个顶点坐标求出，在平面直角坐标系中描出它们，连结成新三角形，然后与原有的三角形进行比较．
精解：（1）纵坐标不变，横坐标分别加2得三个点依次为（4，1），（7，1），（4，5）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（1）所示，与原图形相比三角形的形状、大小不变，整个三角形向右平移了2个单位长度．
（2）横坐标不变，纵坐标分别加1，得三个点依次为（2，2），（5，2），（2，6）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（2）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形向上平移了1个单位长度．
（3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍，得三个点依次为（4，1），（10，1），（4，5）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（3）所示，与原图形相比，整个三角形被横向拉长为原来的2倍．
（4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍，得三个点依次为（2，2），（5，2），（2，10）．将各点依次用线段连结起来，所得图形如图（4）所示，与原图形相比，整个三角形被纵向拉长2倍．
（5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，1），（-5，1），（-2，5）．将各点依次用线段连结起来，如图（5）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于y轴对称．
（6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（2，-1），（5，-1），（2，-5）．将各点用线段连结起来，如图（6）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于x轴对称．
（7）横纵坐标都分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，-1），（-5，-1），（-2，-5）．将各点用线段依次连结起来，如图（7）所示，与原图形相比，整个三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于O点对称．
Ⅳ．课时小结
本节课的主要内容（由学生在教师的引导下共同回忆总结）：
1．在直角坐标系中，探索了关于x轴，y轴对称的对称点坐标规律．
2．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，作已知图形的轴对称图形，体现了数形结合的数学思想．
Ⅴ．课后作业
教科书习题12．2─2、3、4题，第6题、第7题（学有余力的同学做）．
Ⅵ．活动与探究
如下图，以树干为对称轴，画出树的另一半．
分析：要画出树的另一半，根据轴对称图形的性质，关于对称轴对称的对应点的横坐标是互为相反数，纵坐标不变，因此需要在图中先建立直角坐标系，写出对称轴左侧某些点的坐标，然后对称地写出右侧的对应点的坐标，再进行连结．
解：如上图所示建立直角坐标系，对称轴为y轴，y轴左侧的点A、C两点的坐标为（-4，0）、（-3，4），对称点A′、C′的坐标为（4，0）、（3，4），O、B、D三点都在对称轴上，然后用线段连结起来．
2．A、B、C、D、E各点的坐标如下图所示，确定△ABE、△EBD、△ABC的面积，你是怎样做的？你发现了什么规律？
解：A、B、C、D、E各点的坐标分别为A（0，6），B（0，3），C（6，1），D（-2，-2），E（-8，0）．
△ABE的面积为（8×6-8×3）=12．
△EBD的面积为8×5-
×8×3-
×2×5-
×6×2=17．
△ABC的面积为（6×5-2×6）=9．
规律为可以将每个三角形的面积看成边与坐标轴平行的矩形的一半．
板书设计
§12．2．2
用坐标表示轴对称
一、探索关于x轴、y轴对称的每对对称点的规律．
（1）关于x轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称的点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．
二、利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形．
备课资料
（一）参考练习
1．已知A点坐标为（-1，3）．
（1）与点A关于y轴对称的点坐标．
（2）与点A关于x轴对称的点坐标．
2．已知△ABC的顶点坐标分别为（3，3），（2，1），（4，1）．请你在同一坐标系中作出：
（1）关于x轴对称的图形．
（2）关于y轴对称的图形．
3．描出图中的枫叶图案关于x轴的轴对称图形的简图．
C/
.《轴对称》优秀教学设计
【教学目标】
1.知识与能力
（1）理解轴对称图形,两个图形关于某直线对称的概念。
（2）了解轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系。
（3）了解轴对称的性质。
2.过程与方法
通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习以及动手操作，让学生关注生活，学会观察，增强交流。
3.情感、态度与价值观
通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动中，体会图形的美，同时感悟数学来源于生活又用于生活。
【教学重点】
轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念以及区别和联系。
【教学难点】
轴对称的性质。
【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学用具】多媒体课件、直尺、剪刀和彩纸等
【教学过程】
一、
创设情境，欣赏图片，感受生活中的轴对称现象和轴对称图形
我们生活在图形的世界中，利用图形的某种特征我们想像和创造了许多美丽的事物.
问题：观察下列几幅图片，大家观察后回答下列问题：（出示世博建筑物、奥运会开幕式鸟巢烟火、飞机、蝴蝶、窗花等图片）．
（1）这些图形有什么共同的特征？
对称给人以平衡与和谐的美感，我们生活在一个充满对称的世界里，你平时有注意到吗？
（2）你能举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴进行交流吗？
（3）你能利用手中的彩纸,剪出具有对称特征的图案吗？
二、动手操作，教师组织，合作交流，归纳轴对称和轴对称图形的概念
师生互动操作设计：
教师走到学生中去,与学生一起观察图形，讨论其具有的共同特征，并利用“对折”的方法剪出各种美丽对称的图案，展示出来，可以发现这些图形沿一条直线对折(我们把这条直线看作轴),直线两旁的部分可以互相重合，比如在生活中具有这种特征的物体有：飞机、风筝、汽车等．
1．经过学生讨论，找到特征后，引导学生归纳轴对称图形的概念．
归纳：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．
2．出示教材图片,下面的每对图形有什么共同特点？你能概括这些特点吗？
学生观察图片，在独立思考的基础上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：沿某条直线对折，两个图形能够完全重合．
在学生交流的基础上，引导学生对轴对称的概念进行归纳．
把一个图形沿着某条直线对折，如果能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
3．观察,类比轴对称图形和成轴对称的两个图形的特点,教师引导学生对轴对称和轴对称图形的区别和联系进行讨论交流，加深理解：
轴对称是说两个图形的位置关系．而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．
轴对称的两个图形和轴对称图形都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
三、
主体探索、教师引导，探究轴对称图形的性质和线段垂直平分线的概念
1.
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′和直线MN有什么关系？
学生自行分析操作过程，从操作过程中发现数量关系，点A和A′是对称点，可以设AA′与对称轴的交点为P，将△ABC沿MN对折后A与A′重合
于是有
AP=PA′、∠MPA=∠MPA′＝90°
对于其他的点也有类似的情况，于是可以发现，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点并且垂直于这条线段．
2.
鼓励学生经过独立思考，发现数量关系并进行交流，同时给出线段垂直平分线的定义：“经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线”
3.
进而引导学生进行归纳：
轴对称的性质：“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”．
类似的“轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”．
四、师生合作，应用提高，拓展创新
1．出示生活中各种美丽的标志,如汽车标志,交通标志,数字,字母等等
先判断哪些是轴对称图形,你能找出每个轴对称图形中的对称点吗？你还能找出它们的对称轴吗？
学生交流动手操作，标出一组对称点，找出每一个轴对称图形的对称轴.并将学生交流的结果展示在黑板上，师生交流心得和方法.
对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。为下一课学习垂直平分线的画法打下基础。
2．利用以前认识过的一些简单的几何图形，如三角形，正方形，矩形，平行四边形，梯形等，以这些图形的任意一条边所在直线做为对称轴,
找出对称点，自己设计和创作轴对图形或是成轴对称的两个图,并将学生的成果展示在黑板上。
五、
归纳小结
1．这节课你学到了什么？
(1)．轴对称、轴对称图形的概念；；
(2)．轴对称和轴对称图形的区别和联系
(3)．线段垂直平分线的概念；
(4)．轴对称的性质。
2．你还学到了什么？还想学习什么？
六、
布置作业、下课
作业：收集和整理生活中有关轴对称的图片，课余时间进行交流，发现生活中对称的美。
【教学板书】
13.1轴对称
1．轴对称图形
(1)沿直线对折(2)两侧能够完全重合
2．轴对称
3．垂直平分线
(1)过线段中点(2)垂直于这条线段
4．轴对称的性质
对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线14.1
整式的乘法（1）
（一）教学目标
知识与技能目标：
掌握单项式与单项式相乘的法则.
过程与方法目标：
理解单项式的乘法运算的算理，体会乘法的交换律、结合律的作用，发展有条理的思考及语言表达能力.
情感态度与价值观：
通过学生板算、讨论、争论等方法培养学生归纳、概括能力，以及运算能力.
教学重点：单项式与单项式相乘的法则.
教学难点：对单项式的乘法运算的算理的理解.
教学用具：
（二）教学程序
教学过程
师生活动
设计意图
复习导入1．下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？7x,
-2a bc,
-t ,
,
ut ,
-10xy z .2．下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？-2x ,
ab,
1+y,
ab ,
-y,
6x -x+5,3．利用乘法的交换律、结合律计算6×4×13×25．4．前面学习了哪三种幂的运算性质？内容是什么？
5．计算：
(2)x .x .x ,
(2)-x.(-x)
,(3)
(a )
,
(4)(-2x y)
复习回顾式导入新课有助于让学生回顾所学知识,为本节课的学习做好铺垫.
新知讲解探究1:
(1)2x y.3xy ;
(2)4a2x5
·(-3a3bx),这是什么运算？如何进行运算 让学生召开讨论研究所提的问题.引出课题并板书方法提示:利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，来计算这两个单项式乘以单项式问题.(1)2x2y·3xy2
=(2×3)(x2·x)(y·y2)
(利用乘法交换律、结合律将系数与系数，=
6x3y3；
相同字母分别结合，有理数的乘法、同底数幂的乘法)(2)4a2x5
·(-3a3bx)=[4×(-3)](a2·
a3)·
b·(x5·
x)
(字母b
只在一个单项式中出现，=
-12a5bx6．
这个字母及其指数不变)
总结出单项式的乘法法则：单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．教师进一步分析单项式乘以单项式的法则(1)①系数相乘—有理数的乘法，先确定符号，再计算绝对值；②相同字母相乘—同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式．(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则.(3)单项式相乘的结果仍是单项式
教师对单项式乘以单项式的法则的阐述,有助于学生更深层的理解此法则.
例题讲解：例题1
:计算(1)(-5a2b3)(-3a)；
(2)(2x)3(-5x2y)；(3)x y .(-xy ) ；
(4)(-3ab).(-ac).6ab(c ) 参考答案:解：(1)(-5a2b3)(-3a)=[(-5)(-
3)](a2·a)·b3
=
15a3b3；(2)(2x)3(-5x2y)=
8x3·(-5x2y)=[8×(-5)](x3
·x2)·y=
-
40x5y；(3)x y .(-xy ) =x y .x y=(×)(x .x )(y .y)=xy(4)(-3ab)(-a2c)2·
6ab(c2)3
=(-3ab)·a4c2·6abc6
=[(-3)×6]a6b2c8
=
-18a6b2c8．例题2:
下面的计算对不对 如果不对,应怎样改正 (1)4a .
2a =8a
(2)2x.
3x=6x
(3)3x
4x =12x
(4)3y .
4y=12y参考答案:
(1)4a .
2a =8a×,
改:4a .
2a =8a5(2),(3)3x
4x =12x ×,改:
3x
4x =12x4
(4)3y .
4y=12y×,改:
3y .
4y=12y7例题3:
选择：（1）下列计算正确的是(
)A.(-3x ).(-2x ) =-12x
B(-3ab)(-2ab) =12a b
C.(-0.1x).(-10x ) =x
D.(210)(
10)=10(2)(-1.2
10 )
(
510 )
(2!0) 的值等于（
）A.5.76
10
B.5.76
10
C.2.88
10
D.2.88
10参考答案:(1)D,
(2)B
通过例题让学生学会运用所学知识解决问题,特别是要注意总结单项式乘以单项式运算中会出现的问题以便今后能有所注意.
四、达标训练1．计算：(1)3x·5x3
；
(2)4y·(-
2xy3)；2．计算：(1)(3x2y)3·(-
4xy2)；
(2)(-xy2z3)4·(-x2y)33.光的速度每秒约为3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒，地球与太阳的距离约是多少千米？4.一种电子计算机每秒可作10次运算，它工作5×10
秒可作多少次运算？5.计算：(1)
(2x )(xy z
)(-6yz)
(2)
-2a.(-a bc) .a(bc)
参考答案:1.15x,
-8xy,
10x ,
x yz2.-108xy5
,-x10y11z12,3.1.5×108,
4.
5×105.(1)
-4x y z
(2)
-a6b5c5
帮助学生及时巩固、运用所学知识.并且体验到成功的快乐.
五、点评与小结让学生小结本节课所学内容，应注意的地方.
激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会.
六、作业
由学生根据自己学习能力，恰当选做，既面向全体学生，又满足不同学生的学习需要.
板书设计：
15.1.4
整式的乘法(1)
单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
14.1
整式的乘法
（一）教学目标
知识与技能目标：
掌握单项式与多项式相乘的法则.
过程与方法目标：
理解单项式乘以多项式运算的算理.
体会乘法的分配律的作用.
发展有条理的思考及语言表达能力.
情感态度与价值观：
通过学生板算、讨论、争论等方法培养学生归纳、概括能力，以及运算能力.
教学重点：单项式与多项式相乘的法则.
教学难点：对单项式乘以多项式运算的算理的理解.
（二）教学程序
教学过程
师生活动
设计意图
复习导入1．单项式与单项式相乘的法则是什么？2．什么叫多项式？指出下列多项式的项：(1)
2x2-x-1；
(2)-3x2+
2x+3．参考答案:1.单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2.几个单项式的和叫做多项式.
(1)
2x2-x-1中的项分别是:
2x2,-x,-1；(2)
-3x2+
2x+3中的项分别是:
-3x2,
2x,3
复习回顾式导入新课有助于让学生回顾所学知识,为本节课的学习做好铺垫.
新知讲解探究:三家连锁店以相同的价格m(单位:元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:瓶)分别是:a,b,c.你能用不同的方法计算他们在这个月内销售这种商品的总收入吗
体验生活中的数学.
方法一:先求三家连锁店的总销量,再求总收入,即总收入为:
m(a+b+c)方法二:先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和,即总收入为:
ma+mb+mc所以容易得到:
m(a+b+c)
=ma+mb+mc单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．特别的：我们把m（a+b+c）=ma+mb+mc和(a+b+c)m=am+bm+cm的运算叫乘法分配律的正向运算，反过来，我们也把ma+mb+mc=m（a+b+c）和am+bm+cm
=(a+b+c)m叫乘法分配律的逆向运算，其逆向运算也是成立的.
教师对单项式乘以单项式的法则的阐述,有助于学生更深层的理解此法则.让学生体会他们之间的关系.
例题讲解：例题1:
计算a（1+b-b2）参考答案：（注意符号的处理）解：原式=a×1+a×b+a×（-b2）=
a+
a
b-
a
b2例题2:
计算(1)
(-2a)·(2a2-3a+
1)．(2)
(-
4x)·(2x2
+
3x-
1)参考答案：解：(1)
(-2a)·(2a2
-
3a+1)=(-
2a)·2a2
+(-
2a)·(-
3a)+(-
2a)·1(乘法分配律)=
-
4a3
+6a2
-
2a．(单项式与多项式相乘)(2)
(-
4x)·(2x2
+
3x-
1)=(-
4x)·(2x2)+
(-
4x)·3x+(-
4x)·(-1)=
-8x3
-
12x2
+
4x例题3:
把m2n+mn+mn2写成积的形式参考答案:解：∵m2n+mn+mn2=mn×m+mn×1+mn×n=mn(m+1+n)∴m2n+mn+mn2其积的形式为mn(m+1+n)拓展:
若mn=2
m+n=1求多项式m2n+mn+mn2的值。解:
∵m2n+mn+mn2=mn×m+mn×1+mn×n=mn(m+1+n)∴m2n+mn+mn2=mn(m+1+n)=2(1+1)=4
通过例题让学生学会运用所学知识解决问题,特别是要注意总结单项式乘以多项式运算中会出现的问题以便今后能有所注意.
四、达标训练计算：(1),—2x
(x+2x—2)
(2),—2a
(a—3ab+b)(3),(x—x+)
(—x)
(4),(4a—2a+1)
(—2a)(5),b(a+b)—a(b—a)
(6),x(x—y)—y(x—y)(7),a(a+a+1)+(—1)(
a+a+1)
(8),x(x—x—1)+2(x+1)—x(3x+6x)参考答案:(1),-2x
(x+2x-2)=-2x3-4x2+4x(2),-2a
(a-3ab+b)=-2a4
+6a3b-2
ab(3),(x-x+)
(-x)=-x4+x3-x(4),(4a-2a+1)
(-2a)=-8a5+4a3-2a(5),b(a+b)-a(b-a)=ab+b2-ab+a2(6),x(x-y)-y(x-y)=x2-xy-xy+y2=x2-2xy+y2(7),a(a+a+1)+(-1)(
a+a+1)=a3+a2+a-
a-a-1=
a3
-1(8),x(x-x-1)+2(x+1)-x(3x+6x)=
x3-x2-x+2x+2-x3-2
x=-x2-x+2
帮助学生及时巩固、运用所学知识.并且体验到成功的快乐.注意合并同类项以及符号的变化.
五、点评与小结让学生小结本节课所学内容，应注意的地方.
激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会.
六、作业
由学生根据自己学习能力，恰当选做，既面向全体学生，又满足不同学生的学习需要.
板书设计：
14.1整式的乘法(2)
单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
14.1整式的乘法（3）
（一）教学目标
知识与技能目标：
理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算.
过程与方法目标：
经历探索多项式乘法的法则的过程.
情感态度与价值观：
通过探索多项式乘法法则，让学生感受数学与生活的联系，同时感受整体思想、转化思想，并培养学生的抽象思维能力.
教学重点：多项式与多项式相乘法则及应用.
教学难点：
多项式乘法法则的推导.
多项式乘法法则的灵活运用.
（二）教学程序
教学过程
师生活动
设计意图
问题情境导入新课为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长为m米,宽为a米的长方形绿地,增长了n米,加宽了b米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积
问题情境导入新课有助于激发学生的学习兴趣.
新知讲解扩大后绿地的面积可以表示为(m+n)(a+b)或(ma+mb+na+nb),它们表示同一块地的面积，故有：(m+n)(a+b)=
ma+mb+na+nb多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
通过图示方法向学生展示多项式乘以多项式的过程.
也可以这样考虑:
当X=m+n时,
(a+b)X=
由单项式乘以多项式知
(a+b)X=aX+bX
于是，当X=m+n时，(a+b)X=(a+b)(m+n)
=a(m+n)+b(m+n)
即
(a+b)
(m+n)=am+an+bm+bn
=am+an+bm+bn
为学生提供不同的思维方式，以使学生更好的掌握此内容.
例题讲解：例题1：计算：(1)(x+2y)(5a+3b)；
(2)(2x-3)(x+4)；(3)(x+y)2；
(4)(x+y)(x2-xy+y2)?解：(1)(x+2y)(5a+3b)＝x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b＝5ax+3bx+10ay+6by；(2)(2x-3)(x+4)=2x2+8x-3x-12=2x2+5x-12(3)(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+xy+xy+y2=x2+2xy+y2；(4)(x+y)(x2-xy+y2)=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3?例题2:计算以下各题：（1）(a+3)·(b+5)；（2）(3x-y)
(2x+3y)；
（3）(a-b)(a+b)；（4）(a-b)(a2+ab+b2)解：(1)
(a+3)·(b+5) =ab+5a+3b+15；
(2)
(3x-y)
(2x+3y)
=6x2+9xy-2xy-3y2(多项式与多项式相乘的法则)=6x2+7xy-3y2(合并同类项)(3)(a-b)(a+b)=a2+ab-ab-b2=
a2-b2(4)(a-b)(a2+ab+b2)
=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
=
a3
-b3例题3:先化简，再求值：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）其中a＝2/17解：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）
＝6a2+2a-9a-3-6a2+24a＝17a-3当a＝2/17时，原式＝17×2/17-3＝-1例题4:观察下列解法，判断是否正确，若错请说出理由。
解法1：原式＝
＝
＝
＝解法2：原式＝＝
＝解法3：原式＝＝＝以上解法中均有错误,提示让学生寻找错误并改正
多项式乘以多项式的具体应用,通过教师演示向学生提供严格的书写过程培养学生严谨的思维训练.先化简再求值展示新题型.让学生找错误以使学生更好的掌握本节课所学知识.（1）注意各项的符号，要防止错符号；(2)防止漏乘导致漏项。在合并同类项之前，一定要检查其项数是否等于两个多项式的项数的乘积；（3）最后结果一定要化成最简形式.
四、达标训练计算（1）（a+b）（a-b）
（2）（a+b）2
（3）（a+b）（a2-ab+b2）（4）判断题：①(a+b)(c+d)=ac+ad+bc；
(
)②(a+b)(c+d)=ac+ad+ac+bd；
(
)③
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd；
(
)④(a-b)(c-d)=ac+ad+bc-ad?
(
)（5）长方形的长是(2a+1)，宽是(a+b)，求长方形的面积?（6）先化简，再求值：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）其中a＝2/17参考答案：（1）a2-
b2（2）a2+2ab+b2（3）a3+b3（4）错误，错误，正确，错误（5）S=(2a+1)(a+b)=2
a2+2ab+a+b（6）（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）
＝6a2+2a-9a-3-6a2+24a＝17a-3当a＝2/17时，原式＝17×2/17-3＝-1
帮助学生及时巩固、运用所学知识。并且体验到成功的快乐.
五、点评与小结让学生小结本节课所学内容，应注意的地方.
激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会.
六、作业
由学生根据自己学习能力，恰当选做，既面向全体学生，又满足不同学生的学习需要.
板书设计：
15.1.4整式的乘法（3）
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
a
m
b
n15．2．2分式的加减（一）
一、教学目标：（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.
二、重点、难点
1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
三、例、习题的意图分析
1．问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的.这样引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
2．[思考]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则.
3．例6计算应用分式的加减法法则.第（1）题是同分母的分式减法的运算，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号；
第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，题型也过于简单，教师应适当补充一些题，以供学生练习，巩固分式的加减法法则.
四、课堂引入
1.
出示问题3、问题4，教师引导学生列出答案.
引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
2.
下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？
3.
分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？
4.
请同学们说出的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？
五、例题讲解
例6.计算
[分析]
第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.
（补充）例.计算
（1）
[分析]
第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.
解：
=
=
=
=
（2）
[分析]
第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.
解：
=
=
=
=
=
六、随堂练习
计算
（1）
（2）
（3）
（4）
七、课后练习
计算
（1）
（2）
（3）
（4）
八、答案：
六.（1）
（2）
（3）
（4）1
七.（1）
（2）
（3）1
（4）
课后反思：乘法公式
一、说教材
1、教材所处的地位及前后联系
本节课是《整式的乘除》的内容，是在学习了多项式和多项式相乘和平方差公式之后引入的又一种比较特殊多项式乘以多项式，即完全平方公式。它和平方差公式一样，也是数学中最基本的一个公式，理解和运用完全平方公式，对于以后学习因式分解，解一元二次方程都具有举足轻重的作用。
2、教学目标：
1）通过合作学习探索得到完全平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力。
2）通过体念、观察并发现完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
3）初步学会运用完全平方公式进行计算。
3、教材的重点难点：本节课的重点是理解完全平方公式，运用公式进行计算。难点是从广泛意义上理解公式中的字母，判明要计算的代数式是哪两个数的和（差）的平方。
二、说教法
针对初一学生的形象思维大于抽象思维，注意力不能持久等年龄特点，及本节课实际，采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。边启发，边探索边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动和因材施教原则，教师努力为学生的探索性学习创造知识环境和氛围，遵循知识产生过程，从特殊→一般→特殊，将所学的知识用于实践中。
另外本节课采用计算机辅助教学，利用多彩的图形世界引导学生完全平方公式的发现和推导，使代数教学不再枯燥。
三、说学法
在学法上，教师应引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培养学生学习的主动性和积极性。
四、说教学程序
（一）合作学习，探求新知
用投影片显示：
1、如图所示，你能用不同的方法表示下面图形的面积吗？
2、把学生回答的结果的不同形式板书在黑板上，提问这些表示的结果都相等吗？
3、指出：即完全平方和公式。
4、模仿练习：（用两数和的完全平方公式计算（填空））
1）=
2）=
5、换元拓展
提问：等于什么？是否可以写成？你能继续做下去吗？通过讨论，尝试得到
（二）探求规律，巩固练习
1、探求规律
在模仿运用公式的基础上，结合两个公式的特征，可用一句顺口溜来强化记忆：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放。”
公式变形为：（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
2、运用规律
让学生填表
式子
首项
尾项
结果的中间项
结
果(完全平方式)
符号
系数
(x+2y)2
(2a-5)2
(-2s+t)2
(-3x-4y)2
组织学生展开讨论，由上面的表格不难得出：首尾平方总得正，中间符合看首尾项的积，同号得正，异号得负，中间的两倍记牢，进而总结步骤为：
1）确定首尾，分别平方；
2）确定中间项的系数和符号，得出结论。
3、巩固练习
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（三）运用法则，解决问题
例：花农老万有4块正方形菜花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现老万将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少㎡？
（四）发散练习，勇于创新
（1）下列计算是否正确？如何改正
①
②
③
（2）填空
①
②
③
④
（3）运用完全平方公式计算：=
=
。
（4）请你编1～3个完全平方式，并说出首尾项。
（五）归纳小结，充实结构
1、今天你学到了什么？
2、完全平方公式：
（六）知识留恋，课后韵味
布置作业：课本后附作业题。
b
a
b
a乘法公式
平方差公式
教学目标：经历探索平方差公式的过程；会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力．
教学重点与难点：平方差公式的推导和应用；理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学过程：
一、学生动手，得到公式
1．计算下列多项式的积：
①(x+1)(x 1)；②(m+2)(m 2)；③(2x+1)(2x 1)
①(x+1)(x 1)
=
x2 x+x 1
=
x2 1
②(m+2)(m 2)
=
m2
2m+
2m 4
=
m2 4
③(2x+1)(2x 1)
=
4x2 2x+2x 1
=
4x2 1
2．提出问题：
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？
3．特点：
等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差
4．得到结论：(a+b)(a b)
=
a2 ab+ab b2
=
a2 b2．
即(a+b)(a b)
=
a2 b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做(乘法的)平方差公式．
二、熟悉公式
下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？
①(
2a+3b)(
2a 3b)；②(
2a+3b)(
2a 3b)；③(
2a+3b)(
2a+3b)；④( 2a 3b)(
2a 3b)；⑤(a+b+c)(a b+c)；⑥(a b c)(a+b c)
学生讨论并回答，教师总结，其中①④⑤⑥可以用平方差公式
认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的部分是a，变号的部分是b
三、公式的几何关系
思考：你能根据右图中的面积说明平方差公式吗？
学生讨论并回答，教师总结：
(a+b)(a b)为长方形①与③的面积和
a2 b2则是长方形①与②的面积和
而长方形②与③的是形状大小完全一样的两个长方形，面积相等
所以(a+b)(a b)
=
a2 b2
四、运用公式
直接运用
例：①(3x+2)(3x 2)；②(b+
2a)(
2a b)；③( x+2y)( x 2y)
解答：①(3x+2)(3x 2)
=
9x2 4
②(b+
2a)(
2a b)
=
4a2 b
③( x+2y)( x 2y)
=
( x)2 (2y)2
=
x2 4y2
简便计算
例：①102×98；②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
解答：①102×98
=
(100+2)(100 2)
=
10000 4
=
9996
②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
=
(2 1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
=
(22 1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
=
(24 1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
=
(28 1)(28+1)(216+1)+1
=
(216 1)(216+1)+1
=
232 1+1
=
232．
五、小结：
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即(a+b)(a b)
=
a2 b2．全等三角形
教学目标
①通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等．②知道全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质．③能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题．④通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置的活动，让学生从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生动态的研究几何图形的意识．
教学重点
全等三角形的有关概念和性质．
知识难点
理解全等三角形边、角之间的对应关系．
教学准备
复写纸、剪刀、半透明的纸、多媒体课件(几个重要片断中使用)等．
教材分析
本节是初中几何比较重要的一节入门课它的基础是学生已经了解三角形的基本概念，教师准备引导学生学习全等三角形，为后面进一步学习全等三角形的判定打一个良好的基础．
通过本节学习要让学生了解怎样的两个图形是全等形，会用符号语言表示两个三角形全等．知道全等三角形的有关概念，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角．掌握全等三角形的性质，通过演绎变换两个重合的三角形，呈现出它们之间的各种不同位置的活动，从中了解体会图形变换的思想，逐步培养动态研究几何的意识．本节课的重点是全等三角形的性质．难点是确认全等三角形的对应元素．
本节课可以通过丰富多彩的实验、投影、多媒体手段等让学生取得充分的感性认识在此基础上，教学重心应放在“全等三角形的性质”上，因而对它的处理，不论从时间分配上，还是从教学手段的应用上都应给予高度重视．在激发学生兴趣的同时，要对学生进行必要的能力训练．
教学过程（师生活动）
设计理念
问题情境
1．展现生活中的大量图片或录像片断。片断1：图案．片断2：一幅漂亮的山水倒影画，一幅用七巧板拼成的美丽图案．2．学生讨论：
(1)从上面的片断中你有什么感受
(2)你能再举出生活中的一些类似例子吗
丰富的图形容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中．它反映了现实生活中存在着大量的全等图形．
图片的收集与制作
1．收集学生讨论中的图片．2．讨论(或介绍)用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等制作类似图形的方法．
对学生进行操作技能的培训与指导．
学生分组讨论、思考探究
1．上面这些图形有什么共同的特征 2，有人用“全等形”一词描述上面的图形，你认为这个词是什么含义
对学生的不同回答，只要合理，就给予认可．
教师明晰，建立模型
1．给出“全等形”、“全等三角形”的定义．2．列举反例，强调定义的条件．3．提出问题“你能构造一对全等三角形”吗 你是如何构造的，与同伴交流．4．全等三角形的对应元素及性质：教师结合手中的教具说明(学生运用自制学具理解)对应元素(顶点、边、角)的含义，并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相等(教师启发学生根据“重合”来说明道理)．
通过构图，为学生理解全等三角形的有关概念奠定基础．
拓展与延伸
1．议一议：右图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗 你能把它分成三个、四个全等的三角形吗 2．例1：已知△ABC≌△DFE，∠A＝96°，∠B＝25°，DF＝10
cm．求∠E的度数及AB的长．
目的是使学生在操作的过程中理解全等三角形的概念，发展空间观念．鼓励学生根据全等三角形的概念和性质，通过观察、尝试找到分割的方法，并可用分出来的图形是否重合来验证所得的结论．
巩固练习
1．全等用符号_______表示．读作_______·2．△ABC全等于三角形△DEF，用式子表示为_______·3．△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角∠E，则∠C与_______是对应角；AB与_______是对应边，BC与_______是对应边，AC与_______是对应边．4．判断题：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等．
(
)(2)全等三角形的周长相等．
(
)(3)面积相等的三角形是全等三角形．
(
)(4)全等三角形的面积相等．
(
)5.找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形．
检查学生对本节课的掌握情况．
小结与作业
课堂小结
1．回忆这节课：在自己动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识 2．找全等三角形对应元素的方法，注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等，但公共顶点不一定是对应顶点；3．在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式．
对于学生的发言，教师要给予肯定的评价．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
1．本设计通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，完成对三角形全等的实验，加深对“三角形全等”“对应”含义的理解，既培养学生的画图、识图能力，又提高了逻辑思维能力．2．“构造一对全等三角形”这样一个开放性问题的设计，学生可以采用复写纸、手撕、剪纸，扎针眼、描图等方式获得，这往往因不同学生所拥有的生活经验而有所不同．显然，不同的学生从不同的生活背景和生活阅历出发，都能得到全等三角形，彼此之间的交流可以实现他们对全等三角形关键特征的理解和认识，同时，大家在交流中都能获得理解，分享成功的快乐!3．在整个教学过程中，学生在自主探索和合作交流中，经历了观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，而这样的过程能够促进学生对数学的真正理解和把握，从中不仅获得了数学知识、技能，而经历了数学活动的过程，体验了数学活动的方法，同时情感、态度、价值观都能得到很好的发展。
12.1
《全等三角形》
2
【学习目标】
1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。
2.掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质，并运用这一性质解决有关的问题。
3.会用符号表示全等三角形及他们的对应元素，培养学生的符号意识。
学习重点：全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质，
学习难点：会运用性质解决有关的问题，书写过程中培养学生的符号意识
一、自主预习课本内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流（课前完成）
二、通过预习课本内容，回答下列问题：
（1）
叫做全等三角形。
（2）当两个全等三角形
时，
叫做对应顶点，
叫做对应边，
叫做对应角。
如图：△ABC≌△DEF，则对应顶点：
，对应角：
，
对应边：
（3）全等三角形的性质：
。
三、巩固练习
变换方式
图形
对应点
对应边
对应角
将△ABC沿AB所在的直线折叠得到△ABD
A
AB
BC
D
AB=ABAC=ADBC=BD
∠BAC=∠C=∠ABC=∠ABD
将△ABC沿射线BC的方向平移，得△DEF
A
B
C
AB=DEAC=BC=
∠A=∠D∠B=∠ACB=
将△ABC绕点C旋转180°，得△EDC
A
EBC
AB=AC=ECBC=
∠A=∠B=∠ACB=∠ECD
四、学习小结：（回顾一下这一节所学的，你学会了吗？）
五、达标检测
1.
如图所示，若△OAD≌△OBC,∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD=
.
(1题图)
（2题图）
2.
如图：Rt△ABC中，∠
A=90°，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=
3.
如图4，若△ABC≌△DEF，回答下列问题：
（1）若△ABC的周长为17
cm，BC=6
cm，DE=5
cm，则DF
=
cm
（2）若∠A
=50°，∠E=75°，则∠B=
4.
如图，△AOB≌△COD，那么∠ABD与∠CDB相等吗？为什么？
六、课后延伸：
P33习题12.1
A
B
C
E
F
D
B
D
O
A
C与三角形有关的角
教学任务分析
教学目标
知识技能
熟练掌握三角形内角和定理及外角性质
数学思考
1.
掌握三角形内角和定理及外角性质
2.
培养学生分解基本图形及添加辅助线构造基本图形的能力
3.
通过运用三角形内角和定理及外角性质证明几何问题，提高学生的逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态度
4.
通过对问题的分析与讨论，发展学生的求同和求异的思维能力，培养学生联系与转化的辩证思想。
解决问题
尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效的解决问题
情感态度
通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满探索以及数学结论的确定性，提高学生的推理能力及学习热情。
重点
添加辅助线构造基本图形的能力
难点
三角形内角和定理及外角性质
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1
复习回忆三角形内角和定理及外角性质
活动2
创设情境，探究尝试
活动3
设问质疑，类比联想
活动4
拓展思维，变式训练
活动5
小结，布置作业
通过对旧知识的复习回忆巩固并加深学生的理解和记忆，为新课的学习做好铺垫
把问题作为教学的出发点，创设问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲。同时让学生体会从特殊到一般的思考问题方法。
综合运用新旧知识分析问题、解决问题。
体验数学活动的运动变化。
小结及课后探究习题梳理所学知识，达到巩固、发展、提高的目的。
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
活动1
问题1：你还记得三角形内角和定理及外角性质吗？
问题2：你还记得如何证明三角形内角和定理吗？
学生思考并回答问题
教师提出问题并对学生的问答做出总结：
三角形内角和是1800；
外角等于与它不相邻的两个内角的和。
在学生回答的基础上（添加辅助线，运用平行线的知识）教师着重指出添加辅助线是几何证明中常用的方法，正确合理的添加辅助线往往能简单、迅速的解决问题
通过对旧知识的复习回忆唤醒学生已有知识，有助于后继问题的解决
把问题作为教学的出发点，创设问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲，为发现新知识创造一个最佳的心理和认知环境。
问题与情境
师生行为
设计意图
活动2
问题1：画一个形状类似下图的图形并测量、、及的度数，看看它们存在怎样的关系？
问题2：由刚才活动得到的结论你能猜想出什么吗？
问题3：你能运用所学的知识证明这个结论吗？你能想出多少种不同的证明方法？
学生动手用测量工具量出指定角的度数，通过测量计算得出四个角之间存在的关系。
教师注意观察学生对测量工具的正确使用及测量结果的精确性，并指导学生得出正确的结论。
教师引导学生得出猜想：
=++
教师带领学生观察图形，与熟悉的、常见的图形进行类比分析，提示学生回忆前面所学过的证明方法，联想到证明三角形内角和定理使用到的添加辅助线的方法；
分析图形找出三种不同的添加辅助线的方法：
提问：为什么要画这条线？画这条线有什么作用？
通过作图、测量一系列的活动培养学生在几何方面的动手、动脑能力，根据自己测量的数据得出结论，培养学生的计算和观察能力，并为下面探索问题作好铺垫。
激发学生的想象力，培养学生“由特殊到一般”这一探索问题的能力，开拓学生的思维。
通过实例让学生知道“辅助线”是以后解决几何问题有力的工具。它的作用在于充分利用条件；恰当转化条件；恰当转化结论；充分提示题目中各元素间的一些不明显的关系，达到化难为易解决问题的目的。
亲手操作寻求数学结论，有利于引起学生兴趣。此活动鼓励学生发散思维寻找到多种添加辅助线的方法，让学生体会多种思考形式，有利于深刻领会如何添加辅助线以及添加辅助线的本质─构造基本图形，转化图形各个量之间的关系。同时也让学生体验数学活动充满探索，体验解决问题策略的多样性。
通过观察─猜想─论证这一数学活动过程，让学生感受有特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法。
问题与情境
师生行为
设计意图
问题4：你能正确的书写出证明过程吗？
学生独立思考分析，根据不同的添加辅助线的方法分别写出证明过程。在这一过程中，教师要指出其中不完备的地方，并以规范的格式板书一种证明强调证明过程的逻辑严谨性及正确的书写格式。教师应关注：
（1）学生对所学知识的掌握情况。
（2）学生进行简单说理的准确性、规范性。
（3）是否能用几何符号语言来表达自己的解题过程。
培养学生能用准确的运用数学符号语言书写证明过程，规范书写格式，锻炼、提高学生的逻辑思维能力。为今后复杂的推理论证打下一个良好的基础。
活动3
问题1：在上面第三个图中，将点P的位置特殊化：若点P是与角平分线的交点，且=700，那么的度数是多少？你能找出两者之间的关系吗？
学生在独立思考、探究的基础上，分组交流研讨，并汇总所得的结论。
教师深入小组参与活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，教室可以在测量、计算等感性活动基础上，在引导学生利用上述例题的解题思路分析问题、解决问题。
本次活动中，教师应关注：
（1）学生能否在独立思考问题的基础上，积极参与数学问题的讨论。
（2）学生能否用文字、字母符号等清楚的表达解决问题的过程。
增加题目的复杂性，再一次经历猜想、论证这一思维过程，加深对所学知识的理解及灵活运用能力。
在探索中再一次发展学生的分析问题、解决问题的能力和推理能力。
通过交流，培养学生的团结协作能力，让学生用自己的语言清楚的表达解决问题的过程，提高语言表达能力。
活动4
问题：你能否再给点P确定一个特殊位置？此时上述结论还成立吗？如果不成立，那么你能得出新的结论吗？（点P是与外角平分线的交点）
学生独立思考解决问题。
教师总结结论。
本次活动中，教师应关注：
（1）学生能否参与认识和联想
（2）学生能否灵活运用所学的知识
进行判断、解答。
（3）学生能否有条理的表达自己的思考过程。
经过这样的变式、发展、学习，不仅使学生巩固了所学的数学知识，也使学生体验了数学的运动变化观，使学生的思维得到了培养和锻炼。
通过对不同问题的分析与讨论，有利于学生基础知识与基本能力的掌握与提高，同时更有利于学生创新意识与创造性思维能力的培养，在练习、讲评等教学环节中，形成师生之间的、学生之间的“双向反馈”。
问题与情境
师生行为
设计意图
活动5
（1）小结
（2）布置作业
教科书第97页第7、8、9题。
教师结合本节课内容，通过提问方式回顾本节课所讲的知识点和方法、技能，出示练习题，巩固本节知识。
学生利用当堂所学的知识、方法解决问题，自检掌握情况。
本次活动中，教师应关注：
（1）学生在做习题的过程中能否正确的分析问题和解决问题。
（2）学生在学习中对知识的归纳、整理、总结的养成性习惯
（3）学生能否通过自我评价了解对知识的掌握程度。
从学生已有的知识出发，结合本节课的学习内容，给学生提供有针对性、有创意的练习题，激发学生的学习兴趣，引导他们在做练习的过程中，自主探索来巩固知识和获得技能，掌握基本的数学思想方法，感受数学研究的思想。
复习、巩固本节的知识，学会总结反思，学会自我评价学习效果。
通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况。对教学进度和教学方法进行适当调整，并对有困难的学生给与适时的指导。
自评
1．
本节课的教学目标是通过运用三角形内角和定理及外角性质的证明，掌握这二者之间的联系并能熟练应用于分析和证明。
2．
让学生动手作图、测量一系列的活动，既能让学生自我猜想，获取知识，又能为证明的思路提供启发。培养了学生在几何方面的动手、动脑能力；和“由特殊到一般”这一探索问题的能力，开拓学生的思维。
3．
在思考证明途径过程中通过一题多解，既能让学生在一连串的变化中熟练使用三角形内角和定理及外角性质，同时也让学生体验数学活动充满探索，体验解决问题策略的多样性。通过观察──猜想──论证这一数学活动过程，让学生感受由特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法。
4．
通过改变题目的条件，让学生再一次经历猜想、论证这一思维过程，加深对所学知识的理解及灵活运用能力。在探索中再一次发展学生的分析问题、解决问题的能力和推理能力。
5．
通过交流，培养学生之间的团结协作能力，让学生用自己的语言清楚的表达解决问题的过程，提高语言表达能力。分式的运算
教学目标
1、使学生在理解和掌握分式的乘除法法则的基础上,运用法则进行分式的乘除法混合运算。
2、使学生理解并掌握分式乘方的运算性质，能运用分式的这一性质进行运算。
教学重点、难点
重点：分式的乘除混合运算和分式的乘方。
难点：对乘方运算性质的理解和运用。
教学方法：启发式教学
教学过程
复习提问：1、叙述分式的乘除法法则。
2、小学学习的乘除法运算法则是什么？
3、计算：（）^2＝＿＿＿，（）^3＝＿＿＿，
（）^n=_________。
引言：我们在上节学习了分式的乘除法，对于分式乘除混合运算如何来进行计算呢？对于整式的乘方我们学习过，对分式来说如何计算呢？这就是
我们这节要学习的内容。
新课：由复习提问3知：（ ）︿2＝＝ａ︿2ｂ︿2，
（ ）︿3＝ａ︿3ｂ︿3；
（ ）︿n＝a︿n
b︿n。
请同学们根据复习提问3总结出分式乘方的法则。
分式乘方，把分子、分母分别乘方。
（ ）︿n＝a︿n
b︿n。
例1计算：
（1）
÷
·
解：
原式＝·
·
=
分式的乘除混合运算就是分子、分母先分解因式，然后把公因式约去。
例2计算：
（1）
(
)︿2
;
(2)
()︿3÷
·()︿2
分析：这两题是分式乘方的运用。（2）运算顺序是先乘方，然后是乘除。
解：
（1）原式=
（2）原式=
-
·
·
=-
注意在解题时正确地利用幂的乘方及符号
。11.1.3
三角形的稳定性
【学习目标】
1、知识目标：通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，
2、能力目标：稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用
3、情感目标：采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精神。
【重点难点】
重点：了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用
难点：准确使用三角形稳定性与生产生活之中
【课型】
新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
【教学用具】电脑、投影仪
【学习过程】
一、看一看，想一想
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么这样做呢？
二、做一做
1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
三、议一议
从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。
三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
四、三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例
五、练一练
课本P7练习
六、作业：课本P8
5、811.3.1
多边形
教学目标
1.掌握多边形的定义,多边形的内,外角及凸多边形的有关概念.
2.理解多边形的对角线的概念,探索一个多边形能画几条对角线.
重点
理解有关多边形的概念,探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系及转化思想的渗透.
难点
探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系
引入新课
前面我们已经研究过三角形的有关概念,性质,那么边数大于三的图象的概念和性质是什么呢 它们和三角形中的有关概念和性质是否有相似之处呢 让我们一起来探究一下.
讲授新课:
在三角形的基础上,学习多边形或把多边形的有关问题转化为三角形.
多边形的定义:
一般地,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接新组成的图形称为n边形.三角形是最简单的多边形.
（1）多边形分为:凸多边形和凹多边形.画多边形的任何一条边所在直线,整个多边形都在这条直线的同一侧,这样的多边形叫做凸多边形,类似地,画多边形的任何一条边所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧.这样的多边形叫做凹多边形.本节是讨论凸多边形.
（2）凸多边形的特征:凸多边形的每个内角可为锐角或直角或钝角.
(1)
(2)
2.多边形的边,内角,外角.(画图说明)
(1).组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
(2).多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
(3).多边形的边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
3.多边形的对角线
多边形的对角线:连接多边形的不相邻的两个顶点的线段.叫做多边形的对角线.
多边形的对角线的条数:(画图说明)
从n变形的一个顶点可以引（n-3）条对角线。将多边形分成（n-2）个三角形。
n
边形共有条对角线
（1）
（2）
（3）
4.正多边形。
像正方形这样，各个角相等，各条边也相等的多边形叫正多边形。如正三角形，正四边形，正六边形等等。
5.例1：过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m=
，n=
，k=
。
解：①m边形一个顶点一般能引（m-3）条对角线。
②没有对角线的多边形显然是三角形，所以n=3
③k边形对角线条数与其边数相等。即
所以k=5
故m=7，
n=3，
k=5
三．小结
多边形的定义
多边形的边，内角，外角
多边形的对角线
正多边形的定义
四．作业：十二边形共有几条对角线，过一个顶点可作几条对角线？可把十二边形分成多少个三角形？
A
A
C
B
D
B
D
C11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
【学习目标】
1、知识目标：认识三角形的高、中线与角平分线.
2、能力目标：会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线,
通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点.
3、情感目标：采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精神。
【重点难点】
重点：
(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念,
会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.
难点：
(1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.
(2)钝角三角形高的画法.
(3)不同的三角形三条高的位置关系.
【课型】
新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
【教学用具】电脑、投影仪
【学习过程】
一、复习巩固：
1、图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。
2、如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有（
）个。
3、以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是（
）
A．3，3，3
B．3，3，6
C．3，2，5
D．3，2，6
4、等腰三角形的两边长分别为12cm和8cm，这个等腰三角形的周长是
．
二、自主学习：
1.自学内容：课本4
----5页
2.自学要求：阅读课本内容，仔细观察上表中的内容,并回答下面问题.
(1)什么叫三角形的高 三角形的高与垂线有何区别和联系
(2)什么叫三角形的中线 连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系
(3)什么叫三角形的角平分线 三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系
三角形的重要线段
意义
图形
表示法
三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
1.AD是△ABC的BC上的高线.2.AD⊥BC于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.
三角形的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段
1.AE是△ABC的BC上的中线.2.BE=EC=BC.
三角形的重心
三角形三条中线的交点
1.CF、AD、BE分别是△ABC
的AB、BC、AC的中线
三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
1.AM是△ABC的∠BAC的平分线.2.∠1=∠2=∠BAC.
三、交流展示：
1.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还
是代表射线或直线
2.如图，AF是ΔABC的角平分线，AE是BC边
上的中线，选择“＞”、“＜”或“=”号填空：
（1）BE___EC
（2）∠CAF___∠BAC
（3）∠AFB___∠C+∠FAB
（4）∠AEC___∠B
四、巩固练习：
1.在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.(
如果所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里 钝角三角形的三条高在那里 )观察这三条高所在的直线的位置有何关系
三角形的三条高____________,锐角三角形三条高交点在锐角三角形_____,直角三角形三条高线交点在直角三角形________,而钝角三角形的三条高的交点在钝角三角形__________.
2.在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.(
如果所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里) 观察这三条中线的位置有何关系
三角形的三条中线都在三角形________,它们__________,这个交点在______________.
3.在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系
无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形,
它们的三条角平分线都在_________________,并且________.
4.课本第5页
练习
五、探究拓展
如图,在△ABC中,AE,AD分别是BC边上中线和高,
（1）说明△ABE的面积与△AEC的面积有何关系？
（2）你有什么发现？
同高等底的两个三角形的面积________.
三角形的中线把三角形分成两个面积_______的三角形。
六、课堂小结：
1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。
2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。
七、布置作业：
教科书第8页:3、4题；
第9页
8、9题
E
B
C
D
A
E
F
C
B
A
A
B
D
E
C多边形的内角和
一、教材分析
1、教材的地位和作用
本节课作为
第三节，起着承上启下的作用。在内容上，从三角形的内角和到多边形的内角和，再将内角和公式应用于平面镶嵌，环环相扣，层层递进，这样编排易于激发学生的学习兴趣，很适合学生的认知特点。通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要的思想方法。
2、教学重点和难点
重点：多边形的内角和与外角和
难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。
二、教学目标分析
1、知识与技能：掌握多边形的内角和与外角和，进一步了解转化的数学思想。
2、数学思考：能感受数学思考过程的条理性，发展能力推理和语言表达能力，并体会从特殊到一般的认识问题的方法。
3、解决问题：让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。
4、情感态度：让学生体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造。
三、教法和学法分析
本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，我确定如下教法和学法：
1、教学方法的设计
我采用了探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。
2、活动的开展
利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。
3、现代教育技术的应用
我利用课件辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性认识，增强直观效果，提高课堂效率。
四、教学过程分析
1、本节教学将按以下六个流程展开
2、教学过程
互动环节
互动内容
设计意图
1、创设情境
引入新课
（1）在一次数学基础知识抢答赛上，王老师出了这么一个问题：某个多边形所有的角加起来等于它的外角和，那么该多边形是几边形？小明同学仅用几秒钟就解决了问题，你能吗？（2）（演示教具）用四块大小形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，你知道这是为什么吗？通过今天的学习，我们就能明白其中的道理，引出课题。
这样一开始就利用抢答赛问题以及教具演示实验来提问设疑，学生很容易发问：这个多边形是几边形呢？用四块大小形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，为什么会产生这种效果呢？从而可调动学生的学习兴趣和注意力，创设恰当的教学情境。
2、合作交流
探索新知
（1）问题：三角形的内角和等于多少度？外角和等于多少度？长方形的内角和等于多少度？正方形的内角和等于多少度？（2）问题：任意四边形的内角和等于多少度呢？你是怎样得到的？你能找到几种方法？（3）学生思考，并分组交流讨论，教师深入小组参与活动，指导、倾听学生交流。（4）学生分组选代表展示小组的探索成果,师生共同进行评判，对学生找到的不同方法要加以及时肯定。学生可能找到以下几种方法：①“量”—即先测量四边形四个内角的度数，然后求四个内角的和；②“拼”—即把四边形的四个内角剪下来，拼在一起，得到一个周角；③“分”—即通过添加辅助线的方法，把四边形分割成三角形。教师在学生展示完后提问：①在“量”、“拼”、“分”这几种方法中，哪种方法操作简单又相对准确？②我们刚才找到了几种不同的辅助线的作法，它们的共同点是什么？
先回顾三角形、正方形和长方形的内角和，促使学生对新问题进行思考与猜想。从简单的四边形入手，让学生亲自操作寻求结论，易于引起学习兴趣，鼓励学生找到多种方法，让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质——四边形转化为三角形，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性。通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高语言表达能力。
3、自主探究
得出结论
（1）问题：用刚才类似的方法，你能算出五边形、六边形、七边形的内角和吗？学生先独立思考，分组讨论，然后再叙述结论。（2）问题：依此类推，n边形的内角和等于多少度呢？让学生自己归纳总结，得出n边形的内角和公式为（n-2）·180°。
从探索四边形的内角和，到五边形、六边形、七边形乃至n边形，通过增强图形的复杂性，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的思想方法，再一次经历转化的过程，同时在分组交流的过程中，感受合作的重要性。
互动环节
互动内容
设计意图
4、应用新知
尝试练习
（1）想一想：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？为什么 （2）算一算A.四边形的外角和等于多少度？B.五边形的外角和，六边形以及n边形的外角和呢？
通过做例题和练习来巩固新知识。先求四边形的外角和，再求五边形、六边形以及n边形的外角和，我提出阶梯式的问题，让学生逐步归纳得出多边形的外角和等于360°。这两段是新增加的内容，从另一个角度增加对任意多边形外角和理解与认识。这样处理，注重教材阅读学习，同时用课件演示更加形象直观，便于理解。
5、归纳总结
形成体系
我从以下几个方面引导学生进行小结：（1）现在你能解决数学知识抢答赛上，王老师提出的问题了吗？你知道为什么能用四块大小形状完全相同的四边形拼成一块无空隙的纸板了吗？（2）这节课我们学习了哪些知识和方法？你有什么收获？
让学生运用所学知识解决引问中的问题，提高解决问题的能力，鼓励学生畅所欲言总结对本节课的收获和体会，有利于培养归纳、总结的习惯和能力，让学生自主建构知识体系。
6、分组竞赛
升华情感
我制作了A、B、C、D四组不同的电子试卷，让学生运用所学知识通过小组竞赛的形式合作完成，自检掌握情况。
通过竞赛的方式，激发学生的学习兴趣，引导他们在做练习的过程中，通过小组协作来巩固知识和获得技能。在每组试卷中，大部分选自教材的练习题。另外，我还另增加了1个思考题，实际上是对证明四边形内角和方法的补充，主要是通过一题多解发散思维，提高思维的灵活性，还可以复习旧知识，把握知识间的相互联系，让学生再次体会转化的思想方法。
五、评价分析
1、注意评价内容的多元化
通过课堂中学生展示自己对所学内容的理解，交流对某一问题的看法，动手操作的表演，各种问题尝试解答等活动，使教师从学生思维活动、有关内容的理解和掌握，以及学生参与活动的程序等多层面地了解学生。
2、注重对学生学习过程的评价
在整个教学过程中，通过对学生参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识以及独立思考的习惯，发现问题的能力进行评价，并对学生中出现的独特的想法或结论给予鼓励性评价。
六、设计说明
1、指导思想
根据义务教育阶段数学课程的要求，结合教材的编写意图，在本节课设计时，我遵循以下原则：情境引入激发兴趣，学习过程体现自主，知识建构循序渐进，思想方法有机渗透。
2、关于教材处理
本教案设计时，我对教材作了如下改变：①将教材例1作为练习中的“想一想”，由学生自已尝试解答；②将例2中的求“六边形”的外角和，改为练习中的“算一算”，先让学生求“四边形”的外角和，再探索“五边形、六边形，以及n边形的外角和”。这样处理仍然是为了体现学生的自主探索，使学生学习变“被动”为“主动”。
③作业采取分组竞赛的形式合作完成。这样，在情感上，本节课学生由好奇到疑惑，由解决单个问题的一点点快感，到解决整个问题串的极大兴奋，产生了强烈的学习激情。这时，一次有效的教学竞赛活动，使学生的学习激情得到释放，学科个性得以张扬，教师可稍加点拨，适可而止，把更多的思考空间留给学生。
以上是我对本节课的设计说明，不足之处，请各位指正，谢谢！
分组竞赛
升华情感
归纳总结
形成体系
应用新知
尝试练习
自主探究
得出结论
合作交流
探索新知
创设情境
引入新课15.2.1
分式的乘除(二)
一、教学目标：
1.熟练地进行分式乘除法的混合运算.
2.理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.
二、重点、难点
1.熟练地进行分式乘除法的混合运算.
关键是点拨运算符号问题、变号法则.
2.熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.
三、例、习题的意图分析
1．例4是分式乘除法的混合运算.
分式乘除法的混合运算先把除法统一成乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
教材例4只把运算统一乘法，而没有把25x2-9分解因式,就得出了最后的结果，教师在讲解时不要跳步太快，以免学习有困难的学生理解不了，造成新的疑点.
2.
例4中没有涉及到符号问题，可运算符号问题、变号法则是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，突破符号问题.
3.例5第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判
断乘方的结果的符号，在分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除..
4．教材例5中第（1）题这样的分式的乘方运算只有一题，对于初学者来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练习.同样象第（2）题这样的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相应的增加几题为好.
分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点.
四、课堂引入
1.计算
（1）
（2）
2.计算下列各题：
（1）==（
）
（2）
==（
）
（3）==（
）
[提问]由以上计算的结果你能推出（n为正整数）的结果吗？
五、例题讲解
1.例4.计算
[分析]
是分式乘除法的混合运算.
分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.
（补充）例.计算
（1）
=
(先把除法统一成乘法运算)
=
（判断运算的符号）
=
（约分到最简分式）
（2）
=
(先把除法统一成乘法运算)
=
(分子、分母中的多项式分解因式)
=
=
2.例5.计算
[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.
六、随堂练习
1.计算
（1）
（2）
（3）
（4）
2.
判断下列各式是否成立，并改正.
（1）=
（2）=
（3）=
（4）=
七、课后练习
1.计算
（1）
（2）
（3）
（4）
2.
计算
（1）
（2）
（3）
（4）
八、答案：
六.1.（1）
（2）
（3）
（4）-y
2.（1）不成立，=
（2）不成立，=
（3）不成立，=
（4）不成立，=
七.1.
（1）
（2）
（3）
（4）
2.
（1）
（2）
（3）
（4）
课后反思：教学目标：
知识与技能：结合三角形的实例，探索、掌握三角形3条边之间的关系.
会用符号表示三角形，了解按边关系对三角形进行分类.
理解三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题.
过程与方法：结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系。
情感、态度和价值观：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力
重
点：三角形的三边之间的不等关系.
难
点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形.
教学过程：
一、问题情境：
三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？
二、新课学习：
⒈三角形的相关概念.
⑴什么是三角形：
如图⑴，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接
所组成的图形叫做三角形
.
⑵三角形的有关概念：
①边：组成三角形的三条线段
叫做三角形的三条边.
②角：三角形相邻两边的夹角叫做三角形的内角，简称三角形的角
.
③顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.
⑶三角形的表示：
如图⑴以A、B、C为顶点的三角形记作“⊿ABC
”，读作“三角形ABC”.
⑷三角形的分类：如图⑵
①等边三角形：图⑵中⑴的⊿ABC的边
AB＝BC＝AC，⊿ABC是等边
三角形.
即：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
②等腰三角形：图⑵中⑵的⊿ABC的边
AB＝AC，但AB≠BC，
AC≠BC，⊿ABC是等腰
三角形.
即：有两条边相等
的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的边
叫做腰，另一边
叫做底，两腰
的夹角叫做顶角，腰
和底
的夹角叫做底角.
注意：等边三角形是特殊
的等腰三角形，即腰
和底
相等的等腰三角形.
③不等边三角形：图⑵中⑶的⊿ABC的边AB≠AC≠BC≠AB，⊿ABC是不等边三角形.
即：三条边都不相等
的三角形叫做不等边三角形.
综上三角形按边分类关系如下
三条边都不相等的三角形：
.
三角形
腰和底不相等的：
.
有两条边相等的三角形
腰和底相等的：
.
⑸练习：教材P65练习
“1”（口答）
⑹讨论与交流：
如图⑶，存在AB1,AB2,AB3,···AB9,
AB10,10条线段，且B1,B2,
···B10在同一条直线上，
则，图中三角形共有45
个.
⒉三角形三边关系：
阅读教材P64“探究”完成下列问题：
⑴如图⑷，根据线段公里“两点之间线段最短”可得，⊿ABC的三边
满足下列关系：AB
＋BC
＞AC
;AB
＋AC
＞BC
;BC
＋AC
＞AB
.
或：c
＋a
＞b
;
c
＋b
＞a
;
a
＋b
＞c
.
即：三角形任意两边的和
大于第三边
.
上述关系也可表示为：
a
－b
＜c
;
b
－c
＜a
;
c
－a
＜b
或b－a
＜c
;
c
－b
＜a
;
a
－c
＜b
.
即：三角形任意两边的差
小于第三边
.
注意：综合上可知：三角形任意一边小于
其他两边的和，并且大于
其他两边的差.
⑵练习：教材P65练习“2”
（口答）
说明：应用三角形三边之间的关系判定三条线段能否构成三角形时，常常只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可.
⑶例解与应用：阅读教材P64例，解答下列问题：
一个等腰三角形的周长为28cm.
①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；
②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.
解：①设底边长为x
cm
,则腰长为3x
cm，根据题意得x＋3x＋3x＝28
解得
x＝4.
所以
3x＝3×4＝12.即：等腰三角形的三边长分别为4
cm，12
cm，12
cm
.
②若腰长为6cm
,则底边长为28－2×6＝16cm
,此时6＋6＜16，故不能组成三角形，所以腰长不能为6.
若底边长为6cm，则腰长为﹙28－6﹚÷2＝11cm
,它能构成三角形.
所以它的其它边长为11cm、11cm
.
⑷讨论与交流:
①如果三条线段的比是①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5.其中能构成三角形的有
2
个.
②若a，b，c分别是三角形的三边，化简︱a－b－c︱＋︱b－c－a︱＋︱c－a＋b︱＝
.
③已知一个等腰三角形的两边长分别为5cm和9cm，那么这个三角形的周长为19cm或23cm.
.
三、课堂小结：
四、课堂检测：
1.如图⑸，共有
个三角形，
其中以AC为边的三角形有
个.
2.一个等腰三角形的两边分别为7cm和10cm，则它的周长
为
.
3.一个等腰三角形的两边分别为2cm和5cm；则它的周长为
.
4.一个三角形的周长为15cm,且其中两边都等于第三边的2倍，，那么这个三角形的最短边长为
.
5.已知一个三角形的两边长分别为5cm和9cm，那么这个三角形的第三边x的取值范围
是
＜x＜
.
六、课后作业
⒈书面作业：
⑴课本P69习题7.1“1”（做书上）
⑵课本P69习题7.1“2”（做书上）
⑶等腰三角形底边为4.腰长为b,则b一定满足(
)
A．b＞2
B.
2＜b＜4
C.
2＜b＜8
D.b＜8
⑷已知三条线段的比是：①2∶3∶4；②
1∶2∶3；③2∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥6∶8∶10.其中可构成三角形的有
(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
⑸已知三角形的三边长为连续的整数，且周长为12cm，则它的最短边长为
(
)
A.
2cm
B.
3cm
C.
4cm
D.
5cm
⑹已知a,b,c为三角形的三边，则︱a＋b―c︱－︱b－c－a︱的化简结果是(
)
A.2a
B.
－2b
C.2a＋2b
D.2b－2c
⑺已知等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm,且它的周长大于14cm,则第三边长为
⑻已知等腰三角形的两边长分别为4，9，求它的周长.
⒉跟踪训练：
⑴如图⑹所示，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘
的一侧选取一点O，测得OA＝15cm，OB＝10cm,A、B间的
距离不可能是（
）
A.20cm
B.15cm
C.10cm
D.5cm
⑵下列说法①等边三角形是等腰三角形；
②三角形任意两边的和大于第三边；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
⑶已知三角形的两边长分别为4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（
）
A.13cm
B.6cm
C.5cm
D.4cm
⑷三角形的一边长为5，一边长为13，则第三边x的取值范围是（
）
A.
5＜x＜
13
B.
8＜x＜18
C.x＞8
D.
x＜18
⑸已知三角形三边的比是3∶4∶5，其周长为48cm，那么它的三边长为
.
⑹三角形有两边长为5和1，第三边为奇数，则此三角形的周长为
.
⑺已知周长小于13的三角形三边长都是质数，且其中一条边a长为3，求符合条件的三角形的个数.
⑻一个等腰三角形的一条边长为6，另两边长是不小于3且不大于13的奇数，求这个等腰三角形的周长.积的乘方
教学目标：经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．进一步体会幂的意义．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
教学重点与难点：积的乘方运算法则及其应用；幂的运算法则的灵活运用．
教学过程：
一、回顾旧知识
同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘
二、创设情境，引入新课
问题：已知一个正方体的棱长为2×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
学生分析，并得出结论，该正方体的体积为V=(2×103)3cm3
提问：
体积V=（2×103）3cm3
，结果是幂的乘方形式吗？底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒．
三、自主探究，引出结论
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
①(ab)2=(ab) (ab)=(a a) (b b)=a(
)b(
)
②(ab)3=______=_______=a(
)b(
)
③(ab)n=______=______=a(
)b(
)（n是正整数）
2．分析过程：
①(ab)2=(ab) (ab)=
(a a) (b b)=a2b2；
②(ab)3=(ab) (ab) (ab)=(a a a) (b b b)
=a3b3；
③(ab)n==() ()=anbn
3．得到结论：
积的乘方：(ab)n=an bn (n是正整数)
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：
an bn=(ab)n（n为正整数）
an bn=() ()──幂的意义
=──乘法交换律、结合律
=(a b)n
──乘方的意义
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
四、小结：
1．总结积的乘方法则，理解它的真正含义
2．幂的三条运算法则的综合运用幂的乘方
教学目标：经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．
教学重点与难点：会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用．
教学过程：
一、回顾同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；即
am·an
=
am+n（m、n都是正整数）
二、自主探索，感知新知
64表示_________个___________相乘
(4个6相乘)
(62)4表示_________个___________相乘
(4个62相乘)
a3表示_________个___________相乘
(3个a相乘)
(a2)3表示_________个___________相乘
(3个a2相乘)
推广形式，得到结论
1．(am)n表示_______个________相乘
(n个am相乘)
=________×________×…×_______×_______
(=)
=__________
(=
amn)
即(am)n
=
______________(其中m、n都是正整数)
2．通过上面的探索活动，发现了什么？
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
三、例：判断题，错误的予以改正
（1）a5+a5=
2a10
（
×
）a5+a5
=
2a5
（2）(x3)3
=
x6
（
×
）(x3)3
=
x9
（3）(－3)2·(－3)4
=
(－3)6
=
－36
（
×
）(－3)2·(－3)4
=
(－3)6
=
36
（4）x3+y3=
(x+y)3
（
×
）
x3与y3无法合并同类项
（5）[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0
（
√
）
四、小结：
幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
15．2．1分式的乘除(一)
一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.
二、重点、难点
1．重点：会用分式乘除的法则进行运算.
2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算
.
三、例、习题的意图分析
1．P135本节的引入还是用问题1求水面的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的水面的高是，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出P135[思考]从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则.但分析题意、列式子时，不易耽误太多时间.
2．P136例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简.
3．P136例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.
4．P136例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1
1.出示P135本节的引入的问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.
[引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.
1.从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.
2.类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？
类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.
五、例题讲解
例1：
[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.
例2：
[分析]
这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.
例3：
[分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是、，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1,因此(a-1)2=a2-2a+1
计算
（1）
（2）
（3）
（4）-8xy
（5）
（6）
七、课后练习
计算
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
八、答案：
六、（1）ab
（2）
（3）
（4）-20x2
（5）
（6）
七、（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
课后反思：§15.1.2
分式的基本性质
一、教学目标
1．使学生理解并掌握分式的基本性质及变号法则，并能运用这些性质进行分式的恒等变形．
2．通过分式的恒等变形提高学生的运算能力．
3．渗透类比转化的数学思想方法．
二、教学重点和难点
1．重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键．
2．难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形．
三、教学方法
分组讨论．
四、教学手段
幻灯片．
五、教学过程
(一)复习提问
1．分式的定义？
2．分数的基本性质？有什么用途？
(二)新课
1．类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：
2．加深对分式基本性质的理解：
例2
填空：
（1）
，
解：∵x≠0，
同理可化简第二个.
（2）
学生自己解答.
把学生分为四人一组开展竞赛，看哪个组做得又快又准确，并能小结出填空的依据．
练习1：
化简下列分式(约分)
例3（1）
（2）
（3）
教师给出定义：
把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分.
问：分式约分的依据是什么？
分式的基本性质
在化简分式
时，小颖和小明的做法出现了分歧：
小颖：
小明：
你对他们俩的解法有何看法？说说看！
教师指出：一般约分要彻底,
使分子、分母没有公因式.
彻底约分后的分式叫最简分式.
练习2（通分）：
把各分式化成相同分母的分式叫做分式的通分.
例4：（1）
与
（2）
与
解：（1）最简公分母是
（2）最简公分母是（x-5）（x+5）
(三)课堂小结
1．分式的基本性质．
2．性质中的m可代表任何非零整式．
3．注意挖掘题目中的隐含条件．
4．利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件．三角形的内角
[教学目标]
掌握三角形内角和定理。
[重点难点]
三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。
[教学过程]
一、导入新课
我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？
二、三角形内角和的证明
回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出
∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。[投影1]
图1
想一想，还可以怎样拼？
①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
图2
②把和剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。
证明一
过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800
∴∠A+∠B+∠ACB=1800。
即：三角形的内角和等于1800。
由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。
三、例题
例
如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：怎样能求出∠ACB的度数？
根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。
∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？
解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300
∵AD∥BE
∴∠BAD+∠ABE=1800
∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000
∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600
∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900
答：从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900。
三角形的外角
[教学目标]
1、理解三角形的外角；
2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。
[重点难点]
三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。
[教学过程]
一、导入新课
〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。
若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
二、三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
想一想，三角形的外角共有几个？
共有六个。
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.
三、三角形外角的性质
容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？
〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CE∥AB，
∴∠A=∠1，∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由加数与和的关系你还能知道什么？
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
即
，。
四、例题
〔投影3〕例
如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？
分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？
解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600。
你能用语言叙述本例的结论吗？
三角形外角的和等于3600。
五、课堂小结
1、什么是三角形的外角？
2、三角形的外角有哪些性质？14.1.1
同底数幂的乘法
（一）教学目标
知识与技能目标：
理解同底数幂乘法的性质．
掌握同底数幂乘法的运算性质．
能够熟练运用性质进行计算．
过程与方法目标：
通过推导运算性质训练学生的抽象思维能力．
通过用文字概括运算性质，提高学生数学语言的表达能力．
情感态度与价值观：
通过学生自己发现问题，培养他们解决问题的能力，进而培养他们积极的学习态度．
教学重点：
同底数幂的乘法运算法则的推导过程．
会用同底数幂的乘法运算法则进行有关计算．
教学难点：
在导出同底数幂的乘法运算法则的过程中，培养学生的归纳能力和化归思想
（二）教学程序
教学过程
师生活动
设计意图
问题情境导入新课在an这个表达式中，a是什么？n是什么？当an作为运算结果时，又读作什么？参考答案：a是底数，n是指数，an又读作a的n次幂
问题情境导入新课有助于激发学生的学习兴趣
新知讲解探究1：光的速度约是3×108m/s，太阳光照射到地面表面所需时间约是5×102s，那么(3×108)×(5×102)表示什么？探究2：现代天文学家认为银河系是一个由1000多亿颗大大小小的恒星和大量气体及尘埃组成的巨大盘状系统，中间厚、四周薄，就象一块“铁饼”，“铁饼”的直径达10光年，1光年是光在空气中1年传播的距离，那么请你算算:1光年约是多少千米？，银河系的直到约多少千米？探究3：一种电子计算机每秒可进行1014次运算，那么它工作103秒可进行多少次运算？做一做：1.计算下列各式：10×104；104×105；103×105参考答案：根据乘方的意义，可以得到：
10×104
=105；
104×105=109;
103×105=108;如：103×105＝(10×10×10)
×(10×10×10×10×10)＝10×10×10×10×10×10×10×10＝1082.
怎样计算10m 10n（m、n是正整数）参考答案：10m×10n＝(10×10×…10×10)
×(
10×10×…×10)
＝(
10×10×…×10)＝10m+n所以：10m 10n=10m+n（m、n是正整数）3.
当m，n是正整数时2m 2n等于什么？参考答案：2m×2n＝(2×2×…2×2×2×2)
×(
2×2×…×2)
＝(
2×2×…×2)＝2m+n对于：am×an（m，n）都是正整数，该如何计算？am×an＝(a×a×…a×a×a×a)
×(a×a×…×a)
＝(
a×a×…×a)＝am+n归纳：同底数幂相乘，底数不变，指数相加推广:
am an ap等于什么？（m，n，p是正整数）am an ap＝am+n+p
通过三个探究问题让学生体会生活的周围存在着大量的较大的数据，数的世界充满着神奇，期待学生去探索研究通过3个做一做让学生在相互交流中学习新知识,培养学生的合作学习能力,独立思考能力和语言表达能力.通过多方讨论最后得出:
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.使学生对次知识点有更深的理解.
探究：例题讲解：例题1：下面运用所学的知识来判断以下的计算是否正确，如果有错误，请指出产生错误的原因.（1）a2+a2＝a4
（2）a2 a3＝a6 （3）a2 a3＝a5 （4）xm+xm＝2xm (5)
xm xm＝2xm
（6）3m+2m＝5m参考答案：（1）错误；a2+a2＝2a2（2）错误；a2 a3＝a2+3＝a5（3）对（4）对（5）错误；xm xm＝x2m（6）错误例题2：计算（1）(-8)12×(-8)5
（2）x x7（3）-
a3 a6
（4）a3m a2m-1
(m是正整数)参考答案：（1）(-8)12×(-8)5=(-8)12+55=(-8)17
（2）x x7=
x1+7=
x8
（3）-
a3 a6=-a3+6=-a9（4）a3m a2m-1=
a3m+2m-1=
a5m-1例题3：计算（1）10×104×103×105
（2）a2 a3 a5参考答案：（1）10×104×103×105=101+4+3+5=1013（2）a2 a3 a5=
a2+3+5=
a10例4：一颗卫星绕地球运行的速度是7.9×103m/s，，求这颗卫星运行1h的路程。参考答案：2.844×107（米）问题：用科学记数法如何记数？有怎样的要求？把一个较大的数写成a×10n（n是正整数），其中1≤a＜10.归纳:同底数幂的乘法，是整式乘法运算的基础，学好同底数幂的乘法法则，要注意以下几点：
（1）用法则时，首先要看是否同底，底不同就不能直接用.
（2）指数相加，而不是相乘，不能与幂的乘方法则相混淆.
（3）底数不一定只是一个数或一个字母，可以是一个单项式或多项式.（4）底数是相反数时，可以由幂的运算性质变成同底数的幂进行运算.（5）幂的个数可以推广到任意个数.
本例题旨在让学生真正理解同底数幂的乘法法则.本例题是同底数幂的乘法法则的具体应用,培养学生应用数学知识的能力.回忆科学计数法的有关知识,是前后所学知识相互联系.根据例题出现的问题总结学好同底数幂的乘法法则，要注意的事项,为提高学生的运算能力奠定了基础.
四、达标训练计算下列各题：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）（m、n是正整数）参考答案：（1）（2）（3）
此题也可以由以下解法得到结果：（4）（5）（6）
（7）
（8）
为正整数
必为奇数
帮助学生及时巩固、运用所学知识.并且体验到成功的快乐.养成学生规范的答题习惯和正确的思维.(3)给学生提供不同的解法,开拓学生的思维.
五、点评与小结让学生小结本节课所学内容，应注意的地方.
激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会.
六、作业
由学生根据自己学习能力，恰当选做，既面向全体学生，又满足不同学生的学习需要.
板书设计：
同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
am×an＝(a×a×…a×a×a×a)
×(a×a×…×a)
＝(
a×a×…×a)＝am+n
n个10
m个10
(m+n)个10
n个2
m个2
(m+n)个2
m个a
n个a
(m+n)个a
n个a
m个a
(m+n)个a等边三角形
导学活动过程
教学目标：知识与能力了解等边三角形的性质和判定方法。会用等边三角形得相关性质解决简单的实际问题。情感、态度和价值观经历通过探究发现规律的过程，感受数学学习的乐趣，激发数学学习的兴趣。经历通过应用等边三角形的相关性质解决实际问题的过程，体会数学与现实的密切联系，感受数学的应用价值，培养应用意识。教学重点、难点重点：等边三角形的性质、判定方法和应用；含30°角的直角三角形的性质；几何问题的代数解法。难点：理解含30°角的直角三角形的性质的理论依据。教学设计：回顾旧知，引入新知引导学生回顾等腰三角形的相关知识，指出本节课将讨论一类特殊的等腰三角形----等边三角形。给出等边三角形的概念。三边都相等的三角形叫做等边三角形。提出下列问题，组织学生进行分组讨论。问题：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形满足什么条件就是等边三角形？提醒学生等边三角形是等腰三角形的特例，显然它在有等腰三角形的所有性质的同时还应该满足一些特殊的性质。一段时间之后，师生共同分析讨论，归纳出等边三角形的性质和判定方法。由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到：
⑴等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形．
⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．二、等边三角形性质的运用学生互相交流，并尝试完成，教师巡视班级，观察监督学生活动情况。鼓励学生积极发言，师生共同分析、讨论，给出问题的解答。尝试其它解法。
形式
个
人
备
课
集体研讨与个案补充
导学活动过
2、随堂练习：课本80页练习1、23、多媒体展示如下问题
让学生动手操作，用两个含30°角的三角尺摆一摆，猜一猜，证一证。用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．
其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．图（1）中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB．
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
形式
个
人
备
课
集体研讨与个案补充
展示
例5：右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°，所以DE=AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB．
[例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
求：CD的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，可求出CD．三、布置思考题及课后作业1、思考题：
展开你的想象，从一个或几个图形出发，利用轴对称变换或与平移进行组合，设计出一些图案，并与同学交流。2、课后作业
反思15．3分式方程
一、教学目标：
1．了解分式方程的概念,
和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检
验一个数是不是原方程的增根.
二、重点、难点
1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是
原方程的增根.
三、例、习题的意图分析
1．P149思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因.
2．P149的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法.
3．P150思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P151的归纳出检验增根的方法.
4．P151归纳提出检验增的方法的理论根据是什么？
5.
教材P154习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数.
这种方程的解必须验根.
四、课堂引入
1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程
2．提出本章引言的问题：
一艘轮船在静水中的最大航速为30
km/h，它以最大航速沿江顺流航行90
km所用时间，与以最大航速逆流航行60
km所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v
km/h，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程.
像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
五、例题讲解
（P151）例1.解方程
[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化
为整式方程，整式方程的解必须验根
这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便.
（P151）例2.解方程
[分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根.
六、随堂练习
解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
七、课后练习
1．解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
2．X为何值时，代数式的值等于2？
八、答案：
六、（1）x=18
（2）原方程无解
（3）x=1
（4）x=
七、1．
（1）
x=3
（2）
x=3
（3）原方程无解
（4）x=1
2.
x=
课后反思：
15．3分式方程(二)
一、教学目标：
1．会分析题意找出等量关系.
2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.
二、重点、难点
1．重点：利用分式方程组解决实际问题.
2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.
三、例、习题的意图分析
本节的例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.
例
4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同（1）本题中涉及到的列车平均提速v
km/h，提速前行驶的路程为s
km.用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v、s和未知数x，表示提速前列车行驶s
km所用的时间，提速后列车的平均速度设为未知数x
km/h，以及提速后列车行驶（x+50）
km所用的时间.
这两道例题都设置了带有探究性的分析，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究，教师不要替代他们思考，不要过早给出答案.
教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要独立地分析、解决实际问题，所以教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力.
四、例题讲解
例3
分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.
等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1
例4
分析：是一道行程问题的应用题,
基本关系是：速度=.这题用字母表示已知数（量）.等量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间
五、随堂练习
1.
学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.
2.
一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天
3.
甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.
六、课后练习
1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快
，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
2．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？
3．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？
七、答案：
五、1.
15个，20个
2.
12天
3.
5千米/时，20千米/时
六、1.
10千米/时
2.
4天，6天
3.
20升
课后反思：画轴对称图形
【教学目标】
1.知识与能力：
（1）能够作轴对称图形；
（2）能够经过探索利用坐标来表示轴对称；
（3）能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．
2.过程与方法：
在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受函数与生活的联系．
3.情感、态度与价值观：
培养学生的应用意识和探究精神．
【教学重点】
（1）能够作轴对称图形；
（2）能够经过探索利用坐标来表示轴对称；
（3）能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．
【教学难点】
用轴对称知识解决相应的数学问题．
【教学方法】
创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学过程】
1.创设情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容
活动1
观察图片
操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
学生活动设计：
学生观察图片，动手操作、观察所画图形，先独立思考，然后进行交流．
教师活动设计：
教师组织活动，引导学生作以下归纳：
（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；
新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
活动2
问题
如图（1），已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？
图（1）
图（2）
学生活动设计：
学生进行讨论，然后根据讨论的结果独立作图，最后交流想法．根据轴对称的性质，只需要作出点A、B、C关于直线l的对称点再连接就可以了．
教师活动设计：
在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．如图（2），作点A关于l的对称点的方法是：
（1）过A作l的垂线垂足为O；
（2）连接AO并延长到A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．最后进行归纳．
几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；
对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
活动3
二、观察操作，主动探索，研究坐标系内的轴对称
活动4
问题
在平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？
已知点
A(2，－3)
B（－1，2）
C（－6，－5）
D（0.5，1）
E（4，0）
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
学生活动设计：
学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间坐标的关系，经过讨论得出规律．
点（x，y）关于x轴对称的点的作标是（x，－y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的作标是（－x，y）．
教师活动设计：
组织学生进行探索，观察猜测，然后进行归纳总结．
活动5
问题
如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．
学生活动设计：
学生根据活动4中发现的规律，首先求出点A、B、C、D关于x轴、y轴的对称点，然后再连接对称点即可．
教师活动设计：
本活动主要巩固加深学生对利用坐标表示轴对称的理解，所以要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程．
三、应用提高、拓展创新
问题
如图所示：要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
教师和学生活动设计：
分组讨论，让学生探索：在街道上找一点C，使得AC+BC为最小．通过学生活动，使他们懂得：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小，这时作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
学生自主探索其中的原因（原因：在直线l上取异于点C的点D，由于l垂直平分AA′，所以得到DA=DA′，所以DA+DB=DA′＋DB，根据两点之间线段最短得到DA′＋DB＞A′B，而A′B＝A′C+BC=AC+BC，于是有AD+DB>AC+BC．）
四、归纳小结、布置作业
小结：
1．作轴对称图形；
2．用坐标表示轴对称．13.1.2
线段的垂直平分线的性质
教学目标
①探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．
②探索并理解线段垂直平分线的两个性质．
③通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法．
④在数学学习的活动中，养成良好的思维品质．
教学重点与难点
重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质．
难点：由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述．
教学过程
Ⅰ、情境导入
1．下面的图形是轴对称图形吗 如果是，请说出它的对称轴．
2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系 (如下图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称)
3．如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、B、C的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系
Ⅱ、自主探究
探究1：要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，
用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A和点A'，
折痕为直线MN(如图3)．显然，此时点A和点A'关于直线MN对称．连结点
A，A'，交直线MN于点P．
观察图形，线段AA'与直线MN有怎样的位置关系 你能说明理由吗
类似地，点B与点B'，点C与点C'是否也有同样的关系 你能用语言归纳上述发现的规律吗
上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢
探究2：如图，木条MN与AB钉在一起，MN垂直平分AB，P1，P2，P3，……是MN上的点，分别量一下点P1，P2，P3，……到A与B的距离，你有什么发现吗？你能说明理由吗
探究3:反过来PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？为什么？
Ⅲ、交流归纳
通过探究1首先知道垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线；
学生归纳出图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
探究2可以得出垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点与这条线段两个端点的距离相等。
探究3可以得到垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
Ⅳ、巩固训练
(1)图8是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO＝BO，为什么
(2)如图9，△ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26cm，求BC的长．
(3)有A、B、C三个村庄(如图10)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．
Ⅳ、总结提升
1．本节课你学到了什么
(1)从知识上：一个概念(线段的垂直平分线)，四条性质(轴对称图形的性质、垂直平分线的性质)；
(2)从方法上：合作探究是数学学习的一种重要方法，数学与实际问题的联系．
2．轴对称图形的性质与线段垂直平分线的性质之间的联系；在解决问题的过程中所看到的新旧知识之间的联系(如全等三角形)．
拓展训练：1.
如图
2，AB＝AD，BC＝DC，E
是
AC
上的一点．求证：BE＝DE
2.
如右图所示，已知AB＝AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB＝12cm，BC＝l0cm，.求△BCD的周长。
图3
图3
图4
图7
图8
图9
图1015．2．3整数指数幂
一、教学目标：
1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）.
2．掌握整数指数幂的运算性质.
3．会用科学计数法表示小于1的数.
二、重点、难点
1．重点：掌握整数指数幂的运算性质.
2．难点：会用科学计数法表示小于1的数.
三、例、习题的意图分析
1．P142
思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质.
2．P142
思考是为了引出同底数的幂的乘法：，这条性质适用于m,n是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，在整数范围里也都适用.
3．P144例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.
4．P145中间一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数.
用科学计算法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识.
用科学计数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.
5．P145思考提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出：对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几.
6．P145例10是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数.
四、课堂引入
1．回忆正整数指数幂的运算性质：
（1）同底数的幂的乘法：(m,n是正整数)；
（2）幂的乘方：(m,n是正整数)；
（3）积的乘方：(n是正整数)；
（4）同底数的幂的除法：(
a≠0，m,n是正整数，m＞n)；
（5）商的乘方：(n是正整数)；
2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，.
3．你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=米吗？
4．计算当a≠0时，===，再假设正整数指数幂的运算性质(a≠0，m,n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么==.于是得到=（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，=（a≠0）.
五、例题讲解
例9.计算
[分析]
是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数
指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.
例10.
[分析]
是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数.
六、随堂练习
1.填空
（1）-22=
（2）(-2)2=
（3）(-2)
0=
（4）20=
(
5）2
-3=
(
6）(-2)
-3=
2.计算
（1）
(x3y-2)2
（2）x2y-2
·(x-2y)3
（3）(3x2y-2)
2÷(x-2y)3
七、课后练习
1.用科学计数法表示下列各数：
0．000
04，
-0.
034,
0.000
000
45,
0.
003
009
2.计算
（1）
(3×10-8)×(4×103)
（2）
(2×10-3)2÷(10-3)3
八、答案：
六、1.（1）-4
（2）4
（3）1
（4）1
（5）
（6）
2.（1）
（2）
（3）
七、1.（1）
4×10-5
（2）
3.4×10-2
（3）4.5×10-7
（4）3.009×10-3
2.（1）
1.2×10-5
（2）4×103
课后反思：12.2全等三角形的判定
【学习目标】：
1.
经历探索三角形全等条件的过程（即如何用尺规作图：已知三边作三角形），体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
2.
记住全等三角形的识别方法（S.S.S），并会运用该方法判断三角形是否全等.
【学习重难点】：
理解三边对应相等的两个三角形全等.
【自学指导】：
一
、学生看书并理解：
思考:要使两个三角形全等,
是否一定要六个条件呢
满足下列条件的两个三角形是否一定全等:
一个条件：一边相等的两个三角形或一角相等的两个三角形；两个条件：两个边分别相等的两个三角形，两个角分别相等的两个三角形或一个角和一条边分别相等的三角形；三个条件：三条边分别都相等的两个三角形全等吗？
思考：将三根木条钉成一个三角形木架,这个三角形木架的形状,大小就不变了.你能用“边边边”解释这个事例吗？（三角形的三边长度固定，这个三角形的形状大小就完全确定，这个性质叫三角形的稳定性。）
证明题的普遍出现！理解证明题中证明两个三角形的基本步骤，书写方式要注意那些？
二、自学检测：
1.如图，已知AB=DE
BC=EF
CA=FD
证明△ABC
≌△DEF
(对应顶点写在对应的位置)
2.如图,
△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证:
△ABD≌
△ACD
SHAPE
\
MERGEFORMAT
3.如图，已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上，AD=FB，证明△ABC
≌△
FDE
SHAPE
\
MERGEFORMAT
三、师生共同探讨，总结：
关于全等三角的证明题的基本做法，写的过程需要注意的数学语言。
四、例题讲解：
P9例2
五、提高练习：
1．已知，如图，AD=BC，AE=FC，DF=BE。求证：∠B=∠D．
六、作业与学后反思：
1.
已知：如图，AB=CD，AD=CB，求证：△ABC≌△CDA.
2.
已知：如图，AB=DC，AC=DB.求证：（1）∠ACB=∠DBC；（2）.
3.
已知：如图，AB=AC，D是BC中点，
（1）
求证：△ABD≌△ACD；（2）
求证：AD⊥BC；
（3）
若∠BAD=25°，则∠BAC是多少度？
4.
已知：如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC.求证：∠B=∠D.
12.2.2《三角形全等的判定》教案
【学习目标】
1、掌握三角形全等的“SＡS”条件，能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，做最佳自己。
学习重点：SAS的探究和运用.
学习难点：领会两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
【学习过程】
一、自主学习
1、复习思考
（1）怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定（一）的内容是什么？
（2）上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应相等；两角和一边对应相等；两边和一角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一边的对角两种情况。
2、探究一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？
(1)动手试一试
已知：△ABC
求作：，使，，
(2)
把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形
（可以简写成“
”或“
”）
(4)用数学语言表述全等三角形判定（二）
在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌
3、探究二：两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？
通过画图或实验可以得出：
4.例题学习
（再次温馨提示：证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时需要用的间接条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
A、写出在哪两个三角形中，B、摆出三个条件用大括号括起来，C、写出全等结论。）
5.我的疑惑：
二、学以致用
三、当堂检测
1、
如图，AD⊥BC，D为BC的中点，那么结论正确的有
A、△ABD≌△ACD
B、∠B=∠C
C、AD平分∠BAC
D、△ABC是等边三角形
2、如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到△AOC≌△BOD
(允许添加一个条件)
3、
﹡四、能力提升：（学有余力的同学完成）
如图，已知CA=CB,AD=BD,M、N分别是CA、CB的中点，求证：DM=DN
五、课堂小结
1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。简写成“
”或“
”
2、到目前为止,我们一共探索出判定三角形全等的2种方法，它们分别是:
和
12.2.3三角形全等的判定教案
1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
学习重点：已知两角一边的三角形全等探究．
学习难点：灵活运用三角形全等条件证明．
【学习过程】
一、自主学习
1、复习思考
（1）．到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
（2）．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？
2、探究一：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形是否全等？
(1)动手试一试。
已知：△ABC
求作：△，使=∠B,
=∠C，=BC，（不写作法，保留作图痕迹）
(2)
把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（三）：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
（可以简写成“
”或“
”）
(4)用数学语言表述全等三角形判定（三）
在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌
3、探究二。两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等
（1）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用前面学过的判定方法来证明你的结论吗？
（2）归纳；由上面的证明可以得出全等三角形判定（四）：
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形
（可以简写成“
”或“
”）
(3)用数学语言表述全等三角形判定（四）
在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌
二、合作探究
1、例1、如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．
2．已知：点D在AB上，点E在AC上，
BE⊥AC,
CD⊥AB,AB=AC，求证：BD=CE
三、学以致用
3、如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+CE
四、课堂小结
（1）今天我们又学习了两个判定三角形全等的方法是：
（2）三角形全等的判定方法共有
五、课后检测
1、
2、
3、
4.满足下列哪种条件时,就能判定△ABC≌△DEF
(
)
A.
AB=DE,BC=EF,
∠A＝∠E;
B.
AB=DE,BC=EF,
∠C＝∠F
C.
∠A＝∠E,AB=EF,
∠B＝∠D;
D.
∠A＝∠D,AB=DE,
∠B＝∠E
5.如图所示,已知∠A＝∠D,∠1＝∠2,那么要
得到△ABC≌△DEF,还应给出的条件是:(
)
A.
∠B＝∠E
B.ED=BC
C.
AB=EF
D.AF=CD
6.如6题图,
在△ABC和△DEF中,AF=DC,
∠A＝∠D,
当_____________时,可根据“ASA”证明△ABC≌△DEF
12.2.4三角形全等的判定
教案
【学习目标】
1、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；
2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；
3.
极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。
学习重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
学习难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
【学习过程】
一、自主学习
1、复习思考
(1)、判定两个三角形全等的方法：
、
、
、
(2)、如图，Rt△ABC中，直角边是
、
，斜边是
(3)、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
①若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”
）
根据
（用简写法）
②若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”
）
根据
（用简写法）
③若AB=DE，BC=EF，
则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”
）根据
（用简写法）
④若AB=DE，BC=EF，AC=DF
则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等”
）根据
（用简写法）
2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？
(1)动手试一试。
已知：Rt△ABC
求作：Rt△，
使=90°，
=AB,
=BC
作法：
(2)
把△剪下来放到△ABC上，观察△与△ABC是否能够完全重合？
(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法
斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形
（可以简写成“
”或“
”）
(4)用数学语言表述上面的判定方法
在Rt△ABC和Rt中,
∵
∴Rt△ABC≌Rt△
（5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法
“
”、
“
”、
“
”、
“
”、
还有直角三角形特殊的判定方法
“
”
二、合作探究
1、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
三、学以致用
1、如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，
则△ADB与△ADC
（填“全等”或“不全等”
）
根据
（用简写法）
2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（
）
A、两条直角边对应相等
B、斜边和一锐角对应相等
C、斜边和一条直角边对应相等
D、两个锐角对应相等
3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，
AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
答：AB平行于CD
理由：∵
AF⊥BC，DE⊥BC
（已知）
∴
∠AFB=∠DEC=
°（垂直的定义）
∵BE=CF，∴BF=CE
在Rt△
和Rt△
中
∵∴
≌
（
）
∴
=
（
）
∴
（内错角相等，两直线平行）
四、能力提升：（学有余力的同学完成）
如图1，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E点，BF⊥AC于F点，若AB=CD,AF=CE,BD交AC于M点。（1）求证：MB=MD,ME=MF;(2)当E、F两点移动至图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论是否成立？若成立，给予证明。
五、当堂检测
如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则△ACE≌△BDF，根据
（5）
若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则△ACE≌△BDF，根据
六、课堂小结
这节课你有什么收获呢？与你的同伴进行交流
作业：
A
B
C
D
A
F
C
D
1
2
E
B
A
B
C
A1
B1
C111．2．2
三角形的外角
【教学目标】
1、知识与技能:使学生初步掌握三角形内角和定理的两个推论，并会应用．。
2、过程与方法：培养学生总结知识内容，使之条理化，以便加深理解和记忆，养成良好的学习习惯．
3、情感态度与价值观：
⑴培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的表达能力。
⑵通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
【重点】三角形内角和定理推论的应用．
【难点】三角形外角的概念．真正理解推论，并能灵活运用．
【课型】
新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
【学习过程】
一、目标导入
〔投影1〕如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
（是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。）
若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？
二、自主学习(1)：
1.自学内容：教材第15页“思考”上.
2.自学要求：学生理解三角形外角的概念。
三、交流展示(1)：
1：三角形外角的定义：________________________________
2：外角的特征有三：(1)顶点在___________上．(2)一条边是______________．(3)另一条边是__________________．
3、画出一个三角形，并画出它的所有外角。
4、下列图中，∠1、∠2、∠3哪些是△ABC的外角？
四、自主学习(2)：
1.自学内容：课本15页思考到15页第3行；
2.自学要求：学生理解三角形内角和定理推论
五、交流展示
(2)
容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系呢？
〔投影2〕如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CE∥AB，
∴∠A=∠1，∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由加数与和的关系你还能知道什么？
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
即
，。
六、自主学习(3)：
1.自学内容：课本15页例题；
2.自学要求：学生能灵活运用三角形内角和定理推论
例
如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？
分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？
解：∵∠1+∠BAC=1800，∠2+∠ABC=1800，∠3+∠ACB=1800，
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400
又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600。
你能用语言叙述本例的结论吗？
三角形外角的和等于3600。
七、交流展示(3)
1、课本15页练习
2、已知：D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于F，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°
求：(1)∠BDC度数．(2)∠BFD度数．
八、巩固练习：
1.
一个三角形的两内角分别55°和65°，它的外角不可能是（
）
A.
115°
B.
120°
C.
125°
D.
130°
2.
已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（
）
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
以上三种情况都有可能
3.
已知，如图，在△ABC中，D是三角形内一点，
求证：∠BDC>∠BAC。
九、小结
1、什么是三角形外角？
2、三角形的外角有哪些性质？
（1.
三角形的外角与它相邻的内角互补。
2.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
3.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.
三角形的外角和等于360°。
找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的方法是讲清定义，图形分析，变换位置，思路清晰．）
十、布置作业：课本16页2、5、6、8、10。
314.3.2《公式法》教案
教学目标
1.知识技能：①.掌握平方差公式分解因式的方法.
②.掌握提公因式法、平方差公式分解因式的综合运用.
2.数学思考：通过平方差公式逆向的变形，发展学生逆向思维.通过将高次偶数指数向2次指数的转化，培养学生的化归思想.
3.解决问题：①.发现并归纳出因式分解的又一方法：逆用整式乘法的平方差公式，得.
a2-b2=（a+b）（a-b）.
②.通过小组讨论让学生发现问题，解决问题，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性.
4.情感态度：培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法.
教学重点：运用平方差公式分解因式.
教学难点:
平方差公式的逆用及高次指数的转化、两种因式分解方法的灵活运用.
教学准备：
教学方法：小组合作探究式学习
教
具：多媒体课件
学
具：笔、纸、导学案
教学过程
一、导入新课
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
问题3：你能说出平方差公式的符号表示和语言表示吗？
问题4：你能将a2-b2分解因式吗？你是如何思考的？
（设计意图：使学生更好地理解多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解.）
二．探索新知
1.小组合作探究
观察平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）的项、指数、符号有什么特点？
（让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论）
（1）右侧是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
（2）左侧是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果，而在分解因式，“平方差”是得分解因式的多项式．
2.自主学习
见课件
3.例题解析：
出示投影片：
[例1]分解因式
（1）4x2-9
（2）（x+p）2-（x+q）2
[例2]分解因式
（1）x4-y4
（2）a3b-ab
（设计意图：通过教师展示和学生的演示讲解，使学生初步了解换元的思想方法和会运用平方差公式分解因式.）
三、巩固提升
见课件
四、课堂小结
五、课后作业
1.必做题：课本119页复习巩固2
2.选做题：①
将a2-b2-a-b因式分解.
②已知x,y,z均为正整数，且满足x2+z2=10,
y2+z2=13,求（x-y）z的值.
板书设计
学生板演
例题解析
例1.
例2.
14.3.2公式法
1.
a2-b2=（a+b）（a-b）；
2.注意的问题；《分式》教案
一、导学目标：
1、知识目标：了解分式产生的背景和分式的概念，以及分式与整式的区别于联系，掌握分式有意义的条件。
2、过程与方法：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过程，进一步培养符号感。
3、情感态度与价值观：通过丰富的现实情境及课堂学习，培养学生动手操作能力，实践及其探究能力及其团队合作精神。
二、导学重点：分式与整式的联系与区别，类比分数探究并学习分式有意义的条件。
三、导学难点：理解分式比分数更具有一般性，分式有意义的条件是表示分母的式子的值不能为零。
四、导学方式：教师指导下的学生有效合作学习。
五、导学活动设计：
引导学生结合下面六个活动认真自学课本全部内容，然后以小组合作讨论，探究完成活动内容，之后分组展示，教师和学生共同互动，点拨释疑。
活动一：填一填
1、长方形的面积为10
，长为7cm，宽应为
cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为
。
2、把体积为200的水倒入底面积为33的圆柱形容器中，水面高度为
cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，水面高度为
。
提示：通常5除以3可以写成，那么式子A除以B可以写成
活动二：想一想
1、观察思考上面填出式子中的有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
2、归纳分式的概念。
学生可能出现的思维困难：
1、分式是不同于整式的另一类有理式，且分母中含有字母是分式与整式的直接区别。
2、分式比分数更具有一般性，如：分数，仅表示5除以3的商。而分式则可以表示任何两个整式相除的商（除式不等于0），即可以表示5除以3，又可以表示8除以（-9）等等。
活动三：练一练
下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？这两类式子的区别是什么？
活动四：学一学
1、类比除法运算，除数不能为
，那么就是说分数有意义的条件是
，同样，分式的分母应满足什么条件？
2、对于分式，当B时，分式才有意义，当B时，分式无意义。
活动五：做一做
1、当x时，分式有意义；
2、当x
时，分式有意义；
3、当b时，分式有意义；
4、当x、y满足关系时，分式有意义。
学生可能出的思维困难：个别后进生很难理解或者准确找出分式的分母，根据分式有意义的条件确定分母不能为零，也就是分母中的字母取值是受制约的，进而求出上面字母满足的条件。
活动六：议一议
1、下面三个式子中，哪个是分式，那个是整式，讨论，交流，并说出你判断的理由：
提公因式法
教学目标
1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．
2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．
3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.
教学重点及难点
教学重点：因式分解的概念及提公因式法．
教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．
教学过程设计：
一、复习提问
乘法对加法的分配律．
二、新课
1．新课引入：用类比的方法引入课题．
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．
在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．
2．因式分解的概念：
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．)
如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc
2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy
(a+b)(a-b)＝a2-b2
(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn
(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10
等等．
再请学生观察它们有什么共同的特点？
特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．
可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．
联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．
区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式．
例1
下列各式从左到右哪些是因式分解？（投影）
(1)x2-x＝x(x-1)
(√)
(2)a(a-b)＝a2-ab
(×)
(3)(a+3)(a-3)＝a2-9
(×)
(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1
(×)
(5)x2-4x+4＝(x-2)2
(√)
下面我们学习几种常见的因式分解方法．
3．提公因式法：
我们看多项式：ma+mb+mc
请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．
注意：公因式是各项都含有的公共的因式．
又如：a是多项式a2-a各项的公因式．
ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．
2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．
根据乘法的分配律，可得
m(a+b+c)＝ma+mb+mc，
逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式
ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多 项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2
指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)ax+ay+a
(a)
(2)3mx-6mx2
(3mx)
(3)4a2+10ah
(2a)
(4)x2y+xy2
(xy)
(5)12xyz-9x2y2
(3xy)
例3
把8a3b2-12ab3c分解因式．
分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．
先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．
解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．
说明：
(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．
(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解．
例4
把3x2-6xy+x
分解因式．
分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．
解：3x2-6xy+x
=x·3x-x·6y+x·1
＝x(3x-6y+1)．
说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，
3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．
课堂练习：（投影）
把下列各式分解因式：
(l)2πR+2πr；
(2)
(3)3x3+6x2；
(4)21a2+7a；
(5)15a2+25ab2；
(6)x2y+xy2-xy．
例5
把-4m3+16m2-26m分解因式．
分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提"-"号时，注意添括号法则．
解：-4m3+16m2-26m
＝-(4m3-16m2+26m)
＝-2m(2m2-8m+13)．
说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．
课堂练习：（投影）
把下列各式分解因式：
(1)-15ax-20a；
(2)-25x8+125x16；
(3)-a3b2+a2b3；
(4)-x3y3-x2y2-xy；
(5)-3ma3+6ma2-12ma；
(6)
(三)小结
1．因式分解的意义及其概念．
2．因式分解与整式乘法的联系与区别．
3．公因式及提公因式法．
4．提公因式法因式分解中应注意的问题．
六、作业
七、板书设计15．2．2分式的加减（二）
一、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
二、重点、难点
1．重点：熟练地进行分式的混合运算.
2．难点：熟练地进行分式的混合运算.
三、例、习题的意图分析
1．
例7是分式的混合运算.
分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
例7只有一道题，训练的力度不够，所以应补充一些练习题，使学生熟练掌握分式的混合运算.
2．
P142页练习1：写出问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.
四、课堂引入
1．说出分数混合运算的顺序.
2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.
五、例题讲解
例7.计算
[分析]
这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
（补充）计算
（1）
[分析]
这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边..
解：
=
=
=
=
（2）
[分析]
这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.
解：
=
=
=
=
六、随堂练习
计算
（1）
（2）
（3）
七、课后练习
1．计算
（1）
（2）
（3）
2．计算，并求出当-1的值.
八、答案：
六、（1）2x
（2）
（3）3
七、1.（1）
（2）
（3）
2.
,-
课后反思：15．1分式
15.1.1从分数到分式
一、
教学目标
1．了解分式、有理式的概念.
2．理解分式有意义的条件，能熟练地求出分式有意义的条件.
二、重点、难点
1．重点：理解分式有意义的条件.
2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件.
三、课堂引入
1．让学生填写P127[思考]，学生自己依次填出：，，，.
2．学生看问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30
km/h，它沿江以最大航速顺流航行90
km所用时间，与以最大航速逆流航行60
km所用时间相等，江水的流速为多少？
请同学们跟着教师一起设未知数，列方程.
设江水的流速为v
km/h.
轮船顺流航行90
km所用的时间为小时，逆流航行60
km所用时间小时，所以=.
3.
以上的式子，，，，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不同点？
四、例题讲解
P128例1.
当下列分式中的字母为何值时，分式有意义.
[分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解
出字母的取值范围.
[补充提问]如果题目为：当字母为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念.
(补充)例2.
当m为何值时，分式的值为0？
（1）
（2）
（3）
[分析]
分式的值为0时，必须同时满足两个条件：分母不能为零；分子为零，这样求出的m的解集中的公共部分，就是这类题目的解.
[答案]
（1）m=0
（2）m=2
（3）m=1
五、随堂练习
1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
9x+4,
,
,
,
，
2.
当x取何值时，下列分式有意义？
（1）
（2）
（3）
3.
当x为何值时，分式的值为0？
（1）
（2）
（3）
六、课后练习
1．下列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？
（1）甲每小时做x个零件，则他8小时做零件
个，做80个零件需
小时.
（2）轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是
千米/时，轮船的逆流速度是
千米/时.
（3）x与y的差于4的商是
.
2．当x取何值时，分式
无意义？
3.
当x为何值时，分式
的值为0？
七、答案：
五、1.整式：9x+4,
,
分式：
,
,
2．（1）x≠-2
（2）x≠
（3）x≠±2
3．（1）x=-7
（2）x=0
（3）x=-1
六、1．18x,
,a+b,
,;
整式：8x,
a+b,
;
分式：,
2．x
=
3．x=-1
课后反思：等腰三角形
教学目标
1．等腰三角形的概念．
2．等腰三角形的性质．
3．等腰三角形的概念及性质的应用．
教学重点
1．等腰三角形的概念及性质．
2．等腰三角形性质的应用．
教学难点
等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是．
问题：那什么样的三角形是轴对称图形？
满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．
我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．
Ⅱ．导入新课
要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形．
作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．
等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．
思考：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系．
沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．
由此可以得到等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为
所以△BAD≌△CAD（SSS）．
所以∠B=∠C．
]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为
所以△BAD≌△CAD．
所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
分析：
根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
解：因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD（等边对等角）．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
[师]下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识．
Ⅲ．随堂练习
（一）阅读课本，然后小结．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．
Ⅴ．作业
课后作业：＜＜课堂感悟与探究＞＞
板书设计
13.3.1等腰三角形（一）
一、设计方案作出一个等腰三角形
二、等腰三角形性质
1．等边对等角
2．三线合一
参考练习
一、选择题
1．如果△ABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（
）
A．某一条边上的高;
B．某一条边上的中线
C．平分一角和这个角对边的直线;
D．某一个角的平分线
2．等腰三角形的一个外角是100°，它的顶角的度数是（
）
A．80°
B．20°
C．80°和20°
D．80°或50°
答案：1．C
2．C
二、已知等腰三角形的腰长比底边多2cm，并且它的周长为16cm．
求这个等腰三角形的边长．
解：设三角形的底边长为xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得
2（x+2）+x=16．
解得x=4．
所以，等腰三角形的三边长为4cm、6cm和6cm．《完全平方公式》
一、教材分析
说课内容：
《整式的乘除与因式分解》的《完全平方公式》。
教材的地位和作用：
完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用，重要的数学方法“配方法”的基础也是依据完全平方公式的。而且它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起作十分重要的作用。
本节内容共安排两个课时，这次说课是其中第一个课时。完全平方公式这一教学内容是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，教材从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。
教学目标和要求：
由课标要求以及学生的情况我将三维目标定义为以下三点：
知识与技能目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算。
过程与方法目标：在学习的过程中使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学建模的思想。
情感与态度目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立自信心。
教学的重点与难点：
根据对学生学习过程分析及课标要求我把重点定为：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。而难点应为完全平方公式的应用以及对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用。在教学过程中多处留有空白点以供学生独立研究思考。
二、教法与学法
（1）多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化，激发学生的兴趣。
（2）教学中逐步设置疑问，引导学生动手、动脑、动口，积极参与知识全过程。
（3）由易到难安排例题、练习，符合八年级学生的认知结构特点。
（4）课堂中，对学生激励为主，表扬为辅，树立其学习的自信心。
三、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
一、创设情景，推导公式计算1、想一想（电脑演示）一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种，（如图所示）⑴、分别写出每块实验田的面积；⑵、用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较，你发现了什么？2、算一算①、=？你能用多项式乘法法则说明理由吗？（引导学生说理）②、3、做一做
你能利用面积知识，仿照课本以及演示的动画，自己给出的示意图吗？二、自主探究，合作交流板书公式：①②1、问题：①这两个公式有何相同点与不同点？②你能用自己的语言叙述这两个公式吗？（教师参与）2、说一说：公式里的a、b能表示什么？三、利用模型，巩固新知例1：利用完全平方公式计算(1)(4m+n)
2
⑵(y-1/2)
2例2：利用完全平方公式计算（1）1022
（2）992思考：（a+b）2与（-a-b）2相等吗？（a-b）2与（b-a）2相等吗？（a-b）2与a2-b2相等吗？为什么？四、小结：问题：本节课，你学到了什么？本节课我们又学习了乘法的两个公式①②我们在运用公式时，要注意以下几点：1、将公式转化成数学模型，套用模型计算时，注意选择适合的模型；2、公式中的字母a、b可以是任意代数式；3、公式的结果有三项，不要漏项和写错符号五、作业：1、书面作业：课本习题15.2的第2题。2、试一试：（1）（a+b+c）2(2)(x+y-3)(x+y+3)3、阅读作业：课本157
“阅读与思考”。尝试展开(a+b)4、(a+b)
5
（要求学生从不同的角度表示图形的面积）观察动画，学生抢答：⑴、四块实验田的面积分别为：
、
、
、
；⑵、两种形式表示实验田的总面积：①整体看：边长
的大正方形，S=
；②部分看：四块面积的和，S=
。根据面积相等，学生猜测：
①学生运用多项式乘法法则推导出并说出每一步运算的道理。②学生自己探索，并小组互相交流所得的结果和所用的方法。（教师参与到小组中去，并给予困难学生帮助）同桌一组思考，并互相交流结果。（1）要求指明等式左右每部分所对应的几何背景学生4人一组讨论两个问题后①、填表：左边右边相
同点不同点②、学生用语言叙述完全平方公式。两数和（差）的平方等于两数平方的和加（减）两数积的二倍。学生自己思考，然后互相交流各种说法。教师板书，学生观看解答过程，留意如何直接运用公式。学生独立完成练习并展示计算结学生独立思考后集体交流学生回忆本节课所讲的内容，根据自己的体会，说出自己学到了什么。由教师引导学生给出注意的几点。
复习旧知，并以问题引入。由于试验田的总面积有多种表示方式，学生通过对比面积的不同表示，大胆猜测出公式，并对公式有一个直观认识。①学生在直观认识的基础上，从代数角度推导公式，可以培养学生的逻辑推理能力。②鼓励学生自己探索，鼓励算法多样化，尤其是对这种用已获得的知识来解决问题的方法，渗透了转化的数学思想，应充分给予肯定。通过学生自己动手，了解的几何背景。对于不同的答案，只要正确，就要给予肯定。引导学生合作交流学习。①、在参与的过程中引导学生互相交流各自的结果，鼓励学生倾听他人的看法，并从中获益。②、有意识培养学生有条理的思考和语言表达能力。对于学生的各种回答，只要有条理都要给予肯定。为学生提供充分从事数学活动的时间和空间，学生在自主探索、合作交流的氛围中，有机会分享同学的想法。重要的是得出a、b不仅能表示数字，也能表示整式。学习如何套用公式，利用直观模型解题，便于学生接受和掌握。将公式中的字母进行多种变化，帮助学生理解字母的广泛性，并训练学生利用模型进行计算的能力。使学生将学到的知识用自己的语言进行总结，也是对本课内容的一个回顾与复习。作业的设计充分体现层次性。“试一试”只要求感兴趣的同学探索。以不同层次要求不同的同学，体现分层次教学。阅读作业则是训练学生的自学能力。依据：分层次教学，为了每一位学生的发展的理念。
四、设计说明与评价
我将本节课定位为探究式教学活动，通过对教材进行适当的整合。让学生带着原有的知识背景、生活体验和理解走进学习活动，并通过自己的主动探索，与同学合作交流、反思等，构建对知识的形成和运用。
在整个教学过程中充分运用探究学习与合作学习。有学生之间的交流，也有师生之间的交流，在课堂中构建和谐，民主的气氛。
对于作业习题的布置打破传统的格局，使不同层面的学生得到不同发展。《因
式
分
解》
教
案
【教学目标】
知识技能目标：
1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。
2、熟练运用提取公因式法分解因式。
过程与方法目标：
在教学过程中，体会类比思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。
情感与态度目标:
通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。
【教学重点与难点】
重点:理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。
难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。
【教学方法与手段】
教法：类比、探究式教学方法
学法：自主、合作、探索的学习方法
【教具准备】
多媒体展示
【教学过程】
创设情景
组织学生先观看一段有关沙尘暴的视频（或图片）资料，并请学生谈谈看后有何感想。（2至3人）
提出问题
近年来，我国土地沙漠化严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有一些青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动。
如图，在沙漠边上开垦荒地植树造林。共开了三块，从左到右，它们的长分别是a﹑b﹑c,宽是m，那么一共开垦荒地的面积是？
方法一得：
方法二得：
总结：因此=
利用整式乘法验证：
=
我们把=这一变换过程称作因式分解。
出示课题：因式分解
概念：像这样把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，称作因式分解。
对象：多项式
结果：整式的乘积形式
学生举例：（说明什么是因式分解）
思考：整式的乘法与因式分解的关系
1、
因式分解
整式的乘法
2、利用整式的乘法检验因式分解的正确性。
辩一辩：判断下列各式是不是因式分解，为什么？
⑴
12x3y2=3x3·4y2
⑵
5x-5y+5z=5(x-y+z)
⑶ax+bxy-xy=ax+xy(b-1)
⑷a2-b2=(a-b)·(a+b)
说明：1、等式左边是多项式，右边是整式的乘积形式;
2、因式分解一般分解到不能再分解为止。
三、
引入新知
=想学习这样分解因式的方法吗？
这种方法就是提取公因式法，哪什么叫做公因式呢
公
因
式：多项式中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。
根据多项式和提供的整式，寻找出下面多项式的公因式。
①
3a+3b
②
3a2-9ab
③
21x2y2+7x2y
3
,
a
,
b
3a2
,
3ab
,
3a
21xy
,
7x2y
,
7x2y2
④
-x3y2+3xy2-xy
⑤
x(x-y)2-y(x-y)
xy
，-xy
,
3xy
x(x-y)
,
y(x-y)
,
(x-y)
寻找公因式的方法：
⑴
取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式中的数字因式。
⑵
各项中的相同字母（或多项式）作为公因式中的字母（或多项式），并取它们的最低次幂。
提取公因式法：把公因式提出来，多项式就分解成m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解方法叫做提公因式法。
例：把下列各式因式分解：
⑴
3a+3b
⑵
3a2-9ab
⑶
21x2y2+7x2y
⑷
-x3y2+3xy2-xy
易出现的典型错误：
1、符号
2、项数
例：⑸
x(x-y)2-y(x-y)
⑹
（x-y）3
-(y-x)2
注：n为偶数
（x-y）n=
(y-x)n
n为奇数
（x-y）n=
-(y-x)n
探索：a2-bc+ac-ab能因式分解吗
方法1：（a2+ac）+（-bc-ab）
方法2：（a2-ab）+（ac-bc）
方法3：（a2+ac-ab）-bc
（不能分解）
四、
强化训练
A级：将下列各式因式分解
（1）a2b+5ab+b
（2）(a-b)2-(a-b)(a-c)+(a-b)(b+c)
计算：7.6×199.8+4.3×199.8-1.9×199.8
B级：将下列各式因式分解
（1）xn
+
xn-1
+
xn-2
（2）ac-bc-ad+bd
五、实践拓展
丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高。丁丁和冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有尺子，只找到了一根短绳，他们量得长方体底面的长正好是3个绳长，宽是2个绳长，圆柱体的底面周长是10个绳长。你知道哪一个体积较大吗？大多少？如果给你一架天平，你有办法知道哪一个体积较大吗？
（提示：可设绳长为a厘米，长方体和圆柱体的高均为h厘米）
六、知识形成（课堂小结）
七、作业布置
1.已知n为非零的自然数,先将2n+4-2n分解因式,再说明2n+4-2n能否被30整除.
2.
若a=-2，a+b+c=-2.8，求a2（-b-c）-3.2a（c+b）的值.
兴趣题：手工课上，老师给同学们发了3张正方形纸片，3张长方形纸片，请你将它们拼成一个长方形，并运用面积之间的关系，将多项式2a2+3ab+b2因式分解
a
积
和
差
说说本节课你的收获…用坐标表示轴对称
教学目标
（一）教学知识点
1．在平面直角坐标系中，探索关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．
2．利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形．
（二）能力训练要求
1．在探索关于x轴，y轴对称的点的坐标的规律时，发展学生数形结合的思维意识．
2．在同一坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．
（三）情感与价值观要求
在探索规律的过程中，提高学生的求知欲和强烈的好奇心．
教学重点
1．理解图形上的点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系．
2．在用坐标表示轴对称时发展形象思维能力和数形结合的意识．
教学难点
用坐标表示轴对称．
教学方法
探索发现法．
教具准备
课件，坐标纸．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[活动1]
1．如图：
（1）观察上图中两个圆脸有什么关系？
（2）已知右边图脸右眼的坐标为（4，3），左眼的坐标为（2，3），嘴角两个端点，右端点的坐标为（4，1），左端点的坐标为（2，1）．
你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼，右眼及嘴角两端点的坐标吗？
2．在平面直角坐标系中，将坐标为（2，2），（4，2），（4，4），（2，4），（2，2）的点用线段依次连结起来形成一个图案．
（1）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案与原图案相比有何变化？
（2）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，再将所得的各个点用线段依次连结起来，所得的图案又与原图案相比有何变化？
设计意图：
通过有趣的轴对称图形的研究，激发学生探究坐标特点的好奇心，是一种形到数的探究，接着又从对坐标实施变化，引起图案的变化，使学生在坐标的变化中产生对每对关于x轴、y轴对称的点的坐标规律的探究．
师生行为：
[生]1．（1）观察可发现图中的两个圆脸关于y轴对称．
（2）我们可以设右脸中的左眼为A点，右眼为B点，则A（2，3），B（4，3），嘴角的左右端为D（2，1），C（4，1）．根据轴对称的性质，A与A1关于y轴对称，则A1到y轴的距离和A到y轴的距离相等，A1、A到x轴的距离也相等，∵A1在第二象限，∴A1的坐标为（-2，3）．
同理，B1、C1、D1的坐标分别为（-4，3）、（-4，1）、（-2，1）．
2．师生共同完成
[生]在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连结如图．A（2，2），B（4，2），C（4，4），D（2，4）．
（1）纵坐标不变，横坐标乘以-1，得到相应四个点为A1（-2，2），B1（-4，2），C1（-4，4），D1（-2，4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，不难发现它们是关于y轴对称的．
（2）横坐标不变，纵坐标乘以-1，得到相应的四个点为A2（2，-2），B2（4，-2），C2（4，-4），D2（2，-4）．顺次连结所得到的图案和原图案比较，可得它们是关于x轴对称的．
[师]A（2，2）与A1（-2，2）关于y轴对称，
B（4，2）与B1（-4，2）关于y轴对称，
C（4，4）与C1（-4，4）关于y轴对称，
D（2，4）与D1（-2，4）关于y轴对称．
那么关于y轴对称的点具有什么规律呢？
A（2，2）与A2（2，-2）关于x轴对称，
B（4，2）与B2（4，-2）关于x轴对称，
C（4，4）与C2（4，-4）关于x轴对称，
D（2，4）与D2（2，-4）关于x轴对称．
那么关于x轴对称的点有何规律呢？
这节课我们就来研究关于x轴，y轴对称的每对对称点坐标的规律．
Ⅱ．导入新课
[活动2]
在如图所示的平面坐标系中，画出下列已知点及其对称点，并把坐标填入表格中．看看每对对称点的坐标有怎样的规律．再和同学讨论一下．
已知点A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（，1），E（4，0）．
关于x轴的对称点A′（____，____）B′（_____，______）C′（_____，_____）D′（____，_____）E′（_____，_____）．
关于y轴的对称点A″（_____，____）B″（_____，______）C″（_____，_____）D″（____，_____）E″（_____，_____）．
设计意图：
通过学生动手操作，分别作A，B，C，D，E关于x轴、y轴的对称点A′，B′，C′，D′，E′；A″，B″，C″，D″，E″，并且求出它们的坐标，观察，归纳它们坐标之间的关系．
师生行为：
教师引导，学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律．
[生]如图，我们先在直角坐标系中描出A（2，-3），B（-1，2），C（-6，-5），D（，1），E（4，0）点．
我们先在坐标系中作出A点关于x轴的对称点，即过A作x轴的垂线交x轴于M点，M点的坐标为（2，0）．在AM的延长线上截A′M=AM，则A′就是A点关于x轴的对称点，所以A′在第一象限，因为A′M=AM，所以A′的纵坐标为3，因为AA′⊥x轴，即AA′∥y轴，所以A′的横坐标为2，即A′的坐标为（2，3）．
同理可求得B，C，D，E关于x轴的对称点B′，C′，D′，E′的坐标分别为B′（-1，-2），C′（-6，5），D′（，-1），E′（4，0）．列表如下：
已知点
A（2，-3）
B（-1，2）
C（-6，-5）
关于x轴的对称点
A′（2，3）
B′（-1，-2）
C′（-6，5）
续表
已知点
D（，1）
E（4，0）
关于x轴的对称点
D′（，-1）
E′（4，0）
[师]观察上表每对对称点坐标之间的关系，你发现什么规律？
[生]每对对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．
[师]我们不仿再找几对关于x轴对称的点，写出它们的坐标，还有上面的规律吗？
学生亲自动手进一步尝试，在学生认可的情况下明确关于x轴对称的每对对称点的坐标的规律．
[师生共析]
关于x轴对称的每对对称点的坐标：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
接着我们再来作出A，B，C，D，E关于y轴的对称点，并求出它们的坐标．
[生]同样，我们先作出A关于y轴的对称点A″，并求出A″的坐标．
过A作y轴的垂线AN，垂足为N，则N点坐标为（0，-3），然后在AN的延长线上截A″N，使A″N=AN，则A″就是所求的A关于y轴的对称点．A″在第三象限，AA″⊥y轴，且AN=A″N，所以A″的坐标为（-2，-3），同理可求得B，C，D，E关于y轴的对称点B″，C″，D″，E″的坐标分别为B″（1，2），C″（6，-5），D″（-，1），E″（-4，0）．列表如下：
已知点
A（2，-3）
B（-1，2）
C（-6，-5）
关于y轴对称点
A″（-2，-3）
B″（1，2）
C″（6，-5）
续表
已知点
D（，1）
E（4，0）
关于y轴对称点
D″（，1）
E″（-4，0）
[师]观察上表，比较每对关于y轴的对称点的坐标，你能发现什么规律？
[生]关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．
Ⅲ．随堂练习
[活动3]
练习：（教科书P41练习）
1．分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：
（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）．
2．如图，△ABC关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），标出点B的坐标．
3．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形．
设计意图：
巩固关于x轴、y轴对称的每对对称点的坐标规律．根据已知点，能求出关于x轴、y轴对称的点的坐标，并能利用关于坐标轴对称的点的坐标特点，作出与已知图形关于坐标轴对称的图形．
师生行为：
学生练习，教师巡视，师生共评．
[生]1．解：根据关于x轴对称的点的坐标的特点求得（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）关于x轴对称的点的坐标分别为（-2，-6），（1，2），（-1，-3），（-4，2），（1，0）．
根据关于y轴对称的点的坐标的特点可得（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）关于y轴对称的点的坐标分别为（2，6），（-1，-2），（1，3），（4，-2），（-1，0）．
2．△ABC关于x轴对称，则A、B为关于x轴的一对对称点，已知A的坐标为（1，-2），则B的坐标为（1，2）．
3．分析：要作出与△ABC关于x轴、y轴的对称图形，只需把A、B、C关于x轴、y轴的对称点找到即可．
解：△ABC各顶点的坐标：A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）它们关于x轴对称的点的坐标为A1（-4，-1），B1（-1，1），C1（-3，-2）．在同一直角坐标系中描出A1（-4，-1），B1（-1，1），C1（-3，-2）连结A1B1，B1C1，C1A1，则△A1B1C1就是△ABC关于x轴对称的图形（如图）．
A（-4，1），B（-1，-1），C（-3，2）它们关于y轴对称的点的坐标为A2（4，1），B2（1，-1），C2（3，2）．在同一坐标系中描出A2（4，1），B2（1，-1），C2（3，2），连结A2B2，B2C2，C2A2，则△A2B2C2就是△ABC关于y轴对称的图形（如图）．
[活动4]
补充练习：
1．将下图中的点（2，1），（5，1），（2，5）做如下变化：
（1）纵坐标不变，横坐标分别加2．
（2）横坐标不变，纵坐标分别加1．
（3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍．
（4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍．
（5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1．
（6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1．
（7）纵坐标、横都分别乘以-1，观察变化后的三角形与原三角形有什么变化？
设计意图：
进一步让同学们亲身经历点的坐标的变化与图形变换之间的关系．
师生行为：
学生练习，教师指导．
精析：行根据变化，把每次变化后的三个顶点坐标求出，在平面直角坐标系中描出它们，连结成新三角形，然后与原有的三角形进行比较．
精解：（1）纵坐标不变，横坐标分别加2得三个点依次为（4，1），（7，1），（4，5）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（1）所示，与原图形相比三角形的形状、大小不变，整个三角形向右平移了2个单位长度．
（2）横坐标不变，纵坐标分别加1，得三个点依次为（2，2），（5，2），（2，6）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（2）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形向上平移了1个单位长度．
（3）纵坐标不变，横坐标分别变为原来的2倍，得三个点依次为（4，1），（10，1），（4，5）．将各点用线段依次连结起来，所得图形如图（3）所示，与原图形相比，整个三角形被横向拉长为原来的2倍．
（4）横坐标不变，纵坐标分别变为原来的2倍，得三个点依次为（2，2），（5，2），（2，10）．将各点依次用线段连结起来，所得图形如图（4）所示，与原图形相比，整个三角形被纵向拉长2倍．
（5）纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，1），（-5，1），（-2，5）．将各点依次用线段连结起来，如图（5）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于y轴对称．
（6）横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，得三个点坐标为（2，-1），（5，-1），（2，-5）．将各点用线段连结起来，如图（6）所示，与原图形相比，三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于x轴对称．
（7）横纵坐标都分别乘以-1，得三个点坐标为（-2，-1），（-5，-1），（-2，-5）．将各点用线段依次连结起来，如图（7）所示，与原图形相比，整个三角形的形状、大小不变，整个三角形与原三角形关于O点对称．
Ⅳ．课时小结
本节课的主要内容（由学生在教师的引导下共同回忆总结）：
1．在直角坐标系中，探索了关于x轴，y轴对称的对称点坐标规律．
2．利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，作已知图形的轴对称图形，体现了数形结合的数学思想．
Ⅴ．课后作业
教科书习题12．2─2、3、4题，第6题、第7题（学有余力的同学做）．
Ⅵ．活动与探究
如下图，以树干为对称轴，画出树的另一半．
分析：要画出树的另一半，根据轴对称图形的性质，关于对称轴对称的对应点的横坐标是互为相反数，纵坐标不变，因此需要在图中先建立直角坐标系，写出对称轴左侧某些点的坐标，然后对称地写出右侧的对应点的坐标，再进行连结．
解：如上图所示建立直角坐标系，对称轴为y轴，y轴左侧的点A、C两点的坐标为（-4，0）、（-3，4），对称点A′、C′的坐标为（4，0）、（3，4），O、B、D三点都在对称轴上，然后用线段连结起来．
2．A、B、C、D、E各点的坐标如下图所示，确定△ABE、△EBD、△ABC的面积，你是怎样做的？你发现了什么规律？
解：A、B、C、D、E各点的坐标分别为A（0，6），B（0，3），C（6，1），D（-2，-2），E（-8，0）．
△ABE的面积为（8×6-8×3）=12．
△EBD的面积为8×5-
×8×3-
×2×5-
×6×2=17．
△ABC的面积为（6×5-2×6）=9．
规律为可以将每个三角形的面积看成边与坐标轴平行的矩形的一半．
板书设计
§12．2．2
用坐标表示轴对称
一、探索关于x轴、y轴对称的每对对称点的规律．
（1）关于x轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称的点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数．
二、利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律，能作出关于x轴、y轴对称的图形．
备课资料
（一）参考练习
1．已知A点坐标为（-1，3）．
（1）与点A关于y轴对称的点坐标．
（2）与点A关于x轴对称的点坐标．
2．已知△ABC的顶点坐标分别为（3，3），（2，1），（4，1）．请你在同一坐标系中作出：
（1）关于x轴对称的图形．
（2）关于y轴对称的图形．
3．描出图中的枫叶图案关于x轴的轴对称图形的简图．
C/
.《轴对称》优秀教学设计
【教学目标】
1.知识与能力
（1）理解轴对称图形,两个图形关于某直线对称的概念。
（2）了解轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系。
（3）了解轴对称的性质。
2.过程与方法
通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习以及动手操作，让学生关注生活，学会观察，增强交流。
3.情感、态度与价值观
通过轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动中，体会图形的美，同时感悟数学来源于生活又用于生活。
【教学重点】
轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念以及区别和联系。
【教学难点】
轴对称的性质。
【教学方法】创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
【教学用具】多媒体课件、直尺、剪刀和彩纸等
【教学过程】
一、
创设情境，欣赏图片，感受生活中的轴对称现象和轴对称图形
我们生活在图形的世界中，利用图形的某种特征我们想像和创造了许多美丽的事物.
问题：观察下列几幅图片，大家观察后回答下列问题：（出示世博建筑物、奥运会开幕式鸟巢烟火、飞机、蝴蝶、窗花等图片）．
（1）这些图形有什么共同的特征？
对称给人以平衡与和谐的美感，我们生活在一个充满对称的世界里，你平时有注意到吗？
（2）你能举出几个生活中具有对称特征的物体，并与同伴进行交流吗？
（3）你能利用手中的彩纸,剪出具有对称特征的图案吗？
二、动手操作，教师组织，合作交流，归纳轴对称和轴对称图形的概念
师生互动操作设计：
教师走到学生中去,与学生一起观察图形，讨论其具有的共同特征，并利用“对折”的方法剪出各种美丽对称的图案，展示出来，可以发现这些图形沿一条直线对折(我们把这条直线看作轴),直线两旁的部分可以互相重合，比如在生活中具有这种特征的物体有：飞机、风筝、汽车等．
1．经过学生讨论，找到特征后，引导学生归纳轴对称图形的概念．
归纳：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．
2．出示教材图片,下面的每对图形有什么共同特点？你能概括这些特点吗？
学生观察图片，在独立思考的基础上进行交流，共同总结每对图形所具有的特征，学生可能发现：沿某条直线对折，两个图形能够完全重合．
在学生交流的基础上，引导学生对轴对称的概念进行归纳．
把一个图形沿着某条直线对折，如果能够和另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
3．观察,类比轴对称图形和成轴对称的两个图形的特点,教师引导学生对轴对称和轴对称图形的区别和联系进行讨论交流，加深理解：
轴对称是说两个图形的位置关系．而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．
轴对称的两个图形和轴对称图形都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
三、
主体探索、教师引导，探究轴对称图形的性质和线段垂直平分线的概念
1.
如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′和直线MN有什么关系？
学生自行分析操作过程，从操作过程中发现数量关系，点A和A′是对称点，可以设AA′与对称轴的交点为P，将△ABC沿MN对折后A与A′重合
于是有
AP=PA′、∠MPA=∠MPA′＝90°
对于其他的点也有类似的情况，于是可以发现，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点并且垂直于这条线段．
2.
鼓励学生经过独立思考，发现数量关系并进行交流，同时给出线段垂直平分线的定义：“经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线”
3.
进而引导学生进行归纳：
轴对称的性质：“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”．
类似的“轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”．
四、师生合作，应用提高，拓展创新
1．出示生活中各种美丽的标志,如汽车标志,交通标志,数字,字母等等
先判断哪些是轴对称图形,你能找出每个轴对称图形中的对称点吗？你还能找出它们的对称轴吗？
学生交流动手操作，标出一组对称点，找出每一个轴对称图形的对称轴.并将学生交流的结果展示在黑板上，师生交流心得和方法.
对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。为下一课学习垂直平分线的画法打下基础。
2．利用以前认识过的一些简单的几何图形，如三角形，正方形，矩形，平行四边形，梯形等，以这些图形的任意一条边所在直线做为对称轴,
找出对称点，自己设计和创作轴对图形或是成轴对称的两个图,并将学生的成果展示在黑板上。
五、
归纳小结
1．这节课你学到了什么？
(1)．轴对称、轴对称图形的概念；；
(2)．轴对称和轴对称图形的区别和联系
(3)．线段垂直平分线的概念；
(4)．轴对称的性质。
2．你还学到了什么？还想学习什么？
六、
布置作业、下课
作业：收集和整理生活中有关轴对称的图片，课余时间进行交流，发现生活中对称的美。
【教学板书】
13.1轴对称
1．轴对称图形
(1)沿直线对折(2)两侧能够完全重合
2．轴对称
3．垂直平分线
(1)过线段中点(2)垂直于这条线段
4．轴对称的性质
对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线14.1
整式的乘法（1）
（一）教学目标
知识与技能目标：
掌握单项式与单项式相乘的法则.
过程与方法目标：
理解单项式的乘法运算的算理，体会乘法的交换律、结合律的作用，发展有条理的思考及语言表达能力.
情感态度与价值观：
通过学生板算、讨论、争论等方法培养学生归纳、概括能力，以及运算能力.
教学重点：单项式与单项式相乘的法则.
教学难点：对单项式的乘法运算的算理的理解.
教学用具：
（二）教学程序
教学过程
师生活动
设计意图
复习导入1．下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？7x,
-2a bc,
-t ,
,
ut ,
-10xy z .2．下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？-2x ,
ab,
1+y,
ab ,
-y,
6x -x+5,3．利用乘法的交换律、结合律计算6×4×13×25．4．前面学习了哪三种幂的运算性质？内容是什么？
5．计算：
(2)x .x .x ,
(2)-x.(-x)
,(3)
(a )
,
(4)(-2x y)
复习回顾式导入新课有助于让学生回顾所学知识,为本节课的学习做好铺垫.
新知讲解探究1:
(1)2x y.3xy ;
(2)4a2x5
·(-3a3bx),这是什么运算？如何进行运算 让学生召开讨论研究所提的问题.引出课题并板书方法提示:利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幂的运算性质，来计算这两个单项式乘以单项式问题.(1)2x2y·3xy2
=(2×3)(x2·x)(y·y2)
(利用乘法交换律、结合律将系数与系数，=
6x3y3；
相同字母分别结合，有理数的乘法、同底数幂的乘法)(2)4a2x5
·(-3a3bx)=[4×(-3)](a2·
a3)·
b·(x5·
x)
(字母b
只在一个单项式中出现，=
-12a5bx6．
这个字母及其指数不变)
总结出单项式的乘法法则：单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．教师进一步分析单项式乘以单项式的法则(1)①系数相乘—有理数的乘法，先确定符号，再计算绝对值；②相同字母相乘—同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式．(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则.(3)单项式相乘的结果仍是单项式
教师对单项式乘以单项式的法则的阐述,有助于学生更深层的理解此法则.
例题讲解：例题1
:计算(1)(-5a2b3)(-3a)；
(2)(2x)3(-5x2y)；(3)x y .(-xy ) ；
(4)(-3ab).(-ac).6ab(c ) 参考答案:解：(1)(-5a2b3)(-3a)=[(-5)(-
3)](a2·a)·b3
=
15a3b3；(2)(2x)3(-5x2y)=
8x3·(-5x2y)=[8×(-5)](x3
·x2)·y=
-
40x5y；(3)x y .(-xy ) =x y .x y=(×)(x .x )(y .y)=xy(4)(-3ab)(-a2c)2·
6ab(c2)3
=(-3ab)·a4c2·6abc6
=[(-3)×6]a6b2c8
=
-18a6b2c8．例题2:
下面的计算对不对 如果不对,应怎样改正 (1)4a .
2a =8a
(2)2x.
3x=6x
(3)3x
4x =12x
(4)3y .
4y=12y参考答案:
(1)4a .
2a =8a×,
改:4a .
2a =8a5(2),(3)3x
4x =12x ×,改:
3x
4x =12x4
(4)3y .
4y=12y×,改:
3y .
4y=12y7例题3:
选择：（1）下列计算正确的是(
)A.(-3x ).(-2x ) =-12x
B(-3ab)(-2ab) =12a b
C.(-0.1x).(-10x ) =x
D.(210)(
10)=10(2)(-1.2
10 )
(
510 )
(2!0) 的值等于（
）A.5.76
10
B.5.76
10
C.2.88
10
D.2.88
10参考答案:(1)D,
(2)B
通过例题让学生学会运用所学知识解决问题,特别是要注意总结单项式乘以单项式运算中会出现的问题以便今后能有所注意.
四、达标训练1．计算：(1)3x·5x3
；
(2)4y·(-
2xy3)；2．计算：(1)(3x2y)3·(-
4xy2)；
(2)(-xy2z3)4·(-x2y)33.光的速度每秒约为3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒，地球与太阳的距离约是多少千米？4.一种电子计算机每秒可作10次运算，它工作5×10
秒可作多少次运算？5.计算：(1)
(2x )(xy z
)(-6yz)
(2)
-2a.(-a bc) .a(bc)
参考答案:1.15x,
-8xy,
10x ,
x yz2.-108xy5
,-x10y11z12,3.1.5×108,
4.
5×105.(1)
-4x y z
(2)
-a6b5c5
帮助学生及时巩固、运用所学知识.并且体验到成功的快乐.
五、点评与小结让学生小结本节课所学内容，应注意的地方.
激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会.
六、作业
由学生根据自己学习能力，恰当选做，既面向全体学生，又满足不同学生的学习需要.
板书设计：
15.1.4
整式的乘法(1)
单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
14.1
整式的乘法
（一）教学目标
知识与技能目标：
掌握单项式与多项式相乘的法则.
过程与方法目标：
理解单项式乘以多项式运算的算理.
体会乘法的分配律的作用.
发展有条理的思考及语言表达能力.
情感态度与价值观：
通过学生板算、讨论、争论等方法培养学生归纳、概括能力，以及运算能力.
教学重点：单项式与多项式相乘的法则.
教学难点：对单项式乘以多项式运算的算理的理解.
（二）教学程序
教学过程
师生活动
设计意图
复习导入1．单项式与单项式相乘的法则是什么？2．什么叫多项式？指出下列多项式的项：(1)
2x2-x-1；
(2)-3x2+
2x+3．参考答案:1.单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2.几个单项式的和叫做多项式.
(1)
2x2-x-1中的项分别是:
2x2,-x,-1；(2)
-3x2+
2x+3中的项分别是:
-3x2,
2x,3
复习回顾式导入新课有助于让学生回顾所学知识,为本节课的学习做好铺垫.
新知讲解探究:三家连锁店以相同的价格m(单位:元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:瓶)分别是:a,b,c.你能用不同的方法计算他们在这个月内销售这种商品的总收入吗
体验生活中的数学.
方法一:先求三家连锁店的总销量,再求总收入,即总收入为:
m(a+b+c)方法二:先分别求三家连锁店的收入,再求它们的和,即总收入为:
ma+mb+mc所以容易得到:
m(a+b+c)
=ma+mb+mc单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．特别的：我们把m（a+b+c）=ma+mb+mc和(a+b+c)m=am+bm+cm的运算叫乘法分配律的正向运算，反过来，我们也把ma+mb+mc=m（a+b+c）和am+bm+cm
=(a+b+c)m叫乘法分配律的逆向运算，其逆向运算也是成立的.
教师对单项式乘以单项式的法则的阐述,有助于学生更深层的理解此法则.让学生体会他们之间的关系.
例题讲解：例题1:
计算a（1+b-b2）参考答案：（注意符号的处理）解：原式=a×1+a×b+a×（-b2）=
a+
a
b-
a
b2例题2:
计算(1)
(-2a)·(2a2-3a+
1)．(2)
(-
4x)·(2x2
+
3x-
1)参考答案：解：(1)
(-2a)·(2a2
-
3a+1)=(-
2a)·2a2
+(-
2a)·(-
3a)+(-
2a)·1(乘法分配律)=
-
4a3
+6a2
-
2a．(单项式与多项式相乘)(2)
(-
4x)·(2x2
+
3x-
1)=(-
4x)·(2x2)+
(-
4x)·3x+(-
4x)·(-1)=
-8x3
-
12x2
+
4x例题3:
把m2n+mn+mn2写成积的形式参考答案:解：∵m2n+mn+mn2=mn×m+mn×1+mn×n=mn(m+1+n)∴m2n+mn+mn2其积的形式为mn(m+1+n)拓展:
若mn=2
m+n=1求多项式m2n+mn+mn2的值。解:
∵m2n+mn+mn2=mn×m+mn×1+mn×n=mn(m+1+n)∴m2n+mn+mn2=mn(m+1+n)=2(1+1)=4
通过例题让学生学会运用所学知识解决问题,特别是要注意总结单项式乘以多项式运算中会出现的问题以便今后能有所注意.
四、达标训练计算：(1),—2x
(x+2x—2)
(2),—2a
(a—3ab+b)(3),(x—x+)
(—x)
(4),(4a—2a+1)
(—2a)(5),b(a+b)—a(b—a)
(6),x(x—y)—y(x—y)(7),a(a+a+1)+(—1)(
a+a+1)
(8),x(x—x—1)+2(x+1)—x(3x+6x)参考答案:(1),-2x
(x+2x-2)=-2x3-4x2+4x(2),-2a
(a-3ab+b)=-2a4
+6a3b-2
ab(3),(x-x+)
(-x)=-x4+x3-x(4),(4a-2a+1)
(-2a)=-8a5+4a3-2a(5),b(a+b)-a(b-a)=ab+b2-ab+a2(6),x(x-y)-y(x-y)=x2-xy-xy+y2=x2-2xy+y2(7),a(a+a+1)+(-1)(
a+a+1)=a3+a2+a-
a-a-1=
a3
-1(8),x(x-x-1)+2(x+1)-x(3x+6x)=
x3-x2-x+2x+2-x3-2
x=-x2-x+2
帮助学生及时巩固、运用所学知识.并且体验到成功的快乐.注意合并同类项以及符号的变化.
五、点评与小结让学生小结本节课所学内容，应注意的地方.
激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会.
六、作业
由学生根据自己学习能力，恰当选做，既面向全体学生，又满足不同学生的学习需要.
板书设计：
14.1整式的乘法(2)
单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
14.1整式的乘法（3）
（一）教学目标
知识与技能目标：
理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算.
过程与方法目标：
经历探索多项式乘法的法则的过程.
情感态度与价值观：
通过探索多项式乘法法则，让学生感受数学与生活的联系，同时感受整体思想、转化思想，并培养学生的抽象思维能力.
教学重点：多项式与多项式相乘法则及应用.
教学难点：
多项式乘法法则的推导.
多项式乘法法则的灵活运用.
（二）教学程序
教学过程
师生活动
设计意图
问题情境导入新课为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长为m米,宽为a米的长方形绿地,增长了n米,加宽了b米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积
问题情境导入新课有助于激发学生的学习兴趣.
新知讲解扩大后绿地的面积可以表示为(m+n)(a+b)或(ma+mb+na+nb),它们表示同一块地的面积，故有：(m+n)(a+b)=
ma+mb+na+nb多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
通过图示方法向学生展示多项式乘以多项式的过程.
也可以这样考虑:
当X=m+n时,
(a+b)X=
由单项式乘以多项式知
(a+b)X=aX+bX
于是，当X=m+n时，(a+b)X=(a+b)(m+n)
=a(m+n)+b(m+n)
即
(a+b)
(m+n)=am+an+bm+bn
=am+an+bm+bn
为学生提供不同的思维方式，以使学生更好的掌握此内容.
例题讲解：例题1：计算：(1)(x+2y)(5a+3b)；
(2)(2x-3)(x+4)；(3)(x+y)2；
(4)(x+y)(x2-xy+y2)?解：(1)(x+2y)(5a+3b)＝x·5a+x·3b+2y·5a+2y·3b＝5ax+3bx+10ay+6by；(2)(2x-3)(x+4)=2x2+8x-3x-12=2x2+5x-12(3)(x+y)2=(x+y)(x+y)=x2+xy+xy+y2=x2+2xy+y2；(4)(x+y)(x2-xy+y2)=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3?例题2:计算以下各题：（1）(a+3)·(b+5)；（2）(3x-y)
(2x+3y)；
（3）(a-b)(a+b)；（4）(a-b)(a2+ab+b2)解：(1)
(a+3)·(b+5) =ab+5a+3b+15；
(2)
(3x-y)
(2x+3y)
=6x2+9xy-2xy-3y2(多项式与多项式相乘的法则)=6x2+7xy-3y2(合并同类项)(3)(a-b)(a+b)=a2+ab-ab-b2=
a2-b2(4)(a-b)(a2+ab+b2)
=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
=
a3
-b3例题3:先化简，再求值：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）其中a＝2/17解：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）
＝6a2+2a-9a-3-6a2+24a＝17a-3当a＝2/17时，原式＝17×2/17-3＝-1例题4:观察下列解法，判断是否正确，若错请说出理由。
解法1：原式＝
＝
＝
＝解法2：原式＝＝
＝解法3：原式＝＝＝以上解法中均有错误,提示让学生寻找错误并改正
多项式乘以多项式的具体应用,通过教师演示向学生提供严格的书写过程培养学生严谨的思维训练.先化简再求值展示新题型.让学生找错误以使学生更好的掌握本节课所学知识.（1）注意各项的符号，要防止错符号；(2)防止漏乘导致漏项。在合并同类项之前，一定要检查其项数是否等于两个多项式的项数的乘积；（3）最后结果一定要化成最简形式.
四、达标训练计算（1）（a+b）（a-b）
（2）（a+b）2
（3）（a+b）（a2-ab+b2）（4）判断题：①(a+b)(c+d)=ac+ad+bc；
(
)②(a+b)(c+d)=ac+ad+ac+bd；
(
)③
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd；
(
)④(a-b)(c-d)=ac+ad+bc-ad?
(
)（5）长方形的长是(2a+1)，宽是(a+b)，求长方形的面积?（6）先化简，再求值：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）其中a＝2/17参考答案：（1）a2-
b2（2）a2+2ab+b2（3）a3+b3（4）错误，错误，正确，错误（5）S=(2a+1)(a+b)=2
a2+2ab+a+b（6）（2a-3）（3a+1）-6a（a-4）
＝6a2+2a-9a-3-6a2+24a＝17a-3当a＝2/17时，原式＝17×2/17-3＝-1
帮助学生及时巩固、运用所学知识。并且体验到成功的快乐.
五、点评与小结让学生小结本节课所学内容，应注意的地方.
激发学生主动参与的意识，为每一位学生创造在数学学习活动中获得成功的体验机会.
六、作业
由学生根据自己学习能力，恰当选做，既面向全体学生，又满足不同学生的学习需要.
板书设计：
15.1.4整式的乘法（3）
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
a
m
b
n15．2．2分式的加减（一）
一、教学目标：（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.
（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.
二、重点、难点
1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.
三、例、习题的意图分析
1．问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的.这样引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
2．[思考]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则.
3．例6计算应用分式的加减法法则.第（1）题是同分母的分式减法的运算，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号；
第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，题型也过于简单，教师应适当补充一些题，以供学生练习，巩固分式的加减法法则.
四、课堂引入
1.
出示问题3、问题4，教师引导学生列出答案.
引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.
2.
下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？
3.
分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？
4.
请同学们说出的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？
五、例题讲解
例6.计算
[分析]
第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.
（补充）例.计算
（1）
[分析]
第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.
解：
=
=
=
=
（2）
[分析]
第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.
解：
=
=
=
=
=
六、随堂练习
计算
（1）
（2）
（3）
（4）
七、课后练习
计算
（1）
（2）
（3）
（4）
八、答案：
六.（1）
（2）
（3）
（4）1
七.（1）
（2）
（3）1
（4）
课后反思：乘法公式
一、说教材
1、教材所处的地位及前后联系
本节课是《整式的乘除》的内容，是在学习了多项式和多项式相乘和平方差公式之后引入的又一种比较特殊多项式乘以多项式，即完全平方公式。它和平方差公式一样，也是数学中最基本的一个公式，理解和运用完全平方公式，对于以后学习因式分解，解一元二次方程都具有举足轻重的作用。
2、教学目标：
1）通过合作学习探索得到完全平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力。
2）通过体念、观察并发现完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
3）初步学会运用完全平方公式进行计算。
3、教材的重点难点：本节课的重点是理解完全平方公式，运用公式进行计算。难点是从广泛意义上理解公式中的字母，判明要计算的代数式是哪两个数的和（差）的平方。
二、说教法
针对初一学生的形象思维大于抽象思维，注意力不能持久等年龄特点，及本节课实际，采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。边启发，边探索边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动和因材施教原则，教师努力为学生的探索性学习创造知识环境和氛围，遵循知识产生过程，从特殊→一般→特殊，将所学的知识用于实践中。
另外本节课采用计算机辅助教学，利用多彩的图形世界引导学生完全平方公式的发现和推导，使代数教学不再枯燥。
三、说学法
在学法上，教师应引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培养学生学习的主动性和积极性。
四、说教学程序
（一）合作学习，探求新知
用投影片显示：
1、如图所示，你能用不同的方法表示下面图形的面积吗？
2、把学生回答的结果的不同形式板书在黑板上，提问这些表示的结果都相等吗？
3、指出：即完全平方和公式。
4、模仿练习：（用两数和的完全平方公式计算（填空））
1）=
2）=
5、换元拓展
提问：等于什么？是否可以写成？你能继续做下去吗？通过讨论，尝试得到
（二）探求规律，巩固练习
1、探求规律
在模仿运用公式的基础上，结合两个公式的特征，可用一句顺口溜来强化记忆：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放。”
公式变形为：（首±尾）2＝首2±2×首×尾＋尾2
2、运用规律
让学生填表
式子
首项
尾项
结果的中间项
结
果(完全平方式)
符号
系数
(x+2y)2
(2a-5)2
(-2s+t)2
(-3x-4y)2
组织学生展开讨论，由上面的表格不难得出：首尾平方总得正，中间符合看首尾项的积，同号得正，异号得负，中间的两倍记牢，进而总结步骤为：
1）确定首尾，分别平方；
2）确定中间项的系数和符号，得出结论。
3、巩固练习
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（三）运用法则，解决问题
例：花农老万有4块正方形菜花苗圃，边长分别为30.1m，29.5m，30m，27m。现老万将这4块苗圃的边长都增加1.5m，求各苗圃的面积分别增加了多少㎡？
（四）发散练习，勇于创新
（1）下列计算是否正确？如何改正
①
②
③
（2）填空
①
②
③
④
（3）运用完全平方公式计算：=
=
。
（4）请你编1～3个完全平方式，并说出首尾项。
（五）归纳小结，充实结构
1、今天你学到了什么？
2、完全平方公式：
（六）知识留恋，课后韵味
布置作业：课本后附作业题。
b
a
b
a乘法公式
平方差公式
教学目标：经历探索平方差公式的过程；会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力．
教学重点与难点：平方差公式的推导和应用；理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．
教学过程：
一、学生动手，得到公式
1．计算下列多项式的积：
①(x+1)(x 1)；②(m+2)(m 2)；③(2x+1)(2x 1)
①(x+1)(x 1)
=
x2 x+x 1
=
x2 1
②(m+2)(m 2)
=
m2
2m+
2m 4
=
m2 4
③(2x+1)(2x 1)
=
4x2 2x+2x 1
=
4x2 1
2．提出问题：
观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？
3．特点：
等号的一边：两个数的和与差的积，等号的另一边：是这两个数的平方差
4．得到结论：(a+b)(a b)
=
a2 ab+ab b2
=
a2 b2．
即(a+b)(a b)
=
a2 b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式叫做(乘法的)平方差公式．
二、熟悉公式
下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？
①(
2a+3b)(
2a 3b)；②(
2a+3b)(
2a 3b)；③(
2a+3b)(
2a+3b)；④( 2a 3b)(
2a 3b)；⑤(a+b+c)(a b+c)；⑥(a b c)(a+b c)
学生讨论并回答，教师总结，其中①④⑤⑥可以用平方差公式
认清公式：在等号左边的两个括号内分别没有符号变化的部分是a，变号的部分是b
三、公式的几何关系
思考：你能根据右图中的面积说明平方差公式吗？
学生讨论并回答，教师总结：
(a+b)(a b)为长方形①与③的面积和
a2 b2则是长方形①与②的面积和
而长方形②与③的是形状大小完全一样的两个长方形，面积相等
所以(a+b)(a b)
=
a2 b2
四、运用公式
直接运用
例：①(3x+2)(3x 2)；②(b+
2a)(
2a b)；③( x+2y)( x 2y)
解答：①(3x+2)(3x 2)
=
9x2 4
②(b+
2a)(
2a b)
=
4a2 b
③( x+2y)( x 2y)
=
( x)2 (2y)2
=
x2 4y2
简便计算
例：①102×98；②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
解答：①102×98
=
(100+2)(100 2)
=
10000 4
=
9996
②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
=
(2 1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
=
(22 1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
=
(24 1)(24+1)(28+1)(216+1)+1
=
(28 1)(28+1)(216+1)+1
=
(216 1)(216+1)+1
=
232 1+1
=
232．
五、小结：
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即(a+b)(a b)
=
a2 b2．全等三角形
教学目标
①通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等．②知道全等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等，对应角相等的性质．③能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题．④通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置的活动，让学生从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生动态的研究几何图形的意识．
教学重点
全等三角形的有关概念和性质．
知识难点
理解全等三角形边、角之间的对应关系．
教学准备
复写纸、剪刀、半透明的纸、多媒体课件(几个重要片断中使用)等．
教材分析
本节是初中几何比较重要的一节入门课它的基础是学生已经了解三角形的基本概念，教师准备引导学生学习全等三角形，为后面进一步学习全等三角形的判定打一个良好的基础．
通过本节学习要让学生了解怎样的两个图形是全等形，会用符号语言表示两个三角形全等．知道全等三角形的有关概念，会在全等三角形中正确地找出对应顶点、对应边、对应角．掌握全等三角形的性质，通过演绎变换两个重合的三角形，呈现出它们之间的各种不同位置的活动，从中了解体会图形变换的思想，逐步培养动态研究几何的意识．本节课的重点是全等三角形的性质．难点是确认全等三角形的对应元素．
本节课可以通过丰富多彩的实验、投影、多媒体手段等让学生取得充分的感性认识在此基础上，教学重心应放在“全等三角形的性质”上，因而对它的处理，不论从时间分配上，还是从教学手段的应用上都应给予高度重视．在激发学生兴趣的同时，要对学生进行必要的能力训练．
教学过程（师生活动）
设计理念
问题情境
1．展现生活中的大量图片或录像片断。片断1：图案．片断2：一幅漂亮的山水倒影画，一幅用七巧板拼成的美丽图案．2．学生讨论：
(1)从上面的片断中你有什么感受
(2)你能再举出生活中的一些类似例子吗
丰富的图形容易引起学生的注意，使他们能很快地投入到学习的情境中．它反映了现实生活中存在着大量的全等图形．
图片的收集与制作
1．收集学生讨论中的图片．2．讨论(或介绍)用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等制作类似图形的方法．
对学生进行操作技能的培训与指导．
学生分组讨论、思考探究
1．上面这些图形有什么共同的特征 2，有人用“全等形”一词描述上面的图形，你认为这个词是什么含义
对学生的不同回答，只要合理，就给予认可．
教师明晰，建立模型
1．给出“全等形”、“全等三角形”的定义．2．列举反例，强调定义的条件．3．提出问题“你能构造一对全等三角形”吗 你是如何构造的，与同伴交流．4．全等三角形的对应元素及性质：教师结合手中的教具说明(学生运用自制学具理解)对应元素(顶点、边、角)的含义，并引导学生观察全等三角形中对应元素的关系，发现对应边相等，对应角相等(教师启发学生根据“重合”来说明道理)．
通过构图，为学生理解全等三角形的有关概念奠定基础．
拓展与延伸
1．议一议：右图是一个等边三角形，你能把它分成两个全等的三角形吗 你能把它分成三个、四个全等的三角形吗 2．例1：已知△ABC≌△DFE，∠A＝96°，∠B＝25°，DF＝10
cm．求∠E的度数及AB的长．
目的是使学生在操作的过程中理解全等三角形的概念，发展空间观念．鼓励学生根据全等三角形的概念和性质，通过观察、尝试找到分割的方法，并可用分出来的图形是否重合来验证所得的结论．
巩固练习
1．全等用符号_______表示．读作_______·2．△ABC全等于三角形△DEF，用式子表示为_______·3．△ABC≌△DEF，∠A的对应角是∠D，∠B的对应角∠E，则∠C与_______是对应角；AB与_______是对应边，BC与_______是对应边，AC与_______是对应边．4．判断题：(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等．
(
)(2)全等三角形的周长相等．
(
)(3)面积相等的三角形是全等三角形．
(
)(4)全等三角形的面积相等．
(
)5.找出由七巧板拼成的图案中的全等三角形．
检查学生对本节课的掌握情况．
小结与作业
课堂小结
1．回忆这节课：在自己动手实际操作中，得到了全等三角形的哪些知识 2．找全等三角形对应元素的方法，注意挖掘图形中隐含的条件，如公共元素、对顶角等，但公共顶点不一定是对应顶点；3．在运用全等三角形的定义和性质时应注意规范书写格式．
对于学生的发言，教师要给予肯定的评价．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
1．本设计通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中亲身体验，完成对三角形全等的实验，加深对“三角形全等”“对应”含义的理解，既培养学生的画图、识图能力，又提高了逻辑思维能力．2．“构造一对全等三角形”这样一个开放性问题的设计，学生可以采用复写纸、手撕、剪纸，扎针眼、描图等方式获得，这往往因不同学生所拥有的生活经验而有所不同．显然，不同的学生从不同的生活背景和生活阅历出发，都能得到全等三角形，彼此之间的交流可以实现他们对全等三角形关键特征的理解和认识，同时，大家在交流中都能获得理解，分享成功的快乐!3．在整个教学过程中，学生在自主探索和合作交流中，经历了观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，而这样的过程能够促进学生对数学的真正理解和把握，从中不仅获得了数学知识、技能，而经历了数学活动的过程，体验了数学活动的方法，同时情感、态度、价值观都能得到很好的发展。
12.1
《全等三角形》
2
【学习目标】
1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。
2.掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质，并运用这一性质解决有关的问题。
3.会用符号表示全等三角形及他们的对应元素，培养学生的符号意识。
学习重点：全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质，
学习难点：会运用性质解决有关的问题，书写过程中培养学生的符号意识
一、自主预习课本内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流（课前完成）
二、通过预习课本内容，回答下列问题：
（1）
叫做全等三角形。
（2）当两个全等三角形
时，
叫做对应顶点，
叫做对应边，
叫做对应角。
如图：△ABC≌△DEF，则对应顶点：
，对应角：
，
对应边：
（3）全等三角形的性质：
。
三、巩固练习
变换方式
图形
对应点
对应边
对应角
将△ABC沿AB所在的直线折叠得到△ABD
A
AB
BC
D
AB=ABAC=ADBC=BD
∠BAC=∠C=∠ABC=∠ABD
将△ABC沿射线BC的方向平移，得△DEF
A
B
C
AB=DEAC=BC=
∠A=∠D∠B=∠ACB=
将△ABC绕点C旋转180°，得△EDC
A
EBC
AB=AC=ECBC=
∠A=∠B=∠ACB=∠ECD
四、学习小结：（回顾一下这一节所学的，你学会了吗？）
五、达标检测
1.
如图所示，若△OAD≌△OBC,∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD=
.
(1题图)
（2题图）
2.
如图：Rt△ABC中，∠
A=90°，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=
3.
如图4，若△ABC≌△DEF，回答下列问题：
（1）若△ABC的周长为17
cm，BC=6
cm，DE=5
cm，则DF
=
cm
（2）若∠A
=50°，∠E=75°，则∠B=
4.
如图，△AOB≌△COD，那么∠ABD与∠CDB相等吗？为什么？
六、课后延伸：
P33习题12.1
A
B
C
E
F
D
B
D
O
A
C与三角形有关的角
教学任务分析
教学目标
知识技能
熟练掌握三角形内角和定理及外角性质
数学思考
1.
掌握三角形内角和定理及外角性质
2.
培养学生分解基本图形及添加辅助线构造基本图形的能力
3.
通过运用三角形内角和定理及外角性质证明几何问题，提高学生的逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态度
4.
通过对问题的分析与讨论，发展学生的求同和求异的思维能力，培养学生联系与转化的辩证思想。
解决问题
尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效的解决问题
情感态度
通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满探索以及数学结论的确定性，提高学生的推理能力及学习热情。
重点
添加辅助线构造基本图形的能力
难点
三角形内角和定理及外角性质
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1
复习回忆三角形内角和定理及外角性质
活动2
创设情境，探究尝试
活动3
设问质疑，类比联想
活动4
拓展思维，变式训练
活动5
小结，布置作业
通过对旧知识的复习回忆巩固并加深学生的理解和记忆，为新课的学习做好铺垫
把问题作为教学的出发点，创设问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲。同时让学生体会从特殊到一般的思考问题方法。
综合运用新旧知识分析问题、解决问题。
体验数学活动的运动变化。
小结及课后探究习题梳理所学知识，达到巩固、发展、提高的目的。
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
活动1
问题1：你还记得三角形内角和定理及外角性质吗？
问题2：你还记得如何证明三角形内角和定理吗？
学生思考并回答问题
教师提出问题并对学生的问答做出总结：
三角形内角和是1800；
外角等于与它不相邻的两个内角的和。
在学生回答的基础上（添加辅助线，运用平行线的知识）教师着重指出添加辅助线是几何证明中常用的方法，正确合理的添加辅助线往往能简单、迅速的解决问题
通过对旧知识的复习回忆唤醒学生已有知识，有助于后继问题的解决
把问题作为教学的出发点，创设问题情境，激发学生学习兴趣和求知欲，为发现新知识创造一个最佳的心理和认知环境。
问题与情境
师生行为
设计意图
活动2
问题1：画一个形状类似下图的图形并测量、、及的度数，看看它们存在怎样的关系？
问题2：由刚才活动得到的结论你能猜想出什么吗？
问题3：你能运用所学的知识证明这个结论吗？你能想出多少种不同的证明方法？
学生动手用测量工具量出指定角的度数，通过测量计算得出四个角之间存在的关系。
教师注意观察学生对测量工具的正确使用及测量结果的精确性，并指导学生得出正确的结论。
教师引导学生得出猜想：
=++
教师带领学生观察图形，与熟悉的、常见的图形进行类比分析，提示学生回忆前面所学过的证明方法，联想到证明三角形内角和定理使用到的添加辅助线的方法；
分析图形找出三种不同的添加辅助线的方法：
提问：为什么要画这条线？画这条线有什么作用？
通过作图、测量一系列的活动培养学生在几何方面的动手、动脑能力，根据自己测量的数据得出结论，培养学生的计算和观察能力，并为下面探索问题作好铺垫。
激发学生的想象力，培养学生“由特殊到一般”这一探索问题的能力，开拓学生的思维。
通过实例让学生知道“辅助线”是以后解决几何问题有力的工具。它的作用在于充分利用条件；恰当转化条件；恰当转化结论；充分提示题目中各元素间的一些不明显的关系，达到化难为易解决问题的目的。
亲手操作寻求数学结论，有利于引起学生兴趣。此活动鼓励学生发散思维寻找到多种添加辅助线的方法，让学生体会多种思考形式，有利于深刻领会如何添加辅助线以及添加辅助线的本质─构造基本图形，转化图形各个量之间的关系。同时也让学生体验数学活动充满探索，体验解决问题策略的多样性。
通过观察─猜想─论证这一数学活动过程，让学生感受有特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法。
问题与情境
师生行为
设计意图
问题4：你能正确的书写出证明过程吗？
学生独立思考分析，根据不同的添加辅助线的方法分别写出证明过程。在这一过程中，教师要指出其中不完备的地方，并以规范的格式板书一种证明强调证明过程的逻辑严谨性及正确的书写格式。教师应关注：
（1）学生对所学知识的掌握情况。
（2）学生进行简单说理的准确性、规范性。
（3）是否能用几何符号语言来表达自己的解题过程。
培养学生能用准确的运用数学符号语言书写证明过程，规范书写格式，锻炼、提高学生的逻辑思维能力。为今后复杂的推理论证打下一个良好的基础。
活动3
问题1：在上面第三个图中，将点P的位置特殊化：若点P是与角平分线的交点，且=700，那么的度数是多少？你能找出两者之间的关系吗？
学生在独立思考、探究的基础上，分组交流研讨，并汇总所得的结论。
教师深入小组参与活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，教室可以在测量、计算等感性活动基础上，在引导学生利用上述例题的解题思路分析问题、解决问题。
本次活动中，教师应关注：
（1）学生能否在独立思考问题的基础上，积极参与数学问题的讨论。
（2）学生能否用文字、字母符号等清楚的表达解决问题的过程。
增加题目的复杂性，再一次经历猜想、论证这一思维过程，加深对所学知识的理解及灵活运用能力。
在探索中再一次发展学生的分析问题、解决问题的能力和推理能力。
通过交流，培养学生的团结协作能力，让学生用自己的语言清楚的表达解决问题的过程，提高语言表达能力。
活动4
问题：你能否再给点P确定一个特殊位置？此时上述结论还成立吗？如果不成立，那么你能得出新的结论吗？（点P是与外角平分线的交点）
学生独立思考解决问题。
教师总结结论。
本次活动中，教师应关注：
（1）学生能否参与认识和联想
（2）学生能否灵活运用所学的知识
进行判断、解答。
（3）学生能否有条理的表达自己的思考过程。
经过这样的变式、发展、学习，不仅使学生巩固了所学的数学知识，也使学生体验了数学的运动变化观，使学生的思维得到了培养和锻炼。
通过对不同问题的分析与讨论，有利于学生基础知识与基本能力的掌握与提高，同时更有利于学生创新意识与创造性思维能力的培养，在练习、讲评等教学环节中，形成师生之间的、学生之间的“双向反馈”。
问题与情境
师生行为
设计意图
活动5
（1）小结
（2）布置作业
教科书第97页第7、8、9题。
教师结合本节课内容，通过提问方式回顾本节课所讲的知识点和方法、技能，出示练习题，巩固本节知识。
学生利用当堂所学的知识、方法解决问题，自检掌握情况。
本次活动中，教师应关注：
（1）学生在做习题的过程中能否正确的分析问题和解决问题。
（2）学生在学习中对知识的归纳、整理、总结的养成性习惯
（3）学生能否通过自我评价了解对知识的掌握程度。
从学生已有的知识出发，结合本节课的学习内容，给学生提供有针对性、有创意的练习题，激发学生的学习兴趣，引导他们在做练习的过程中，自主探索来巩固知识和获得技能，掌握基本的数学思想方法，感受数学研究的思想。
复习、巩固本节的知识，学会总结反思，学会自我评价学习效果。
通过课后作业，教师及时了解学生对本节知识的掌握情况。对教学进度和教学方法进行适当调整，并对有困难的学生给与适时的指导。
自评
1．
本节课的教学目标是通过运用三角形内角和定理及外角性质的证明，掌握这二者之间的联系并能熟练应用于分析和证明。
2．
让学生动手作图、测量一系列的活动，既能让学生自我猜想，获取知识，又能为证明的思路提供启发。培养了学生在几何方面的动手、动脑能力；和“由特殊到一般”这一探索问题的能力，开拓学生的思维。
3．
在思考证明途径过程中通过一题多解，既能让学生在一连串的变化中熟练使用三角形内角和定理及外角性质，同时也让学生体验数学活动充满探索，体验解决问题策略的多样性。通过观察──猜想──论证这一数学活动过程，让学生感受由特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法。
4．
通过改变题目的条件，让学生再一次经历猜想、论证这一思维过程，加深对所学知识的理解及灵活运用能力。在探索中再一次发展学生的分析问题、解决问题的能力和推理能力。
5．
通过交流，培养学生之间的团结协作能力，让学生用自己的语言清楚的表达解决问题的过程，提高语言表达能力。分式的运算
教学目标
1、使学生在理解和掌握分式的乘除法法则的基础上,运用法则进行分式的乘除法混合运算。
2、使学生理解并掌握分式乘方的运算性质，能运用分式的这一性质进行运算。
教学重点、难点
重点：分式的乘除混合运算和分式的乘方。
难点：对乘方运算性质的理解和运用。
教学方法：启发式教学
教学过程
复习提问：1、叙述分式的乘除法法则。
2、小学学习的乘除法运算法则是什么？
3、计算：（）^2＝＿＿＿，（）^3＝＿＿＿，
（）^n=_________。
引言：我们在上节学习了分式的乘除法，对于分式乘除混合运算如何来进行计算呢？对于整式的乘方我们学习过，对分式来说如何计算呢？这就是
我们这节要学习的内容。
新课：由复习提问3知：（ ）︿2＝＝ａ︿2ｂ︿2，
（ ）︿3＝ａ︿3ｂ︿3；
（ ）︿n＝a︿n
b︿n。
请同学们根据复习提问3总结出分式乘方的法则。
分式乘方，把分子、分母分别乘方。
（ ）︿n＝a︿n
b︿n。
例1计算：
（1）
÷
·
解：
原式＝·
·
=
分式的乘除混合运算就是分子、分母先分解因式，然后把公因式约去。
例2计算：
（1）
(
)︿2
;
(2)
()︿3÷
·()︿2
分析：这两题是分式乘方的运用。（2）运算顺序是先乘方，然后是乘除。
解：
（1）原式=
（2）原式=
-
·
·
=-
注意在解题时正确地利用幂的乘方及符号
。11.1.3
三角形的稳定性
【学习目标】
1、知识目标：通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，
2、能力目标：稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用
3、情感目标：采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精神。
【重点难点】
重点：了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用
难点：准确使用三角形稳定性与生产生活之中
【课型】
新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
【教学用具】电脑、投影仪
【学习过程】
一、看一看，想一想
盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么这样做呢？
二、做一做
1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？
三、议一议
从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流。
三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
四、三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例
五、练一练
课本P7练习
六、作业：课本P8
5、811.3.1
多边形
教学目标
1.掌握多边形的定义,多边形的内,外角及凸多边形的有关概念.
2.理解多边形的对角线的概念,探索一个多边形能画几条对角线.
重点
理解有关多边形的概念,探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系及转化思想的渗透.
难点
探索多边形的边数与对角线的数量之间的关系
引入新课
前面我们已经研究过三角形的有关概念,性质,那么边数大于三的图象的概念和性质是什么呢 它们和三角形中的有关概念和性质是否有相似之处呢 让我们一起来探究一下.
讲授新课:
在三角形的基础上,学习多边形或把多边形的有关问题转化为三角形.
多边形的定义:
一般地,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接新组成的图形称为n边形.三角形是最简单的多边形.
（1）多边形分为:凸多边形和凹多边形.画多边形的任何一条边所在直线,整个多边形都在这条直线的同一侧,这样的多边形叫做凸多边形,类似地,画多边形的任何一条边所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧.这样的多边形叫做凹多边形.本节是讨论凸多边形.
（2）凸多边形的特征:凸多边形的每个内角可为锐角或直角或钝角.
(1)
(2)
2.多边形的边,内角,外角.(画图说明)
(1).组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
(2).多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
(3).多边形的边和它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
3.多边形的对角线
多边形的对角线:连接多边形的不相邻的两个顶点的线段.叫做多边形的对角线.
多边形的对角线的条数:(画图说明)
从n变形的一个顶点可以引（n-3）条对角线。将多边形分成（n-2）个三角形。
n
边形共有条对角线
（1）
（2）
（3）
4.正多边形。
像正方形这样，各个角相等，各条边也相等的多边形叫正多边形。如正三角形，正四边形，正六边形等等。
5.例1：过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则m=
，n=
，k=
。
解：①m边形一个顶点一般能引（m-3）条对角线。
②没有对角线的多边形显然是三角形，所以n=3
③k边形对角线条数与其边数相等。即
所以k=5
故m=7，
n=3，
k=5
三．小结
多边形的定义
多边形的边，内角，外角
多边形的对角线
正多边形的定义
四．作业：十二边形共有几条对角线，过一个顶点可作几条对角线？可把十二边形分成多少个三角形？
A
A
C
B
D
B
D
C11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
【学习目标】
1、知识目标：认识三角形的高、中线与角平分线.
2、能力目标：会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线,
通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于一点.
3、情感目标：采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养自己主动参与、勇于探究的精神。
【重点难点】
重点：
(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念,
会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.
难点：
(1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.
(2)钝角三角形高的画法.
(3)不同的三角形三条高的位置关系.
【课型】
新授课
【学习方法】自学与小组合作学习相结合的方法
【教学用具】电脑、投影仪
【学习过程】
一、复习巩固：
1、图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。
2、如果三角形的两边长为2和9，且周长为奇数，那么满足条件的三角形共有（
）个。
3、以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是（
）
A．3，3，3
B．3，3，6
C．3，2，5
D．3，2，6
4、等腰三角形的两边长分别为12cm和8cm，这个等腰三角形的周长是
．
二、自主学习：
1.自学内容：课本4
----5页
2.自学要求：阅读课本内容，仔细观察上表中的内容,并回答下面问题.
(1)什么叫三角形的高 三角形的高与垂线有何区别和联系
(2)什么叫三角形的中线 连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系
(3)什么叫三角形的角平分线 三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系
三角形的重要线段
意义
图形
表示法
三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
1.AD是△ABC的BC上的高线.2.AD⊥BC于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.
三角形的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段
1.AE是△ABC的BC上的中线.2.BE=EC=BC.
三角形的重心
三角形三条中线的交点
1.CF、AD、BE分别是△ABC
的AB、BC、AC的中线
三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
1.AM是△ABC的∠BAC的平分线.2.∠1=∠2=∠BAC.
三、交流展示：
1.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还
是代表射线或直线
2.如图，AF是ΔABC的角平分线，AE是BC边
上的中线，选择“＞”、“＜”或“=”号填空：
（1）BE___EC
（2）∠CAF___∠BAC
（3）∠AFB___∠C+∠FAB
（4）∠AEC___∠B
四、巩固练习：
1.在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.(
如果所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里 钝角三角形的三条高在那里 )观察这三条高所在的直线的位置有何关系
三角形的三条高____________,锐角三角形三条高交点在锐角三角形_____,直角三角形三条高线交点在直角三角形________,而钝角三角形的三条高的交点在钝角三角形__________.
2.在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.(
如果所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里) 观察这三条中线的位置有何关系
三角形的三条中线都在三角形________,它们__________,这个交点在______________.
3.在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系
无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形,
它们的三条角平分线都在_________________,并且________.
4.课本第5页
练习
五、探究拓展
如图,在△ABC中,AE,AD分别是BC边上中线和高,
（1）说明△ABE的面积与△AEC的面积有何关系？
（2）你有什么发现？
同高等底的两个三角形的面积________.
三角形的中线把三角形分成两个面积_______的三角形。
六、课堂小结：
1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。
2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。
七、布置作业：
教科书第8页:3、4题；
第9页
8、9题
E
B
C
D
A
E
F
C
B
A
A
B
D
E
C多边形的内角和
一、教材分析
1、教材的地位和作用
本节课作为
第三节，起着承上启下的作用。在内容上，从三角形的内角和到多边形的内角和，再将内角和公式应用于平面镶嵌，环环相扣，层层递进，这样编排易于激发学生的学习兴趣，很适合学生的认知特点。通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要的思想方法。
2、教学重点和难点
重点：多边形的内角和与外角和
难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。
二、教学目标分析
1、知识与技能：掌握多边形的内角和与外角和，进一步了解转化的数学思想。
2、数学思考：能感受数学思考过程的条理性，发展能力推理和语言表达能力，并体会从特殊到一般的认识问题的方法。
3、解决问题：让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。
4、情感态度：让学生体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造。
三、教法和学法分析
本节课借鉴了美国教育家杜威的“在做中学”的理论和叶圣陶先生所倡导的“解放学生的手，解放学生的大脑，解放学生的时间”的思想，我确定如下教法和学法：
1、教学方法的设计
我采用了探究式教学方法，整个探究学习的过程充满了师生之间，生生之间的交流和互动，体现了教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。
2、活动的开展
利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。
3、现代教育技术的应用
我利用课件辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生的感性认识，增强直观效果，提高课堂效率。
四、教学过程分析
1、本节教学将按以下六个流程展开
2、教学过程
互动环节
互动内容
设计意图
1、创设情境
引入新课
（1）在一次数学基础知识抢答赛上，王老师出了这么一个问题：某个多边形所有的角加起来等于它的外角和，那么该多边形是几边形？小明同学仅用几秒钟就解决了问题，你能吗？（2）（演示教具）用四块大小形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，你知道这是为什么吗？通过今天的学习，我们就能明白其中的道理，引出课题。
这样一开始就利用抢答赛问题以及教具演示实验来提问设疑，学生很容易发问：这个多边形是几边形呢？用四块大小形状完全相同的四边形可拼成一块无空隙的纸板，为什么会产生这种效果呢？从而可调动学生的学习兴趣和注意力，创设恰当的教学情境。
2、合作交流
探索新知
（1）问题：三角形的内角和等于多少度？外角和等于多少度？长方形的内角和等于多少度？正方形的内角和等于多少度？（2）问题：任意四边形的内角和等于多少度呢？你是怎样得到的？你能找到几种方法？（3）学生思考，并分组交流讨论，教师深入小组参与活动，指导、倾听学生交流。（4）学生分组选代表展示小组的探索成果,师生共同进行评判，对学生找到的不同方法要加以及时肯定。学生可能找到以下几种方法：①“量”—即先测量四边形四个内角的度数，然后求四个内角的和；②“拼”—即把四边形的四个内角剪下来，拼在一起，得到一个周角；③“分”—即通过添加辅助线的方法，把四边形分割成三角形。教师在学生展示完后提问：①在“量”、“拼”、“分”这几种方法中，哪种方法操作简单又相对准确？②我们刚才找到了几种不同的辅助线的作法，它们的共同点是什么？
先回顾三角形、正方形和长方形的内角和，促使学生对新问题进行思考与猜想。从简单的四边形入手，让学生亲自操作寻求结论，易于引起学习兴趣，鼓励学生找到多种方法，让学生体会多种分割形式，有利于深入领会转化的本质——四边形转化为三角形，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性。通过交流，让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程，可以提高语言表达能力。
3、自主探究
得出结论
（1）问题：用刚才类似的方法，你能算出五边形、六边形、七边形的内角和吗？学生先独立思考，分组讨论，然后再叙述结论。（2）问题：依此类推，n边形的内角和等于多少度呢？让学生自己归纳总结，得出n边形的内角和公式为（n-2）·180°。
从探索四边形的内角和，到五边形、六边形、七边形乃至n边形，通过增强图形的复杂性，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的思想方法，再一次经历转化的过程，同时在分组交流的过程中，感受合作的重要性。
互动环节
互动内容
设计意图
4、应用新知
尝试练习
（1）想一想：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？为什么 （2）算一算A.四边形的外角和等于多少度？B.五边形的外角和，六边形以及n边形的外角和呢？
通过做例题和练习来巩固新知识。先求四边形的外角和，再求五边形、六边形以及n边形的外角和，我提出阶梯式的问题，让学生逐步归纳得出多边形的外角和等于360°。这两段是新增加的内容，从另一个角度增加对任意多边形外角和理解与认识。这样处理，注重教材阅读学习，同时用课件演示更加形象直观，便于理解。
5、归纳总结
形成体系
我从以下几个方面引导学生进行小结：（1）现在你能解决数学知识抢答赛上，王老师提出的问题了吗？你知道为什么能用四块大小形状完全相同的四边形拼成一块无空隙的纸板了吗？（2）这节课我们学习了哪些知识和方法？你有什么收获？
让学生运用所学知识解决引问中的问题，提高解决问题的能力，鼓励学生畅所欲言总结对本节课的收获和体会，有利于培养归纳、总结的习惯和能力，让学生自主建构知识体系。
6、分组竞赛
升华情感
我制作了A、B、C、D四组不同的电子试卷，让学生运用所学知识通过小组竞赛的形式合作完成，自检掌握情况。
通过竞赛的方式，激发学生的学习兴趣，引导他们在做练习的过程中，通过小组协作来巩固知识和获得技能。在每组试卷中，大部分选自教材的练习题。另外，我还另增加了1个思考题，实际上是对证明四边形内角和方法的补充，主要是通过一题多解发散思维，提高思维的灵活性，还可以复习旧知识，把握知识间的相互联系，让学生再次体会转化的思想方法。
五、评价分析
1、注意评价内容的多元化
通过课堂中学生展示自己对所学内容的理解，交流对某一问题的看法，动手操作的表演，各种问题尝试解答等活动，使教师从学生思维活动、有关内容的理解和掌握，以及学生参与活动的程序等多层面地了解学生。
2、注重对学生学习过程的评价
在整个教学过程中，通过对学生参与数学活动的程度、自信心、合作交流的意识以及独立思考的习惯，发现问题的能力进行评价，并对学生中出现的独特的想法或结论给予鼓励性评价。
六、设计说明
1、指导思想
根据义务教育阶段数学课程的要求，结合教材的编写意图，在本节课设计时，我遵循以下原则：情境引入激发兴趣，学习过程体现自主，知识建构循序渐进，思想方法有机渗透。
2、关于教材处理
本教案设计时，我对教材作了如下改变：①将教材例1作为练习中的“想一想”，由学生自已尝试解答；②将例2中的求“六边形”的外角和，改为练习中的“算一算”，先让学生求“四边形”的外角和，再探索“五边形、六边形，以及n边形的外角和”。这样处理仍然是为了体现学生的自主探索，使学生学习变“被动”为“主动”。
③作业采取分组竞赛的形式合作完成。这样，在情感上，本节课学生由好奇到疑惑，由解决单个问题的一点点快感，到解决整个问题串的极大兴奋，产生了强烈的学习激情。这时，一次有效的教学竞赛活动，使学生的学习激情得到释放，学科个性得以张扬，教师可稍加点拨，适可而止，把更多的思考空间留给学生。
以上是我对本节课的设计说明，不足之处，请各位指正，谢谢！
分组竞赛
升华情感
归纳总结
形成体系
应用新知
尝试练习
自主探究
得出结论
合作交流
探索新知
创设情境
引入新课15.2.1
分式的乘除(二)
一、教学目标：
1.熟练地进行分式乘除法的混合运算.
2.理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.
二、重点、难点
1.熟练地进行分式乘除法的混合运算.
关键是点拨运算符号问题、变号法则.
2.熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.
三、例、习题的意图分析
1．例4是分式乘除法的混合运算.
分式乘除法的混合运算先把除法统一成乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.
教材例4只把运算统一乘法，而没有把25x2-9分解因式,就得出了最后的结果，教师在讲解时不要跳步太快，以免学习有困难的学生理解不了，造成新的疑点.
2.
例4中没有涉及到符号问题，可运算符号问题、变号法则是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，突破符号问题.
3.例5第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判
断乘方的结果的符号，在分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除..
4．教材例5中第（1）题这样的分式的乘方运算只有一题，对于初学者来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练习.同样象第（2）题这样的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相应的增加几题为好.
分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点.
四、课堂引入
1.计算
（1）
（2）
2.计算下列各题：
（1）==（
）
（2）
==（
）
（3）==（
）
[提问]由以上计算的结果你能推出（n为正整数）的结果吗？
五、例题讲解
1.例4.计算
[分析]
是分式乘除法的混合运算.
分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.
（补充）例.计算
（1）
=
(先把除法统一成乘法运算)
=
（判断运算的符号）
=
（约分到最简分式）
（2）
=
(先把除法统一成乘法运算)
=
(分子、分母中的多项式分解因式)
=
=
2.例5.计算
[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.
六、随堂练习
1.计算
（1）
（2）
（3）
（4）
2.
判断下列各式是否成立，并改正.
（1）=
（2）=
（3）=
（4）=
七、课后练习
1.计算
（1）
（2）
（3）
（4）
2.
计算
（1）
（2）
（3）
（4）
八、答案：
六.1.（1）
（2）
（3）
（4）-y
2.（1）不成立，=
（2）不成立，=
（3）不成立，=
（4）不成立，=
七.1.
（1）
（2）
（3）
（4）
2.
（1）
（2）
（3）
（4）
课后反思：教学目标：
知识与技能：结合三角形的实例，探索、掌握三角形3条边之间的关系.
会用符号表示三角形，了解按边关系对三角形进行分类.
理解三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题.
过程与方法：结合具体实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系。
情感、态度和价值观：通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力
重
点：三角形的三边之间的不等关系.
难
点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形.
教学过程：
一、问题情境：
三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗？对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？
二、新课学习：
⒈三角形的相关概念.
⑴什么是三角形：
如图⑴，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接
所组成的图形叫做三角形
.
⑵三角形的有关概念：
①边：组成三角形的三条线段
叫做三角形的三条边.
②角：三角形相邻两边的夹角叫做三角形的内角，简称三角形的角
.
③顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.
⑶三角形的表示：
如图⑴以A、B、C为顶点的三角形记作“⊿ABC
”，读作“三角形ABC”.
⑷三角形的分类：如图⑵
①等边三角形：图⑵中⑴的⊿ABC的边
AB＝BC＝AC，⊿ABC是等边
三角形.
即：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
②等腰三角形：图⑵中⑵的⊿ABC的边
AB＝AC，但AB≠BC，
AC≠BC，⊿ABC是等腰
三角形.
即：有两条边相等
的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的边
叫做腰，另一边
叫做底，两腰
的夹角叫做顶角，腰
和底
的夹角叫做底角.
注意：等边三角形是特殊
的等腰三角形，即腰
和底
相等的等腰三角形.
③不等边三角形：图⑵中⑶的⊿ABC的边AB≠AC≠BC≠AB，⊿ABC是不等边三角形.
即：三条边都不相等
的三角形叫做不等边三角形.
综上三角形按边分类关系如下
三条边都不相等的三角形：
.
三角形
腰和底不相等的：
.
有两条边相等的三角形
腰和底相等的：
.
⑸练习：教材P65练习
“1”（口答）
⑹讨论与交流：
如图⑶，存在AB1,AB2,AB3,···AB9,
AB10,10条线段，且B1,B2,
···B10在同一条直线上，
则，图中三角形共有45
个.
⒉三角形三边关系：
阅读教材P64“探究”完成下列问题：
⑴如图⑷，根据线段公里“两点之间线段最短”可得，⊿ABC的三边
满足下列关系：AB
＋BC
＞AC
;AB
＋AC
＞BC
;BC
＋AC
＞AB
.
或：c
＋a
＞b
;
c
＋b
＞a
;
a
＋b
＞c
.
即：三角形任意两边的和
大于第三边
.
上述关系也可表示为：
a
－b
＜c
;
b
－c
＜a
;
c
－a
＜b
或b－a
＜c
;
c
－b
＜a
;
a
－c
＜b
.
即：三角形任意两边的差
小于第三边
.
注意：综合上可知：三角形任意一边小于
其他两边的和，并且大于
其他两边的差.
⑵练习：教材P65练习“2”
（口答）
说明：应用三角形三边之间的关系判定三条线段能否构成三角形时，常常只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可.
⑶例解与应用：阅读教材P64例，解答下列问题：
一个等腰三角形的周长为28cm.
①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长；
②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.
解：①设底边长为x
cm
,则腰长为3x
cm，根据题意得x＋3x＋3x＝28
解得
x＝4.
所以
3x＝3×4＝12.即：等腰三角形的三边长分别为4
cm，12
cm，12
cm
.
②若腰长为6cm
,则底边长为28－2×6＝16cm
,此时6＋6＜16，故不能组成三角形，所以腰长不能为6.
若底边长为6cm，则腰长为﹙28－6﹚÷2＝11cm
,它能构成三角形.
所以它的其它边长为11cm、11cm
.
⑷讨论与交流:
①如果三条线段的比是①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5.其中能构成三角形的有
2
个.
②若a，b，c分别是三角形的三边，化简︱a－b－c︱＋︱b－c－a︱＋︱c－a＋b︱＝
.
③已知一个等腰三角形的两边长分别为5cm和9cm，那么这个三角形的周长为19cm或23cm.
.
三、课堂小结：
四、课堂检测：
1.如图⑸，共有
个三角形，
其中以AC为边的三角形有
个.
2.一个等腰三角形的两边分别为7cm和10cm，则它的周长
为
.
3.一个等腰三角形的两边分别为2cm和5cm；则它的周长为
.
4.一个三角形的周长为15cm,且其中两边都等于第三边的2倍，，那么这个三角形的最短边长为
.
5.已知一个三角形的两边长分别为5cm和9cm，那么这个三角形的第三边x的取值范围
是
＜x＜
.
六、课后作业
⒈书面作业：
⑴课本P69习题7.1“1”（做书上）
⑵课本P69习题7.1“2”（做书上）
⑶等腰三角形底边为4.腰长为b,则b一定满足(
)
A．b＞2
B.
2＜b＜4
C.
2＜b＜8
D.b＜8
⑷已知三条线段的比是：①2∶3∶4；②
1∶2∶3；③2∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥6∶8∶10.其中可构成三角形的有
(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
⑸已知三角形的三边长为连续的整数，且周长为12cm，则它的最短边长为
(
)
A.
2cm
B.
3cm
C.
4cm
D.
5cm
⑹已知a,b,c为三角形的三边，则︱a＋b―c︱－︱b－c－a︱的化简结果是(
)
A.2a
B.
－2b
C.2a＋2b
D.2b－2c
⑺已知等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm,且它的周长大于14cm,则第三边长为
⑻已知等腰三角形的两边长分别为4，9，求它的周长.
⒉跟踪训练：
⑴如图⑹所示，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘
的一侧选取一点O，测得OA＝15cm，OB＝10cm,A、B间的
距离不可能是（
）
A.20cm
B.15cm
C.10cm
D.5cm
⑵下列说法①等边三角形是等腰三角形；
②三角形任意两边的和大于第三边；
③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有（
）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
⑶已知三角形的两边长分别为4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（
）
A.13cm
B.6cm
C.5cm
D.4cm
⑷三角形的一边长为5，一边长为13，则第三边x的取值范围是（
）
A.
5＜x＜
13
B.
8＜x＜18
C.x＞8
D.
x＜18
⑸已知三角形三边的比是3∶4∶5，其周长为48cm，那么它的三边长为
.
⑹三角形有两边长为5和1，第三边为奇数，则此三角形的周长为
.
⑺已知周长小于13的三角形三边长都是质数，且其中一条边a长为3，求符合条件的三角形的个数.
⑻一个等腰三角形的一条边长为6，另两边长是不小于3且不大于13的奇数，求这个等腰三角形的周长.积的乘方
教学目标：经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力．学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力．进一步体会幂的意义．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．
教学重点与难点：积的乘方运算法则及其应用；幂的运算法则的灵活运用．
教学过程：
一、回顾旧知识
同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相乘
二、创设情境，引入新课
问题：已知一个正方体的棱长为2×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？
学生分析，并得出结论，该正方体的体积为V=(2×103)3cm3
提问：
体积V=（2×103）3cm3
，结果是幂的乘方形式吗？底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒．
三、自主探究，引出结论
1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
①(ab)2=(ab) (ab)=(a a) (b b)=a(
)b(
)
②(ab)3=______=_______=a(
)b(
)
③(ab)n=______=______=a(
)b(
)（n是正整数）
2．分析过程：
①(ab)2=(ab) (ab)=
(a a) (b b)=a2b2；
②(ab)3=(ab) (ab) (ab)=(a a a) (b b b)
=a3b3；
③(ab)n==() ()=anbn
3．得到结论：
积的乘方：(ab)n=an bn (n是正整数)
把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．
4．积的乘方法则可以进行逆运算．即：
an bn=(ab)n（n为正整数）
an bn=() ()──幂的意义
=──乘法交换律、结合律
=(a b)n
──乘方的意义
同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
四、小结：
1．总结积的乘方法则，理解它的真正含义
2．幂的三条运算法则的综合运用幂的乘方
教学目标：经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力；了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．
教学重点与难点：会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用．
教学过程：
一、回顾同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；即
am·an
=
am+n（m、n都是正整数）
二、自主探索，感知新知
64表示_________个___________相乘
(4个6相乘)
(62)4表示_________个___________相乘
(4个62相乘)
a3表示_________个___________相乘
(3个a相乘)
(a2)3表示_________个___________相乘
(3个a2相乘)
推广形式，得到结论
1．(am)n表示_______个________相乘
(n个am相乘)
=________×________×…×_______×_______
(=)
=__________
(=
amn)
即(am)n
=
______________(其中m、n都是正整数)
2．通过上面的探索活动，发现了什么？
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
三、例：判断题，错误的予以改正
（1）a5+a5=
2a10
（
×
）a5+a5
=
2a5
（2）(x3)3
=
x6
（
×
）(x3)3
=
x9
（3）(－3)2·(－3)4
=
(－3)6
=
－36
（
×
）(－3)2·(－3)4
=
(－3)6
=
36
（4）x3+y3=
(x+y)3
（
×
）
x3与y3无法合并同类项
（5）[(m－n)3]4－[(m－n)2]6=0
（
√
）
四、小结：
幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
常见问题
这份教案适用于什么教材版本？
本教案适用于人教版相关教学场景，可在21世纪教育网检索同版本配套资源。
适用学段和科目是什么？
适用学段与科目：初中、8、数学。
文件是什么格式，大小多少？
文件格式为 ZIP，文件大小约 6.6MB。
文档主要包含哪些内容？
15．2分式的运算15．2．1分式的乘除(一)一、教学目标：理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.二、重点、难点1．重点：会用分式乘除的法则进行运算.2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算.三、例、习题的意图分析1．P135本节的引入…
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