3.2.1 古典概型
课时目标 1.了解基本事件的特点.2.理解古典概型的定义.3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题．
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1．基本事件
(1)基本事件的定义：
一次试验中可能出现的试验结果称为一个基本事件．基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．
(2)基本事件的特点：
①任何两个基本事件是__________；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成________的和．
2．古典概型
如果某类概率模型具有以下两个特点：
(1)试验中所有可能出现的基本事件__________．
(2)每个基本事件出现的__________．
将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型．
3．古典概型的概率公式
对于任何事件A，P(A)＝________________________________.
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一、选择题
1．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．下列是古典概型的是( )
(1)从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
(2)同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
(3)近三天中有一天降雨的概率；
(4)10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
A．(1)、(2)、(3)、(4)
B．(1)、(2)、(4)
C．(2)、(3)、(4)
D．(1)、(3)、(4)
3．下列是古典概型的是( )
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止
4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A.
B.
C.
D.
5．一袋中装有大小相同的八个球，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中有放回地每次取一个球，共取2次，记“取得两个球的编号和大于或等于14”为事件A，则P(A)等于( )
A.
B.
C.
D.
6．有五根细木棒，长度分别为1,3,5,7,9
(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是________．
8．甲，乙两人随意入住三间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是________．
9．从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________．
三、解答题
10．袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球1个是白球，另1个是红球．
11．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n
能力提升
12．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别．现由10人依次摸出1个球，设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第10个人摸出黑球的概率是P10，则( )
A．P10＝P1
B．P10＝P1
C．P10＝0
D．P10＝P1
13．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛优、劣程度可以用以下不等式表示：A>a>B>b>C>c.
(1)正常情况下，求田忌获胜的概率；
(2)为了得到更大的获胜机会，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马A，于是田忌采用了最恰当的应对策略，求这时田忌获胜的概率．
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1．判断一个概率问题是否为古典概型，关键看它是否同时满足古典概型的两个特征——有限性和等可能性．
2．古典概型的概率公式：如果随机事件A包含m个基本事件，则
P(A)＝＋＋…＋＝，
即P(A)＝.
3．应用公式P(A)＝求古典概型的概率时，应先判断它是否是古典概型，再列举、计算基本事件数代入公式计算，列举时注意要不重不漏，按一定顺序进行，或采用图表法、树图法进行．
答案：
3．2.1 古典概型
知识梳理
1．(2)①互斥的 ②基本事件 2.(1)只有有限个 (2)可能性相等 3.
作业设计
1．C [该生选报的所有可能情况是：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个．]
2．B [(1)(2)(4)为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而(3)不适合等可能性，故不为古典概型．]
3．C [A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性．]
4．C [正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件，两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)包括10个基本事件，所以概率等于.]
5．C [事件A包括(6,8)，(7,7)，(7,8)，(8,6)，(8,7)，(8,8)这6个基本事件，由于是有放回地取，基本事件总数为8×8＝64(个)，∴P(A)＝＝.]
6．D [任取三根共有10种情况，构成三角形的只有3、5、7,5、7、9,3、7、9三种情况，故概率为.]
7.
解析 可重复地选取两个数共有4×4＝16(种)可能，
其中一个数是另一个数的2倍的有1,2；2,1；2,4；4,2共4种，故所求的概率为＝.
8.
解析 设房间的编号分别为A、B、C，事件甲、乙两人各住一间房包含的基本事件为：甲A乙B，甲B乙A，甲B乙C，甲C乙B，甲A乙C，甲C乙A共6个，基本事件总数为3×3＝9，所以所求的概率为＝.
9.
解析 基本事件(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，而两数都是奇数的有3种，
故所求概率P＝.
10．解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种．
(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
∴取出的两个球全是白球的概率为
P(A)＝＝.
(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)＝.
11．解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.
故满足条件n1－P1＝1－＝.
12．D [摸球与抽签是一样的，虽然摸球的顺序有先后，但只需不让后人知道先抽的人抽出的结果，那么各个抽签者中签的概率是相等的，并不因抽签的顺序不同而影响到其公平性．所以P10＝P1.]
13．解 比赛配对的基本事件共有6个，它们是：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)．
(1)经分析：仅有配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜，且获胜的概率为.
(2)田忌的策略是首场安排劣马c出赛，基本事件有2个：(Ac，Ba，Cb)，(Ac，Bb，Ca)，配对为(Ac，Ba，Cb)时，田忌获胜且获胜的概率为.
答 正常情况下，田忌获胜的概率为，获得信息后，田忌获胜的概率为.3.1.3 概率的基本性质
课时目标 1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的加法公式求某些事件的概率．
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1．事件的关系与运算
(1)包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A________，则事件B________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)．记作________________．不可能事件记作 ，任何事件都包含____________．一般地，如果B A，且A B，那么称事件A与事件B________，记作________．
(2)并事件
若某事件发生当且仅当______________________，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．
(3)交事件
若某事件发生当且仅当______________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．
(4)互斥事件与对立事件
①互斥事件的定义
若A∩B为________________(A∩B＝__________)，则称事件A与事件B互斥．
②对立事件的含义
若A∩B为________________，A∪B是__________，则称事件A与事件B互为对立事件．
2．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围__________．
(2)________的概率为1，__________的概率为0.
(3)概率加法公式
如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝____________.
特殊地，若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．
P(A∪B)＝____，P(A∩B)＝____.
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一、选择题
1．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( )
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A．A B
B．A B
C．A与B互斥
D．A与B互为对立事件
2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A D
B．B∩D＝
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
3．从1,2，…，9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．
在上述几对事件中是对立事件的是( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
4．下列四种说法：
①对立事件一定是互斥事件；
②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；
④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．
其中错误的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
5．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8
g的概率为0.3，质量小于4.85
g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]g范围内的概率是( )
A．0.62
B．0.38
C．0.02
D．0.68
6．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，则摸出黑球的概率是________．
8．甲、乙两队进行足球比赛，若两队战平的概率是，乙队胜的概率是，则甲队胜的概率是________．
9．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为，则至少有一个5点或6点的概率是________．
三、解答题
10．某射手射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16，计算这名射手射击一次．
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率．
11．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？
能力提升
12．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
13．在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
年最高水位(单位：m)
[8,10)
[10,12)
[12,14)
[14,16)
[16,18)
概率
0.1
0.28
0.38
0.16
0.08
计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：
(1)[10,16)(m)；(2)[8,12)(m)；(3)水位不低于12
m.
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1．互斥事件与对立事件的判定
(1)利用基本概念：①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．
(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.①事件A与B互斥，即集合A∩B＝ ；②事件A与B对立，即集合A∩B＝ ，且A∪B＝I，也即A＝ IB或B＝ IA；③对互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B.
2．运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，做到不重不漏，分别求出各个事件的概率然后用加法公式求出结果．
3．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再运用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．
答案：
3．1.3 概率的基本性质
知识梳理
1．(1)发生 一定发生 B A或A B 不可能事件 相等 A＝B (2)事件A发生或事件B发生
(3)事件A发生且事件B发生 (4)①不可能事件 ②不可能事件 必然事件 2.(1)0≤P(A)≤1
(2)必然事件 不可能事件 (3)P(A)＋P(B) 1 0
作业设计
1．C
2．D [“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.]
3．C [从1,2，…，9中任取两个数，有以下三种情况：
(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．①中“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”是同一个事件，因此不互斥也不对立；②中“至少有一个奇数”包括“两个都是奇数”这个事件，可以同时发生，因此不互斥也不对立；④中“至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”，可以同时发生，因此不互斥也不对立；③中是对立事件，故应选C.]
4．D [对立事件一定是互斥事件，故①对；
只有A、B为互斥事件时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故②错；
因A，B，C并不是随机试验中的全部基本事件，
故P(A)＋P(B)＋P(C)并不一定等于1，故③错；
若A、B不互斥，尽管P(A)＋P(B)＝1，
但A，B不是对立事件，故④错．]
5．C [设“质量小于4.8
g”为事件A，“质量小于4.85
g”为事件B，“质量在[4.8,4.85]g”为事件C，则A∪C＝B，且A、C为互斥事件，所以P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.]
6．C [记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和．
∴P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)
＝＋＋＝.]
7．0.30
解析 P＝1－0.42－0.28＝0.30.
8.
解析 设甲队胜为事件A，
则P(A)＝1－－＝.
9.
解析 没有5点或6点的事件为A，则P(A)＝，至少有一个5点或6点的事件为B.
因A∩B＝ ，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝.
故至少有一个5点或6点的概率为.
10．解 设“射中10环”，“射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A、B、C、D，则A、B、C、D是互斥事件，
(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
＝0.24＋0.28＝0.52；
(2)P(A∪B∪C∪D)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87.
答 射中10环或9环的概率是0.52，至少射中7环的概率为0.87.
11．解 记“响第1声时被接”为事件A，“响第2声时被接”为事件B，“响第3声时被接”为事件C，“响第4声时被接”为事件D.“响前4声内被接”为事件E，则易知A、
B、C、D互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率的加法公式得
P(E)＝P(A∪B∪C∪D)
＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.
12．解 (1)记“他乘火车去”为事件A1，“他乘轮船去”为事件A2，“他乘汽车去”为事件A3，“他乘飞机去”为事件A4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．
故P(A1∪A4)＝P(A1)＋P(A4)＝0.3＋0.4＝0.7.
所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为P，
则P＝1－P(A2)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．
13．解 设水位在[a，b)范围的概率为P([a，b))．
由于水位在各范围内对应的事件是互斥的，由概率加法公式得：
(1)P([10,16))＝P([10,12))＋P([12,14))＋P([14,16))
＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P([8,12))＝P([8,10))＋P([10,12))
＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)记“水位不低于12
m”为事件A，
P(A)＝1－P([8,12))＝1－0.38＝0.62.§3.1 习题课
课时目标 1.进一步理解随机事件的有关概念；理解频率与概率的关系及概率的意义.2.会解决简单的有关概率的实际问题．
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1．下面的事件：①掷一枚硬币，出现反面；②对顶角相等；③3＋5>10，是随机事件的有( )
A．②
B．③
C．①
D．②③
2．下面的事件：
①袋中有2个红球，4个白球，从中任取3个球，至少取到1个白球；
②某人买彩票中奖；
③实系数一次方程必有一实根；
④明天会下雨．
其中是必然事件的有( )
A．①
B．④
C．①③
D．①④
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160
cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]之间的概率为0.5，那么该同学的身高超过175
cm的概率为( )
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
4．若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B的关系是( )
A．互斥不对立
B．对立不互斥
C．对立且互斥
D．以上均不对
5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只产品是正品(甲级品)的概率为________．
6．某射击运动员进行双向飞蝶射击训练，七次训练的成绩记录如下：
射击次数n
100
120
150
100
150
160
150
击中飞碟数nA
81
95
123
82
119
127
121
(1)求各次击中飞碟的频率；
(2)该射击运动员击中飞碟的概率约为多少？(保留3位小数)
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一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2．下列事件中，随机事件是( )
A．向区间(0,1)内投点，点落在(0,1)区间
B．向区间(0,1)内投点，点落在(1,2)区间
C．向区间(0,2)内投点，点落在(0,1)区间
D．向区间(0,2)内投点，点落在(－1,0)区间
3．给出下列三个命题，其中正确的有( )
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面向上，因此正面出现的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
4．如果事件A、B互斥，、分别为A、B的对立事件，则有( )
A．A＋B是必然事件
B.＋是必然事件
C.与一定互斥
D.与不互斥
5．关于互斥事件的理解，错误的是( )
A．若A发生，则B不发生；若B发生，则A不发生
B．若A发生，则B不发生，若B发生，则A不发生，二者必具其一
C．A发生，B不发生；B发生，A不发生；A、B都不发生
D．若A、B又是对立事件，则A、B中有且只有一个发生
6．考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于( )
A．1
B.
C.
D．0
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．下列说法：
①频率是反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率；
③频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
其中正确的是________．
8．某人在一次射击中，命中9环的概率为0.28，命中8环的概率为0.19，不够8环的概率为0.29，则这人在一次射击中命中9环或10环的概率为________．
9．从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P(A∪B)的值是________．(结果用最简分数表示)
三、解答题
10．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
11．我国已经正式加入WTO，包括汽车在内的进口商品将最多五年内把关税全部降到世贸组织所要求的水平，其中有21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年达到要求，其余的进口商品将在3年或3年内达到要求，求进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求的概率．
能力提升
12．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．
13．下表为某班英语及数学成绩的分布，学生共有50人，成绩分1～5五个档次，例如表中所示英语成绩为4分、数学成绩为2分的学生为5人，将全班学生的姓名卡片混在一起，任取一张，该张卡片对应学生的英语成绩为x，数学成绩为y，设x，y为随机变量．(注：没有重名学生)
(1)x＝1的概率为多少？x≥3且y＝3的概率为多少？
(2)a＋b等于多少？
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1．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，概率是大次数地重复试验中频率的稳定值．
2．概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．
3．复杂事件求概率时常用的两种转化方法：一是转化为彼此互斥的事件的概率；二是转化为求其对立事件发生的概率．
答案：
§3.1 习题课
双基演练
1．C 2.C
3．B [该同学身高超过175
cm(事件A)与该同学身高不超过175
cm是对立事件，而不超过175
cm的事件为小于160
cm(事件B)和[160,175](事件C)两事件的和事件，即
P(A)＝1－P()
＝1－[P(B)＋P(C)]
＝1－(0.2＋0.5)
＝0.3.]
4．C [∵P(A＋B)＝1，∴A＋B为必然事件．
又∵P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，∴A与B为互斥事件，因此有A∩B为不可能事件．A∪B为必然事件，所以A与B也是对立事件．]
5．92%
解析 记抽验的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品(甲级品)的概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%.
6．解 (1)计算得各次击中飞碟的频率依次为0.810，0.792,0.820,0.820,0.793,0.794,
0.807.
(2)由于这些频率非常接近0.810，在它附近摆动，所以运动员击中飞碟的概率约为0.810.
作业设计
1．C 2.C
3．A [由频率和概率的定义及频率与概率的关系可知①②③都不正确．]
4．B [A、B互斥，A、B可以不同时发生，即A∩B＝ ，所以A∩B的对立事件＝∪是必然事件，即＋是必然事件．]
5．B [A、B互斥，A、B可以不同时发生，A、B也可以同时不发生，但只要一个发生，另一个一定不发生．对立事件是必定有一个发生的互斥事件，故只有B错．]
6．A [由正方体的对称性知其六个面的中心构成同底的两个四棱锥，且四棱锥的各个侧面是全等的三角形，底面四个顶点构成一个正方形，从这6个点中任选3个点构成的三角形可分为以下两类：第一类是选中相对面中心两点及被这两个平面所夹的四个面中的任意一个面的中心，构成的是等腰直角三角形，此时剩下的三个点也连成一个与其全等的三角形．第二类是所选三个点均为多面体的侧面三角形的三个点(即所选3个点所在的平面彼此相邻)此时构成的是正三角形，同时剩下的三个点也构成与其全等的三角形，故所求概率为1.]
7．①③④
8．0.52
解析 P＝1－P(x≤8)＝1－P(x<8)－P(x＝8)
＝1－0.29－0.19＝0.52.
9.
解析 一副扑克中有1张红桃K,13张黑桃，事件A与事件B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
10．解 设事件A、B、C、D分别表示“任取一球，得到红球”，“任取一球，得到黑球”，“任取一球，得到黄球”，“任取一球，得到绿球”，
则由已知得P(A)＝，
P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B∪C∪D)＝1－P(A)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝1－＝.
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，.
11．解 方法一 设“进口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A，“不到4年达到要求”为事件B，则“进口汽车不超过4年的时间内关税达到要求”就是事件A＋B，显然A与B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.
方法二 设“进口汽车在不超过4年的时间内关税达到要求”为事件M，则N为“进口汽车5年关税达到要求”，所以P(M)＝1－P(N)＝1－0.21＝0.79.
12．解 (1)“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为P＝1－－＝.
(2)方法一 设事件A为“甲不输”，看作是“甲胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝.
方法二 设事件A为“甲不输”，看作是“乙胜”的对立事件．所以P(A)＝1－＝.
所以甲不输的概率是.
13．解 (1)P(x＝1)＝＝，
P(x≥3，y＝3)＝＝.
(2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3)
＝1－－
＝＝，
∴a＋b＝3.§3.2 习题课
课时目标 进一步理解古典概型的概念，学会判断古典概型．并会运用古典概型解决有关的生活实际问题．
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1．集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{0,1,2,3,4}，点P的坐标为(m，n)，m∈A，n∈B，则点P在直线x＋y＝6上方的概率为( )
A.
B.
C.
D.
2．下列试验中，是古典概型的是( )
A．放飞一只信鸽观察它是否能够飞回
B．从奇数中抽取小于10的正奇数
C．抛掷一枚骰子，出现1点或2点
D．某人开车路过十字路口，恰遇红灯
3．袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是( )
A.
B.
C.
D.
4．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励，假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( )
A.
B.
C.
D.
5．下列试验中，是古典概型的有( )
A．种下一粒种子观察它是否发芽
B．连续抛一枚骰子，直到上面出现6点
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
6．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．
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一、选择题
1．用1、2、3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是( )
A.
B.
C.
D.
2．某城市有相连接的8个商场A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O排成如图所示的格局，其中每个小方格为正方形，某人从网格中随机地选择一条最短路径，欲从商场A前往H，则他经过市中心O的概率为( )
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A.
B.
C.
D.
3．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回的抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )
A.
B.
C.
D.
4．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天某人准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的发车情况．为了尽可能乘上上等车，他采用如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好，则上第二辆，否则上第三辆．那么他乘上上等车的概率是( )
A.
B.
C.
D.
5．2010年世博会在中国举行，建馆工程有6家企业参与竞标，其中A企业来自陕西省，B，C两家企业来自天津市，D、E、F三家企业来自北京市，现有一个工程需要两家企业联合建设，假设每家企业中标的概率相同，则在中标企业中，至少有1家来自北京市的概率是( )
A.
B.
C.
D.
6．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有________人．
8．在集合{x|x＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足log2x为整数的概率是________．
9．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3
m的概率为________．
三、解答题
10．把一个骰子抛1次，设正面出现的点数为x.
(1)求出x的可能取值情况(即全体基本事件)；
(2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值回答)
①x的取值是2的倍数(记为事件A)．
②x的取值大于3(记为事件B)．
③x的取值不超过2(记为事件C)．
(3)判断上述事件是否为古典概型，并求其概率．
11．某商场举行抽奖活动，从装有编号0,1,2,3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
能力提升
12．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b.求关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率．
13．班级联欢时，主持人拟出如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1,2,3,4,5，其中1,2,3号是男生，4,5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目．
(1)为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
(2)为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个人表演的概率．
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在建立概率模型时，把什么看作一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．因此，我们必须选择恰当的观察角度，把问题转化为不同的古典概型(基本事件满足有限性和等可能性)来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单．
答案：
§3.2 习题课
双基演练
1．D [点P在直线x＋y＝6上方，即指点P的坐标中的点满足m＋n>6，(m，n)的坐标可以是(3,4)，(4,3)，(4,4)，(5,2)，(5,3)，(5,4)共6种情况，所以点P在直线x＋y＝6上方的概率为＝.]
2．C [由于试验次数为一次，并且出现1点或2点的概率是等可能的，故选C.]
3．B [该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，所以属于古典概型．事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是.]
4．C [3块字块共能拼排成以下6种情形：
2008北京，20北京08，北京2008，北京0820,08北京20,0820北京，即共有6个基本事件．其中这个婴儿能得到奖励的基本事件有2个：
2008北京，北京2008，故婴儿能得到奖励的概率为P＝＝.]
5．C [判断一个试验是否为古典概型的关键为：①对每次试验来说，只可能出现有限个试验结果；②对于试验中所有的不同试验结果而言，它们出现的可能性相等．]
6.
解析 从四条线段中任取三条的所有可能结果有4种，其中任取三条能构成三角形的可能有2,3,4；2,4,5；3,4,5三种，因此所求概率为.
作业设计
1．C
2．A [此人从小区B前往H的所有最短路径有
A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，
A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，
A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条，其中经过市中心O的有4条路径，所以其概率为.]
3．B [有放回地取球三次，假设第一次取红球共有如下所示9种取法．
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同理，第一次取黄球，绿球分别也有9种情况，共计27种．而三次颜色全相同，共有3
种情况，故颜色全相同的概率为＝.]
4．A [基本事件空间中包括以下六个基本事件：
第一辆为上等车，若第二辆为中等车，则乘上下等车；若第二辆为下等车，则乘上中等车．
第一辆为中等车，若第二辆为上等车，则乘上上等车，若第二辆为下等车，则乘第三辆车，亦乘上上等车．
第一辆为下等车，若第二辆为上等车，则乘上上等车，若第二辆为中等车，则乘不上上等车．
所以，他乘上上等车的概率P＝＝.]
5．D [从这6家企业中选出2家的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共有15种．其中，在中标的企业中没有来自北京市的选法有：(A，B)，(A，C)，(B，C)共3种．所以“在中标的企业中，没有来自北京市”的概率为＝.所以“在中标的企业中，至少有一家来自北京市”的概率为1－＝.]
6．D [由袋中随机取出2个小球的基本事件总数为10，取出小球标注数字和为3的事件为1,2.取出小球标注数字和为6的事件为1,5或2,4.∴取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为P＝＝.]
7．120
解析 设男教师有n人，则女教师有(n＋12)人．
由已知从这些教师中选一人，选到男教师的概率
P＝＝，得n＝54，
故参加联欢会的教师共有120人．
8.
解析 当x＝1,2,4,8时，log2x分别为整数0,1,2,3.又因总体共有10个，其概率为＝.
9．0.2
解析 从5根竹竿中一次随机抽取2根竹竿共有10种抽取方法，而抽取的两根竹竿长度恰好相差0.3
m的情况是2.5和2.8,2.6和2.9两种，
∴概率P＝＝0.2.
10．解 (1)根据古典概型的定义进行判断得，x的可能取值情况为：1,2,3,4,5,6；
(2)事件A为2,4,6；事件B为4,5,6，事件C为1,2，
(3)由题意可知①②③均是古典概型．
其中P(A)＝＝；
P(B)＝＝；
P(C)＝＝.
11．解 设“中三等奖”的事件为A，“中奖”的事件为B，从四个小球中有放回的取两个共有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)16种不同的方法．
(1)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：
(0,3)、(1,2)、(2,1)、(3,0)．
故P(A)＝＝.
(2)由(1)知，两个小球号码相加之和等于3的取法有4种．
两个小球号码相加之和等于4的取法有3种：(1,3)，(2,2)，(3,1)，
两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)，
P(B)＝＋＋＝.
12．解 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a>0，b>0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.
基本事件共12个：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含6个基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，
事件B发生的概率为P(A)＝＝.
13．解 (1)利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果(如下图所示)．
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由上图可以看出，试验的所有可能结果数为20，因为每次都随机抽取，所以这20种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A1表示事件“连续抽取2人一男一女”，A2表示事件“连续抽取2人都是女生”，则A1与A2互斥，并且A1∪A2表示事件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可以看出，A1的结果有12种，A2的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，可得P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝＝0.7，即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为0.7.
(2)有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用(2,4)来表示，所有的可能结果可以用下表列出.
第二次抽取第一次抽取
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典概型．
用A表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，A的结果共有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率P(A)＝＝＝0.2.第三章 概 率(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下列事件中不是随机事件的是( )
A．某人购买福利彩票中奖
B．从10个杯子(8个正品，2个次品)中任取2个，2个均为次品
C．在标准大气压下，水加热到100℃沸腾
D．某人投篮10次，投中8次
2．某班有男生25人，其中1人为班长，女生15人，现从该班选出1人，作为该班的代表参加座谈会，下列说法中正确的是( )
①选出1人是班长的概率为；
②选出1人是男生的概率是；
③选出1人是女生的概率是；
④在女生中选出1人是班长的概率是0.
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )
A.
B.
C.
D.
4．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A．对立事件
B．不可能事件
C．互斥但不是对立事件
D．以上答案都不对
5．在2010年广州亚运会火炬传递活动中，在编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球”中的哪几个？( )
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
7．矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分内的黄豆数为204颗，以此实验数据为依据可以估计出阴影部分的面积约为( )
A．16
B．16.32
C．16.34
D．15.96
8．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17A.
B
.
C.
D.
9．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( )
A．0.45
B．0.67
C．0.64
D．0.32
10．一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次(每次只敲击一个数字键)得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
11．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m和n，则m>n的概率为( )
A.
B.
C.
D.
12．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是( )
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A.
B.
C．1－
D．1－
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．从一箱苹果中任取一个，如果其重量小于200克的概率为0.2，重量在[200,300]内的概率为0.5，那么重量超过300克的概率为________．
14．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为________．(表示B的对立事件)
15．先后两次抛掷同一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5分别作为三条线段的长，则这三条线段能构成等腰三角形的概率是________．
16．设b和c分别是先后抛掷一颗骰子得到的点数，则方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多2人排队等候的概率是多少？
(2)至少3人排队等候的概率是多少？
18．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．
(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
(2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．
19．(12分)在区间(0,1)上随机取两个数m，n，求关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实根的概率．
20．(12分)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第一号车站(首发站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站下车是等可能的．约定用有序实数对(x，y)表示“甲在x号车站下车，乙在y号车站下车”．
(1)用有序实数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；
(2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率；
(3)求甲、乙两人在不同的车站下车的概率．
21．(12分)在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写道：
摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
(1)摸出的3个球为白球的概率是多少？
(2)假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一天能赚多少钱？
22．(12分)汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6，8.7，9.3,9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
第三章 概 率(A)
1．C
2．D [本班共有40人，1人为班长，故①对；而“选出1人是男生”的概率为＝；“选出1人为女生”的概率为＝，因班长是男生，∴“在女生中选班长”为不可能事件，概率为0.]
3．C [抛掷两枚质地均匀的硬币，可能出现“正、正”、“反、反”、“正、反”、“反、正”，因此两个正面朝上的概率P＝.]
4．C [由互斥事件的定义可知：甲、乙不能同时得到红牌，由对立事件的定义可知：甲、乙可能都得不到红牌，即“甲、乙分得红牌”的事件可能不发生．]
5．B [从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝.]
6．A [从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．]
7．B [由题意＝，∴S阴＝×24＝16.32.]
8．C [∵a∈(15,25]，∴P(179．D [摸出红球的概率为＝0.45，因为摸出红球，白球和黑球是互斥事件，因此摸出黑球的概率为1－0.45－0.23＝0.32.]
10．A [任意敲击0到9这十个数字键两次，其得到的所有结果为(0，i)(i＝0,1,2，…，9)；(1，i)(i＝0,1,2，…，9)；(2，i)(i＝0,1,2，…，9)；…；(9，i)(i＝0,1,2，…，9)．
故共有100种结果．两个数字都是3的倍数的结果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9种．故所求概率为.]
11．A
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[建立平面直角坐标系(如图所示)，则由图可知满足m>n的点应在梯形OABD内，所以所求事件的概率为P＝＝.]
12．C [P＝＝＝1－.]
13．0.3
解析 所求的概率P＝1－0.2－0.5＝0.3.
14.
解析 事件A包含的基本事件为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点数出现”，包含的基本事件为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.
15.
解析 基本事件的总数为6×6＝36.
∵三角形的一边长为5，
∴当a＝1时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝2时，b＝5符合题意，有1种情况；
当a＝3时，b＝3或5符合题意，即有2种情况；
当a＝4时，b＝4或5符合题意，有2种情况；
当a＝5时，b∈{1,2,3,4,5,6}符合题意，
即有6种情况；
当a＝6时，b＝5或6符合题意，即有2种情况．
故满足条件的不同情况共有14种，
所求概率为＝.
16.
解析 基本事件总数为36个，
若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b2≥4c.
当c＝1时，b＝2,3,4,5,6；
当c＝2时，b＝3,4,5,6；
当c＝3时，b＝4,5,6；
当c＝4时，b＝4,5,6；
当c＝5时，b＝5,6；
当c＝6时，b＝5,6.
符合条件的事件个数为5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，因此方程x2－bx＋c＝0有实根的概率为.
17．解 记“有0人等候”为事件A，“有1人等候”为事件B，“有2人等候”为事件C，“有3人等候”为事件D，“有4人等候”为事件E，“有5人及5人以上等候”为事件F，则易知A、B、C、D、E、F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，
则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)记“至少3人排队等候”为事件H，
则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
也可以这样解，G与H互为对立事件，
所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44.
18．解 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为＝，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.
(2)设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21种．
随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A区的概率为P(X)＝.
19.解 在平面直角坐标系中，以x轴和y轴分别表示m，n的值，因为m，n在(0,1)内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．
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设事件A表示方程x2－x＋m＝0有实根，则事件A＝{(m，n)|}，所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为，故P(A)＝＝，即关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实根的概率为.
20．解 (1)甲、乙两人下车的所有可能的结果为：
(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
(2)设甲、乙两人同在第3号车站下车的事件为A，则P(A)＝.
(3)设甲、乙两人在不同的车站下车的事件为B，则P(B)＝1－3×＝.
21．解 把3只黄色乒乓球标记为A、B、C,3只白色的乒乓球标记为1、2、3.从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个．
(1)事件E＝{摸出的3个球为白球}，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123，
P(E)＝1/20＝0.05.
(2)事件F＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P(F)＝2/20＝0.1，
假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件F发生有10次，不发生90次．
则一天可赚90×1－10×5＝40，每天可赚40元．
22．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得＝，所以n＝2
000.
则z＝2
000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400.
(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意得＝，即a＝2.
因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10个．事件E包含的基本事件有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7个．故P(E)＝，即所求概率为.
(3)样本平均数＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.
设D表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包括的基本事件有：
9．4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.3.1.2 概率的意义
课时目标 1.通过实例，进一步理解概率的意义.2.会用概率的意义解释生活中的实例.3.了解“极大似然法”和遗传机理中的统计规律．
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1．对概率的正确理解
随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有________，认识了这种随机性中的________，就能比较准确地预测随机事件发生的________．
2．游戏的公平性
(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率均为______，所以这个规则是______的．
(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是______的这一重要原则．
3．决策中的概率思想
如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“_____________”可以作为决策的准则，这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一．
4．天气预报的概率解释
天气预报的“降水”是一个________，“降水概率为90%”指明了“降水”这个随机事件发生的______为90%，在一次试验中，概率为90%的事件也________，因此，“昨天没有下雨”并不能说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是______的．
5．孟德尔与遗传机理中的统计规律
孟德尔在自己长达七、八年的试验中，观察到了遗传规律，这种规律是一种统计规律．
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一、选择题
1．某气象局预报说，明天本地降雪的概率为90%，下列解释正确的是( )
A．明天本地有90%的区域下雪，10%的区域不下雪．
B．明天本地下雪的可能性是90%.
C．明天本地全天有90%的时间下雪，10%的时间不下雪．
D．明天本地一定下雪．
2．已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是( )
A．合格产品少于9件
B．合格产品多于9件
C．合格产品正好是9件
D．合格产品可能是9件
3．每道选择题有4个选择项，其中只有1个选择项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选择项正确的概率是，我每题都选择第一个选择项，则一定有3道题选择结果正确”，这句话( )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
4．同时向上抛掷100个质量均匀的铜板，落地时这100个铜板全都正面向上，则这100个铜板更可能是下面哪种情况( )
A．这100个铜板两面是一样的
B．这100个铜板两面是不一样的
C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不一样的
D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面是不一样的
5．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3
000辆帕萨特出租车，乙公司有3
000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A．甲公司
B．乙公司
C．甲与乙公司
D．以上都对
6．从12个同类产品(其中10个正品，2个次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是( )
A．抽出的6件产品中必有5件正品，一件次品
B．抽出的6件产品中可能有5件正品，一件次品
C．抽取6件产品时逐个不放回抽取，前5件是正品，第6件必是次品
D．抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，一件次品
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．盒中装有4只白球5只黑球，从中任意取出1只球．
(1)“取出的球是黄球”是________事件，它的概率是________；
(2)“取出的球是白球”是________事件，它的概率是________；
(3)“取出的球是白球或黑球”是________事件，它的概率是________．
8．管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后，再捕上50条，发现其中带标记的鱼有2条．根据以上数据可以估计该池塘约有________条鱼．
9．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：
492 496 494 495 498
497 501 502 504 496
497 503 506 508 507
492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5
g～501.5
g之间的概率约为________．
三、解答题
10．解释下列概率的含义：
(1)某厂生产产品合格的概率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
11．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内，最初，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞，被注射这种血清之后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据试验结果，估计具有(1)圆形细胞；(2)椭圆形细胞；(3)不规则形状细胞的豚鼠分别被这种血清感染的概率．
能力提升
12．掷一枚骰子得到6点的概率是，是否意味着把它掷6次一定能得到一次6点？
13．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10
000个鱼卵能孵化8513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：
(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？
(2)30
000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？
(3)要孵化5
000尾鱼苗，大概需备多少个鱼卵？(精确到百位)
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1．事件A发生的概率P(A)＝，在实际生活中并不意味着n次试验中，事件A一定发生m次，有可能多于m次，也有可能少于m次，甚至有可能不发生或发生n次．
2．大概率事件经常发生，小概率事件很少发生．反之，一次试验中已发生了的事件其概率也必然很大，利用这一点可以推断事情的发展趋势，做出正确的决策．
3．概率广泛应用于体育运动、管理决策、天气预报以及某些科学实验中，它在这些应用中起着极其重要的作用．
答案：
3．1.2 概率的意义
知识梳理
1．规律性 规律性 可能性 2.(1)0.5 公平
(2)公平 3.使得样本出现的可能性最大 4.随机事件 概率 可能不出现 错误
作业设计
1．B [概率的本质是从数量上反映一个事件发生的可能性的大小．]
2．D
3．B [解答一个选择题作为一次试验，每次试验选择的正确与否都是随机的，经过大量的试验其结果呈随机性，即选择正确的概率是.做12道选择题，即进行12次试验，每个结果都是随机的，不能保证每题的结果选择正确，但有3道题选择结果正确的可能性比较大．同时也有可能都选错，或有2道题，4道题，甚至12道题都选择正确．故这句话是错误的．]
4．A [一枚质量均匀的铜板，抛掷一次正面向上的概率为0.5，从题意中知抛掷100枚结果正面都向上，因此这100个铜板两面是一样的可能性最大．]
5．B [由于甲公司桑塔纳的比例为＝，
乙公司桑塔纳的比例为＝，根据极大似然法可知应选B.]
6．B
7．(1)不可能 0 (2)随机 (3)必然 1
8．750
解析 设池塘约有n条鱼，则含有标记的鱼的概率为，由题意得：×50＝2，∴n＝750.
9．0.25
解析 袋装食盐质量在497.5
g～501.5
g之间的共有5袋，所以其概率约为＝0.25.
10．解 (1)说明该厂产品合格的可能性为90%.也就是说每100件该厂的产品中大约有90件是合格品．
(2)说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100个人参加抽奖，约有20人中奖．
11．解 (1)记“圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，由题意知，A为不可能事件，∴P(A)＝0.
(2)记“椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，
由题意知P(B)＝＝＝0.2.
(3)记“不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，由题意知事件C为必然事件，所以P(C)＝1.
12．解 抛掷一枚骰子得到6点的概率是，多次抛掷骰子，出现6点的情况大约占，并不意味着掷6次一定得到一次6点，实际上，掷6次作为抛掷骰子的6次试验，每一次结果都是随机的．
13．解 (1)这种鱼卵的孵化概率
P＝＝0.851
3.
(2)30
000个鱼卵大约能孵化
30
000×＝25
539(尾)鱼苗．
(3)设大概需备x个鱼卵，
由题意知＝.
∴x＝＝5
900(个)．
∴大概需备5
900个鱼卵．章末复习课
课时目标 1.加深对事件、概率、古典概型、几何概型及随机模拟意义的理解.2.提高应用概率解决实际问题的能力．
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1．抛掷两颗骰子，所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍的概率为( )
A.
B.
C.
D.
2．对总数为N的一批零件抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽到的概率为0.25，则N的值为( )
A．120
B．200
C．150
D．100
3．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为( )
A.
B.
C.
D.
4．三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
5．在闭区间[－1,1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是________．
6．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？
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一、选择题
1．利用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是( )
A.
B.
C.
D.
2．若以连续掷两枚骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在x2＋y2＝9内的概率为( )
A.
B.
C.
D.
3．某单位电话总机室内有2部外线电话：T1和T2，在同一时间内，T1打入电话的概率是0.4，T2打入电话的概率是0.5，两部同时打入电话的概率是0.2，则至少有一部电话打入的概率是( )
A．0.9
B．0.7
C．0.6
D．0.5
4．设A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{1,3,5,7,9}，集合C是从A∪B中任取2个元素组成的集合，则C?(A∩B)的概率是( )
A.
B.
C.
D.
5．从数字1,2,3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．有1杯2
L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1
L，这一小杯水中含有细菌的概率是________．
8．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)＝________.
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9．一只蚂蚁在如图所示的地板砖(除颜色不同外，其余全部相同)上爬来爬去，它最后停留在黑色地板砖上的概率为________．
三、解答题
10．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例(%)
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
能力提升
11．将长为l的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率．
12．利用随机模拟方法计算图中阴影部分(y＝x3和x＝2以及x轴所围成的部分)的面积．
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1．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．
若事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥，则
P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
2．关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：
①本试验是否是等可能的？
②本试验的基本事件有多少个？
③事件A是什么，它包含多少个基本事件？
只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错．
3．几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．
4．关于随机数与随机模拟试验问题
随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先要把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的量，我们可以从以下几个方面考虑：
(1)确定产生随机数组数，如长度型、角度型(一维)一组，面积型(二维)二组．
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围，由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式．
答案：
章末复习课
双基演练
1．B [抛掷两枚骰子出现的可能结果有6×6＝36(个)，所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍，包含(1,2)，(2,4)，(3,6)，(2,1)，(4,2)，(6,3)共6个基本事件，故所求概率为＝.]
2．A [因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为；所以＝0.25，从而有N＝120.]
3．C [由log2xy＝1 2x＝y，x∈{1,2,3,4,5,6}，y∈{1,2,3,4,5,6}．
∴共三种．∴P＝＝.]
4.
解析 题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：BEE，EBE，EEB，∴概率为.
5.
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解析
如图所示
P＝＝.
6．解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10－3－3＝4(米)．在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，
所以P(A)＝＝＝0.4.
作业设计
1．A [总体个数为N，样本容量为M，则每一个个体被抽得的概率为P＝＝＝.]
2．D [掷骰子共有36个结果，而落在圆x2＋y2＝9内的情况有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共4种，∴P＝＝.]
3．B [所求的概率为0.4＋0.5－0.2＝0.7.]
4．A [A∪B＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{1,3,5}，
在A∪B中任取两个元素，共有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(种)不同的取法，
从A∩B中任取2个元素，共有1
3,1
5,3
5三种不同取法，因此，C?(A∩B)的概率是P＝.]
5．A[从数字1,2,3中任取两个不同数字组成的两位数有12,21,13,31,23,32共6种，每种结果出现的可能性是相同的，所以该试验属于古典概型，记事件B为“取出两个不同数字组成两位数大于23”，则B中包含31,32两个基本事件，根据古典概型概率公式，得P(A)＝＝.]
6．C
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[如图，在AB边取点P′，
使＝，
则P只能在AP′内运动，则概率为＝.]
7.
解析 此为与体积有关的几何概型问题，
∴P＝＝.
8.
解析 由古典概型的算法可得P(A)＝＝，P(B)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
9.
解析 P＝＝.
10．解 (1)对任一人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′、B′、C′、D′，它们是互斥的．由已知，有
P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′.根据互斥事件的加法公式，有
P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A、AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′∪C′，且P(A′∪C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
答 任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.
11．解 设A＝{3段构成三角形}，x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y，则试验的全部结果可构成集合
Ω＝{(x，y)|0l－x－y x＋y>，
x＋l－x－y>y y<，
y＋l－x－y>x x<.
故所求结果构成集合
A＝{(x，y)|x＋y>，y<，x<}．
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如图，阴影部分表示集合A，△OBC表示集合Ω，故所求概率为P(A)＝＝＝，
即折成的3段能构成三角形的概率为.
12．解 在坐标系中画出矩形(x＝0，x＝2，y＝0，y＝8所围成的部分)，利用面积比与概率、频率的关系进行计算．
(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b1＝RAND.
(2)进行伸缩变换a＝a1]N1,N)，即为点落在阴影部分的概率的近似值．
(5)由几何概率公式得点落在阴影部分的概率为P＝.
∴＝，∴S≈，即为阴影部分的面积的近似值．
3.3.1 几何概型
课时目标 1.通过实例体会几何概型的含义，会区分古典概型和几何概型.2.掌握几何概型的概率计算公式，会求一些事件的概率．
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1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与____________________________________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
根据定义，向半径为r的圆内投针，落在圆心上的概率为0，因为点的面积为0，但此事件不一定不发生．
2．几何概型的特点
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件总数)有____________个．
(2)每个基本事件出现的可能性________．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝
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一、选择题
1．用力将一个长为三米的米尺拉断，假设该米尺在任何一个部位被拉断是等可能的，则米尺的断裂处恰在米尺的1米到2米刻度处的概率为( )
A.
B.
C.
D.
2．如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是( )
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A.
B.
C.
D.
3．在1
L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10
mL，则含有麦锈病种子的概率是( )
A.
B.
C.
D.
4．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A.
B．1－
C.
D．1－
5．在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“x2＋y2<1”，则P(A)为( )
A.
B.
C．π
D．2π
6．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为( )
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题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当你到达路口时看到的是绿灯的概率是________．
8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
9．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为________．
三、解答题
10．过等腰Rt△ABC的直角顶点C在∠ACB内部随机作一条射线，设射线与AB相交于点D，求AD11．如图，在墙上挂着一块边长为16
cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2
cm，4
cm,6
cm，某人站在3
m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：
(1)投中大圆内的概率是多少？
(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
(3)投中大圆之外的概率是多少？
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能力提升
12．函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率为( )
A．1
B.
C.
D.
13．在转盘游戏中，假设有三种颜色红、绿、蓝．在转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输，问若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为，输的概率为，则每个绿色扇形的圆心角为多少度？(假设转盘停止位置都是等可能的)
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处理几何概型问题就要先计算基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度(角度、面积或体积)，而这往往会遇到计算困难，这是本节难点之一．实际上本节的重点不在于计算，而在于如何利用几何概型把问题转化为各种几何概率问题．为此可参考如下办法：
(1)选择适当的观察角度；
(2)把基本事件转化为与之对应的几何区域；
(3)把随机事件A转化为与之对应的几何区域；
(4)利用概率公式计算；
(5)如果事件A对应的区域不好处理，可以用对立事件概率公式逆向思维．
同时要注意判断基本事件的等可能性，这需要严谨的思维，切忌想当然，需要从问题的实际背景出发去判断．
答案：
3．3.1 几何概型
知识梳理
1．构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例
2．(1)无限多 (2)相等
作业设计
1．B [P＝＝.]
2．A [由题意，P＝＝＝.]
3．D [取出10
mL麦种，其中“含有病种子”这一事件记为A，则P(A)＝＝＝.]
4．B [当以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1，
故所求事件的概率为P(A)＝＝1－.]
5．A
[如图，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，则S中每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A所对应的事件(x，y)与圆面x2＋y2<1内的点一一对应，
∴P(A)＝.]
6．A [A中P1＝，B中P2＝＝，
C中设正方形边长2，则P3＝＝，
D中设圆直径为2，则P4＝＝.
在P1，P2，P3，P4中，P1最大．]
7.
解析 P(A)＝＝.
8.
解析 由几何概型知所求的P＝＝.
9.
解析 设圆面半径为R，如图所示△ABC的面积S△ABC＝3·S△AOC＝3·AC·OD＝3·CD·OD
＝3·Rsin
60°·Rcos
60°
＝，
∴P＝＝＝.
10.
解 在AB上取一点E，使AE＝AC，连接CE(如图)，则当射线CD落在∠ACE内部时，ADINCLUDEPICTURE
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11．解 整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为S＝16×16＝256
(cm2)．记“投中大圆内”为事件A，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B，“投中大圆之外”为事件C，则事件A所占区域面积为SA＝π×62＝36π(cm2)；事件B所占区域面积为SB＝π×42－π×22＝12π(cm2)；事件C所占区域面积为SC＝(256－36π)cm2.
由几何概型的概率公式，得(1)P(A)＝＝π；(2)P(B)＝＝π；(3)P(C)＝＝1－π.
12．C [令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，与x轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图象在x轴下方，即f(x0)≤0的x0的取值范围为x0∈[－1,2]，∴P＝＝.]
13．解 由于转盘旋转停止位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周长问题．因为赢的概率为，
所以红色所占角度为周角的，
即α1＝＝72°.
同理，蓝色占周角的，
即α2＝＝120°，
所以绿色所占角度α3＝360°－120°－72°＝168°.
将α3分成四等份，
得α3÷4＝168°÷4＝42°.
即每个绿色扇形的圆心角为42°.第三章 概 率
3.1.1 随机事件的概率
课时目标 在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别．
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1．事件的概念及分类
事件
确定事件
不可能事件
在条件S下，______________的事件，叫做相对于条件S的不可能事件
必然事件
在条件S下，________的事件，叫做相对于条件S的必然事件
随机事件
在条件S下______________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件
2.频数与频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中______________为事件A出现的频数，称______________________为事件A出现的频率．
3．概率
(1)含义：概率是度量随机事件发生的________的量.
(2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于________，因此可以用__________来估计概率P(A)．
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一、选择题
1．有下列事件：
①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上；
②异性电荷相互吸引；
③在标准大气压下，水在1℃结冰；
④买了一注彩票就得了特等奖．
其中是随机事件的有( )
A．①②
B．①④
C．①③④
D．②④
2．下列事件中，不可能事件是( )
A．三角形的内角和为180°
B．三角形中大角对大边，小角对小边
C．锐角三角形中两内角和小于90°
D．三角形中任两边之和大于第三边
3．有下列现象：
①掷一枚硬币，出现反面；②实数的绝对值不小于零；③若a>b，则bA．②
B．①
C．③
D．②③
4．先后抛掷一枚均匀硬币三次，至多有一次正面向上是( )
A．必然事件
B．不可能事件
C．确定事件
D．随机事件
5．下列说法正确的是( )
A．某厂一批产品的次品率为5%，则任意抽取其中20件产品一定会发现一件次品．
B．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨．
C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈．
D．掷一枚均匀硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为50%.
6．在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是( )
A．P(A)≈
B．P(A)<
C．P(A)>
D．P(A)＝
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是________事件．
8．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；
②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；
③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．
其中________是随机事件；________是不可能事件．(填上事件的编号)
9．在一篇英文短文中，共使用了6
000个英文字母(含重复使用)，其中字母“e”共使用了900次，则字母“e”在这篇短文中的使用的频率为________．
三、解答题
10．判断下列事件是否是随机事件．
①在标准大气压下水加热到100℃，沸腾；
②在两个标准大气压下水加热到100℃，沸腾；
③水加热到100℃，沸腾．
11．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心的次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)计算表中击中靶心的各个频率；
(2)这个射手射击一次击中靶心的概率约是多少？
能力提升
12．将一骰子抛掷1
200次，估计点数是6的次数大约是______次；估计点数大于3的次数大约是______次．
13．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：
直径
个数
直径
个数
6.881
6.9326
6.892
6.9415
6.9010
6.958
6.9117
6.962
6.9217
6.972
从这100个螺母中任意抽取一个，求
(1)事件A(6.92(2)事件B(6.90(3)事件C(d>6.96)的频率；
(4)事件D(d≤6.89)的频率．
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1．随机试验
如果一个试验满足以下条件：
(1)试验可以在相同的条件下重复进行；
(2)试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；
(3)每次试验总是出现这些结果中的一个，但在试验之前却不能确定会出现哪一个结果．
则这样的试验叫做随机试验．
2．频数、频率和概率之间的关系：
(1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数，频率是频数与试验总次数的比值，而概率是随机事件发生的可能性的规律体现．
(2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果，但它具有一定的稳定性，概率是频率的稳定值，是频率的科学抽象，不会随试验次数的变化而变化．
3．辩证地看待“确定事件”、“随机事件”和“概率”．一个随机事件的发生，既有随机性(对一次试验来说)，又存在着统计规律性(对大量重复试验来说)，这是偶然性和必然性的统一．就概率的统计定义而言，必然事件U的概率为1，P(U)＝1；不可能事件V的概率为0，P(V)＝0；而随机事件A的概率满足0≤P(A)≤1.从这个意义上讲，必然事件和不可能事件可以看作随机事件的两个极端情况．
答案：
3．1.1 随机事件的概率
知识梳理
1．一定不会发生 一定会发生 可能发生也可能不发生 2.事件A出现的次数nA 事件A出现的比例fn(A)＝ 3.(1)可能性 (2)概率P(A) 频率fn(A)
作业设计
1．B [①、④是随机事件，②为必然事件，③为不可能事件．]
2．C [锐角三角形中两内角和大于90°.]
3．B [①是随机现象；②③是必然现象．]
4．D 5.D 6.A
7．随机
8．①③ ②
解析 因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．
9．0.15
解析 频率＝＝0.15.
10．解 在①、②、③中“沸腾”是试验的结果，称为事件，但在①的条件下是必然事件，在②的条件下是不可能事件，在③的条件下则是随机事件．
11．解 (1)由公式可算得表中击中靶心的频率依次为0.8，0.95，0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由(1)可知，射手在同一条件下击中靶心的频率虽然各不相同，但都在常数0.9左右摆动，所以射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9.
12．200 600
解析 一粒骰子上的6个点数在每次掷出时出现的可能性(即概率)都是，而掷出点数大于3包括点数为4,5,6三种．故掷出点数大于3的可能性为＝，故N1＝×1
200＝200，N2＝×1
200＝600.
13．解 (1)事件A的频率f(A)＝＝0.43.
(2)事件B的频率
f(B)＝＝0.93.
(3)事件C的频率f(C)＝＝0.04.
(4)事件D的频率f(D)＝＝0.01.3.3.2 均匀随机数的产生
课时目标 1.了解均匀随机数的产生方法与意义.2.会用模拟实验求几何概型的概率.3.能利用模拟实验估计不规则图形的面积．
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1．均匀随机数的产生
(1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是______________函数．
(2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”．
2．用模拟的方法近似计算某事件概率的方法
(1)____________的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．
(2)____________的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟．注意操作步骤．
3．[a，b]上均匀随机数的产生．
利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1
(b-a)+a就可以得到［a,b］内的均匀随机数，试验的结果是［a,b］上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的.
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一、选择题
1．将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换为( )
2．在线段AB上任取三个点x1，x2，x3，则x2位于x1与x3之间的概率是( )
A.
B.
C.
D．1
3．与均匀随机数特点不符的是( )
A．它是[0,1]内的任何一个实数
B．它是一个随机数
C．出现的每一个实数都是等可能的
D．是随机数的平均数
4．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )
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A.
B.
C.
D．无法计算
5．在长为12
cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形．这个正方形的面积介于36
cm2与81
cm2之间的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域，如图所示涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，对指针停留的可能性下列说法正确的是( )
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A．一样大
B．蓝白区域大
C．红黄区域大
D．由指针转动圈数决定
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为______．
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8．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为________．
9．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
三、解答题
10．利用随机模拟法近似计算图中阴影部分(曲线y＝log3x与x＝3及x轴围成的图形)的面积．
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11．假设小军、小燕和小明所在的班级共有50名学生，并且这50名学生早上到校先后的可能性是相同的．设计模拟方法估计下列事件的概率：
(1)小燕比小明先到校；
(2)小燕比小明先到校，小明比小军先到校．
能力提升
12．如图所示，曲线y＝x2与y轴、直线y＝1围成一个区域A(图中的阴影部分)，用模拟的方法求图中阴影部分的面积(用两种方法)．
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13．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率(用两种方法)．
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1．[0,1]或[a，b]上均匀随机数的产生
利用计算器的RAND函数可以产生[0,1]的均匀随机数，试验的结果是区间[0,1]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟．
计算器不能直接产生[a，b]区间上的随机数，但可利用伸缩和平移变换得到：如果Z是[0,1]区间上的均匀随机数，则a＋(b－a)Z就是[a，b]区间上的均匀随机数．
2．随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法．用计算机或计算器模拟试验，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们可以从以下几个方面考虑：
(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数的组数．如长度、角度型只用一组，面积型需要两组．
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围．
(3)由事件A发生的条件确定随机数所应满足的关系式．
答案：
3．3.2 均匀随机数的产生
知识梳理
1．(1)RAND 2.(1)试验模拟 (2)计算机模拟
作业设计
1．C [根据伸缩、平移变换a＝a1
［4-(-3)］+(-3)=a1
7-3.］
2．B [因为x1，x2，x3是线段AB上任意的三个点，任何一个数在中间的概率相等且都是.]
3．D [A、B、C是均匀随机数的定义，均匀随机数的均匀是“等可能”的意思，并不是“随机数的平均数”．]
4．B [∵＝，∴S阴影＝S正方形＝.]
5．D [由题意知，66．B [指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝白区域大．]
7.
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解析 作∠AOE＝∠BOD＝30°，如图所示，随机试验中，射线OC可能落在扇面AOB内任意一条射线上，而要使∠AOC和∠BOC都不小于30°，则OC落在扇面DOE内，
∴P(A)＝.
8.
解析 由|x|≤1，得－1≤x≤1.
由几何概型的概率求法知，所求的概率P＝＝.
9.
解析 以A、B、C为圆心，以1为半径作圆，与△ABC交出三个扇形，
当P落在其内时符合要求．
∴P＝＝.
10．解 设事件A：“随机向正方形内投点，所投的点落在阴影部分”．
(1)利用计算器或计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND.
(2)经过伸缩变换x＝x1
3,y=y?1
3，得到两组［0,3］上的均匀随机数.
（3）统计出试验总次数N和满足条件y（4）计算频率fn(A)=，即为概率P(A)的近似值．
设阴影部分的面积为S，正方形的面积为9，由几何概率公式得P(A)＝，所以≈.
所以S≈即为阴影部分面积的近似值．
11．解 记事件A“小燕比小明先到校”；记事件B“小燕比小明先到校且小明比小军先到校”．
①利用计算器或计算机产生三组0到1区间的均匀随机数，a＝RAND，b＝RAND，c＝RAND分别表示小军、小燕和小明三人早上到校的时间；
②统计出试验总次数N及其中满足b③计算频率fn(A)＝，fn(B)＝，即分别为事件A，B的概率的近似值．
12．解 方法一 我们可以向正方形区域内随机地撒一把豆子，数出落在区域A内的豆子数与落在正方形内的豆子数，根据
，即可求区域A面积的近似值．例如，假设撒1
000粒豆子，落在区域A内的豆子数为700，则区域A的面积S≈＝0.7.
方法二 对于上述问题，我们可以用计算机模拟上述过程，步骤如下：
第一步，产生两组0～1内的均匀随机数，它们表示随机点(x，y)的坐标．如果一个点的坐标满足y≥x2，就表示这个点落在区域A内．
第二步，统计出落在区域A内的随机点的个数M与落在正方形内的随机点的个数N，可求得区域A的面积S≈.
13.
解 方法一 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示．
由几何概型的概率公式得：
P(A)＝＝＝＝.
所以两人能会面的概率是.
方法二 设事件A＝{两人能会面}．
(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数，x1＝RAND，y1＝RAND；
(2)经过伸缩变换，x＝x1
60,y=y1
60，得到两组［0,60］上的均匀随机数；
（3）统计出试验总次数N和满足条件|x-y|≤15的点（x,y）的个数N1；
（4）计算频率fn(A)=
，即为概率P（A）的近似值.3.2.2 (整数值)随机数(random
numbers)的产生
课时目标 1.了解随机数的意义.2.会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率.3.理解用模拟方法估计概率的实质．
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1．随机数
要产生1～n(n∈N
)之间的随机整数，把n个____________相同的小球分别标上1,2,3，…，n，放入一个袋中，把它们__________，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数．
2．伪随机数
计算机或计算器产生的随机数是依照__________产生的数，具有________(________很长)，它们具有类似________的性质．因此，计算机或计算器产生的并不是______，我们称它们为伪随机数．
3．利用计算器产生随机数的操作方法：
用计算器的随机函数RANDI(a，b)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．
4．利用计算机产生随机数的操作程序
每个具有统计功能的软件都有随机函数，以Excel软件为例，打开Excel软件，执行下面的步骤：
(1)选定A1格，键入“＝RANDBETWEEN(0,1)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1.
(2)选定A1格，按Ctrl＋C快捷键，然后选定要随机产生0,1的格，比如A2至A100，按Ctrl＋V快捷键，则在A2至A100的数均为随机产生的0或1，这样相当于做了100次随机试验．
(3)选定C1格，键入频数函数“＝FREQUENCY(A1∶A100,0.5)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1至A100中，比0.5小的数的个数，即0出现的频数．
(4)选定D1格，键入“＝1－C1/100”按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率．
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一、选择题
1．从含有3个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )
A.
B.
C.
D.
2．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，下列步骤中不正确的是( )
A．用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x，如果x＝2，我们认为出现2点
B．我们通常用计算器n记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m记录其中有多少次出现2点，置n＝0，m＝0
C．出现2点，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变
D．程序结束，出现2点的频率作为概率的近似值
3．假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )
A．0.50
B．0.45
C．0.40
D．0.35
4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A.
B.
C.
D.
5．从1,2,3，…，30这30个数中任意选一个数，则事件“是偶数或能被5整除的数”的概率是( )
A.
B.
C.
D.
6．任取一个三位正整数N，对数log2N是一个正整数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．对一部四卷文集，按任意顺序排放在书架的同一层上，则各卷自左到右或由右到左卷号恰为1,2,3,4顺序的概率等于________．
8．盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．
9．通过模拟试验，产生了20组随机数：
6830
3013
7055
7430
7740
4422
7884
2604
3346
0952
6807
9706
5774
5725
6576
5929
9768
6071
9138
6754
如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为________．
三、解答题
10．掷三枚骰子，利用Excel软件进行随机模拟，试验20次，计算出现点数之和是9的概率．
11．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，那么在连续三次投篮中，三次都投中的概率是多少？
能力提升
12．从4名同学中选出3人参加物理竞赛，其中甲被选中的概率为( )
A.
B.
C.
D．以上都不对
13．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．
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1．(1)常用的随机数的产生方法主要有抽签法，利用计算器或计算机．
(2)利用摸球或抽签得到的数是真正意义上的随机数，用计算器或计算机得到的是伪随机数．
2．用整数随机模拟试验时，首先要确定随机数的范围，利用哪个数字代表哪个试验结果：
(1)试验的基本结果等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及范围．
答案：
3．2.2 (整数值)随机数(random
numbers)的产生
知识梳理
1．大小、形状 充分搅拌 2.确定算法 周期性 周期 随机数 真正的随机数
作业设计
1．D [所有子集共8个， ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，含两个元素的子集共3个，故所求概率为.]
2．A [计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生的是1到7之间的整数，包括7，共7个整数．]
3．A [两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中的之一．它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10个，因此所求的概率为＝0.5.]
4．D [由题意知基本事件为从两个集合中各取一个数，因此基本事件总数为5×3＝15.
满足b>a的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)共3个，
∴所求概率P＝＝.]
5．B
6．C [N取[100,999]中任意一个共900种可能，当N＝27,28,29时，log2N为正整数，∴P
＝.]
7.
解析 用树形图可以列举基本事件的总数．
①②③④ ②①③④ ③①②④ ④①②③
①②④③ ②①④③ ③①④② ④①③②
①③②④ ②③①④ ③②①④ ④②③①
①③④② ②③④① ③②④① ④②①③
①④②③ ②④①③ ③④①② ④③①②
①④③② ②④③① ③④②① ④③②①
总共有24种基本事件，故其概率为P＝＝.
8.
解析 给3只白球分别编号为a，b，c,1只黑球编号为d，基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，颜色不同包括事件ad，bd，cd共3个，因此所求概率为＝.
9.
解析 由题意四次射击中恰有三次击中对应的随机数有3个数字在1,2,3,4,5,6中，这样的随机数有3013,2604,5725,6576,6754共5个，所求的概率约为＝.
10．解 操作步骤：
(1)打开Excel软件，在表格中选择一格比如A1，在菜单下的“＝”后键入“＝RANDBETWEEN(1,6)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的1～6中的数．
(2)选定A1这个格，按Ctrl＋C快捷键，然后选定要随机产生1～6的格，如A1∶T3，按Ctrl＋V快捷键，则在A1∶T3的数均为随机产生的1～6的数．
(3)对产生随机数的各列求和，填入A4∶T4中．
(4)统计和为9的个数S；最后，计算概率S/20.
11．解 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数．
我们用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三次，所以每三个随机数作为一组．
例如，产生20组随机数：
812 932 569 683 271 989 730 537 925
834 907 113 966 191 432 256 393 027
556 755
这就相当于做了20次试验，在这组数中，如果3个数均在1,2,3,4,5,6中，则表示三次都投中，它们分别是113,432,256,556，即共有4个数，我们得到了三次投篮都投中的概率近似为＝20%.
12．C [4名同学选3名的事件数等价于4名同学淘汰1名的事件数，即4种情况，
甲被选中的情况共3种，∴P＝.]
13．解 利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数(可借助教材103页的随机数表)．
034 743 738 636 964 736 614 698 637
162
332
616
804
560
111
410
959
774
246
762
428
114
572
042
533
237
322
707
360
751
就相当于做了30次试验．如果恰有2个或3个数在6,7,8,9中，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为≈0.367.第三章 概 率(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( )
①恰好有1件次品和恰好有两件次品；
②至少有1件次品和全是次品；
③至少有1件正品和至少有1件次品；
④至少1件次品和全是正品．
A．①②
B．①③
C．③④
D．①④
2．平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3
cm，把一枚半径为1
cm的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )
A.
B.
C.
D.
3．某班有50名学生，其中男、女各25名，若这个班的一个学生甲在街上碰到一位同班同学，假定每两名学生碰面的概率相等，那么甲碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大( )
A．异性
B．同性
C．同样大
D．无法确定
4．在区间上随机取一个数x，cos
x的值介于0到之间的概率为( )
A.
B.
C.
D.
5．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458
569 683 431 257 393 027 556 488
730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A．0.35
B．0.25
C．0.20
D．0.15
6．12本相同的书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是( )
A．3本都是语文书
B．至少有一本是英语书
C．3本都是英语书
D．至少有一本是语文书
7．某人射击4枪，命中3枪，3枪中有且只有2枪连中的概率是( )
A.
B.
C.
D.
8．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( )
A.
B.
C.
D.
9．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件A＝{点落在x轴上}与事件B＝{点落在y轴上}的概率关系为( )
A．P(A)>P(B)
B．P(A)C．P(A)＝P(B)
D．P(A)、P(B)大小不确定
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10．如图所示，△ABC为圆O的内接三角形，AC＝BC，AB为圆O的直径，向该圆内随机投一点，则该点落在△ABC内的概率是( )
A.
B.
C.
D.
11．若以连续两次掷骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝25外的概率是( )
A.
B.
C.
D.
12．如图所示，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
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A.
B.
C.
D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知半径为a的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为________．
14．在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率为________．
15．在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过这个点作垂直于直径的弦，则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是________．
16．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝－x2＋ax－b.
若a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率．
18．(12分)假设向三个相邻的军火库投掷一个炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，其余两个各为0.1，只要炸中一个，另两个也发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．
19．(12分)如右图所示，OA＝1，在以O为圆心，OA为半径的半圆弧上任取一点B，求使△AOB的面积大于等于的概率．
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20．(12分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．
21．(12分)现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
22．(12分)已知实数a，b∈{－2，－1,1,2}．
(1)求直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率；
(2)求直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率．
第三章 概 率(B)
1．D 2.B
3．A [记“甲碰到同性同学”为事件A，“甲碰到异性同学”为事件B，则P(A)＝，P(B)＝，故P(A)4．A [在区间[－，]，0x< x∈∪，其区间长度为，又已知区间的长度为π，由几何概型知P＝＝]
5．B [由题意知在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，故所求概率为＝＝0.25.]
6．D [由于只有2本英语书，从中任意抽取3本，其中至少有一本是语文书．]
7．D [4枪命中3枪共有4种可能，其中有且只有2枪连中有2种可能，所以P＝＝]
8．B [可能构成的两位数的总数为5×4＝20(种)，因为是“任取”两个数，所以每个数被取到的概率相同，可以采用古典概型公式求解，其中大于40的两位数有以4开头的：41,42,43,45共4种；以5开头的：51,52,53,54共4种，所以P＝＝.]
9．C [横坐标与纵坐标为0的可能性是一样的．]
10．A [连接OC，设圆O的半径为R，记“所投点落在△ABC内”为事件A，则P(A)＝＝.]
11．B [本题中涉及两个变量的平方和，类似于两个变量的和或积的情况，可以用列表法，使x2＋y2>25的次数与总试验次数的比就近似为本题结果．即＝.]
12．A [可求得同时落在奇数所在区域的情况有4×4＝16(种)，而总的情况有6×6＝36(种)，于是由古典概型概率公式，得P＝＝.]
13.
解析 因为球半径为a，则正方体的对角线长为2a，设正方体的边长为x，则2a＝x，∴x＝，由几何概型知，所求的概率P＝＝＝.
14.
解析 如图所示，区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，
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因此P＝＝.
15.
解析
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记“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A，如图所示，不妨在过等边三角形BCD的顶点B的直径BE上任取一点F作垂直于直径的弦，当弦为CD时，就是等边三角形的边长，弦长大于CD的充要条件是圆心O到弦的距离小于OF，由几何概型的概率公式得
P(A)＝＝.
16.
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解析 由题意可知>，如图所示，三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，因此＝＝>(PM，BN为其高线)，又＝，故>，故所求概率为(长度之比)．
17．解 a，b都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N＝5×5＝25个．函数有零点的条件为Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因为事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12个．所以事件“a2≥4b”的概率为P＝.
18．解 设A、B、C分别表示炸中第一、第二、第三军火库这三个事件．
则P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1，
设D表示军火库爆炸这个事件，则有
D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥事件，
∴P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
19．解 如下图所示，作OC⊥OA，C在半圆弧上，过OC中点D作OA的平行线交半圆弧于E、F，所以在上取一点B，则S△AOB≥.
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连结OE、OF，因为OD＝OC＝OF，
OC⊥EF，所以∠DOF＝60°，所以∠EOF＝120°，所以l＝π·1＝π.
所以P＝＝＝.
20．解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同情况．
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为.
(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，故甲胜的概率P1＝，同理乙胜的概率P2＝.因为P1＝P2，所以此游戏公平．
21．解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，
事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝＝.
(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件由3个基本事件组成，
所以P()＝＝，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P()＝1－＝.
22．解 由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16种．
设“直线y＝ax＋b不经过第四象限”为事件A，“直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点”为事件B.
(1)若直线y＝ax＋b不经过第四象限，则必须满足即满足条件的实数对(a，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4种．∴P(A)＝＝.故直线y＝ax＋b不经过第四象限的概率为.
(2)若直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点，则必须满足≤1，即b2≤a2＋1.
若a＝－2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值；
若a＝－1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值；
若a＝1，则b＝－1,1符合要求，此时实数对(a，b)有2种不同取值，
若a＝2，则b＝－2，－1,1,2符合要求，此时实数对(a，b)有4种不同取值．
∴满足条件的实数对(a，b)共有12种不同取值．∴P(B)＝＝.
故直线y＝ax＋b与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为.