2017中考数学苏科版专题训练(六) 直角三角形的应用（含答案）

2017中考数学专题训练(六)直角三角形的应用
解直角三角形的应用是中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求解．
　仰角、俯角问题
【例1】(2016宜宾中考)如图，CD是一高为4
m的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α＝30°，从平台底部向树的方向水平前进3
m到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β＝60°，求树高AB.(结果保留根号)
【解析】作CF⊥AB于点F，构造Rt△求解．
【学生解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF＝x
m，在Rt△ACF中，tan∠ACF＝，则CF＝＝＝＝x，在Rt△ABE中，AB＝x＋BF＝(4＋x)m，在Rt△ABE中，tan∠AEB＝，则BE＝＝＝(x＋4)m.∵CF－BE＝DE，即x－(x＋4)＝3.解得x＝.则AB＝＋4＝(m)．答：树高AB是
m.
1．(2016茂名中考)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4
m.
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号)
(2)求旗杆CD的高度．
解：(1)∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ADB＝30°，在Rt△ADB中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4
m，∴AD＝＝＝4(m)．答：教学楼与旗杆的水平距离是4
m；(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝4
m，∴CD＝AD·tan60°＝4×＝12(m)．答：旗杆CD的高度是12
m.
2．(2016泸州中考)如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60
m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i＝1∶的斜坡DB前进30
m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值)
解：如图，作BN⊥CD于点N，BM⊥AC于点M.在Rt△BDN中，BD＝30，BN∶ND＝1∶，∴BN＝15，DN＝15，∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，∴四边形CMBN是矩形，∴CM＝BM＝15，BM＝CN＝60－15＝45，在Rt△ABM中，tan∠ABM＝＝，∴AM＝60，∴AC＝AM＋CM＝60＋15.
　方位角问题
【例2】(2016临沂中考)一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：≈1.732，结果精确到0.1)
【学生解答】解：如图，作AC⊥PC于点C，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝20，在Rt△APC中，∵cos∠APC＝，∴PC＝20·cos60°＝10，∴AC＝＝10，在Rt△PBC中，∵∠BPC＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴BC＝PC＝10，∴AB＝AC－BC＝10－10≈7.3(海里)．答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．
3．(2016眉山中考)如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500
m的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2
000
m后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度．(结果保留根号)
解：过C作CD⊥AB于D，交海面于点E，设BD＝x，∵∠CBD＝60°，∴tan∠CBD＝＝，∴CD＝x.∵AB＝2
000，∴AD＝x＋2
000，∵∠CAD＝45°，∴tan∠CAD＝＝1，∴x＝x＋2
000，解得x＝1
000＋1
000，∴CD＝(1
000＋1
000)＝3
000＋1
000，∴CE＝CD＋DE＝3
000＋1
000＋500＝3
500＋1
000.答：黑匣子C点距离海面的深度为(3
500＋1
000)m.
　坡度、坡比问题
【例3】如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为3
m，台阶AC的坡度为1∶(即AB∶BC＝1∶)，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度．(测倾器的高度忽略不计)
【学生解答】解：在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝＝，∴∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∠PAC＝30°，∠ACD＝180°－∠ACB－∠DCE＝90°，∴∠DAC＝60°.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6.在Rt△ACD中，DC＝AC·tan∠DAC＝6×tan60°＝6.在Rt△CDE中，DE＝DC·sin∠DCE＝6×sin60°＝9(
m)．答：树DE的高为9
m.
4．小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为
m，钓竿OA的倾斜角是60°，其长为3
m，若OA与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．
解：延长OA交直线BC于点D.∵OA的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°，∠ACD＝30°，∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝×＝(m)．∴CD＝2AD＝3
m．又∵∠O＝60°，∴△BOD为等边三角形，∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋＝4.5(m)．∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5(m)．
答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5
m.
　生活中的解直角三角形问题
【例4】如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度(单位：
cm)如下：
伞架
DE
DF
AE
AF
AB
AC
长度
36
36
36
36
86
86
　　(1)求AM的长；
(2)当∠BAC＝104°时，求AD的长．(精确到1
cm，备用数据：sin52°≈0.788，cos52°≈0.615
7，tan52°≈1.279
9)
【学生解答】解：(1)由题意，得AM＝AE＋DE＝36＋36＝72(cm)．故AM的长为72
cm；(2)∵AP平分∠BAC，∠BAC＝104°，∴∠EAD＝∠BAC＝52°.过点E作EG⊥AD于G，∵AE＝DE＝36，∴AG＝DG，AD＝2AG.在△AEG中，∵∠AGE＝90°，∴AG＝AE·cos∠EAG＝36·cos52°≈36×0.615
7＝22.165
2.∴AD＝2AG＝2×22.165
2≈44(cm)．
答：AD的长约为44
cm.
5．(2015重庆中考)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30
m.
(1)求两渔船M，N之间的距离；(结果精确到1
m)
(2)已知坝高24
m，坝长100
m，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)
解：(1)在直角△PEN中，EN＝PE＝30
m，ME＝≈50(m)，则MN＝EM－EN＝20(m)．答：两渔船M、N之间的距离是20
m；(2)过点D作DN′⊥AH于点N′.由题意得：tan∠DAB＝4，tanH＝.在直角△DAN′中，AN′＝＝＝6(m)，在直角△DHN′中，HN′＝＝＝42(m)．故AH＝HN′－AN′＝42－6＝36(m)．S△ADH＝AH·DN′＝432(m2)．故需要填筑的土石方是V＝SL＝432×100＝43
200(m3)．设原计划平均每天填筑x
m3，则原计划天完成，则增加机械设备后，现在平均每天填筑2x
m3.根据题意，得：10x＋·2x＝43
200，解得：x＝864.经检验，x＝864是原方程的解．
答：施工队原计划平均每天填筑土石方864
m3.