自我小测
1质量均匀的球体，球心相距r，它们之间的万有引力为10－8
N，若它们的质量、球心距离都增大为原来的两倍，则它们间的万有引力为( )
A．4×10－8
N
B．10－8
N
C.×10－8
N
D．10－4
N
2人造卫星受到地球的万有引力为F，且F＝G，下列说法正确的是( )
A．F的方向指向地心
B．式中r是卫星到地面的距离
C．由于卫星的质量m小于地球的质量M，所以卫星对地球的引力F′小于F
D．卫星对地球的引力F′与F是作用力和反作用力
3要使两物体间的万有引力减小到原来的1/4，下列办法可采用的是( )
A．使两物体的质量各减少一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的1/4，距离不变C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．两个物体的距离和质量都减为原来的1/4
4据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重力为600
N的人在这个行星表面的重力将变为960
N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为( )
A．0.5
B．2
C．3.2
D．4
5在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是( )A．太阳引力远大于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
6离地面某一高度h处的重力加速度是地球表面重力加速度的，则高度h是地球半径的______倍。
7火星的半径是地球半径的一半，火星的质量约为地球质量的，那么在地球上50
kg的人，如果在火星上质量是______
kg，火星表面的重力加速度为______
m/s2，此人在火星上体重为______N。(取g＝9.8
m/s2)
8某卫星发射基地，火箭和宇宙飞船静静竖立在发射塔架上，有一物体竖直悬挂在测力仪上，宇航员读出此时测力计的读数为80
N；现在火箭发射后一直在竖直方向加速运动，某时刻，宇航员再次读出测力计的读数为45
N，通过另一测量仪器可知该时刻火箭竖直向上加速的加速度为，地球的半径为R，求此时火箭离地球表面的高度。(g取10
m/s2)
9宇航员站在某一星球表面上的高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到该星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M。
10(经典回放)一卫星绕某行星做匀速圆周运动，已知该行星表面的重力加速度为g行，行星的质量M与卫星的质量m之比＝81，行星的半径R行与卫星的半径R卫之比＝3.6，行星与卫星之间的距离r与行星的半径R行之比＝60，设卫星表面的重力加速度为g卫，则在卫星表面有G＝mg卫。
经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的，上述结果是否正确？若正确，列式证明；若错误，求出正确结果。
11一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示。在最低点给小球某一初速度，使其绕O点在竖直平面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F随时间t的变化规律如图乙所示。F1、F2已知，引力常量为G，忽略各种阻力。求：
(1)星球表面的重力加速度；
(2)星球的密度。
参考答案
1解析：由F＝G知，两物体之间的万有引力大小不变。
答案：B
2解析：万有引力的方向应沿两质点的连线，地球的全部质量可以看成集中在地心，所以A正确；公式中r应为卫星到地心的距离，所以B错误；两物体间的万有引力是相互的，为作用力与反作用力，所以C错误，D正确。
答案：AD
3解析：根据F＝G可以判断：A、B、C三个选项中的变化条件，都可使万有引力也将减为1/4，A、B、C正确；两个物体的距离和质量都减为原来的1/4，万有引力不变，D错误。
答案：ABC4解析：设地球质量为M1、半径为R1，行星质量为M2、半径为R2。人的质量为m，在地球和行星上的重力分别为G1、G2.则G1＝G，G2＝G。两式比较可得＝2。
答案：B
5解析：根据万有引力定律得太阳引力F1＝，月球引力F2＝，代入数据得：F1∶F2＝337.5，故A正确；地球潮汐是由于月球对海水不同程度的吸引造成的，故D正确。
答案：AD
6解析：根据地面上物体受到的地球引力约等于物体所受的重力，有G＝mg
G＝mgh，且gh＝g
三式联立可得h＝(－1)R。
答案：－1
7解析：物体的质量与位置无关，人从地球到火星表面，其质量保持50
kg不变。根据G＝mg得g＝，g′＝，则＝＝·＝×()2＝，解得g′＝g＝4.36
m/s2，此人在火星上的体重为G′＝mg′＝217.8
N。
答案：50 4.36 217.8
8解析：发射前F1＝mg，所以m＝8
kg
设在某一高度时，重力加速度为g′，由牛顿第二定律得F2－mg′＝ma
所以g′＝
m/s2
又在地面上时 G＝mg
在某一高度时 G＝mg′
由以上各式得h＝3R。
答案：3R
9解析：设抛出点的高度为H，第一次平抛的水平射程为x，则有
x2＋H2＝L2
①
由平抛运动规律得知，当初速度大到2倍，其水平射程也增大到2x，可得
(2x)2＋H2＝(L)2
②
由①②两式得H＝L
设该星球上的“重力加速度”为g，由平抛运动的规律得
H＝gt2
③
由万有引力定律与牛顿第二定律得
mg＝G
④
式中m为小球的质量，联立以上各式，得M＝。
答案：
10解析：上述结果是错误的。题中G是行星对卫星的万有引力，此万有引力充当卫星的向心力；g卫应是卫星的向心加速度，而非卫星表面重力加速度。
设卫星表面重力加速度为g1，行星表面重力加速度为g2，由黄金代换式有
Gm＝g1R，GM＝g2R
故＝＝0.16
即卫星表面的重力加速度为行星表面重力加速度的0.16倍。
答案：0.16倍
11解析：小球在运动的最高点和最低点时向心力由重力和绳子的拉力提供。设绳长为L，小球在最低点和最高点时的速度分别为v1、v2。
根据牛顿第二定律有
在最低点时：F1－mg＝m
①
在最高点时：F2＋mg＝m
②
小球在运动过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律有
mv－mv＝mg·2L
③
由以上三式可得
g＝。
④
(2)小球受到的万有引力等于其重力，即
G＝mg
⑤
ρ＝＝
⑥
由④⑤⑥可得ρ＝。
答案：(1) (2)自我小测
1航天飞机中的物体处于失重状态是指这个物体( )
A．不受地球的吸引力
B．地球吸引力和向心力平衡
C．对支持它的物体的压力为零
D．以上说法都不对
2两颗人造地球卫星，都在圆形轨道上运行，它们的质量相等，轨道半径之比＝2。则它们的动能之比等于( )
A．2
B.
C.
D．4
3地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看成是圆形的。已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为( )
A．0.19
B．0.44
C．2.3
D．5.2
4一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行。认为行星是密度均匀的球体，要确定该行星的密度，只需要测量( )
A．飞船的轨道半径
B．飞船的运行速度
C．飞船的运行周期
D．行星的质量
5探测器探测到土星外层上有一个环。为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定( )
A．若v∝R，则该环是土星的一部分
B．若v2∝R，则该环是土星的卫星群
C．若v∝，则该环是土星的一部分
D．若v2∝，则该环是土星的卫星群
3假如一个做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则下列说法正确的是( )
A．根据公式v＝ωr，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍
B．根据公式F＝m，可知卫星所需的向心力将减小到原来的
C．根据公式F＝G，可知地球提供的向心力将减小到原来的
D．根据上述B和C中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的
7天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为
( )
A．1.8×103
kg/m3
B.
5.6×103
kg/m3C．1.1×104
kg/m3
D.
2.9×104
kg/m3
8已知引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，地球同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T1，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
同步卫星绕地球做圆周运动，由G＝m()2h得M＝。
(1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。
(2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
9我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员手持小球从高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出，测得小球运动的水平距离为L。已知该行星的半径R，引力常量为G。求：
(1)行星表面的重力加速度；
(2)行星的平均密度。
10土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104
km和rB＝1.2×105
km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。(结果可用根式表示)(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比；
(2)求岩石颗粒A和B的周期之比；
(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10
N，推算出它在距土星中心3.2×105
km处受到土星的引力为0.38
N。已知地球半径为6.4×103
km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？
11在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小。计算时不计火星大气阻力，已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T0。火星可视为半径为r0的均匀球体。
12某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。
参考答案
1解析：宇宙飞船上的物体处于失重状态，是指重力全部提供向心力，其视重为零，并不是不受重力，所以选项A错误，C正确；向心力是一种效果力，本题中的向心力是由地球的吸引力提供的，所以选项B错误。
答案：C
2解析：根据G＝m可得：卫星的动能E＝，所以＝＝。
答案：C
3解析：由G＝m得：v＝，故＝＝≈0.44，B正确。
答案：B
4解析：万有引力提供向心力，则G＝m，由于飞行器在行星表面附近飞行，其运行半径r近似等于行星半径，所以满足M＝ρ·πr3，联立得ρ＝。
答案：C
5解析：若为土星的一部分与土星为一整体，则它们的角速度与周期相同，根据v＝ωr可知v∝R。若为卫星群，则万有引力为卫星提供向心力，由公式G＝m可得：v＝，所以v2∝。故A、D正确，B、C错误。
答案：AD
6解析：由于公式F＝G中，G、M、m都是不变的量，因此推导F和r的关系不易出错。设人造地球卫星原来的圆周运动半径为r1，所受到的地球引力为F1；当人造地球卫星的轨道半径增为r2＝2r1时，所受到的地球引力为F1，因为F1＝G，所以F2＝G＝G＝G＝F1
由此可知，选项C是正确的。
将向心力的来源公式和向心力的效果公式联系起来，可以写出下列两式：
G＝m
①
G＝m
②
将r2＝2r1代入②式可得：G＝m
③
将①③两式相除可导出：＝ 即4＝
所以v＝＝v
v2＝＝v1＝v1
由此可知，选项D也是正确的。
既然D是正确的，那么与其结果不同的A显然是不正确的。
“卫星所需的向心力”与“地球提供的向心力”应当是一致的，既然C是正确的，那么与其结果不同的B显然是不正确的。
答案：CD
7解析：球体的体积V＝πR3，万有引力提供向心力，＝R地()2
①
＝R行()2
②
求得T＝T
M行＝ρ·πR
③
由②③式得到ρ＝，代入数值可求得D正确。
答案：D
8解析：(1)不正确。应为G＝m()2(R＋h)，得M＝。
(2)由mg＝，得M＝或由G＝m()2r得M＝。
答案：见解析
9解析：(1)小球在行星表面做平抛运动
由L＝vt
h＝gt2
得g＝。
(2)在星球表面满足G＝mg
M＝ρ·πR3
解得ρ＝。
答案：(1) (2)
10解析：(1)设土星质量为M0，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律有＝
解得v＝。
对于A、B两颗粒分别有vA＝和vB＝得＝。
(2)设颗粒绕土星做圆周运动的周期为T，则T＝
对于A、B两颗粒分别有TA＝和TB＝
得＝。
(3)设地球质量为M，地球半径为r0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，距土星中心r0′＝3.2×105
km处的引力为G0′，根据万有引力定律有G0＝
G0′＝
解得＝95。
答案：(1) (2) (3)95
11解析：以g′表示火星表面附近的重力加速度，M表示火星的质量，m表示火星的卫星的质量，m′表示火星表面处某一物体的质量，由万有引力定律和牛顿第二定律，有
G＝m′g′
G＝mr
设v表示着陆器第二次落到火星表面时的速度，它的竖直分量为v1，水平分量仍为v0，有v1＝
v＝
由以上各式解得v＝。
答案：v＝
12解析：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离，有G＝mr()2
春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心。由图可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后(设地球自转是沿图中逆时针方向)，其正下方的观察者将看不见它。据此再考虑到对称性，有
rsinθ＝R
t＝T
G＝g
由以上各式可解得
t＝arcsin。
答案：arcsin
