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《简单的轴对称图形》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）探索并了解等腰三角形的性质。
（2）知道等边三角形是特殊的等腰三角形，并掌握其性质
2.过程与方法
在探索轴对称性质的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
3.情感态度和价值观
学生在自主探索获得正确的学习方式和良好的情感体验。
【教学重点】
探索等腰三角形的性质。
【教学难点】
利用等腰三角形和等边三角形的性质解决问题。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件，等腰三角形的纸板若干。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】在生活中，我们经常能看到这样的建筑。
课件展示图片。
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【过渡】仔细观察这几张图片，他们的形状与什么相似呢？
【过渡】我们来看一下，这几张图片呢，都用 ( http: / / www.21cnjy.com )到了等腰三角形，这是我们生活中常见的一种图形，在之前的学习中，我们知道，三角形具有稳定性。那么作为其中特殊的一种，等腰三角形又具有哪些性质呢？今天我们就来探索一下。21·cn·jy·com
二、新课教学
1．等腰三角形
【过渡】大家看一下发到各位手中的等腰三角形的纸板。在了解性质之前，我们需要先对等腰三角形进行了解。
首先，什么样的三角形叫做等腰三角形呢？从名字中，我们知道，
有两条边相等的三角形叫等腰三角形。
【过渡】在等腰三角形中，有这样几个重要的概念：
(1)相等的两条边都叫腰；另一边叫底边；
(2)两腰的夹角∠A叫顶角；
(3)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角。
【过渡】认识了等腰三角形之后，我们就来探究一下它所具有的性质。按照课件上所展示的三角形，大家动手将各自手中的三角形标上ABC吧。21cnjy.com
【过渡】将等腰三角形ABC纸板沿对折，找出其中重合的线段和角。
我们将对折的痕迹标上AD，下边请一位同学来回答一下，对折之后，有哪些量是重合的。
（学生回答）
【过渡】通过对折呢，我们发现了这些重合的量，那么通过这个对折，我们能不能发现等腰三角形的性质呢？
我们继续来看课本P121的这几个问题。
（1）等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。
【过渡】结合我们之前学习的轴对称图形的意义，再加上刚刚的活动，大家来回答这个问题吧。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴就是刚刚对折的折痕。
课件展示。
【过渡】在对折中，我们发现，在等腰三角形中，两个底角是相等的，即∠B =∠C。这就是等腰三角形的性质之一：www.21-cn-jy.com
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
【过渡】我们常常可以利用这个性质，来计算等腰三角形内角的度数。现在，我们就来练习一下吧。
【练习】等腰三角形一个顶角为70°，其它两个角为_________。
等腰三角形一个底角为70°，它的顶角为______。
等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为 __________________。
等腰三角形一个角为100°，它的另外两个角为___________。
【过渡】在进行计算的时候呢，除了等腰三角形的性质之外，我们还要考虑三角形的内角和为180°，在这两个前提下，就能正确计算。2·1·c·n·j·y
【过渡】现在，我们来继续进行探索。我们来看第二个问题。
（2）顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
【过渡】针对这个问题，同学们利用量角器，在纸板上画出顶角的角平分线吧。
之后，沿着所画的角平分线对折纸板，你们发现了什么？
（学生回答）
【过渡】我们沿着角平分线对折，等腰三角形能够完全重合，这说明，顶角平分线是等腰三角形的对称轴。
【过渡】那么，接着第三个问题就来了。
（3）底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在直线呢？
【过渡】按照刚刚的做法，大家自己来回答这个问题吧。
【过渡】通过刚刚的动手操作，大家也得到了这个问题的答案。
底边上的中线是等腰三角形的对称轴。底边上的高是等腰三角形的对称轴。
【过渡】将问题（2）（3）结合，我们就得到了等腰三角形的第二个性质：
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。(等腰三角形三线合一)
【过渡】对于性质2，一般给出其中任意一条线，就相当于得到了三条线的性质，在解决问题时，就会方便很多，现在，我们一起来看一下这个例题。21世纪教育网版权所有
例题：已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，P是AD上任意一点．求证：∠ABP=∠ACP。【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【过渡】分析这个问题，我们发现，由于AD是 ( http: / / www.21cnjy.com )中线，根据三线合一的性质，我们知道，AD同样是角平分线和高，由此，我们就能够得到更多有用的信息来解决这个问题。
课件展示解题过程。
【过渡】在等腰三角形中，还有一类更特殊的三角形：等边三角形。
和等腰三角形不同的是，等边三角形的三边都相同，因此也称为正三角形。
结合刚刚等腰三角形的性质的分析，我们来看一下等边三角形的性质。
【过渡】由于等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形肯定也是轴对称图形，那它的对称轴有几条呢？
【过渡】由于等边三角形的三边都是相等的，因此，无论从哪个角进行对折，都是重合的，因此，等边三角形有三条对称轴。www-2-1-cnjy-com
【过渡】同样的，等腰三角形所具有的三线合一 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，等边三角形也具有，并且对于三条边来说，都具有这一性质。同时，它的三个角都是相等的，为60°。21*cnjy*com
【过渡】我们将等边三角形的性子总结如下：
等边三角形是轴对称图形。
等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。【出处：21教育名师】
等边三角形共有三条对称轴。
等边三角形的各角都相等，都等于60°。
【过渡】等边三角形的性质又该如何应用呢？大家一起来练习一下吧。
【练习】已知，如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ= QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。2-1-c-n-j-y
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【过渡】看到这个问题，有很 ( http: / / www.21cnjy.com )多的线段相等，我们就该想到，会不会有等边三角形的出现，对这几条线段进行分析，我们发现，△APQ是等边是三角形。根据等边三角形，我们可以知道∠PAQ= ∠APQ =∠AQP=60°，然后再结合角之间的关系，就能够解决问题。【版权所有：21教育】
课件展示解题过程。
【过渡】我们学习了等腰三角形的性质，现在，大家思考一个问题，你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？大家可以讨论一下，然后一会挑同学来回答。21教育名师原创作品
【过渡】现在，我给大家展示一种方法：
（1）将长方形纸片对折
（2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开。
( http: / / www.21cnjy.com / )
【过渡】大家可以动手试一下，这种方法得到的是不是等腰三角形。
【学以致用】1、如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长是（ B ）
A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定
2、下列说法错误的是（ A ）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍
3、等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ C ）
A．65° 65° B．50° 80°
C．65° 65°或50° 80° D．50° 50°
4、如图所示的三角测平架中，AB=AC ( http: / / www.21cnjy.com )，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，整架身，使点A恰好在重锤线上，试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？21·世纪*教育网
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解：这时BC处于水平位置．
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC（三线合一）．
∵重锤线与地平线垂直，
∴BC处于水平位置。
5、如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，求证：∠EDF=90°-∠A。【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△BFD和△CDE中，
BF＝CD
∠B＝∠C
BD＝CE，
∴△BFD≌△CDE（SAS），∴∠BFD=∠EDC，
∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°-∠B=180°- =90°+∠A。
6、如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数。21教育网
( http: / / www.21cnjy.com / )
解：∵CD=AE，∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，
AB＝BC
∠ABD＝∠BCE
BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，
∠BPD的度数为60°。
【板书设计】
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【教学反思】
了更有效地突出重点，突破难点，按照 ( http: / / www.21cnjy.com )学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想,因此，本课的教学设计力求体现：数学问题生活化，注重培养学生观察、交流、操作、探究能力的培养，让学生充分经历知识的形成过程，在教学过程中建构具有教育性、创造性、实践性、操作性的学生主题活动为主要形式，以鼓励学生主动参与、主动探索、主动思考、主动实践为基本特征，以学生的自主活动和合作活动为主。
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北师大版 七年级下册
5.3 简单的轴对称图形
导入新课
生活中的等腰三角形
新课学习
等腰三角形
A
B
C
底边
腰
腰
顶角
底角
(1)相等的两条边都叫腰;
(2)另一边叫底边;
(3)两腰的夹角∠A叫顶角;
(4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角。
有两条边相等的三角形叫等腰三角形。
新课学习
4
AB＝AC
∠B ＝ ∠C
BD＝CD
∠BAD ＝ ∠CAD
AD＝AD
∠ADB ＝ ∠ADC
A
B
D
C
将等腰三角形ABC纸板沿对折，找出其中重合的线段和角。
你能发现等腰三角形的性质吗？
新课学习
1.等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。
等腰三角形是轴对称图形。
A
B
C
想一想
∠B =∠C
新课学习
等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）
用符号语言表示为：
在△ABC中，
∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C ( ）
等边对等角
等腰三角形的性质1
A
B
C
牛刀小试
2、等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.
3、等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为
__________________.
4、等腰三角形一个角为100°,它的另外两个角为
___________.
40 °
40 °，40 °
70°,40°或55°,55°
1、等腰三角形一个顶角为70°,其它两个角为_________.
55°，55°
新课学习
2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
A
B
C
D
沿顶角的平分线对折
顶角平分线AD左右两部分重合
顶角平分线是等腰三角形的对称轴。
新课学习
3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在直线呢？
底边上的中线是等腰三角形的对称轴。
底边上的高是等腰三角形的对称轴。
你能总结这个现象吗？
新课学习
AD是底边上的高
AD垂直于BC
AD是底边上的中线
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。(等腰三角形三线合一)
AD平分∠BAC
AD是BC的中线
AD是顶角平分线
A
B
D
C
∠1= ∠ 2
∠ADB= ∠ ADC=900
BD=CD
2
1
等腰三角形的性质2
新课学习
例题：已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，P是AD上任意一点．求证：∠ABP=∠ACP。
证明：∵△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，
∴△ABP≌△ACP（SAS），
∴∠ABP=∠ACP。
∴AD是角平分线，
∴∠BAP=∠CAP，
在△ABP与△ACP中，
AB＝AC
∠BAP＝∠CAP
AP＝AP
新课学习
三边都相等的三角形是等边三角形，也叫正三角形。
（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴
（2）你能发现它的哪些特征？
新课学习
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。
3.等边三角形共有三条对称轴。
4.等边三角形的各角都相等，都等于60°。
牛刀小试
已知，如图，P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ= QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。
解：∵ BP=PQ=QC=AP=AQ
∴ ∠PAQ= ∠APQ =∠AQP，
∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ 。
又∵ ∠BAP+ ∠ABP= ∠APQ， ∠C+∠CAQ =∠AQP
∴ ∠BAP= ∠CAQ =30°，
∴ ∠BAC=120°。
△APQ是等边三角形
新课学习
想一想
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？
（1）将长方形纸片对折
（2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开。
课堂小结
等腰三角形
等边对等角
三线合一
等边三角形
每个内角都为60°
三条对称轴
三线合一
学以致用
1.如果等腰三角形两边长是9cm和4cm，那么它的周长
是（ ）
A．17cm B．22cm C．17或22cm D．无法确定
B
分腰为9cm和4cm两种情况讨论
学以致用
2.下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等
C．等腰三角形的两个底角相等
D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍
A
学以致用
3.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别是（ ）
A．65° 65° B．50° 80°
C．65° 65°或50° 80° D．50° 50°
C
学以致用
4.如图所示的三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，整架身，使点A恰好在重锤线上，试问：此时BC是否正好处于水平位置？为什么？
学以致用
解：这时BC处于水平位置．
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵AB=AC，
∴AD⊥BC（三线合一）．
∵重锤线与地平线垂直，
∴BC处于水平位置。
学以致用
5.如图，在△ABC中，已知AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，求证：∠EDF=90°-∠A．
学以致用
解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
在△BFD和△CDE中，
BF＝CD
∠B＝∠C
BD＝CE，
∴△BFD≌△CDE（SAS），∴∠BFD=∠EDC，
∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°-∠B=180°-=90°+∠A。
学以致用
6.如图，等边△ABC，D、E分别在BC、AC上，且CD=AE，AD、BE相交于点P，试求∠BPD的度数。
学以致用
解：∵CD=AE，∴BD=CE，
在△ABD和△BCE中，
AB＝BC
∠ABD＝∠BCE
BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD，∠APE=∠BPD，∠ABE+∠CBE=60°，
∴∠BPD=∠APE=∠ABC=60°，
∠BPD的度数为60°。登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《简单的轴对称图形》练习
一、选择——基础知识运用
1．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）21教育网
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A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
2．若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．10
3．有下列命题说法：①锐角三角形中任何 ( http: / / www.21cnjy.com )两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（ ）
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A．55° B．45° C．35° D．65°
5．如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（ ）
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A．△ABD≌△EBC B．△NBC≌△MBD C．DM=DC D．∠ABD=∠EBC
二、解答——知识提高运用
6．如图，在等腰△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的平分线相交于点O
（1）连接OA，求∠OAC的度数；
（2）求：∠BOC。
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7．如图，在等腰三角形ABC中，AD、BE分别是底边BC和腰AC上的高线，DA、BE的延长线交于点P．若∠BAC=110°，求∠P的度数。21世纪教育网版权所有
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8．如图，已知△ABC中，AB=AC，周长为24，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形，则△ABC各边的长分别为多少？21·cn·jy·com
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9．如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，探索α与∠B的关系。
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10．已知在△ABC中，AB=AC。
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（1）若D为AC的中点，BD把三角形的周长分为24cm和30cm两部分，求△ABC三边的长；
（2）若D为AC上一点，试说明AC＞（BD+DC）。
11．如图，等边三角形ABD和等边三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？
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参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，
∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，
∴∠B=25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
∴∠BDE=∠BED= （180°-25°）=77.5°，
∴∠CDE=180°-∠CDA-∠EDB=180°-50°-77.5°=52.5°，
故选D。
2．【答案】B
【解析】①当5为底时，其它两边都为2，
∵2+2＜5，
∴不能构成三角形，故舍去，
当5为腰时，
其它两边为2和5，
5、5、2可以构成三角形，
周长为12。
故选B。
3．【答案】B
【解析】①中，必定正确．如果两个角的和不大于90°，则第三个内角将大于或等于90°，该三角形将不是锐角三角形；21cnjy.com
②中，这两个概念不能混淆，当等腰三角形的顶角是钝角时，该三角形是钝角三角形，故错误；
③中，若等腰三角形有一个外角等于120°，则等腰三角形有一个内角等于60°，则这个三角形一定是等边三角形，故正确；www.21-cn-jy.com
④中，此题应分为两种情况，底角可以是40°或70°，故错误；
⑤中，显然正确，如果都小于60°，则该三角形的内角和小于180度。
所以正确的是①，③，⑤三个。
故选B。
4．【答案】A
【解析】∵∠1=125°，
∴∠ADE=180°-125°=55°，
∵DE∥BC，AB=AC，
∴AD=AE，∠C=∠AED，
∴∠AED=∠ADE=55°，
又∵∠C=∠AED，
∴∠C=55°。
故选：A。
5．【答案】C
【解析】A、可以利用SAS验证，正确；
B、可以利用AAS验证，正确；
C、可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°
∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误；
D、可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确。
所以错误的是第三个。
故选C。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】（1）连接AO，
∵在等腰△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，
∴等腰△ABC关于线段AO所在的直线对称，
∵∠A=80°，
∴∠OAC=40°
（2）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（ ∠ABC+∠ACB）
=180°- （∠ABC+∠ACB）
=180°- （180°-∠A）
=90°+∠A。
∴当∠A=80°时，
∠BOC＝180° (∠B+∠C)＝90°+∠A=130°。
7．【答案】∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=110°，
∴∠DAB=∠DAC=55°，
∵∠DAC=∠EAP（对顶角相等），
∴∠EAP=∠DAC=55°，
又∵BE是腰AC上的高，
∴∠P=90°-∠EAP=90°-55°=35°。
故∠P的度数是35°。
8．【答案】根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差，
（1）若AB＞BC，则AB-BC=6，
又因为2AB+BC=24，
联立方程组并求解得：AB=10，BC=4，
10、10、4三边能够组成三角形；
（2）若AB＜BC，则BC-AB=6，
又因为2AB+BC=24，
联立方程组并求解得：AB=6，BC=12，
6、6、12三边不能够组成三角形；
因此三角形的各边长为10、10、4。
9．【答案】∠α=∠B，理由为：
证明：∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角），
在△BDF和△CED中，
BD＝CE
∠B＝∠C
BF＝CD
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE（全等三角形对应角相等），
又∵∠FDC=∠B+∠BFD（外角性质），
∴∠α=∠B（等式性质）。
10．【答案】（1）设三角形的腰AB=AC=x，
若AB+AD=24cm，
则：x+x=24
∴x=16
三角形的周长为24+30=54cm
所以三边长分别为16，16，22；
若AB+AD=30cm，
则：x+x=30
∴x=20
∵三角形的周长为24+30=54cm
∴三边长分别为20，20，14；
因此，三角形的三边长为16，16，22或20，20，14。
（2）∵AC=AD+CD，AB=AC，
∴2AC=AB+AD+CD＞BD+DC，
∴AC＞（BD+DC）。
11．【答案】△BEF为正三角形
证明：∵AE+CF=a，AE+ED=a，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
BD＝BC
∠BCF＝∠BDE＝60°
DE＝CF，
∴△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，
又∵∠CBF+∠FBD=60°，
∴∠FBD+∠DBE=60°，
∴△BEF为等边三角形。
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