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《简单的轴对称图形》教案
【教学目标】
1.知识与技能
（1）探索线段垂直平分线的性质，并利用性质解决问题。
2.过程与方法
在探索性质的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。
3.情感态度和价值观
学生在自主探索获得正确的学习方式和良好的情感体验。
【教学重点】
探索线段垂直平分线的性质。
【教学难点】
利用质解决问题。
【教学方法】
自学与小组合作学习相结合的方法。
【课前准备】
教学课件。
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、情景导入
【过渡】在上节课的学习中，我们学习了等腰 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质，主要有“等边对等角”以及“三线合一”，现在，我们通过一道题来回忆一下等腰三角形的性质吧。21世纪教育网版权所有
根据等腰三角形“三线合一”性质,在△ABC中， AB=AC时，
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（1）∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____。
（2） ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____。
（3）∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____。
【过渡】这个问题简单的利用了等腰三角形的性 ( http: / / www.21cnjy.com )质，在生活中，我们除了等腰三角形这个简单的轴对称图形之外，还会遇到一种简单的轴对称图形：线段。那么线段到底有哪些性质呢？
二、新课教学
1．线段垂直平分线的性质
【过渡】大家都知道，线段是我们常见的图形。经历了上节课的探索，我们这节课来探索一下线段的性质。
【过渡】现在，大家动手在纸上画一条线段，将 ( http: / / www.21cnjy.com )其标为AB，然后将其对折，使AB两点重合。接下来，我们将纸展开。将折痕用笔画出，并将其与线段AB的交点标为O，你能发现什么？
（学生回答）
【过渡】通过轴对称的定义，我们知道，线段是轴对称图形。
现在，我希望你们回答这样一个问题：AO与BO是什么样的关系呢？
（学生回答）
【过渡】我们知道，折痕所在 ( http: / / www.21cnjy.com )的这条直线就是线段AB的对称轴，对折之后呢，AO与BO是重合的，所以，AO=BO。因此，线段的对称轴将线段平分，并且垂直于对称轴。
垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。
【过渡】在数学里，我们将这样的对称轴称为垂直平分线。
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线的垂直平分线，简称中垂线。
【过渡】现在呢，我们再继续来看下一个问题。
大家在刚刚的对称轴上随意选择一点C，连接AC与BC，判断一下AC与BC的关系》
（学生回答）
【过渡】我们猜想AC=BC，你能证明这个结论吗？结合三角形全等的知识试着证明一下吧。
【过渡】通过刚刚的学习，我们知道，AO=BO，同时还要垂直。因此呢，根据“边角边”的判定，我们能得到三角形全等，进而得到AC=BC。21cnjy.com
课件展示证明过程。
【过渡】再随意找一个点，你还能得到同样的结论吗？
（学生动手回答）
【过渡】由此，我们得到了线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
【过渡】既然学习了这个性质，我们就来试着运用它来解决问题吧。
例：如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则BC与PC、AP的关系如何？21·cn·jy·com
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【过渡】解决这个问题，我们先看MN是AB的垂直平分线，得到PA=PB，由于BC=BP+PC，因此呢，BC=PC+AP，问题就得到了解决。2·1·c·n·j·y
【过渡】刚刚的例题是简单的利用线段垂直平分线的性质，现在呢，我们看一下一个实际的问题。
例：如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在什么地方？【来源：21·世纪·教育·网】
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【过渡】对于这个问题，距离相等，我们首 ( http: / / www.21cnjy.com )先要考虑到的就是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。因此，我们分别作AC和BC的垂直平分线，两条平分线的交点就是我们需要的答案。21·世纪*教育网
【过渡】通过这个问题，我们知道三角形的三条边对应的垂直平分线相交于一点。
【过渡】在了解了线段垂直平分线的性质之后，我们来考虑如何画出线段的垂直平分线。
讲解例1。
【过渡】现在，大家一起来看一下一个问题，
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
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求证： （1）PA=PB=PC。
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？
【过渡】这个问题的证明过程其实很简单，我们需要注意的是通过这个问题而得到的结论：
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
【学以致用】1、如图，在Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠C=90°，直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D．若AC=8，BC=6，则△DBC的周长为（ B ）www.21-cn-jy.com
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A．12 B．14 C．16 D．无法计算
2、判断下列语句对错
（1）如图1，直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF． 不正确
（2）如图2，线段MN被直线AB垂直平分，则ME=NE． 正确
（3）如图3，PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线． 不正确
3、如图，锐角三角形ABC中，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为多少？21教育网
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解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=21°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°
4、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC．
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（1）求∠ECB的度数；
（2）若BC=2，AC=3.8，求△EBC的周长．
解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ACB=∠ABC=72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠ECA=∠A=36°，
∴∠ECB=∠ACB-∠ECA=36°；
（2）AB=AC=3.8，
△EBC的周长=EB+BC+EC=EB+BC+EA=AB+BC=5.8．
5、如图，一张纸上有A，B，C，D四个点，请找出一点M，使得MA＝MB，MC＝MD。
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解：连结AB，做线段AB的垂直平分线，连结CD,做线段CD的垂直平分线，两线交于点M。
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【板书设计】
1、线段垂直平分线的性质：
线段是轴对称图形
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
【教学反思】
本课为了让学生充分体验到轴对称图形的这一特征 ( http: / / www.21cnjy.com )，安排了折一折，剪一剪，画一画，等一系列活动，让学生多种感官参与教学活动。通过大量的动手操作，力图让学生用自己的思维方式自由开放地去探索、去发现、去创造，使学生通过大量的感性经验形成表象，进一步体会轴对称的含义。通过动手探索，掌握轴对称图形的性质，感受对称图形的内在美。
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《简单的轴对称图形》练习
一、选择——基础知识运用
1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条高的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
2．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（ ）21世纪教育网版权所有
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A．50° B．45° C．30° D．20°
3．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（ ）
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A．14cm B．13cm C．11cm D．9cm
4．已知△ABC中，AB=AC ( http: / / www.21cnjy.com )，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，则△ABC的腰和底边长分别为（ ）21教育网
A．24cm和22cm B．26cm和18cm C．22cm和26cm D．23cm和24cm
5．如图，已知线段AB的垂直平分线CP ( http: / / www.21cnjy.com )交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：21cnjy.com
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甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
二、解答——知识提高运用
6．利用尺规作三角形的三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么？再换一个三角形试一试。21·cn·jy·com
7．如图，在△ABC中，∠C=40°，∠B=68°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．求∠EAD的度数。www.21-cn-jy.com
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8．在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN交BC于点N。2·1·c·n·j·y
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（1）求△AEN的周长；
（2）求证：BE=EN=NC。
9．敌军基地在三条公路围成的三角区域内，我 ( http: / / www.21cnjy.com )军一队战士在一条公路中点垂直射击，另一队战士在另一条公路中点垂直射击，均击中敌军基地，问第三队战士在公路何处垂直射击可击中目标？
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10．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D。
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（1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数。
（2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数。
（3）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAB的度数。
11．如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．
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（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；
（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；
（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE= 。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D。
2．【答案】D
【解析】根据线段的垂直平分线性质，可得AD=BD，AE=GE。
故∠EAC=∠ECA，∠ABD=∠BAD。
因为∠BAC=100°，∠ABD+∠ACE=180°-100°=80°，
∴∠DAE=100°-∠BAD-∠EAC=20°。
故选D。
3．【答案】B
【解析】∵DE是边AB的垂直平分线
∴BD=AD
∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm。
故选B。
4．【答案】C
【解析】∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，
∴AB=70-48=22cm，
∴BC=48-22=26cm，
即△ABC的腰和底边长分别为22cm和26cm。
故选：C。
5．【答案】D
【解析】甲：虽然CP= AP，
但∠A≠∠ACP，
即∠A≠∠ACD．甲不正确；
乙∵CP是线段AB的中垂线，
∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，
作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=EB，
∵AD=DC，EB=CE，
∴AD=DC=EB=CE，乙正确，
故选：D。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】三角形的三条边的垂直平分线相交于一点。
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7．【答案】∵∠C=40°，∠B=68°，
∴∠BAC=72°，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=68°，
∴∠DAC=4°，
∵EG是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=40°，
∴∠BAE=32°，
∴∠EAD=∠BAC-∠DAC-∠BAE=36°。
8．【答案】（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴NA=NC，
则△AEN的周长=AE+AN+EN=BE+EN+NC=BC=12；
（2）∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵EB=EA，NA=NC，
∴∠EAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AEN=∠EAB+∠B=60°，∠ANE=∠NAC+∠C=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴BE=EN=NC。
9．【答案】第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标，
∵一队战士在一条公路中点垂直射击，
∴敌军基地到这条公路与另两条公路交点的距离相等，
同理，敌军基地到第二条公路与另两条公路交点的距离相等，
∴敌军基地在第三条公路与另两条公路交点之间公路的垂直平分线上，
∴第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标。
10．【答案】（1）∵∠C=90°，∠CAD=20°，
∴∠ADC=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=35°，
答：∠B的度数是35°
（2）∵∠C=90°，∠CAB=50°，
∴∠B=40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=40°，
∴∠CAD=10°
（3）设∠CAD=x，则∠DAB=∠B=2x，
则x+2x+2x=90°，
解得x=18，
则∠CAB=54°。
11．【答案】（1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，
∴DC=DA，EC=EB，
∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4，
∴DA+DE+EB=4，即AB的长为4；
（2）∵∠ACB=100°，
∴∠A+∠B=80°，
∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，
∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，
∴∠DCA+∠ECB=80°，
∴∠DCE=100°-80°=20°；
（3）∵∠ACB=α，
∴∠A+∠B=180°-α，
∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，
∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，
∴∠DCA+∠ECB=180°-α，
∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，
故答案为：2α-180°。
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北师大版 七年级下册
5.3 简单的轴对称图形
导入新课
根据等腰三角形“三线合一”性质,在△ABC中， AB=AC时，
∵AD⊥BC，
∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2) ∵AD是中线，
∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
A
B
C
D
BAD
CAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BD
BAD
BC
AD
CD
新课学习
线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？
A
B
新课学习
2
A
B
(B)
O
A
B
画一条线段AB，然后对折AB，使A、B两点重合，设折痕与AB的交点为O。
你发现了什么？
线段是轴对称图形。
新课学习
2
A
B
(B)
O
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线的垂直平分线，简称中垂线。
（1）CO与AB有怎样的位置关系？
（2）AO与BO相等吗？
垂直
AO=BO
新课学习
（3）在折痕上取一点C，连接CA、CB,CA与CB有什么关系？能说明你的理由吗？
CA=CB
A
B
O
C
在△ACO和△BCO中，
AO=BO
∠AOC= ∠BOC
OC= OC
△ACO≌△BCO（SAS）
CA=CB
改变C的位置，结论还成立吗？
成立
新课学习
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
用数学语言表述：
A
B
O
C
∵C是线段AB垂直平分线上的点。
∴CA=CB
牛刀小试
1、如图，MN是线段AB的垂直平分线，C在MN外，且与A点在MN的同一侧，BC交MN于P点，则BC与PC、AP的关系如何？
解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB．
∵BC=PC+BP，
∴BC=PC+AP．
等量替换思想
新课学习
2、如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在什么地方？
根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC的垂直平分线上。
三角形三条边对应的垂直平分线交于一点
新课学习
例1 利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于
AB一半的长为半径作弧，
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线．
A
B
C
D
两弧相交于点C和D；
新课学习
如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P。
求证： （1）PA=PB=PC。
（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？
证明：∵点P是边AB、BC的垂直平分线的交点，
∴ PA=PB，PB=PC
∴ PA=PB=PC
∴ PA=PC，点P必在AC的垂直平分线上。
新课学习
从上述题目中，你能得到什么结论？
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。
想一想
课堂小结
1.利用线段垂直平分线的性质可以说明线段相等，线
段的垂直平分线需满足垂直、平分线段．
2.应用性质时要注意两点：
(1)点一定在垂直平分线上；
(2)距离指的是点到线段两个端点的距离．
学以致用
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是斜边AB的垂直平分线交AC于D．若AC=8，BC=6，则△DBC的周长为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．无法计算
解析：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
△DBC的周长为CB+CD+DB
=CB+CD+DA=BC+CA
=6+8=14
B
等量替换的思想
学以致用
2.判断下列语句对错
（1）如图1，直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF．
（2）如图2，线段MN被直线AB垂直平分，则ME=NE．
（3）如图3，PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线．
不正确AE=EB
正确
不正确
学以致用
3.如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为多少？
学以致用
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=60°，∠ACP=21°，
∴3∠ABP+24°+60°=180°，
解得：∠ABP=32°，
学以致用
4.已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于点E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECB的度数；
（2）若BC=2，AC=3.8，求△EBC的周长．
学以致用
解：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ACB=∠ABC=72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠ECA=∠A=36°，
∴∠ECB=∠ACB-∠ECA=36°；
（2）AB=AC=3.8，
△EBC的周长=EB+BC+EC=EB+BC+EA=AB+BC=5.8．
学以致用
5.如图，一张纸上有A，B，C，D四个点，请找出一点M，使得MA＝MB，MC＝MD。
解：连结AB，做线段AB的垂直平分线，连结CD,做线段CD的垂直平分线，两线交于点M。
B
A
C
D
学以致用
B
A
C
D
M
点M即为所求。
由线段垂直平分线的性质可得。
