初中数学苏科版 几何最值问题面面观 教学案（含答案）

初中数学几何最值问题面面观
在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差)的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.近年来，各地中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力.本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析，希望对大家有所帮助.
最值问题的解决方法通常有如下两大类:
一、应用几何性质
1.三角形的三边关系
例1
如图1，，矩形的顶点、分别在边上.当分在边上运动时，随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点到点的最大距离为(
)
(A)
(B)
(c)
(D)
分析
如图1，取的中点，连结.
,
当三点共线时，点到点的距离最大，此时，,
.,
Z
的最大值为.
故选A.
2.两点间线段最短
例2
如图2，圆柱底面半径为2cm,高为cm，点分别是回柱两底面圆周上的点，
且在同一母线上，用一棉线从顺着圆柱侧面绕3圈到，求棉线长度最短为
.
分析
如图3，将圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线的长度，第一条斜线与底面
回周长、圆柱的三分之一高组成直角三角形.
由周长公式知底面圆一周长为cm，圆柱的三分之一高为cm，根据勾股定理，得一条斜线长为cm，根据平行四边形的性质，棉线长度最短为cm.
3.垂线段最短
例3
如图4，点的坐标为，点在直线运动，当线段最短时，点的坐标为(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
分析
如图4，过点作，垂足为点，过作轴，垂足为.
由垂线段最短可知，当与点重合时，最短.
∵点在直线上运动，
∴是等腰直角三角形
∴为等腰直角三角形
∵点的坐标为，
，
的坐标为
∴当线段最短时，点的坐标为
故选B.
4.利用轴对称
例4
如图5，正方形，，是的中点，点是对角线上一动点，则的最小值为
.
分析
连结，交于点，连结.
∵点与点关于对称，
∴的长即为的小值
，是的中点，
在中
二、代数证法
1.利用配方法
例5
如图6是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好
分析
设表示半圆半径，表示矩形边长，则有,
于是，
①
若窗户的最大面积为，则
②
把①代入②，有
.
上式中，只有时，等号成立.
这时，由①有
，
即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大.
2.利用一元二次方程根的判别式
例6
已知：，且，求的最小值.
解
令，
代入，
，
去分母，整理，得
∵为实数，
或
∵，
.
故的最小值为8.