初中数学苏科版 构造几何图形 巧解代数问题 教学案（含答案）

构造几何图形
巧解代数问题
在数学教学中，数和形是两个最重要的研究对象.对于一类代数问题，若能转化为图形性质的问题，往往会使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而获得简洁的解决方案.
一、整式乘法法则的探究
例1
探究乘法法则:
.
解
如图1，构造长、宽为和的矩形，再将其分割为四个小矩形，通过
“总体—分割”的两种方法计算矩形的面积，易得.
评析
此法则的探究过程也可通过连续利用乘法分配律来得到，即
.
但构造的图形更直观、更简洁，更利于激发学生的探求欲，开阔学生的视野.
二、恒不等式的证明
例2
若，且、均为正数，则.
证明
如图2，构造面积分别为、的正方形()，则其边长分别为、，易得,.
评析
此式为学生刚接触平方根知识的一个结论，用文字可叙述为：被开方数越小，则其算术平方根越小.基于学生的现有知识储备还很有限，直接代数证明方法比较困难.构造的几何图形，有效的呈现了被开方数和算术平方根的问题，有利于学生的理解.
例3
已知:
，求证:
.
解
如图3，在⊙中，弦直径,垂足为.设，则由相交弦定理和垂径定理，可得.
直径是圆中最长的弦，
,
即.
例4
已知，求证:
.
解
如图4，分别以在,和,为直角边构造Rt和Rt.
,
.
而,
.
评析
此不等式直接证明，难度较大、较繁琐.而注意到
，
则可以构造共边的直角三角形来解决.
三、求函数最值
例5
求的最小值.
解
如图5,
，垂足为，垂足为是上的动点.设，则
，
因而，所求的最小值即为线段的最小值.
作点关于的对称点，将平移至，连接，则即为的最小值.
在Rt中，
,
即的最小值是.
评析
将所求代数式转化为线段的和，在最值的探求过程中，发现实际上就是初中几何里典型的“将军饮马”模型，陌生问题熟悉化，转化思想略见一斑.
总之，适当地将一些代数问题几何化，能提高解题的效率，拓宽解题的思路，渗透数学思想、提升数学素养!