八年级数学上册函数及一次函数有关内容讲学案

函数及一次函数有关内容
【本讲教育信息】
一.
教学内容：
函数及一次函数有关内容
学习目标：
1.
理解常量、变量以及函数的概念，知道函数的三种表示方法；
2.
掌握一次函数y＝kx＋b和正比例函数y＝kx的概念、它们之间的关系以及会用待定系数法求这两个函数的关系式；
3.
能通过图形、表格等搜集信息并处理信息，学会表达思想．
二.
重点、难点：
1.
函数、一次函数、正比例函数的概念，函数的三种表示方法、待定系数法、识图等能力是重点；
2.
函数概念的理解是难点．
三.
知识要点：
1.
函数：
一般地，如果在一个变化的过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有惟一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．其中，x是自变量，y是因变量．
2.
函数的三种表示方法：
表格法，图像法，关系式法
3.
一次函数与正比例函数：
（1）一次函数：一般地，如果两个变量x与y之间的函数关系可以写成y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数．需要注意的是：k≠0；
（2）正比例函数：若一次函数y＝kx＋b中的b＝0，则一次函数变为：y＝kx，这时我们称y是x的正比例函数.正比例函数是一次函数的特例．
4.
待定系数法：
【典型例题】
例1.
下列问题中的两个变量是否是函数关系
（1）一个正方形的边长是3cm，它的边长减少x
cm后，得到的新正方形的周长是y
cm，y可以看成是x的函数吗
（2）y是x的倒数，y是x的函数吗
（3）某人的身高是他本人年龄的函数吗
（4）如图，分别给出了变量y与x之间的对应关系，y不是x的函数的是
分析：这几道题目有的可以根据题意写出关系式，如（1），（2）；有的则不能，如（3），（4）但是都要根据函数的定义来判定．
解：（1）由题意，得y＝4（3－x），即y＝12－4x，其中0（2）当x为0时，y没有唯一的值与x对应，所以y不是x的函数．
（3）符合函数的定义，所以某人的身高是他本人年龄的函数．
（4）B不符合函数的定义，因为当x取一个负数时，有两个函数值y与其对应．
例2.
观察下图和表中所给数据后回答问题：该图形的周长能够为2006吗
探究过程：梯形的个数为1时，周长为5；梯形的个数为2时，周长为8＝5＋3；梯形的个数为3时，周长为5＋3×2；…当梯形的个数为n时，周长为5＋3×（n－1）．假设周长为2006时，则5＋3×（n－1）＝2006，解方程得不是整数，而n必须是正整数，故图形的周长不能为2006．
探究评析：解决此类题目，先从分析简单情形入手，从特殊到一般，从中寻找规律，进而求出两个变量之间的函数关系式，继而由自变量求函数值，或由函数值求自变量的值．本题就是求自变量的值．
例3.
仔细观察下图，回答下列问题：
（1）图中反映的是哪两个变量之间的关系
（2）A，B两点分别代表什么
（3）说一说速度是怎样随时间变化的
分析：本题用图形的形式反映了两个变量：速度与时间，即速度随时间变化的情况.
解：（1）图中反映的是速度随时间变化的情况；
（2）点A表示第9分钟时速度是20km/h；点B表示第15分钟时速度是0
km/h；
（3）从开始到第3分钟，速度从0
km/h增加到20
km/h；第3分钟到第9分钟，速度保持20
km/h；第9分钟到第12分钟，速度从20
km/h增加到60
km/h；第12分钟到15分钟，速度从60
km/h降低到0
km/h．
例4.
当m，n为何值时，函数
（1）是一次函数 （2）是正比例函数
分析：根据一次函数及正比例函数的标准形式，我们就可以得出相关的方程（组），求出m，n的值
解：（1）由题意得，
故当时，该函数为一次函数．
（2）由题意得，
故当时，该函数为正比例函数．
例5.
为了保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度．
第一套
第二套
椅子高度x/cm
40.0
37.0
桌子高度y/cm
75.0
70.2
（1）请确定y与x的函数关系式．
（2）现有一把高度为39cm的椅子和一张高度为78.2cm的课桌，它们是否配套 为什么
分析：解答本题的关键是将实际问题抽象成数学问题，既考查了用待定系数法求函数关系式，又考查了函数对应值的知识．求解时要认真审题，准确理解配套的意义．
解：（1）设y与x的函数关系式为．
由表格可知，当x＝40.0时，y＝75.0；当x＝37.0时，y＝70.2．
所以
所以，y与x的函数关系式为
（2）当椅子高度为x＝39cm时，相配套的桌子的高度应为
．
所以，一把高度为39cm的椅子和一张高度为78.2cm的课桌不配套．
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
1.
池中有水600m3，每小时抽出50
m3，则池中剩余水量Q与时间t的函数关系式
；
2.
一蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，剩余高度l（cm）与燃烧时间t（h）的函数关系式
；
3.
已知等腰三角形的面积为20cm2，底上的高h（cm）与底边为x（cm）之间的函数关系式
；
4.
某新生办理月票卡时一次存入50元，每次乘车刷卡扣费0.5元，则卡内剩余金额y（元）与刷卡次数x的关系式为
；
5.
一根弹簧原长18cm，挂重不超过24kg时，每增加1kg，弹簧就拉长0.5cm，弹簧的长度y（cm）与所挂物重x（kg）之间的函数关系式
；
6.
某公司业务员到A市出差，，打车从火车站到分公司的车费，起步价为8元（3km以内），超过3km每增加1km加收2.4元（不足1km按1km计算），车费P（元）与路程x（km）之间的函数关系式
；
7.
某移动公司为用户提供两种资费方式拨打市话.甲：拨打和接听市话0.20元/min，但每月要交10元月租费；乙：拨打和接听市话0.40元/min，不收月租费．甲，乙两种方式下的费用y1，y2（元）与拨打或接听电话时间t（min）之间的关系式
；
8.
某市民用电收费标准为每千瓦时0.52元，电费y（元）与用电千瓦时数x（千瓦时）之间的关系式
；
9.
某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电量不超过100千瓦时时，按每千瓦时0.57元计费；每月用电量超过100千瓦时时，其中的100千瓦时仍按原标准收费，超过部分按每千瓦时0.50元计费．设月用电x千瓦时时，应交电费y元，当0≤x≤100时，
y＝
，当x＞100时，y＝
10.
“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是（
）
11.
小刚和他的爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一个目的地后都立即返回，小刚去时骑自行车，返回时步行；爷爷去时步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行，三人步行的速度不等，小刚与爷爷的骑车的速度相等，每个人的行走路程S与时间t的关系分别是图中三个图象中的一个．走完一个往返，小刚用了
分钟；爷爷用了
分钟；爸爸用了
分钟．
12.
随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其进货成本是每吨0.5万元，这种水果市场上的销售量y（吨）是每吨的销售价x（万元）的一次函数，且当x＝0.6时，y＝2.4；当x＝1时，y＝2．
（1）求出销售量y（吨）与每吨的销售价x（万元）之间的函数关系式；
（2）若销售利润为（万元），写出与x之间的函数关系式．
13.
地表以下岩层的温度y（℃）随着所处的深度x变化而变化，在一定范围内，y可以近似地看作是x的一次函数，并且当岩层所处深度是7km和10km时，它的温度分别是263℃和370℃，求这个函数的关系式．
【试题答案】
1.
Q
＝600－50t
2.
l＝20－5t
3.
4.
y＝50－0.5x
5.
y＝18＋0.5x（0≤x≤24）
6.
7.
8.
y＝0.52x
9.
y＝0.57x，y＝57＋0.5（x－100）
10.
D
11.
21，26，24
12.
（1）y＝－x＋3，（2）ω＝－x2＋3.5x－1.5
13.