5.7.1
二次函数的应用
【学习目标】
1、经历探索有关最优化问题的过程，进一步获得用数学模型解决实际问题的经验，提高数学的应用意识。
2、能通过分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的知识求出实际问题的最大(或最小)值。
【学习重难点】
通过分析表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的知识求出实际问题的最大(或最小)值
【学习过程】
一、学习准备：
求下列函数的最大值或最小值。
（1）y=-3x-5
(2)
y=
-3x+4
二、自主探究
例1、用篱笆围成一个有一边靠墙的矩形菜园，已知篱笆的长度为60m.应该怎样设计才使菜园的面积最大？最大面积是多少？
总结：函数的最大、最小值的求法
例2、如图，ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形，当AM的长为何值时，截取的板材面积最小？
三、课堂小结：
通过本节课的学习，您学到了那些知识？
还有那些不明白的地方？
四、随堂训练
1、如果两个数的和是100，那么这两数积的最大值是多少？
2、把一根长100cm的铁丝分成两部分，然后分别围成两个正方形，这两个正方形的面积和最小是多少？
3、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后，就停止移动，回答下列问题：
⑴运动开始后第几秒时，△PBQ的面积等于8cm2？
⑵设运动开始后第t秒时，五边形APQCD的面积为Scm2。写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围。
⑶t为何值时S最小？求出S的最小值。
4、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成，中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2。
⑴求S与x的函数关系式；
⑵如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
※⑶能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法，如果不能，请说明理由。5.4.2
二次函数的图象与性质
【学习目标】
1．会用描点法画出二次函数
与
的图象；
2．能结合图象确定抛物线
与
的对称轴与顶点坐标；
3．通过比较抛物线
与
同
的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;
【学习重难点】
1、画出形如
与形如
的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.
2、理解函数
、
与
及其图象间的相互关系
【学习过程】
一、学习准备：
提问：1．什么是二次函数？
2．形如
的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
二、自主探究
（一）自己动手，获取真知。
1、完成下表，并比较x2，（x―1）2，x2+1的值有什么关系？
x
―3
―2
―1
0
1
2
3
x2
（x―1）2
x2+1
2、在下图中作出y=x2，y=（x―1）2，y=x2+1的图像。
3、由图象思考下列问题：
（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（2）抛物线
的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？
（3）抛物线
，
与
的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？
（4）抛物线
与
同有什么关系？
继续回答：
抛物线的形状相同具体是指什么？
②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？
③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？
④抛物线
是由抛物线
沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线
呢？
⑤你认为是什么决定了会这样平移？
三、课堂小结：
本节课学习了二次函数
与
的图象的画法，主要内容如下。
填写下表：
表一：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
表二：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
四、随堂训练
1．抛物线y=－4x2－4的开口向
，当x=
时，y有最
值，y=
．
2．当m=
时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．
3．当m=
时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是
．在对称轴左侧，y随x的增大而
；在对称轴右侧，y随x的增大而
．
4、二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（
）5.2.2
反比例函数
【学习目标】
1．进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象．
2．体会函数的三种表示方法的相互转化，对函数进行认识上的整合．
3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质
【学习重难点】
会作反比例函数的图象
掌握反比例函数的主要性质
【学习过程】
一、学习准备：
1、一般地，如果两个变量、之间的关系可以表示成____________（_________，________）的形式，那么称是的反比例函数，其中______表示自变量．
2、反比例函数的自变量的取值不能为________．
二、自主探究
画出反比例函数与的图象，回答下列问题：
1．比较两个函数图象，可以发现它们都由两支_____组成，并且当x的绝对值不断增大或接近于0时，曲线越来越接近_______，但永远不会与______相交．
2．反比例函数的图象是__________．
3．反比例函数具有如下性质：
（1）当时，图象的两个分支分别位于____________象限内，在这两个象限内，y随x的增大而______；
（2）当时，图象的两个分支分别位于____________象限内，在这两个象限内，y随x的增大而________．
4．反比例函数的图象是轴对称图形，其对称轴为____________；反比例函数的图象也是中心对称图形，其对称中心为___________．
例1、已知反比例函数，分别根据下列条件求出的取值范围．
（1）函数图象位于第二、四象限；（2）在可以取值的范围内，随的增大而减小．
三、课堂小结：
我学会了
我不明白的地方
四、随堂训练
1．下列函数的图象在每一个象限内，值随值的增大而增大的是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．反比例函数的大致图像是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．如图，反比例函数图象的对称轴的条数是（
）
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
4．一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象[大致是(
)
（D）
（C）
（B）
（A）5.5
确定二次函数的表达式
【学习目标】
1、通过确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。
2、会利用待定系数法求二次函数的表达式。
【学习重难点】
会利用待定系数法求二次函数的表达式.
【学习过程】
一、学习准备：
确定二次函数解析式
（1）如果已知二次函数图像与
轴交点的坐标以及图像上
的另外两个点的坐标，可以将问题转化为
来解决。
（2）已知二次函数图像的顶点坐标，可以设二次函数的解析式为
，再利用
求出这个二次函数的解析式。
想一想？二次函数解析式有哪几种形式？
二、自主探究
探究1
例1
二次函数的图像过点（0,2），（1,0）与（－2,3）求这个二次函数的解析式，
例2二次函数图像的顶点坐标是（－1，－6），并且图像过点（2，,－3），
求这个二次函数的解析式
三、课堂小结：
通过本节课的学习，您学到了那些知识？
还有那些不明白的地方？
四、随堂训练
1、将抛物线y＝2x2－12x＋16绕它的顶点旋转1800，所得抛物线的解析式是（
）
A．y＝－2x2－12x＋16
B．y＝－2x2＋12x－16
C．y＝－2x2＋12x－19
D．y＝－2x2＋12x－20
2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过点A（1,2），B（3,2），C（5,7），若点M（－2，y1）,N(－1，y2)，k(8，y3)也在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像上，则下列结论正确的是（
）
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y1＜y3
C．y3
＜y1＜y2
D．
y1＜y3＜y2
3、学习了二次函数后，于老师在小黑板上出了一道题：已知抛物线y＝ax2＋bx＋3于x轴交于（1,0），试添加一个条件使它的对称轴为x＝2；小华说：过点（3,0）；小红说：过点（4,3），小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四人的说法正确的是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4、二次函数y＝x2－mx＋3与x轴交于（1,0）点，则m的值是
5
、已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。
6、已知某二次函数的图象经过点A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三点，求其函数关系式。
7、抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式5.6
二次函数的图象与一元二次方程
【学习目标】
1.理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根
2.
理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c
与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标
【学习重难点】
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根
【学习过程】
一、学习准备：
1.
抛物线y
=
x2+2x-
4的对称轴是_______,
开口方向是______,
顶点坐标是__________
二、自主探究
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如下图所示。
1）每个图象与x
轴有几个交点？
2)
一元二次方程x2+2x=0,
x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程
x2-2x+2=0
有根吗
(3)说说二次函数y=ax2+bx+c
的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
归纳总结
结论：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:__________________________.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的_______就是当y=0时自变量x的值,
即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
例题
例1、你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？
例2、图是y=x2+2x-10的图像，利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=2的近似根
三、课堂小结：
通过本节课的学习，您学到了那些知识？
还有那些不明白的地方？
四、随堂训练
1、一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t2＋19.6t
来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）作出函数h=－4.9t2＋19.6t的图像
（2）当t=1时，足球的高度是多少？
（3）t为何值时，h最大？
（4）经过多长时间球落地？
（5）方程－4.9t2＋19.6t
=0的根的实际意义是什么？能在图上表示吗
（6）方程14.7=－4.9t2＋19.6t
的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗
2.知一抛物线与x轴的交点是、B（1，0），且经过点C（2，8）。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标。
3、如图，已知二次函数的图象经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q
到x轴的距离．5.4.3
二次函数的图象与性质
【学习目标】
1．会用描点法画出二次函数
的图像；
2．知道抛物线
的对称轴与顶点坐标；
【学习重难点】
1、会画形如
的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标.
2、确定形如
的二次函数的顶点坐标和对称轴。
【学习过程】
一、学习准备：
提问：1．什么是二次函数？
2．形如和的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
二、自主探究
1、请你在同一直角坐标系内，画出函数
的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．（见课本P33页）
2、你能否指出抛物线
的开口方向，对称轴，顶点坐标？将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
4：我们已知抛物线的开口方向是由二次函数
中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
5、抛物线
有什么关系？
6、它们的位置有什么关系？
①抛物线
是由抛物线
怎样移动得到的？
②抛物线
是由抛物线
怎样移动得到的？
③抛物线
是由抛物线
怎样移动得到的？
④抛物线
是由抛物线
怎样移动得到的？
⑤抛物线
是由抛物线
怎样移动得到的？
三、课堂小结：
一般的二次函数，都可以变形成
的形式，其中：
1．a能决定什么？怎样决定的？
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？
3、抛物线可以由抛物线经过怎样的平移得到？
四、随堂训练
1、抛物线y=（x—l）2
+2的对称轴是（
）
A．直线x=－1
B．直线x=1
C．直线x=2
D．直线x=2
2、、已知抛物线的解析式为y=－（x—2）2＋l，则抛物线的顶点坐标是（
）
A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）
3、将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线解析式为___
___．
4、要从抛物线y=-2x2的图象得到y=-2x2-1的图象，则抛物线y=-2x2必须（
）
A．向上平移1个单位；
B．向下平移1个单位；
C．向左平移1个单位；
D．向右平移1个单位．
5、将抛物线y=-3x2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 （
）
A．y=-3(x-1)2-2；
B．y=-3(x-1)2+2；
C．y=-3(x+1)2-2；
D．y=-3(x+1)2+2．
6、要从抛物线y=2x2得到y=2(x-1)2+3的图象，则抛物线y=2x2必须
[
]
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位；
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位；
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位．
7、抛物线向左平移1个单位得到抛物线（
）
A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
8、把二次函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是(
)
A.
B.
C.
D.5.4.4
二次函数的图象与性质
【学习目标】
1、进一步体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性。
2、经历把y=ax2+bx+c化为的探索过程。
3、能够确定y=ax2+bx+c图像的开口方向、顶点坐标、对称轴。
【学习重难点】
1.经历把y=ax2+bx+c化为的探索过程。
2.能够确定y=ax2+bx+c图像的开口方向、顶点坐标、对称轴。
【学习过程】
一、学习准备：
1、二次函数的图像的特征是________________；由此可以得出二次函数的图象的对称轴是轴（或顶点在轴上）的条件是______。
2、若二次函数的图像经过原点，将（0，0）代入函数解析式得_____；由此可以得出二次函数的图像经过原点的条件是__________。
3、二次函数的图像与_____轴必有一个交点，此交点坐标是_____。c决定抛物线与y轴交点P(0,c)的位置，当c______，
P在y轴正半轴上；c______，P在原点；c______，P在y轴负半轴。：
4、二次函数的图像的特征是________________；此时抛物线与轴只有一个公共点，由此可以得出二次函数的图象顶点在轴上的条件是____________。
二、自主探究
1、确定a、b、c的符号
(1)二次函数：，
a的符号由________决定；
(2)
的符号由________决定，结合a的符号，可确定______的符号；
(3)c的符号由_________________决定，当抛物线与y轴交点在y轴的正半轴时，c_____，当抛物线与y轴交点在y轴的负半轴时，c______。
(4)确定了a、b、c的符号，易确定abc的符号。
2、确定类似代数式a+b+c的符号
当x=1时，
y=a+b+c。因此代数式a+b+c的符号由__________________________决定；与之类似的还经常出现判断a-b+c
、4a±2b+c、9a±3b+c等等的符号。
3、、由对称轴x=的确定值判断a与b的关系。
涉及到2a和b的代数式时常考虑对称轴x=的位置情况。如：=1能判断出：a
=
b，即。
三、课堂小结：
通过本节课的学习，您学到了那些知识？
还有那些不明白的地方？
四、随堂训练
1.二次函数的图像如图，则点M（b
，）在第_______象限。
2．二次函数y=x2+2x-3的图象的对称轴是直线
x=-1．
3．已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=
-4．
4．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
-6
0
4
6
6
…
则它的开口方向
向下，对称轴为
x=2.5．
5．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点坐标为（1，-8）
．
6．二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位
（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；
（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？5.1.3
函数与它的表示法
【学习目标】
1.理解函数解析式与其图象之间的关系。
2.学会解决分段函数问题，体会数学建模思想。
【学习重难点】
会利用一次函数解决分段函数问题
【学习过程】
一、学习准备：
1.什么是一次函数？
2.一次函数解析式是什么？
二、自主探究
某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间（分钟）与相应话费（元）之间的函数图象如图1所示：
（１）月通话为100分钟时，应交话费 元；
（２）当x100时，求与之间的函数关系式；
（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？
分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x100时,
月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.
三、应用新知
例1(广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：
（1）分别写出当0x100和x100时，y与x的函数关系式；
（2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；
（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？
分析:从函数图象上看图象分为两段,当0x100时,电费y是电量x的正比例函数,当x100时,y是x的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.
例2、某家庭装修房屋，由甲、乙两个装修公司合作完成，选由甲装修公司单独装修3天，剩下的工作由甲、乙两个装修公司合作完成．工程进度满足如图1所示的函数关系，该家庭共支付工资8000元．
（1）完成此房屋装修共需多少天？
（2）若按完成工作量的多少支付工资，甲装修公司应得多少元？
四、课堂小结：
1、谈一谈，这节课你有哪些收获？
2、对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
五、随堂训练
1、一名考生步行前往考场，
10分钟走了总路程的，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图2所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了（
）
A．20分钟
Ｂ．22分钟
Ｃ．24分钟
D．26分钟
2、某公司专销产品A，第一批产品A上市40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图(3)中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图(4)中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
（1）试写出第一批产品A的市场日销售量y与上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？
3、为了鼓励小强做家务，小强每月的费用都是根据上月他的家务劳动时间所得奖励加上基本生活费从父母那里获取的．若设小强每月的家务劳动时间为x小时，该月可得（即下月他可获得）的总费用为y元，则y（元）和x（小时）之间的函数图像如图5所示．
（1）根据图像，请你写出小强每月的基本生活费；父母是如何奖励小强家务劳动的？
（2）若小强5月份希望有250元费用，则小强4月份需做家务多少时间？
4、有甲、乙两家通迅公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．
（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是
元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为
元；
（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？
5、小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象.
（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？
（2）求小明出发两个半小时离家多远？
（3）求小明出发多长时间距家12千米？5.3
二次函数
【学习目标】
1.探索并归纳二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系，并会求自变量的取值范围.
【学习重难点】
1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数.
【学习过程】
一、学习准备：
阅读教材观察与思考；按要求写出各题中的函数关系式。
1、
2、
3、
4、
问题：1、以上四个函数关系式有哪些特点？
2、请分别说出上述四个函数中的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、自主探究
二次函数定义
二次函数的定义：一般的，形如
（
）的函数叫做二次函数。
精讲点拨
1、函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m=
．
2、下列函数中是二次函数的有（
）
①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
“我来议”:
二次函数的识别方法：
（1）先将函数整理成一般形式;
（2）右边含自变量的代数式是否为
;
（3）自变量的最高次数是否为
;
(4)二次项系数是否为
.
例题学习（请自主完成）
巩固练习：正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．
三、课堂小结：
通过本节课的学习，您学到了那些知识？
还有那些不明白的地方？
四、随堂训练
1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a
时，是二次函数；当a
，b
时，是一次函数；当a
，b
，c
时，是正比例函数．
2．当m
时，y=（m－2）x是二次函数．
3．下列不是二次函数的是（
）
A．y=3x2＋4
B．y=－x2
C．y=
D．y=（x＋1）（x－2）4．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（
）
A．m、n为常数，且m≠0
B．m、n为常数，且m≠n
C．m、n为常数，且n≠0
D．m、n可以为任何常数
5．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（
）
A．S=2π（x＋3）2
B．S=9π＋x
C．S=4πx2＋12x＋9
D．S=4πx2＋12x＋9π
6．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）模型的是（
）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
7．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a（m），则正方体需要涂漆的表面积S（m2）如何表示？5.1.2
函数与它的表示法
【学习目标】
1．进一步加深理解函数的概念．会根据简单的函数解析式和问题情境确定自变量的取值范围．
2．能利用函数知识解决有关的实际问题。
【学习重难点】
确定函数关系式中自变量的取值范围；
确定实际问题情境中自变量的取值范围。
【学习过程】
一、学习准备：
列车以90千米/小时的速度从A地开往B地
（1）填写下表：
行驶时间x小时
1
2
3
4
行驶路程y千米
（2）写出y与x之间的函数关系式；
（3）x可以取全体实数吗？
二、自主探究
1、问题导读：
（1）、在上一节课的三个问题中，自变量可以取值的范围是什么？
（2）、对于自变量在它可以取值的范围内每取一个确定的值，另一个变量是否都有唯一确定的值与它对应？
（3）、由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同伴交流。
（4）、完成下列问题：
在同一个__________中，有两个______x，y．如果对于变量x在可以取值的范围内每取一个_________的值，变量y都有一个_______的值与它对应，那么就说______是______的函数．
2、合作交流：
（1）．求下列函数中自变量x可以取值的范围：
①；
②；
③；
④．
（2）．一根蜡烛长20cm，每小时燃掉5cm．
①写出蜡烛剩余的长度y（cm）与点燃时间x（h）之间的函数解析式；
②求自变量x可以取值的范围；
③蜡烛点燃2h后还剩多长？
3、精讲点拨：
（1）确定解析式中自变量的取值范围，主要考虑以下几种情况：
解析式为整式，自变量的取值范围是全体实数；
解析式为分式，要考虑分母不能为零；
解析式为二次根式，要考虑被开方数应为非负数。
（2）确定函数自变量可以取值的范围时，必须使函数解析式有意义，在解决实际问题时，还要使实际问题有意义。
三、课堂小结：
1、谈一谈，这节课你有哪些收获？
2、对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
四、随堂训练
1．函数中，自变量x的取值范围_________________.
2．函数中自变量的取值范围是(
)
A．≥-2
B．≥-2且≠1
C．
≠1
D．≥-2或≠1
3．在一个半径为10m的圆形场地内建一个正方形操场．设正方形边长为x（m），面积为y（m2），则y与x的函数解析式是_______________，自变量的取值范围是____________．
4．某航空公司托运行李的费用y元与托运行李的质量x（kg）之间的函数关系如图所示．根据图中的信息，求免费托运行李质量的范围．
55.2.3
反比例函数
【学习目标】
1.理解函数解析式与其图象之间的关系。
2.能用反比例函数解决简单实际问题的过程，体会数学建模思想
【学习重难点】
会利用待定系数法确定反比例函数解析式
【学习过程】
一、学习准备：
反比例函数的图像是______________________.
当时，图像分布在___________，在每个象限内，随的增大而________；
当时，图像分布在__________，在每个象限内，随的增大而________
二、自主探究
在反比例函数y=(k0)中，x,y均为变量，k为常量，要确定反比例函数解析式，只需确定k值，（由y=得k=xy），即需该函数图象上一个点的坐标即可。
利用待定系数法求下列函数的解析式
1、若反比例函数y=的图象经过（-2，2），则k=
，当y=-16时，x=
2、已知反比例函数的图象过点（2，1），则它的图象在
象限，图像是否经过点（-1，-2）？
三、课堂小结：
我学会了
我不明白的地方
四、随堂训练
1、如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于点B，若S△AOB＝3，则为
（
）
A.
6
B.
3
C.
D.
不能确定
2、若反比例函数与一次函数y＝3x＋b的一个交点为(1，4)，则kb＝______
3、当k＜0时，反比例函数和一次函数y＝kx＋2的图象大致是(
)．
(A)
(B)
(C)
(D)
4、已知点M（-3，y）,N(1,y)和Q（3，y）三点都在反比例函数y=的图象上，试比较y，
y，
y的大小（
）
A.
y﹥
y
﹥y
B.
y
﹥y﹥y
C.
y﹥y﹥y
D
y﹥.y﹥
y
5、已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2
，
求（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积
6.如图,直线和双曲线交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则（
）
A.
S1＜S2＜S3
B.
S1>S2>S3
C.
S1=S2>S3
D.
S1=S2二次函数的图象与性质
【学习目标】
1．经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．会作出y=ax2的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a对二次函数图象的影响．
3．能说出y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
【学习重难点】
理解和掌握二次函数y=ax2的图象和性质
【学习过程】
一、学习准备：
1．二次函数的一般形式：y=ax2＋bx＋c（a≠0），当
时，为y=ax2＋c的形式；当
时，即为y=ax2的形式．
2．二次函数y=ax2图象的对称轴为
，顶点坐标为
．
3．二次函数y=2x2，与y=－2x2的图象形状相同，对称轴都是
轴，顶点都是
，只是
不同，它们的图象关于
对称．
4．二次函数y=ax2中，a不仅可以决定开口方向，也决定
．
二、自主探究
1、认真阅读
“实验与探究”，并按要求完成课本上的问题。
2、总结二次函数y=x2
与y=-x2，y=2x2与y=-2x2的性质：
抛物线
y=x2
y=-x2
y=2x2
y=-2x2
对称轴
顶点坐标
开口方向
增减性
三、课堂小结：
通过本节课的学习，您学到了那些知识？
还有那些不明白的地方？
四、随堂训练
1、抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x=
，y=
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为
．
3．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（
）
A．y=x2
B．y=－x2
C．y=－2x2
D．y=－x2
4．抛物线，y=x2，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（
）
A．y=x2
B．y=4x2
C．y=－2x2
D．无法确定
5．对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（
）
A．两条抛物线关于x轴对称
B．两条抛物线关于原点对称
C．两条抛物线关于y轴对称
D．两条抛物线的交点为原点
6、．求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式：
（1）y=ax2经过（1，2）；
（2）y=ax2与y=x2的开口大小相等，开口方向相反；
（3）y=ax2与直线y=x＋3交于点（2，m）．5.2.4
反比例函数
【学习目标】
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
【学习重难点】
建立反比例函数模型，解决问题
【学习过程】
一、学习准备：
1．先设出函数解析式，然后根据所给条件确定解析式中的未知系数的方法叫做________．
2．反比例函数图象上点的坐标都适合该函数的_________；反过来，坐标适合函数解析式的点都在______________．
二、自主探究
例题
例5、一辆汽车以80km/h的平均速度从甲地驶往乙地，用5h到达.
当汽车按原路返回时，如果规定该车限速120km/h，写出返回甲地所用的时间t与平均速度v的函数表达式，并画出它的图象；
如果汽车必须在4h内回到甲地，求返程时的平均速度的范围.
例6．某校对教室采用药熏法进行灭蚊.根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；药物燃尽后，y与x成反比例，已知药物点燃后8min燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为6mg
（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式；
（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式；
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？
三、课堂小结：
我学会了
我不明白的地方
四、随堂训练
1、市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)．
2、码头工人以每天30吨的速度往一轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间。
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v与卸货时间t之间函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，船上货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物？
3、一司机驾驶汽车从甲地到乙地，以60千米∕时的平均速度用8小时到达目的地。
（1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度v与时间t之间函数的关系。
（2）若该司机匀速返回用了7.5小时，求返回时的速度。5.1.1
函数与它的表示法
【学习目标】
1．通过实例，让学生进一步了解函数的概念和函数的三种表示方法：解析法．列表法．图像法．
2．能够恰当地运用函数的三种表示方法解决一些实际问题，初步培养将实际问题转化为数学问题的能力
【学习重难点】
函数的三种表示方法；
用适当的函数表示法刻画实际问题中变量之间的关系
【学习过程】
一、学习准备：
气温随着时间的变化而变化；在匀速运动中，路程随着时间的的变化而变化。你还记得气温和时间、路程和速度这两个变量之间是什么关系吗？
你还记得什么是函数吗？
在现实生活中，函数关系是处处存在的。你知道表示函数关系的方法通常有哪几种吗？
二、自主探究
1、问题导读：
用来表达函数关系的数学式子叫做____________或_____________．用数学式子表示函数的方法叫做___________．用表格表示函数关系的方法，叫做__________．用图象表示函数关系的方法，叫做_____________．
2、合作交流：
（1）、你能分别举出用三种方法表示函数的例子吗？
（2）、你认为用解析法．列表法和图像法表示函数关系各有哪些优点和不足？
（3）、用描点法画函数图象时用到了函数关系的哪几种表示方法？
3、精讲点拨：
（1）、思考：在每个问题中，哪是自变量；谁是谁的函数；当自变量的值确定后是否都相应地确定一个函数值；函数关系是用什么方式表示的。
（2）、用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。用数学式子表示函数的方法叫做解析法。用表格表示函数关系的方法，叫做列表法。用图象表示函数关系的方法，叫做图像法。
（3）、两个变量之间的函数关系，可以有不同的表示方法，上面的三种方法在解决具体问题时，都有着广泛的应用。
三、课堂小结：
1、谈一谈，这节课你有哪些收获？
2、对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
四、随堂训练
1．常用来表示函数的方法有_______法．_________法和________法．
2．正常人的体温一般在37℃左右，但一天中的不同时刻的体温不尽相同，如图是某天24小时内小莹体温T（℃）随时刻t（h）的变化情况：
这天_______时她的体温最高，_______时体温最低，12时的体温约是_________℃．
3．列车以90km/h的速度从A地开往B地．
（1）填写下表：
行驶时间x/h
1
2
3
4
5
行驶路程y/km
（2）写出y与x之间的函数解析式．
4．一辆汽车的油箱中现有汽油60升，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：升）随行驶里程x（单位：千米）增加而减少，若这辆汽车平均耗油量为0.2升/千米，则y与x之间的函数关系用图象表示大致是（
）5.7.2
二次函数的应用
【学习目标】
1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。
2、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
【学习重难点】
利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题
【学习过程】
一、学习准备：
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降价1元，就可以多售出200件。
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
（1）设销售量可以表示为
。
（2）设销售量可以表示为
。
（3）所获利润可以表示为
。
（4）当销售单价是
元时，可以获得最大利润，最大利润是
元。
二、自主探究
例：一名运动员掷铅球，铅球刚出手时，离地面的高度为，铅球运行距离地面的最大高度是3m，此时铅球沿水平方向行进了4m，已知铅球运行的路线是抛物线，求铅球落地时运行的水平距离。
分析：把实际问题转化为平面直角坐标系里的二次函数问题，并且把实际问题上的数字标记在平面直角坐标系里。
三、对应练习：
某男排队员站在发球区发球，排球向正前方行进，行进高度 y(m)与水平距离x(m)之间的函数解析式是。
求：①已知排球场地长18米，排球能否出界？
②当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？
③已知排球网距离发球点9米，网高2.43米，排球是否能打过网？
三、课堂小结：
通过本节课的学习，您学到了那些知识？
还有那些不明白的地方？
四、随堂训练
1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？
2．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；
（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）
（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；
（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？5.2.1
反比例函数
【学习目标】
1．从具体情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解．
2．经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念．
【学习重难点】
理解反比例函数的概念
【学习过程】
一、学习准备：
1、什么是一次函数？
2、一次函数有哪些性质？
二、自主探究
1．思考下列问题：
（1）校园中要划出一块面积为84m2的矩形土地作为花圃．设这个矩形的长为x（m），宽为y（m），写出y与x之间的函数解析式_______________________．
（2）甲、乙两地相距200km，一辆汽车从甲地驶往乙地．设汽车的平均速度为v（km/h），汽车行驶的时间为t（h），写出t与v之间的函数解析式为_________________________．
（3）已知两个实数的乘积为-10.如果设其中的一个因数为p，另一个因数为q，写出q与p之间的函数解析式为___________________________．
2．一般地，如果两个变量、之间的关系可以表示成____________（_________，________）的形式，那么称是的反比例函数，其中______表示自变量．
3．反比例函数的自变量的取值不能为________．
例题讲解：
1．写出下列问题中y与x之间的函数解析式，并判断是否为反比例函数．
（1）三角形的面积为36cm2，底边长y（cm）与该底边上的高x（cm）；
（2）圆锥的体积为60cm3,它的高y（cm）与底面的面积x（cm2）.
2．某县现有人口82万，人均占有耕地面积为0.125公顷．如果该县的总耕地面积不变，
（1）写出该县人均占有耕地面积y（公顷/人）与人口总数x（人）之间的函数解析式．它是反比例函数吗？
（2）当该县人口增加到100万时，人均占有耕地面积是多少公顷？
三、课堂小结：
1、谈一谈，这节课你有哪些收获？
2、对于本节所学内容你还有哪些疑惑？
四、随堂训练
1．下列函数中，是反比例函数的是（ ）
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
2．函数是（
）
（A）一次函数
（B）二次函数
（C）反比例函数
（D）正比例函数
3．已知某气体的质量为5kg，则其密度（kg/m3）与体积V（m3）之间的关系式为_______，是V的________函数．
4．若为反比例函数，则的值为_____________．
5．已知y与x成反比例，并且当x=3时，y=7.
（1）写出y与x之间的函数解析式；
（2）当x=1时，求y的值；
（3）当y=1时，求x的值．
