(共34张PPT)
不等式的基本性质
数学rj版 七年级下
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教学目标
课前回顾
等式的性质
1.等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立.
如果a=b,那么a±c=b±c
2.等式的两边都乘以（或除以）一个不为0的数，等式仍然成立.
如果a=b,那么ac=bc或 （c≠0）.
猜想：不等式也具有同样的性质吗？
教学目标
问题探究
1．用 > 或 < 符号填空：
（1) 5>3 , 5+2 3+2, 5-2 3-2
（2) -1<3, -1+2 3+2, -1-3 3-3
（3) 6>2, 6×5 2×5, 6×(-5) 2×(-5)
（4) -2<3, (-2)×6 3×6, (-2)×(-6) 3×(-6)
>
>
<
<
>
<
>
>
2．从以上练习中，你发现了什么规律？
（1）不等式的两边同时加（或减）同一个数，不等号的方向__________.
（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______________.
（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向______________.
不变
不变
改变
教学目标
探究结果
不等式 两边都加（或减去）同一个数 不等号方向
－3＜４
7+5 4+5
-3-7 4－7
不变
不变
７＞４
...
...
...
结论：不等式两边加(或减去)同一个数，不等号的方向 不变.
＞
＜
教学目标
验证结果
不等式 两边都乘（或除以）同一正数 不等号方向
-8＜４
7×5 4×5
-8÷2 4÷2
不变
不变
７＞４
...
...
...
结论：不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方 向不变.
＞
＜
教学目标
验证结果
不等式 两边都乘（或除以）同一正数 不等号方向
－8＜４
7×(-5) 4×(-5)
-8÷（-2） 4÷（-2）
改变
改变
７＞４
...
...
...
结论：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的 方向改变.
<
>
教学目标
验证结果
不等式的性质1
不等式的两边加（或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变.
字母表示为：如果a＞b，那么a±c b±c.
﹥
教学目标
讲授新课
不等式的性质2
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
字母表示为：如果a＜b,c>0那么ac bc，或
﹤
﹤
不等式的性质3
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
字母表示为：如果a＜b,c<0那么ac bc，或
>
>
性质1：不等式两边加( 减去 )同一个正数，不等号的方 向不变.
性质2：不等式两边乘( 或除以 )同一个正数，不等号的 方向不变.
性质3：不等式两边乘( 或除以 )同一个负数，不等号的 方向改变.
教学目标
讲授新课
不等式性质
等式 不等式
基本性质1
基本性质2
基本性质3
若a＜b，b＜c，则a＜c
如果a＞b,那么
a+c＞b+c，a-c＞b-c
如果a=b,那么a+c=b+c,a-c=b-c
若a=b,b=c,则a=c
等式与不等式的基本性质的区别与联系
教学目标
例题讲解
例1: 利用不等式的性质解下列不等式：
(1) x-7＞26； (2) 3x<2x+1；
(3) x＞50； (4) -4x＞3.
解未知数为x的不等式
化为x＞a或x﹤a的形式
目标
方法：不等式基本性质1、2、3
思路：
解：根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的 方向不变,得
x-7+7﹥26+7，
即x﹥33.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
33
(1) x-7＞26
解：根据不等式的性质1，不等式两边都减去2x，不等
号的方向不变，得：
3x-2x﹤2x+1-2x
即x﹤1
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
0
1
(2) 3x<2x+1；
解：根据不等式的性质2，不等式的两边都乘以不等号的方向不变，得
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
0
75
(3) x＞50
x＞50×
即x＞75
解：根据不等式的性质3，不等式两边都除以-4，不等号的方向改变，得
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
－
4
3
0
(4) -4x＞3
即x
例2：
解：不等式两边同时乘以12，得
2(5x+1)-2×12>3(x-5)
10x+2-24>3x-15
10x-3x>24-2-15
7x>7
X>1
去分母
拆括号
移项
合并同类项
系数化1
0
1
教学目标
例题讲解
教学目标
小结
解不等式
1.利用不等式性质解不等式；
2.解的过程类似于：解一元一次方程；
3.在去分母和化系数为1时，注意不等号的方向.
4.在数轴上表示解集应注意的问题：方向、空心或实心.
问题：一辆轿车在一条规定车速不低于60km/h，且不高于100 km/h的高速公路上行驶，如何用式子来表示轿车在该高速公路上行驶的路程s(km)与行驶时间x(h)之间的关系呢？
根据路程与速度、时间之间的关系可得：s≥60x，且s≤100x.
含“≤”“≥”的不等式
常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号：
关 键 词 语 第一类：明确表明数量 的不等关系 第二类：明确表明数量的范围特征 ①大 于 ②比…大 ③超 过 ①小 于 ②比…小 ③低 于 ①不小于 ②不低于 ③至 少 ①不大于 ②不超过 ③至 多 正 数 负 数 非 负 数 非
正
数
不 等 号
﹤
＞
≥
≤
＞0
﹤0
≥0
≤0
我们把用不等号（>,<,≥,≤,≠）连接而成的式子叫作不等式.其中“≥”读作大于等于,“≤”读作小于等于.
不等式的概念
教学目标
例题讲解
例3：某长方体形状的容器长5cm,宽10cm,容器内原有水的高度为3cm,现准备向它继续注水.用V(单位：cm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围.
解：新注入水体积V与原有水体积的和≤容器的容积，即
V+3×5×3≤3×5×10
解得V≤105
又由于新注入水的体积不能是负数，因此，V的取值范围是V≥0并且V≤105.
在数轴上表示V的取值范围如图：
在表示0和105的点上画实心圆点，表示取值范围包括这两个数.
0
105
利用不等式的性质解不等式的注意事项
2.要注意区分“大于” “不大于”“小于”“不小于”等数学语言的使用，并把这些表示不等关系的语言用数学符号准确地表达出来.
1.在运用性质3时,要特别注意：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，要改变不等号的方向.
不等式的传递性
教学目标
综合扩展
（1）10<20，20<60，则10 60.
（2）若a＜b，b＜c，则a c.
结论：若a＜b, b＜c, 则a＜c.
不等式的传递性.
<
<
教学目标
巩固提升
（1）若x+1>0，两边同加上-1，得_________
（依据： ）；
（2）若-x≤，两边同乘-3，得 ______.
（依据： ）.
x>-1
不等式的基本性质2
不等式的基本性质3
1.填空：
x≥-
2：你能用不等式的基本性质判断下列说法的正误吗？
教学目标
巩固提升
（1）如果a＞b，那么ac＞bc.
（2）如果a＞b，那么ac2＞bc2.
（3）如果ac2＞bc2，那么a＞b.
×
×
√ 因为c≠0，所以c2＞0.
当c≤0时，不成立.
当c=0时，不成立.
3.小希家距学校有2千米,而她的步行速度为每小时10千米.那么,小希若要8点之前到达学校，她上午几点从家里出发才能保证不迟到？
解：设小希上午x点从家里出发才，则：
答：小希上午7:48前时从家里出发才能不迟到.
≤8
解得x≤
教学目标
巩固提升
4.用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集.
（1）x的3倍大于或等于1；
（2）x与3的和不小于6；
教学目标
巩固提升
解：(1)3x≥1, 解集是x≥;
(2)x+3≥6, 解集是x≥3;
0
3
0
教学目标
巩固提升
5.如果关于x的不等式 (1-a)x>1-a 的解集为 x<1 ,那么请给出一个符合题意a的值.
解：由(1-a)x>1-a ，不等式两边同时除以 1-a ，得
x<1
∵不等号方向改变了，由不等式的性质3可知：
∴1-a<0,即a>1
∴可以取a=2
课堂小结
不等式的基本性质
不等式基本性质2
不等式基本性质3
→
→
如果
那么
如果
那么
不等式的基本性质1
如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c
→
不等式的传递性：若a＜b, b＜c, 则a＜c.
教学目标
课后练习
课本119页练习第1题；
课本120页第4、5、7题.
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9.12不等式的性质
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：90分钟）
一、选择题：（本大题7个小题，每小题5分，共35分）
1、若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A、x﹣3＞y﹣3 B、﹣3x＞﹣3y C、 x+3＞y+3 D、 ＞
2、已知a＜b，下列式子中，错误的是( )
A、4a＜4b B、－4a＜－4b C.、a＋4＜b＋4 D、a－4＜b－4
3、已知a>b，则下列不等式中不一定成立的是( )
A. a－2>b－2 B. a>b
C. －5a<－5b D. a2>ab
4、若a
1；③a＋bA. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
5、 若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（ ）
A．27 B．18 C．15 D．12
6、 5名学生身高两两不同，把他们按从高 ( http: / / www.21cnjy.com )到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A． B． C． D．以上都不对
7、下列命题正确的是（ ）
A、若a＞b，b＜c，则a＞c B、若a＞b，则ac＞bc
C、若a＞b，则ac2＞bc2 D、若ac2＞bc2，则a＞b
二、填空题：（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
8. 如果a＜b．那么3﹣2a 3﹣2b．（用不等号连接）
9. 设a＞b，则：
（1）2a 2b；
（2）（x2+1）a （x2+1）b；
（3）3.5b+1 3.5a+1．
10. 下边的框图表示解不等式 的流程，其中“系数化为 ”这一步骤的依据是 ．21cnjy.com
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11. 如果 且 是负数，那么 的取值范围是 ．
12． 若x＜﹣y，且x＜0，y＞0，则|x|﹣|y| 0．
二、综合题：（本大题4个小题，共45分）
13. （12分）把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式：
Ⅰ ； Ⅱ ；
Ⅲ ； Ⅳ ．
14.（10分）已知a，b，c是三角形的三边，求证：＋＋<2.
15.（10分）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示．
(1)求＋|b|－的值；
(2)比较a＋b，b＋c，c－b的大小，用“>”号将它们连接起来．
16.（13分） 阅读下列材料：
解答 “已知 ，且 ，，试确定 的取值范围”有如下解法：
解 ，
又 ，
．
．
又 ，
同理得：
由 得 ，
的取值范围是 ．
请按照上述方法，完成下列问题：
Ⅰ 已知 ，且 ，，则 的取值范围是 ．
Ⅱ 已知 ，，若 成立，求 的取值范围（结果用含 的式子表示）．
参考答案
选择题
B
B
D
C
【解析】 ①∵a∴a＋1②∵a，
即>1.
③∵a0，
∴a＋b④∵a0，
∴<，∴<.
A
【解析】解：∵a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
∴﹣2ab﹣2ac﹣2bc=a2+b2+c2﹣（a+b+c）2①
∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；
又（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2
=3a2+3b2+3c2﹣（a+b+c）2
=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2②
①代入②，得3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2=3×9﹣（a+b+c）2=27﹣（a+b+c）2，
∵（a+b+c）2≥0，
∴其值最小为0，
故原式最大值为27．
故选A．
B
【解析】解：∵3a+2b=2c+3d，
∵a＞d，
∴2a+2b＜2c+2d，
∴a+b＜c+d，
∴＜，
即＞，
故选：B．
由图可得：S>P,RQS，故选D.
D
填空题
>．
【解析】解：∵a＜b，
两边同乘﹣2得：﹣2a＞﹣2b，
不等式两边同加3得：3﹣2a＞3﹣2b，
故答案为：＞．
（1）2a＞2b；
（2）（x2+1）a＞（x2+1）b；
（3）3.5b+1＜3.5a+1．
【解答】（1）根据不等式的基本性质2，不等式两边乘同一个正数2，不等号的方向不变，即2a＞2b；
（2）根据不等式的基本性质1，不等式两边加同一个式子（x2+1），不等号的方向不变，所以（x2+1）a＞（x2+1）b；21世纪教育网版权所有
（3）a＞b即b＞a，不等式两边乘同一个正 ( http: / / www.21cnjy.com )数3.5，不等号的方向不变，不等式两边加同一个数1，不等号的方向不变，所以3.5b+1＜3.5a+1．21教育网
不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等式方向改变；（或不等式的基本性质）
>
【解答】∵x＜﹣y，且x＜0，y＞0，
∴|x|＞|y|，
∴不等式的两边同时减去|y|，不等式仍成立，
∴|x|﹣|y|＞0．
故答案是：＞
综合题
13、 （1）
（2）
（3）
（4）
( http: / / www.21cnjy.com )
14、【解】 由“三角形两边之和大于第三边”可知，
，，均是真分数，再利用分数与不等式的性质，得<＝，
同理，<，<.
∴＋＋<＋＋＝＝2.
15、【解】 (1)由图知，a＜0，b＜0，c＞0，a∴＋|b|－＝－b－＝1.
(2)c－b>b＋c>a＋b.
（1）x＞-1；
(2)x＜2；
(3)x≥6.
16、 （1）
（2） ，
，
，
，
，
，
同理得
由 得 ，
的取值范围是 ．
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