江苏省徐州市2016-2017学年高二下期中考试理科数学试题 Word版含答案

江苏省徐州市2016-2017学年高二下期中考试
理科数学试题
第Ⅰ卷（共70分）
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1.复数
．
2.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于”时，结论的否定是
．.
3.从1到10的正整数中,任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同情形的种数是
．(用数字作答).
4.由:①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形，写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为
．(写序号）
5.设：为纯虚数,且，则
.
6.观察下列各式:9-1=8,16-4=12，25-9=16，36-16=20，……，这些等式反映了自然数间的某种规律，设表示自然数，用关于的等式表示为
.
7.若，则的值为
．
8.现有一个关于平面图形的命题:如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为的正方体，若其中一个的某顶点恰好是另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为
.
9.用数学归纳法证明不等式成立，起始值应取为
．
10.用数学归纳法证明:,在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是
（用含有的式子作答).
11.某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课，要求数学课排在前3节，体育课不
排在第1节,则不同的排法种数为
.(用数字作答）
12.已知复数满足等式（是虚数单位）.则的最小值是
.
13.如图，小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动,小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半.如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点旋转了角，其中为小正六边形的中心，则
.
14.我们在学习立体几何推导球的体积公式时，用到了祖暅原理:即两个等髙的几何体，被等高的截面所截，若所截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.类比此方法:求双曲线与轴，直线及渐近线所围成的阴影部分(如图）绕轴旋转一周所得的几何体的体积为
.
二、解答题
（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.设复数（，，是虚数单位），且复数满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
⑴求复数；
(2)若为纯虚数(其中）,求实数的值.
16.阅读材料:根据两角和与差的正弦公式，有:，
，由得，令,,有，，代入得.
(1)利用上述结论，试求的值；
(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:.
17.已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为.
(1)求的值;
(2)求展开式中的常数项.
18.有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员.
19.(1)找出一个等比数列，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是的第几项;
(2)证明:
为无理数；
(3)证明:1,,4不可能为同一等差数列中的三项.
20.已知函数，，的图象恒过定点，且点既在的图象上，又在的导函数的图象上.
⑴求,的值；
(2)设,当且时，判断的符号，并说明理由；
(3)求证：
(且）.
试卷答案
一、填空题
1..
2.三个角全大于.
3.25.
4..
5..
6..
7.1
8..
9.8.
10..
11.312
12..
13.-1.
14..
二、解答题
15.解⑴设，由得：.①
又复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，则即.②.
由①②联立方程组,解得,或，，
，∴，.
∴.
⑵由,可得
,
为纯虚数，∴，
解得.
16.解（1）；
（2）因为，，
由得，
令,,有，，代入得.
17.解：⑴展开式的通项为，
∴展开式中第3项与第5项的系数分别为,,据题意得，
解得；
(2)∴展开式的通项为，
令得，
∴展开式中的常数项为.
18.解⑴第一步：选3名男运动员，有种选法.
第二步：选2名女运动员，有种选法.
共有(种)选法.
⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.
从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种.
所以“至少有1名女运动员”的选法有(种).
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有(种).
19.解（1)取首项为1，公比为，则，
则，，.
(2)证明：假设是有理数，则存在互质整数，，使得，
则,所以为偶数，设,为整数，则，所以也为偶数，
则，有公约数2,这与，互质相矛盾，
所以假设不成立，所以是有理数.
(3)证明：假设1，，4是同一等差数列中的三项，
且分别为第项且互不相等，
设公差为，显然，则，,
消去得，,
由都为整数，所以为有理数，
由（2)得是无理数，所以等式不可能成立，
所以假设不成立，即1，,4不可能为同一等差数列中的三项.
20.解⑴因为，所以恒过，所以，，所以,因为，,所以，即，；
(2)答：,即证且时，，异号；
因为,所以当时，，
因为,所以在单调递减，
又,所以，所以，
当时，，
因为，所以,所以,综上得证.
(3)由（2)知：当时，,
即，令，所以，
所以，，……，，
以上个式子相加，即得，
所以.
另法：（3）数学归纳法证明如下：
①时，左边,右边,左边-右边
∴左边>右边，所以，当时，不等式成立.
②假设当时，不等式成立，即成立.
那么，当时，左边，而右边，
要证：，即证：，
即证：,即证★，
由（2)知：当时，，且，所以，即，
∵∴∴★成立
所以，当时，不等式成立.
由①②知，（且）不等式成立.