陕西省黄陵中学高新部2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案

黄陵中学高新部2016-2017学年度第二学期期中考试
高一数学试题
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线(　　)
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，在平面α内
C．有两条，不一定都在平面α内
D．有无数条，不一定都在平面α内
2．三棱锥S ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)
A．EF与BC相交　　　
B．EF与BC平行
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
3．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的(　　)
A．至少有一条
B．至多有一条
C．有且只有一条
D．没有
4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线l：x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋2)2＝1
B．(x＋2)2＋(y－2)2＝1
C．(x－2)2＋(y－2)2＝1
D．(x－2)2＋(y－1)2＝1
5．面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为(　　)
A．πQ
B．2πQ
C．3πQ
D．4πQ
6．关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②m⊥α，n⊥β
且α⊥β，则m⊥n；
③m⊥α，n∥β
且α∥β，则m⊥n；
④m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是(　　)
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
7．平面直角坐标系中，直线x＋y＋2＝0的斜率为(　　)
A.　　　　　　　
B．－
C.
D．－
8．直线ax＋by＝1(a，b均不为0)与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A.ab
B.|ab|
C.
D.
9．已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则(　　)
A．若c＞0，则a＞0，b＞0
B．若c＞0，则a<0，b＞0
C．若c＜0，则a>0，b<0
D．若c<0，则a>0，b＞0
10．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D为垂足，以AD为折痕，将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：
①BD⊥CD；②BD⊥AC；
③AD⊥面BCD；④△ABC是等边三角形．
其中正确的结论的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
11．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(　　)
A．α内的所有直线均与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线均与a相交
D．直线a与平面α有公共点
12．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(　　)
A．都平行
B．都相交
C．在两平面内
D．至少和其中一个平行
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．A，B是直线l外两点，过A，B且与l平行的平面有________个．
14．圆x2＋y2－4x－2y－11＝0上的点到直线x＋y－13＝0的最大距离与最小距离之差是________．
15．在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
16．在长方体ABCD A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有________个．
三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求与点P(4,3)的距离为5，且在两坐标轴的截距相等的直线方程．
18．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0，直线l1：x－3y－3＝0.
(1)求证：不论m取何值，圆心必在直线l1上；
(2)与l1平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离．
19．(本小题满分12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
20．(本小题满分12分)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，点E是PD的中点．求证：
(1)AC⊥PB；
(2)PB∥平面AEC.
21．(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC＝CP＝2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD.
(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；
(2)若E是PC的中点，求三棱锥A PEB的体积．
22．(本小题满分12分)已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．
参考答案及解析
1.解析：如图所示，
因为l∥平面α，P∈α，
所以直线l与点P确定一个平面β，
α∩β＝m，
所以P∈m，所以l∥m且m是唯一的．
答案：B
2.解析：由线面平行的性质定理可知EF∥BC.
答案：
B
3.解析：直线a和该交点确定一个平面，由线面平行的性质得，此平面与平面α的交线与a平行，故至多有一条．
答案：4.解析：选A　可知C1(－1,
1)，直线l的斜率为1，设圆C2的圆心坐标为(a，b)，则kC1C2＝，线段C1C2的中点为.∵圆C2与圆C1关于直线l对称，∴线段C1C2被直线l垂直平分，∴有解得
∴圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，故选A.
解析：选B　设正方形边长为a，则a＝，S侧＝2π·a·a＝2πQ
6.解析：选D　对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，所以①是假命题；②是真命题；对于③，m⊥α，α∥β m⊥β，若n∥β，必有m⊥n，所以③是真命题，从而④是假命题，故选D.
7.答案：B
8.答案：D
9.答案：D
10.解析：选D　∵AD⊥BD，AD⊥CD，∴∠BDC是二面角B AD C的平面角．又平面ABD⊥平面ACD，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD，同时，AD⊥平面BCD,
BD⊥平面ACD，∴BD⊥AC，∵DA＝DB＝DC，
∴Rt△ABD、Rt△BCD、Rt△ACD全等，
∴△ABC是等边三角形，故①②③④均正确．
11.解析：若直线a不平行平面α，则a∩α＝A或a α，故D项正确．
答案：D
12.解析：若该直线不属于任何一个平面，则其与两平面平行；若该直线属于其中一个平面，则其必和另一个平面平行．
答案：D
13.解析：当直线AB与l相交时，有0个；当直线AB与l异面时，有1个；当直线AB∥l时，有无数个．
答案：0，1或无数个
14.解析：圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝16，圆心到直线的距离为d＝＝5，所以，圆上的点到直线的最大距离为5＋4，圆上的点到直线的最小距离为5－4，所以，
最大距离与最小距离之差是8.
答案：8
15.解析：过A作AE⊥BC于点E，则易知AE⊥面BB1C1C，则∠ADE即为所求，又tan∠ADE＝＝，故∠ADE＝60°.
答案：60°
16.解析：如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.
答案：3
17.解：设所求直线方程为y＝kx或＋＝1(a≠0)．
对于y＝kx,5＝，9k2＋24k＋16＝0，
解之得k＝－.
对于x＋y＝a,5＝，
解之得a＝7＋5或7－5.
故所求直线方程为y＝－x或x＋y－7－5＝0或x＋y－7＋5＝0.
18.解：(1)证明：将圆的方程化为标准方程为
(x－3m)2＋2＝25，
∴圆心是(3m，m－1)．
∵3m－3(m－1)－3＝0，
∴不论m取何值，圆心必在直线l1上．
(2)设与直线l1平行的直线l2的方程为x－3y＋b＝0(b≠－3)，
则圆心到直线l2的距离为d＝＝.
∵圆的半径r＝5，
∴当d＜r，即<5，
亦即－5－3当d＝r，即＝5，b＝－5－3或b＝5－3时，直线与圆相切；
当d＞r，即>5，b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离．
19.解：(1)当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，不符合题意；
当a≠－1时，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为a－2，因为l在两坐标轴上的截距相等，
所以＝a－2，解得a＝2或a＝0，
所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将直线l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，所以或
解得a≤－1.
综上所述，实数a的取值范围是{a|a≤－1}．
20.解：(1)由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC，又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，
所以AC⊥PB.
(2)连接BD交AC于点O，连接EO，则EO是△PDB的中位线，
所以EO∥PB.
又因为PB 面AEC，EO 面AEC，所以PB∥平面AEC.
21.解：(1)
证明：∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AD.
又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC，
∴ABCD是正方形，
∴AD⊥CD，
又PD∩CD＝D，故AD⊥平面PCD,
∵AD 平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PCD.
(2)∵AD∥BC，又BC 平面PBC，AD 平面PBC，
∴AD∥平面PBC，
∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离．
又∵PD＝DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC.
由(1)知有AD⊥平面PCD，∴AD⊥DE.
由题意得AD∥BC，故BC⊥DE.
于是，由BC∩PC＝C，可得DE⊥平面PBC.
∴DE＝，PC＝2，
又∵AD⊥平面PCD，
∴AD⊥CP，
∵AD∥BC，∴CP⊥BC，
∴S△PEB＝S△PBC＝×＝，
∴VA PEB＝VD PEB＝×DE×S△PEB＝.
22.解：直线AB的斜率kAB＝＝－，过点A(－5,0)，由点斜式得直线AB的方程为y＝－(x＋5)，即3x＋8y＋15＝0；同理，kBC＝＝－，kAC＝＝，直线BC，AC的方程分别为5x＋3y－6＝0,2x－5y＋10＝0.