课题：3.1用表格表示的变量间的关系
课型：新授课
年级：七年级
教学目标：
1.理解变量、自变量和因变量的概念，能从表格中获得变量之间关系的信息，并能对数据的变化趋势进行预测；
2．在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子．
3.自主学习，合作探究，学会用表格表示两变量对应关系的方法；感受数学来源于生活，应用于生活．
教学重点与难点：
重点：通过具体情境理解变量、自变量和因变量的概念，能从表格中发现变量之间的变化关系，并能用自己的语言描述出来．
难点：对表格中数据做出分析和预测，用变量之间变化的思想描述我们所生活的世界中的变化．
教师准备：多媒体课件．
学生准备：刻度尺，计时表．
教学过程：
创设情境，激情引入
活动内容：
同学们，你知道现在是什么季节吗？一年四季是有规律变化的．
春
夏
秋
冬
前一段时间大萌子和萌爸的三十年照片被晒在网上，这30张照片是一个北京姑娘1岁到30岁和爸爸的合影，从小到大，我的每一步都有爸爸陪伴，每张照片都有那一年的故事，触动心灵!儿女们茁壮成长，父母们日渐老去.真爱恒久：大萌子和萌爸的30张照片、一辈子恩情……
处理方式：通过上面的例子，我们感到：我们生活在一个变化的世界中．从数学的角度研究变化的量，讨论它们之间的关系，将有助于我们更好的了解自己、认识世界和预测未来，这也是我们第三章将要学习的变量之间的关系.
设计意图：通过具体生活的实例激发学生的学习兴趣，在学生熟悉的情境中自然的引入本章的内容，学生感到亲切、贴近生活，乐意去学习探究，又通过具体的情境，让学生对本章学习研究的内容有个大致地了解，目的性较强，直接指向本节课所要学习的内容.
二、合作交流，揭示概念
活动内容：小车下滑实验
1.直观感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系
下面我们来观察一个小车下滑试验：（课件出示）
王波学习小组利用同一块木板，测量小车从不同高度下滑的时间.
支撑物的高度不同，小车下滑的时间有怎样的变化？（如上图）
处理方式：课件演示小车从不同高度下滑的实验.讨论得出：
图1小车下滑的时间长，图4小车下滑的时间较短.从图1到图4，
随着支撑物的增高，小车下滑的时间逐渐变短.由于木板的长度不变，因此支撑物的高度越高，木板就越陡，小车下滑的时间就越短.
2.数据感知支撑物的高度与小车下滑时间的变化关系
小组根据试验得出如下数据：
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
根据上表中数据，你能回答下列问题吗？
（1）支撑物高度为70
cm时，小车下滑时间是多少？
（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑的时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
（3）h
每增加10cm，t
的变化情况相同吗？
（4）估计当h=110cm时，t
的值是多少？你是怎样估计的？
（5）随着支撑物高度
h
的变化，还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？
处理方式：先小组讨论后，汇报交流，通过表格中数据，进行适当的运算，通过观察分析这些计算结果，得出相应的结论，也是我们利用表格分析变化关系、预测变化趋势的一种常用的方法，我们要注意领会和使用.得出答案：
（1）支撑物高度为70
cm时，小车下滑时间是1.59
s.从表格中直接可以查出.
（2）t
随着
h
的增大而减少.支撑物的高度越高，下滑的时间就越短.支撑物的高度是有限制的，不能随意取值.
（3）h
每增加10cm，t
的变化情况不相同.我是通过计算得到的，h
每增加10cm，t
的变化量依次减少1.23
s、0.55
s、0.32
s、0.24
s、0.18
s、0.12
s、0.09
s、0.09
s、0.06
s.因此h
每增加10cm，t
的变化情况不相同的，但是随着h的变化，t
的变化量逐渐变小.（将t
的变化量展现出来）
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
（4）当h=110cm时，t
的值大约为1.30s；当h=110cm时，又比h=100cm又增加10cm，根据t
的变化量的变化趋势可以发现t
的减少量要小于0.06
s或着等于0.06
s，我估计t
的减少量为0.05
s比较合适，因此t
的值大约为1.35-0.05=1.30s.
（5）支撑物高度
h
的变化，小车下滑的速度也变化；小车滑下木板后跑的距离也在变化；小车滑下后撞击力也变化.
活动内容：3.揭示变量、自变量、因变量、常量等概念
在这个过程中既有不变的量，也有变化的量，而在变化的量中，由于其中一个量变化，造成另外一个量变化，因此我们把这些量给予适当的名称，请同学们看课本63页相关内容，明确各自的名称.
处理方式：看课本63页相关内容，明确变量、自变量、因变量、常量的意义.
在变化过程中，若有两个变量x和y,
其中y随着x
的变化而发生变化，我们就把x叫自变量，y叫因变量.始终不变的量叫做常量.
利用在变化过程中，两个变量的因果关系，确定自变量和因变量.
也就是说：借助表格，可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.
在利用表格表示变量之间的关系时，通常自变量在表格的第一行，而因变量则在第二行.
设计意图：为更好的感受变量之间的关系；通过小车下滑试验进一步积累感性认识，进一步体会在具体的情景中，变量之间的依存关系和变化关系，既能激起学生学习的兴趣，又为知识的直接概括积累感性材料，在此基础上通过学生看书自学，明确各自意义，再通过回扣前置试验巩固概念，符合学生的认知规律；最后点题，明确表格是表示变量之间关系的一种常用方法.
三、巩固训练，深化认识
活动内容：议一议.我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口数量/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
(1)上表反映了
和
两个变量；
是自变量，
是因变量.
(2)如果用
x
表示时间，y
表示我国人口总数，那么随着
x
的变化，y
的变化趋势是什么？
(3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？
处理方式：学生观察表格中的数据变化，发现变量的整体变化趋势；利用变量之间的因果关系，区分出自变量和因变量.通过计算人口总数的随年份的增加量，根据增加量得变化，得出人口总数随时间的变化关系.讨论交流后回答(1)
年份，我国人口数量；年份是自变量，人口总数是因变量；(2)随着的变化，的变化趋势整体在增长；(3)
从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口增长幅度呈现先快后慢.
跟踪练习：指出下列实例中自变量与因变量
1.今天早上一起床，我就到厨房烧上了一壶水，10分钟后，水烧开了.
2.同学们早上从家到学校
3.随着时间推移，汽车在行驶中的剩余油量减少.
处理方式：学生口答：1.自变量：时间
因变量：水的温度2.
自变量：时间
因变量：距学校的距离3.
自变量：时间
因变量：剩余油量.
设计意图：及时练习巩固，加深变量、自变量、因变量的概念理解.
四、变式训练，巩固提高
1.研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
氮肥施用量(kg/km2)
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量（t）
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？
哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当氮肥的施用量是101kg/km2时，土豆的产量是多少？
如果不施氮肥呢？
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由.
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
2.婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍；6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍.
（1）上述的哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？
（2）某婴儿在出生时的体重是3.5kg，请把他在发育过程中的体重情况填入下表：
年龄
刚出生
6个月
1周岁
2周岁
6周岁
10周岁
体重/kg
3.心理学家发现，学生对概念的接受能力
y
与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下的关系（其中0≤x≤30）
时间x（分）
2
5
7
10
12
13
14
17
20
接受能力（y）
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
(1)表中反映了哪两个变量之间的关系？
哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念的时间是多少时，学生的接受能力最强？
(4)从表中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
处理方式：先小组讨论后，汇报交流，得出答案：
1.观察表格中的数据变化，得到自变量所对应的因变量的值；通过变量之间的变化趋势，估计预测施肥量.
【答案】(1)施肥量，土豆产量；施肥量是自变量，土豆产量是因变量；(2)32.29吨，15.18吨.(3)250
kg/km2，根据施肥量的变化幅度与土豆产量的变化幅度进行估计.
:2.根据题意体重与年龄的倍数关系进行计算.
【答案】(1)年龄，体重；年龄是自变量，体重是因变量；(2)依次填：3.5，7.0，10.5，14.0，21.0，31.5.
3.观察表格中的数据变化，发现变量的变化关系和变化趋势.
【答案】(1)
提出概念的时间，学生的接受能力；提出概念的时间是自变量，学生的接受能力是因变量；(2)59；(3)大约13分钟；(4)2~13分钟，接受能力逐渐增强，13~20分钟，接受能力逐渐降低.
设计意图：针对不同的问题情境，使学生感受到变量之间的依赖关系和变化关系，理解变量、自变量、因变量的概念，能根据表格的数据，对变量进行分析和预测，达到掌握知识的目的；新颖的问题情境，图文并茂的呈现方式，能够不断吸引学生积极地参与学习；简单口述，既能训练学生的思维能力和语言表达能力，又可以节省时间，起到提高学习效率的作用.
五、课堂小结，反思提升
活动内容：本节课我们重点学习了哪些知识？你还有什么困惑？
处理方式：1.本节课主要学习了变量之间的关系，用表格表示的变量间关系，知道了变量、自变量、因变量、常量的意义，能在具体的问题中正确地进行区分，根据表格中数据的变化感受变量之间的关系，并依据这种变化关系进行分析、预测、估计.2.
数学思想方法：
（1）.观察归纳猜想；（2）.样本估计总体
由特殊到一般；（3）.变量符号化
转化思想
设计意图：能够准确把握本节课所学习的知识，并能对自己的课堂表现进行评价，一方面加深知识的理解和掌握，另一方面，为学生形成良好的学习习惯奠定基础，本节的知识较为简单，重点进行学生个性的张扬、能力的展示和语言表达能力的培养.
六、当堂达标，反馈矫正
1.下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价幅度的变化，日销量（单位：件）也随之发生变化：
降价（元）
5
10
15
20
25
30
35
日销量（件）
718
787
845
895
937
973
1000
在这个表中反映了
个变量之间的关系， 是自变量， 是因变量.
2.小红帮助妈妈预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4
月份连续8天早晨电表显示的读数：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
电表读数（度）
21
24
28
33
39
42
46
49
（1）表中反映的自变量是 ，因变量是 ；
（2）估计小红家4
月份每天用电量是 度；
（3）若每度电的电费是0.6元，估计她家4
月份（按30天算）应交的电费是_________元.
处理方式：学生独立完成后，集体订正.
设计意图：进一步巩固了本节的知识,使学生继续保持积极学习的热情.
对各种不同情境的变量之间的关系进行感知和理解，在掌握知识的同时，增强分析问题和解决问题的能力.
七、布置作业，巩固提高
必做题：课本
第63页
习题4.1
第1、2题．
选做题：课本
第64页
习题4.1
第4、5题．
设计意图：分为必做题与选做题，让不同的学生得到不同的发展，体会到不一样的成功，必做题巩固本节所学知识，形成基本技能，选做题是对基础知识的拓展延伸，以备学用有余力的学生提高之需,作业分层次布置，尊重了学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，让“不同的学生在数学上得到不同的发展”．
板书设计:
3.1
用表格表示的变量间的关系
投影区
小车下滑试验数据表格
3.
概念：自变量变量因变量常量
学
生
练
习
区
1.23
0.55
0.32
0.24
0.18
0.12
0.09
0.06
0.06
？(共24张PPT)
3.1用表格表示的变量间的关系
北师大版七年级数学下册
秋
冬
创设情境，激情引入
夏
春
大萌子和萌爸三十年的父女照
我们生活在一个变
化的世界中,很多东西
都在悄悄地发生变化.
从数学的角度研究它们之间的关系，将有助于我们更好地认识世界，预测未来，那就让我们一起来揭开变化的新篇章吧…
数学与生活
1.理解变量、自变量和因变量的概念，能从表格
中获得变量之间关系的信息，并能对数据的变化
趋势进行预测；
2.自主学习，合作探究，学会用表格表示两变量对应关
系的方法；
3.激情投入、全力以赴，感受数学来源于生活，应用于
生活.(数学引领科技，科技创新未来)
学习目标：
小车下滑实验
20
0
40
60
80
100
单位:cm
支撑物高度/厘米
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/秒
王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间.
他们得到如下数据：
合作探究，揭示概念
4.32
3.00
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
2.45
1.41
1.35
下面是实验得到的数据：
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
（2）如果用h（厘米）表示支撑物高度，t（秒）表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？
4.23
1.35
1.41
1.50
1.59
1.71
1.89
2.13
2.45
3.00
根据上表回答下列问题：
支撑物高度
(厘米)
小车下滑时间
(秒)
h
t
1.23
0.55
0.32
0.24
0.18
0.12
0.09
0.09
0.06
随着h逐渐变大，t越来越短.
（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是————秒.
1.59
不相同.
h每增加10厘米，
t的变化越来越小.
（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少.你是怎样估计的？
1.35秒到1.29秒之间.
他们得到如下数据：
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
1.35
1.41
1.50
1.59
1.71
1.89
2.13
2.45
3.00
支撑物高度/cm
（5）随着支撑物高度h的变化，哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？
下滑的时间t会发生变化，小车下滑的路程没有发生变化.
20
0
40
60
80
100
单位:cm
O
A
B1
A1
B2
A2
∠ABO与小车的速度发生了变化
∠AOB与木板长度不变
B
变
量
1.自变量是在一定范围内主动变化的量.
2.因变量是随自变量变化而变化的量.
自变量
因变量
主动变化的量
被动变化的量
在变化过程中，若有两个变量x和y,
其中y随着x
的变化而发生变化，我们就把x叫自变量，y叫因变量.始终不变的量叫做常量.
3.表格可以表示因变量随自变量变化而变化的情况，还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测.
探索理解
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下：
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
时间
/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口数
量/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
议一议：
随着x的增加，y也增加.
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口数
量/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
议一议：
(2)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？
从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口大约增加1.5亿左右，但最后10年的增加量大约只有0.76亿.
1.3
1.35
1.68
1.32
1.52
0.76
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下：
在表2中，我国人口总数y随时间x的变化而变化，x是
，y是
.
借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况.
在表格里，通常把自变量放在上（或左）面，把因变量放在下（或右）面.
自变量
因变量
巩固训练，深化认识
指出下列实例中自变量与因变量
1.今天早上一起床，我就到厨房烧上了一壶水，10分钟后，水烧开了.
2.同学们早上从家到学校.
自变量：时间
因变量：水的温度
自变量：时间
因变量：距学校的距离
3.随着时间推移，汽车在行驶中的剩余油量减少.
自变量：时间
因变量：剩余油量
1．研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？
施用量
/千克
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产
量/吨
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
知识应用，巩固提高
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由.
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
施用量
/千克
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产
量/吨
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
年龄
刚出生
6个月
1周岁
2周岁
6周岁
10周岁
体重/kg
2.婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍；6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍.
（1）上述的哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？
（2）某婴儿在出生时的体重是3.5kg，请把他在发育过程中的体重情况填入下表：
时间x（分）
2
5
7
10
12
13
14
17
20
接受能力（y）
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
59.8
58.3
55
3.心理学家发现，学生对概念的接受能力
y
与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下的关系（其中0≤x≤30）
(1)表中反映了哪两个变量之间的关系？
哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
(3)根据表格中的数据，你认为提出概念的时间是多少时，学生的接受能力最强？
(4)从表中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
数学思想方法：
1.观察归纳猜想；
2.样本估计总体
由特殊到一般；
3.变量符号化
转化思想
课堂小结，反思提升
1.下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价幅度的变化，日销量（单位：件）也随之发生变化：
降价（元）
5
10
15
20
25
30
35
日销量（件）
718
787
845
895
937
973
1000
在这个表中反映了
个变量之间的关系，
是自变量， 是因变量.
两
每件商品的降价
日销量
当堂达标，反馈矫正
2.小红帮助妈妈预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4
月份连续8天早晨电表显示的读数：
（1）表中反映的自变量是 ，因变量是 ；
（2）估计小红家4
月份每天用电量是 度；
（3）若每度电的电费是0.6元，估计她家4
月份（按30天算）应交的电费是_________元.
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
电表读数（度）
21
24
28
33
39
42
46
49
日期
电表读数
4
72
必做题：课本
第63页
习题3.1
第1、2题.
布置作业，拓展延伸
选做题：课本
第64页
习题3.1
第4、5题.
