(共19张PPT)
第三章
变量之间的关系
3.2用关系式表示的变量间关系
随着手机的普及，现代人们的通信越来越便捷．
（1）你能说出表格中的两个变量哪一个是自变量，哪一个是因变量吗？
（2）随着通话时间的增加，通话费用是如何变化的？
（3）如果用字母
x
表示通话时间，用字母
y
表示通话费用，你能用字母表示它们之间的关系吗？
打电话要交话费，下表是某同学家长调取几次通话时间的通话费用：
通话时间（分钟）
1
2
3
4
5
6
通话费用（元）
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
三角形ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，仔细观察三角形面积的变化.
D
B
C
A
变化的三角形
(1)三角形ABC变化的过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)如果三角形的底边长为
x（cm），那么三角形的面积
y（cm
2）可以表示
.
（3)
当底边长从12
cm
变化到3
cm时，三角形
的面积从
cm
2变化
到
cm
2.
36
9
思考：三角形的底边每减少1cm，其面积是如
何变化的呢？
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
x(cm)
y(cm3)
15
18
21
24
27
30
33
36
9
12
y=3x表示了
和
之间的关系，它是变量ｙ
随
x
变化的关系式.
关系式是我们表示变量之间
关系的另一种方法.
利用关系式(如y=3x)，我们可
以根据任何一个自变量值求出相
应的因变量的值.
三角形底边长x
三角形面积y
表格和关系式都可以表示两个变量间的关系，各有优缺点，又存在着联系.
优点
缺点
二者关系
表格
关系式
直观反映两个变量部分数值的对应关系及变化趋势.
变量的取值个数有限，估计时比较粗略.
准确反映两个变量间的关系；已知一个变量的值，可以求出另一变量的值.
变量间的对应关系不太直观.
1.利用表格可以写出关系式;
2.利用关系式可以列表格.
如图，圆锥的高度是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化.
(1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)如果
为r
cm，那么
vcm3与r
的关系式为
．
(3)当底面半径由1cm变化
到10cm时，圆锥的体积
由
cm3变化
到
cm3．
圆锥的底面半径
圆锥的体积
你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式.
（1）用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为_______,
其中的字母表_________.
（2）在上述关系式
中，耗电量每增加
1KW·h，二氧化碳
排放量增加______,
当耗电量从1
KW·h
增加到100
KW·h时，
二氧化碳排放量从
____增加到______.
（3）小明家本月用电大约110
KW·h、天然气20m3、自来水5t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1KW·h，二氧化碳排放量增加______,当耗电量从1
KW·h增加到100
KW·h时，二氧化碳排放量从____增加到______.
1．从A地向B地拨打国际长途电话3分钟内（包括3分钟）收费8元，以后每增加1分钟加收2元，当通话时间
分钟时，电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式为（ ）.
C.
A.
B.
D.
2、在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）
的关系可以近似地用
来表示，根据这个关系式，当d的值分别是
200，400，600，800，1000时，
计算相应的T值，并用表格表
示所得结果.
3．地表以下岩层的温度y
(℃)随着所处深度x(km)的变化而变化（如图），在某个地点y与x之间的关系
可以近似地用关系式
来表示，当
x的值分别是2，3，5，
7，10，13时，计算相
应的y值.
同学们经过本节课的学习你有哪些收获？
(1)涉及到图形的面积或体积时，写关系式是利用面积或体积公式写出等式；
(2)关系式一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等式的右边;
(3)已知一个变量的值求另一个变量的值时，就是代入关系式求值，一定要分清自变量还是因变量．
2cm
1.如图,圆柱的底面半径为2cm,当圆柱的高由小到大变化时,圆柱的体积也发生了变化.
(1)在这个变化过程中,自变量是______，因变量是______．
(2)如果圆柱的高为x(cm),圆柱的体积V(cm3)与x的关系式为_____．
(3)当圆柱的高由2cm变化到4cm
时,圆柱的体积由_______cm3
变化
到_______cm3．
(4)当圆柱的高每增加1cm时,它
的体积增加________cm3．
10
2
20
2.将若干张长为20cm、宽为10cm的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm．
（1）求4张白纸粘合后的总长度；
（2）设x张白纸粘合后的总长度为
y
cm，写出y与x之间的关系式；
（3）当x=20时，求y的值.
必做题：课本P85
习题3.2
第2、3题．
选做题：课本P85
习题3.2
第4题．课题：3.2 用关系式表示的变量间关系
教学目标：
1．经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感．
2．能根据具体情况，用关系式表示某些变量之间的关系，初步感受模型思想．
3．能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系．
教学重、难点：
重点：1．找问题中的自变量和因变量．
2．根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系．
难点：根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系．
课前准备：制作多媒体课件．
教学过程：
一、创设情境，引入新课
活动内容：
随着手机的普及，现代人们的通信越来越便捷．
打电话要交话费，下表是某同学家长调取几次通话时间的通话费用：
通话时间（分钟）
1
2
3
4
5
6
通话费用（元）
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
（1）你能说出表格中的两个变量哪一个是自变量，哪一个是因变量吗？
（2）随着通话时间的增加，通话费用是如何变化的？
（3）如果用字母表示通话时间，用字母表示通话费用，你能用字母表示它们之间的关系吗？
处理方式：通过熟悉的事物让学生回顾上节所学，理解变量、自变量、因变量、常量等概念；看懂表格，准确得出信息，独立完成解答.
[板书课题：3.2用关系式表示的变量间关系]
设计意图：手机是现代生活中最常见的通信工具，通过这个情境更能够激发学生的学习兴趣，复习了上节课用表格表示变量间的关系，引出了关系式的概念并进行了简单的应用，让学生初步经历了用关系式表示变量间关系，培养学生学习数学、应用数学的意识．
二、合作学习，探究新知
活动内容1：变化的三角形
三角形ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在直线向点B运动时，仔细观察三角形面积的变化.
（1）三角形ABC变化的过程中，自变量、因变量各是什么？
（2）如果三角形的底边长为
x（cm），那么三角形的面积
y（cm
2）可以表示为
________
（3）
当底边长从12
cm变化到3
cm时，三角形的面积从_____
cm
2变化到_____
cm
2.
(cm)
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
(cm2)
处理方式：鼓励学生大胆去讨论、思考、尝试，教师及时点拨、评价学生探索的结果，帮助学生认识自我，建立信心.
y=3x表示了三角形底边长x和三角形面积y
之间的关系，它是变量y随x变化的关系式.
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法，利用关系式（如y=3x），我们可以根据任何一个自变量值求出相应的因变量的值.
设计意图：利用多媒体课件展示三角形的变化，给学生以直观地感受两个变量，引导学生对关系式进行猜测、探究，提高学生兴趣，帮助学生提高信心．利用关系式计算并进行填表让学生体会关系式的优点：字母的广泛性，感受自变量和因变量的数值对应关系.
活动内容2：表格和关系式对比
表格和关系式都可以表示两个变量间的关系，各有优点.具体见表格：
优点
缺点
二者关系
表格
直观反映两个变量部分数值的对应关系及变化趋势.
变量的取值个数有限，估计时比较粗略.
利用表格可以写出关系式;利用关系式可以列表格.
关系式
准确反映两个变量间的关系；已知一个变量的值，可以求出另一变量的值.
变量间的对应关系不太直观.
处理方式：加强师生，生生，组内，组间的交流合作.
设计意图：运用表格填写具体的数据，让学生体会到自变量和因变量的数值对应关系，通过对三角形的面积和底边的变化规律的探索，让学生体会到
“关系式”表达变量间的变化关系的优势，形象直观的多媒体动画“机器图”，更让学生联想到关系式好比数字处理器.
三、变式训练，拓展应用
活动内容1：做一做
如图，圆锥的高是4cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
(2)如果圆锥的底面半径为r（cm），那么圆锥的体积v（cm3）
与的关系式为 ．
（3）当底面半径由1cm变化到10cm时，圆锥的体积由 cm3变化到 cm3．
处理方式：学生分小组进行探究活动，完成三个问题后在小组内进行交流、讨论．教师巡视指导学生解答，及时进行指导，提示圆锥体积公式，最后公布答案.
设计意图：在三角形面积探索的基础上，进行圆锥体积变化的探索，进一步熟悉用关系式表达变量之间的关系.
活动内容2：议一议
你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式.
（1）用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式为______
___,
其中的字母表示___________________.
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1KW·h，二氧化碳排放量增加___________,当耗电量从1
KW·h增加到100
KW·h时，二氧化碳排放量从_______增加到________.
（3）小明家本月用电大约100
KW·h、天然气20m3、自来水5t、耗油50L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量.
处理方式：学生观察图形中的排碳计算公式，熟悉等量关系和单位，可能对低碳生活有新的认识.
设计意图：“低碳生活”对于七年级的学生来说还很陌生，通过对“低碳生活”的知识学习，不仅拓展了学生的知识视野，也发展了学生数学表达的能力，如用字母表示变量，把语言表示转化为关系式等，同时也发展了学生的社会责任感.跟踪练习的设置，不仅是对关系式表示变量间的练习，也丰富了学生的知识，更为学生对比表格法和关系式法表示变量间的关系提供了例子.
四、当堂训练，巩固提高
1．从A地向B地拨打国际长途电话3分钟内（包括3分钟）收费8元，以后每增加1分钟加收2元，当通话时间分钟时，电话费y（元）与通话时间t（分钟）之间的关系式为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以近似地用来表示，根据这个关系式，当d的值分别是0,200,400,600,800,1000时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果.
3．地表以下岩层的温度y
(℃)随着所处深度x(km)的变化而变化（如图），在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式来表示，当x的值分别是2，3，5，7，10，13时，计算相应的y值．
设计意图：进一步领会用关系式表示变量间关系的便利，感受表格法与关系式法之间的联系，加强实际应用，巩固本节课所学.
五、课堂小结，反思升华
1.我们一共学习了哪些方法来表示变量间的关系？
2．对比一下这两种方法，它们各自在表示变量关系时有哪些优点和缺点？
3.本节课你还有什么收获？
（1）涉及到图形的面积或体积时，写关系式是利用面积或体积公式写出等式；
（2）关系式一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边，含有自变量的代数式写在等式的右边；
（3）已知一个变量的值求另一个变量的值时，就是代入关系式求值，一定要分清自变量还是因变量．
设计意图：通过对比两种方法表示变量间的关系，总结归纳每种方法的优点和缺点，加深了学生对这两种方法表示变量间的关系的理解，对所学内容及时地回顾，有利于知识系统化，发展学生的辩证唯物主义．
六、达标检测，评价矫正
1.如图,圆柱的底面半径为2cm,当圆柱的高由小到大变化时,圆柱的体积也发生了变化.
(1)在这个变化过程中,自变量是______，因变量是______．
(2)如果圆柱的高为x(cm),圆柱的体积V(cm3)与x的
关系式为_____．
(3)当圆柱的高由2cm变化到4cm时,圆柱的体积
由_______cm3
变化到_______cm3．
(4)当圆柱的高每增加1cm时,它的体积增加________cm3．
2.将若干张长为20cm、宽为10cm的长方形白纸，按下图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm．
（1）求4张白纸粘合后的总长度；
（2）设x张白纸粘合后的总长度为ycm，写出y与x之间的关系式；
（3）当x=20时，求y的值.
设计意图：列关系式是今后学习函数的基础，用关系式表示变量之间的关系是由特殊到一般的飞跃，是实际问题转化为数学问题的具体反映.
七、布置作业，课外延伸
必做题：课本P85
习题3.2
第2、3题．
选做题：课本P85
习题3.2
第4题．
设计意图：分为必做题与选做题，让不同的学生得到不同的发展，体会到不一样的成功．课下将所学知识进一步巩固，并得以反馈．
板书设计:
4.2用关系式表示的变量间关系
表示变量间的关系的方法：1、表格2、关系式
关系式应注意问题：1、2、3、
投影区
学生活动区
学生活动区
学生活动区
2cm
10
2
20
