陕西省宝鸡市金台区2016-2017学年高二下学期期中考试数学理试题

金台区2016-2017学年高二期中质量检测试题（卷）
理科数学　2017.4
本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题.
满分150分，考试时间100分钟.
第一部分（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是
（　　）
A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至多有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°
2.①是一次函数；②的图像是一条直线；③一次函数的图像是一条直线.写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是(　　)
A.②①③
B.③②①
C.①②③
D.③①②
3.右图中阴影部分的面积用定积分表示为(　　)
A.
B.
C.
D.
4.命题甲：在区间内递增；命题乙：对任意，有.则
甲是乙的（
）
A.充分不必要条件
　B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要
5.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…
若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个
数是（
）
A.12
B.13
C.14
D.15
6.若复数的实部与虚部互为相反数，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
7.利用数学归纳法证明…且）时，第二步
由到时不等式左端的变化是（　　）
A.增加了这一项
B.增加了和两项
C.增加了和两项，同时减少了这一项
D.以上都不对
8.设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范
围为，则点横坐标的取值范围为（　　）
A.
B.
C.
D.
9.函数在定义域内可导，其图像如下图所示．记的导函数为，则不等式的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
10.已知，
则等于（　　）
A.4
B.﹣2
C.0
D.2
11.函数的定义域为，导函数在内的图像如下图所示，则函数
在内有（　　）极大值点.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.设是上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（
）
A.
B.
C.
D.
第二部分（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
13.如果复数为纯虚数，那么实数的值为
；
14.
；
15.定义一种运算如下：，则复数的共轭复数是________;
16.在中，是的中点，则，将命题类比到四面体中去，得到一个类比的命题为
.
三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分16分）
在数列中，，，求、、的值，由此猜想数列
的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
18.（本小题满分16分）
设函数，其中.已知在处取
得极值．
（1）求的解析式；
（2）求在点处的切线方程．
19.（本小题满分17分）
（1）求证：
.
（2）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式．
20.（本小题满分17分）
若函数，当时，函数有极值.
（1）求函数的解析式；
（2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．
高二理科数学选修2－2期中质量检测题答案2017.04
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
B
C
C
C
D
A
B
B
C
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.
13．2
14．
15.
16.在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)
三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分16分）
解:　a1＝＝，a2＝，a3＝，a4＝，……6分
猜想an＝，下面用数学归纳法证明：……8分
①当n＝1时，a1＝＝，猜想成立．……10分
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时猜想成立，
即ak＝.
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝＝，……14分
所以当n＝k＋1时猜想也成立，
由①②知，对n∈N
，an＝都成立．……16分
18．（本小题满分16分）
解:　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.
……4分
∵f(x)在x＝3处取得极值，
∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，……6分
解得a＝3.
∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.
……8分
(2)A点在f(x)上，
由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，……11分
f′(1)＝6－24＋18＝0，……13分
∴切线方程为y＝16.
……16分
19.
(本小题满分17分)
（1）证明：要证明成立，
只需证明，……3分
即，
即……7分
从而只需证明
即,这显然成立.
这样，就证明了
……9分
（2）解：①选择(2)式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°
＝1－sin30°
＝1－＝.……14分
②三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.……17分
20.
(本小题满分17分)
解：　f′(x)＝3ax2－b.
……2分
(1)由题意得，……4分
解得，……6分
故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.
……7分
(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
……10分
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2)
－2
(－2,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
?
－
?
……13分
因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，……15分
所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图像大致如右图所示．
若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图像有3个交点，
所以－