课题：4.
5利用三角形全等测距离
课型：新授课
年级:七年级
教学目标：
1．能利用三角形的全等解决实际问题．
2．通过让学生体会教科书中提供的情境，明白战士的具体做法，并尝试思考其中的道理，体会数学与实际生活的联系．
3．通过生动、有趣、现实的例子激发学生的兴趣，引发他们去思考，并能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达．
教学重点与难点：
重点：能利用三角形的全等解决实际问题．
难点：能在利用三角形全等解决实际问题的过程中进行有条理的思考和表达．
课前准备：
教师准备：多媒体课件．
教学过程：
一、复习回顾，搭建桥梁
活动内容：请完成下列各题．
1．要证明两个三角形全等应有哪些必要条件？
2．已知：如图AC、BD相交于O，OA=OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD，并说明理由．
处理方式：根据前面所学习的内容，学生可以回答出“SSS”
“SAS”“ASA”“AAS”，添加条件是全等的灵活应用．
设计意图：通过全等三角形的有关知识的提问，可以温习与本节有关的知识，巩固旧知识，同时也是本节课的理论基础．
二．创设情景，引入新课
活动内容：一位经历过战争的老人讲述的一个故事
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离．由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功．
你想知道聪明的战士用的是什么方法吗？能解释其中的原理吗？
处理方式：利用音频读出这则真实的故事，使学生带着好奇心进入本课的学习．
设计意图：用真实的故事引入新课，体现了三角形全等在生活中的广泛应用，适时的提问，激发了学生的求知欲和好奇心．
三、目标导向，探究学习
活动内容1：测碉堡的距离
这位聪明的八路军战士的方法如下：
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离．你觉得他测的距离准确吗？
提问:（1）“调整帽子”“保持刚才的姿势”什么意思？
(2)小组模拟活动．
(3)根据活动，谈谈你对本题的理解．
(4)谁能说说这样做的理由吗？可以写一下．
处理方式：(1)学生读题，理解题意．
重点理解“调整帽子”“保持刚才的姿势”的数学意义．
“调整帽子”即可改变视角的大小，即角的大小，帽檐向上平移，视角变大，观察到的范围大；帽檐向下平移，视角变小，观察到的范围小．“保持刚才的姿势”即为保持视角不变，也就是∠CAD=∠CAB．
(2)（五人一组，在操场空地上模拟八路军战士测量距离．）
(3)战士的身高AH不变；战士与地面是垂直的(AH⊥BD)；视角∠HAD=∠HAB；战士要测的是敌碉堡(B)与我军阵地(C)的距离，战士的结论是只要按要求(如图)测得CD的长度即可得到CB的长度．
（4）谁能说说这样做的理由吗？可以写一下．
理由：在△AHB与△AHC中，
∴△AHB≌△AHC（ASA）
∴BH=CH（全等三角形的对应边相等）
学生板演，其余学生在练习本上作业．师巡视指导，帮助学习困难的学生解决问题．学生完成后互评．继而，教师引导学生总结利用三角形全等测距离的目的、依据、关键．
设计意图：让学生主动参与，积极思考，在操作过程中培养合作交流精神和严谨的学习态度．在鼓励学生的过程中，锻炼了他们的数学思考能力和语言表达能力，形成了良好的数学氛围．
活动内容2：测池塘两端的距离
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案解决此问题吗？画出设计图形．并用所学知识说明你设计方案的理由．
处理方式：（1）学生读题，理解题意．（2）教师提问：根据前面的经验，我们怎样解决呢？生：构造三角形全等，把A、B间的距离转化成容易测量的距离．（3）学生活动．师巡视了解，帮助学困生并寻找规范而且有特色的方案准备全班交流．（4）全班交流．
方案一：延长全等法
测量方案：先在地上任取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD=AC；连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，测得的DE的长度就是A、B间的距离．如图所示．
理由：
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC，（SAS）
∴AB=DE．（全等三角形的对应边相等）
处理方式：同学们你还有什么方案？把你的设计方案在图上画出来，并与你的同伴交流你的方案，看看谁的方案更便捷．
方案二：垂直全等法
测量方案：在AB的垂线AF上取两点C、D，使CD＝AC；过点D作AF的垂线DG，并在DG上取一点E，使点B，C，E在同一条直线上；这时测得DE的长，就是A、B间的距离．如图所示．
理由：连结B、C、E，
因为点B、C、E在同一条直线上，
所以∠ACB＝∠ECD，
因为AB⊥BD，DG⊥BD，
所以∠ABC＝90°＝∠GDC．
在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC(ASA)．
∴AB＝DE．（全等三角形的对应边相等）
方案三：垂直全等法
测量方案：派一名同学戴一顶太阳帽，在A点立正站好；让该同学自己调整帽子，使视线通过“帽檐”正好落在湖对面的B点；该同学转过一个角度，保持刚才的姿态，“帽檐”不动，这时再望出去，仍让视线通过“帽檐”，视线所落的位置为C点；连结AC，测出AC的长，就是A、B间的距离．如图所示．
理由：根据测量知：∠BDA＝∠CDA
因为DA⊥BC，
所以∠DAB＝∠DAC＝90°．
在△ADB和△ADC中
∴△ADB≌△ADC(ASA)．
∴AB＝AC．（全等三角形的对应边相等）
处理方式：各组讨论制定方案，完成后小组成员代表讲述画法和原理，全班选定最佳方案，教师作出鼓励性评价．
设计意图：通过本题练习，对利用三角形全等测距离的知识进行了深入探究，分析和总结，深化了学生对利用三角形全等测距离的理解．同时，
注重培养学生一题多解良好的学习习惯，使学生思维的广度、深度不断得到增强．
变式训练：已知：A，B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量A，B间的距离，请给出一个适合可行的方案，画出设计图，说明依据．
四、巩固练习，课堂实战
1．如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB
的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC的理由是(
)
A、SSS
B、ASA
C、AAS
D、SAS
2．如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO
应满足下列的哪个条件？（
）
A、AO=CO
B、BO=DO
C、AC=BD
D、AO=CO且BO=DO
3．如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离．
（1）在地上取一个可以直接到达A、B两点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO，请你能完成下面的图形？
(2)说明你是如何求AB的距离．
4．如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径．现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能想法帮助他完成吗？
参考答案：
1．B
2．D
全等三角形的应用．
3．（1）连接BO并延长到D，使BO=DO，连接CD．
（2）量出CD的长，则CD的长就是AB的距离．
理由:由作图可知BO=DO，已知AO=CO，由对顶角相等知∠AOB=∠DOC，根据SAS可以判断△AOB≌△DOC，所以AB=CD．
设计意图：对本节课的知识进一步深化学生对三角形全等知识的理解、巩固应用．提高学生的利用三角形全等知识解决生活中实际问题的能力．锻炼了学生思维能力和培养了学生举一反三、触类旁通的数学学习惯．在学生合作交流解决问题的过程中，培养学生合作学习的团队精神，提高了学生的语言表达能力．
五、总结串联，建构体系
通过这堂课的学习你有什么收获 知道了哪些新知识？学会了做什么？
……
设计意图：使学生知道数学与利用所学的数学知识，把生活中的实际问题转化为几何问题，知道运用数学建模的方法解决身边的实际问题，并体会其中的转化思想．
六、达标检测，评价矫正
A组：
1．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是
．
2．如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB=9cm，则容器的内径A′B′为
．
3．在一座楼相邻两面墙的外部有两点A、C，如图所示，请设计方案测量A、C两点间的距离．
B组：
4．如图，一池塘的边缘有A、B两点，试设计两种方案测量A、B两点间的距离．
参考答案：1．SAS
2．9cm
3．略
4．略
设计意图：一方面为了解学生对本节课所知识的掌握情况，同时也可以培养学生快速准确解答问题的能力．
七、布置作业，课后提升
必做题：课本P109
习题4．10
第1、2题．
选做题：请你找两个被建筑物或河流等隔开的物体，然后想办法测量这两个物体之间的距离，并说明利用什么数学知识或数学原理．
设计意图：课下将所学知识进一步巩固，并得以反馈．学生通过户外活动，进一步增强应用意识与运用数学知识解决实际问题的能力，体会数学与实际生活的密切联系．
板书设计:
4．5
利用三角形全等测距离
探究一：测碉堡的距离
探究二：测池塘两端的距离
投影区
学
生
活
动
区
B
A
●
●
D
C
E
F
第1题图
O
D
C
B
A
第2题图
第1题图
第2题图
第3题图(共21张PPT)
４.５
利用三角形全等测距离
北师大版七年级数学下
复习回顾
1.要证明两个三角形全等应有哪些必要条件？
（1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等.
（2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三
角形全等.
（3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个
三角形全等.
（4）“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三
角形全等.
2.已知：如图AC、BD相交于O，OA=OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD,并说明理由.
A
B
O
C
D
在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离．由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功．
一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：
这位聪明的八路军战士的方法如下：
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.
碉堡距离
步测距离
探究学习1
“调整帽子”“保持刚才的姿势”什么意思？
由战士所讲述的方法可知：战士的身高AH不变,战士与地面是垂直的(AH⊥BC);视角∠HAC=∠HAB，战士要测的是敌碉堡(B)与我军阵地(H)的距离,战士的结论是只要按要求(如图)测得HC的长度即可.(即BH=HC)
A
B(敌)
H(我)
(1)根据活动，谈谈你对本题的理解.
C
（2）请用所学的数学知识说明BH=CH的理由.
理由：在△AHB与△AHC中，
∠BAH=∠CAH，
AH=AH，
∠BHA=∠CHA，
△AHB≌△AHC（ASA），
BH=CH（全等三角形的对应边相等）.
利用三角形全等测距离的
目的：变不可测距离为可测距离．
依据：全等三角形的性质．
关键：构造全等三角形．
A
H
C
B
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案解决此问题吗？
探究学习2
1.说出你的设计方案;
2.你能用所学知识说明你设计方案的理由是什么吗？
A
B
C
D
E
先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，
方案一：延长全等法
连接AC并延长到D，使CD=AC，
连接BC并延长到E，使CE=CB，
连接DE并测量出它的长度，
测得DE的长度就是A、B
间的距离.
A
B
C
D
E
G
F
在AB的垂线BF上取两点C,D，使BC=DC，过点D作出BF的垂线DG，并在DG上找一点E，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是A、B间的距离.
方案二：垂直全等法
方案三：垂直全等法
一名同学戴一顶太阳帽，在A点立正站好；让该同学自己调整帽子，使视线通过“帽檐”正好落在湖对面的B点；该同学转过一个角度，保持刚才的姿态，“帽檐”不动，这时再望出去，仍让视线通过“帽檐”，视线所落的位置为C点；连结AC，测出AC的长，就是A、B间的距离．
牛刀小试
已知：A，B两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量A，B间的距离，请给出一个适合可行的方案，画出设计图，说明依据．
先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，
C
E
D
你能想到其它测量方法吗？
1、将实际问题转化成数学问题．
2、构造全等并说明理由．
连接AC并延长到D，使CD=AC；
连接BC并延长到E，使CE=CB，
连接DE并测量出它的长度，
DE的长就是A，B间的距离．
1.如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB
的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC的理由是(
)
A、SSS
B、ASA
C、AAS
D、SAS
B
A
●
●
D
C
E
F
B
课堂实战
2．如图所示小明设计了一种测工件内径BD的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO
应满足下列的哪个条件？（
）
A、AO=CO
B、BO=DO
C、AC=BD
D、AO=CO且BO=DO
D
C
A
B
O
D
离开
O
3．如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离．
D
（1）在地上取一个可以直接到达A、B两点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO，请你完成下面的图形．
(2)说明你是如何求AB的距离．
4.如图，工人师傅要计算一个圆柱形容器的容积，需要测量其内径.现在有两根同样长的木棒、一条橡皮绳和一把带有刻度的直尺，你能想法帮助他完成吗？
中点C
A
B
·
1.知识
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离.
依据：全等三角形的性质.
关键：构造全等三角形.
2.方法
（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形.
3.数学思想
树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想.
一分耕耘，
一分收获．
A组
1．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是
．
2．如图所示，AA′，BB′表示两根长度相同的木条，若O是AA′，BB′的中点，经测量AB=9cm，则容器的内径A′B′为
．
达标检测
B组：
4．如图，一池塘的边缘有A、B两点，试设计两种方案测量A、B两点间的距离．
3．在一座楼相邻两面墙的外部有两点A、C，如图所示，请设计方案测量A、C两点间的距离．
A
B
A
C
必做题：课本P109
习题4.10
第1、2题．
选做题：请你找两个被建筑物或河流等隔开的物体，然后想办法测量这两个物体之间的距离，并说明利用什么数学知识或数学原理．
布置作业
