陕西省黄陵中学高新部2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版含答案

高新部高二期中考试理科数学试题
一、选择题(每题5分，共60分)
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin
A＝，则sin
B＝(　　)
A．　　　　　　　　　
B．
C．
D．1
2．△ABC中，b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是(　)
A．一解
B．两解
C．无解
D．无法确定
3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，若aA．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不存在
5．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　)
A．10m
B．100m
C．20m
D．30m
6．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1
000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(　　)
A．500m
B．200m
C．1
000m
D．1
000m
7．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝(　　)
A．22　　
B．23　　　　
C．24　　　　
D．25
8．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)
A．－1
B．1
C．3
D．7
9．(2016·上海十校联考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝9，a2＋a4＋a6＝15，则a3＋a4＝(　　)
A．5
B．6
C．7
D．8
10．下列命题正确的是(　　)
A．若ac>bc，则a>b
B．若a2>b2，则a>b
C．若>，则aD．若<，则a11．若a>b>0，
cA．>
B．<
C．>
D．<
12．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是(　　)
A．5
B．4
C．3
D．2
二、填空题(每题5分，共20分)
13．已知数列{an}的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝.
14．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝60°，则B＝_
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则角A的大小为　　.
16．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a
n
mile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是a
n
mile/h，问甲船应沿着
方向前进，才能最快与乙船相遇？
三、解答题（70分，19题10分，其余12分）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2a－b)cosC－ccosB＝0.
(1)求角C的值；
(2)若三边a，b，c满足a＋b＝13，c＝7，求△ABC的面积．
18.若等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8.求：
(1)数列{an}的首项a1和公差d；
(2)数列{an}的前10项和S10的值．
19．设数列{an}是等差数列，bn＝()an又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
20在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan
C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos2＋(cosB－sinB)cosC＝1.
(1)求角C的值；
(2)若c＝2，且△ABC的面积为，求a，b.
22．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12n
mile，渔船乙以10n
mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sinα的值．
参考答案
1-6BBDBC
7-12
DABDDC
－
30°
北偏东30°
17　(1)已知(2a－b)cosC－ccosB＝0可化为(2sinA－sinB)cosC－sinCcosB＝0，
整理得2sinAcosC＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，
∵0又0(2)由(1)知cosC＝，又a＋b＝13，c＝7，
∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝169－3ab，
即49＝169－3ab，∴ab＝40，
∴S△ABC＝absinC＝×40×sin＝10.
18　(1)根据题意，得
解得
(2)S10＝10a1＋d＝10×8＋×(－2)＝－10.
19　∵b1b2b3＝，又bn＝()an，∴()a1·()a2·()a3＝.
∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，
∴b1b3＝，b1＋b3＝，
∴或，即或，
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5.
20　(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，
∴－cos
2B＝sin2C，又由A＝，
即B＋C＝，得
－cos
2B＝sin
2C＝2sin
Ccos
C，解得tan
C＝2.
(2)由tan
C＝2，C∈(0，π)得sin
C＝，cos
C＝，
又∵sin
B＝sin(A＋C)＝sin(＋C)，
∴sin
B＝，由正弦定理得c＝b，
又∵A＝，bc
sin
A＝3，∴bc＝6，故b＝3.
21　(1)∵2cos2＋(cosB－sinB)cosC＝1，
∴cosA＋cosBcosC－sinBcosC＝0，
∴－cos(B＋C)＋cosBcosC－sinBcosC＝0，
∴－cosBcosC＋sinBsinC＋cosBcosC－sinBcosC＝0，
∴sinBsinC－sinBcosC＝0.
又B是△ABC的内角，∴tanC＝(或2sin(C－)＝0)，
又C是△ABC的内角，∴C＝.
(2)∵S△ABC＝，∴absin＝，∴ab＝4.
又c2＝a2＋b2－2abcosC，∴4＝(a＋b)2－2ab－ab，
∴a＋b＝4，
又ab＝4，∴a＝b＝2.
22　(1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.
解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为＝14n
mile/h.
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝.
即sinα＝＝＝.